skkn Một số sai lầm của học sinh trong khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai và giải pháp khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THCS & THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN THỨC BẬC HAI Người thực hiện: Lê Thị Sáu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2016 MỤC LỤC 1 NỘI DUNG TRANG PHẦN I: MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU – PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II: NỘI DUNG 3 4 I.CƠ SỞ LÝ LUẬN II.THỰC TRẠNG – GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI A Một số sai lầm học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai B Giải pháp khắc phục III.KẾT QUẢ THỰC HIỆN PHẦN III:KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 14 15 PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai trọng tâm chương trình đại số 10.Các dạng phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai 2 thường xuất nhiều kiểm tra ,các kì thi em học sinh.Và đặc biệt đề thi Đại học Cao đẳng tốn phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai đánh giá tốn hay khó Tuy nhiên chương trình Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu vài cách giải thơng thường tốn bản, đơn giản Nhưng thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng ,nhiều tốn có cách giải dặc biệt Trong trình dạy lớp 10, thấy hạn chế lớn học sinh cách trình bày tốn,các em cịn lúng túng gặp tốn có nhiều điều kiện,trình bày chưa rõ ràng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Trong chương trình SGK Đại số lớp 10, phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai giới thiệu đơn giản thơng qua vài ví dụ nhẹ nhàng,lượng tập rèn luyện kĩ giải phương trình cho học sinh cịn chưa đa dạng Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ phải có lực biến đổi nhanh nhẹn, thục II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Từ lý tính cấp thiết đề tài, từ thực tế giảng dạy tốn lớp 10 ,tơi nhận thấy việc rền luyện kĩ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai cho học sinh cần thiết Chính tơi chọn đề tài: ”Một số sai lầm học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai giải pháp khắc phục.” Qua sáng kiến kinh nghiệm, mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp số kỹ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai để học sinh biết trình bày tốn xác, logic, tránh sai lầm biến đổi III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU , PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 3 - Một số giải phương trình chứa ẩn dấu đề thi Đại học - Cao Đẳng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh - để từ đưa lời giải tốn Thực nghiệm sư phạm PHẦN II NỘI DUNG: I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ: Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng : f( x) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực nâng cao II.THỰC TRẠNG-GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: A Một số sai lầm học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai Thông qua việc dạy học quan sát việc làm tập hàng ngày em học sinh,tôi nhận thấy học sinh thường không giải trình bày có nhiều sai lầm VD1.:Giải phương trình 2x −1 Học sinh giải sau : =x-2 (1) ĐK :x ≥ (*) (1) ⇒ 2x - = x2 - 4x + x2 - 6x + = ⇒ x = x =  ⇒ (thoả mãn đk(*)) Vậy pt có nghiệm x=1 ; x=5 Đây cách giải sai ,vì thay x=1 vào pt khơng thoả mãn.Đk:x ≥ đk đủ pt,khi giải theo cách hs lấy nghiệm ngoại lai x=1 Chú ý rằng: B ≥ A=B⇔ A = B VD2.Giải phương trình = 5x + x − Học sinh giải sau : (2) ĐK: x+3 (2) 5 x + x − ≥  x + ≥ ⇔ 5x2 + x − = x + Điều ý học sinh tìm cách để giải hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + đồng thời hai điều kiện 6 ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt Chú ý rằng: VD3 A = B  A = B ⇔  A ≥  B ≥  Giải phương trình ( x − x + 3) x − =0 HS giải sai sau: Ta có: ( x − x + 3) x − =0 x =1  x2 − x + = ⇔  x =  2 x − =  x = Đây toán đơn giản giải HS mắc sai lầm Rõ ràng x = nghiệm phương trình trên.Bài giải sai bỏ qua đk x ≥ Chú ý rằng: B ≥  A B = ⇔  A =  B =  VD4 Giải phương trình : x − x + − x − x + = (4) Học sinh giải sau : (4) ⇔ x − x + = x − x +  x − x + ≥ ⇔ 2 4( x − x + 3) = ( x − x + 5) Đến học sinh gặp hệ gồm bpt bậc hai phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông 7 VD5: Giải phương trình ( x + 5) x−2 = x+2 x+5 Một số HS có lời giải sai sau: ( x + 5) Ta có: x−2 = x+2 ⇔ x+5 ( x + 5) ( x − 2) = x + x + ≥  x ≥ −2 ⇔ ⇔ 2  x + x − 10 = x + x + ( x + 5)( x − ) = ( x + )  x ≥ −2 ⇔ ⇔ 3x − x = + 10  x ≥ −2   x = −14 Vậy phương trình cho vơ nghiệm Rõ ràng x = -14 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm bỏ qua đk Chú ý rằng: B x−2 ≥0 x+5 A  AB A ≥ 0; B > = B − AB A < 0; B < B.Giải pháp khắc phục: Từ sai lầm học sinh trình giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai ,để rèn luyện kĩ giải phương trình chứa ẩn dấu thức bậc hai cho học sinh cần ý phân dạng toán ,hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi tương đương phương trình 8 *Dạng : = g(x) f( x ) = g(x) f( x) ⇔  g ( x ) ≥   f ( x ) = g ( x ) Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x −1 =x-2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ 2  x − = ( x − 2) x − 6x + = x ≥  ⇔  x = ⇔ x =  x =  Vậy pt có nghiệm x=5 x≥ Ngồi ,HS đặt ĐK giải pt,tuy nhiên sau tìm nghiệm phải ý thử lại để loại nghiệm ngoại lai Ví dụ 2: Giải phương trình x3 − x + 3x − = x − x −1 ≥ ⇔ 2  x − x + 3x − = ( x − 1) x ≥ ⇔  x − 2x + 5x − = x ≥ ⇔ ⇔ x = x =  Vậy pt có nghiệm x=1 9 Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x - 2x -1 ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.khi giải cách hiệu Ví dụ 3: Giải phương trình : x − x − x − x + = Bài tốn đưa dạng = g(x) (3) nhiên bình phương hai vế , f( x) phương trình ta gặp pt bậc bốn lúc dễ giải.Vì tập nên quan sát kĩ đề đưa pt dạng pt bậc hai cách đặt ẩn phụ (3) ⇔ ( x − x + 3) − x − x + − = t = −1 (loai ) t − 2t − = ⇔  (tm) t = x2 − x + = t Đặt (t ≥ 0) ta có + t=3 : x = ⇔ x2 − x + = ⇔ x2 − x − = ⇔   x = −2 Vậy pt có nghiệm x=3 ;x= -2 a f ( x) + b f ( x) + c = Chú ý : gặp tốn có dạng : t= f ( x) (t ≥ 0) đưa pt pt bậc hai ẩn t để giải 10 10 ta nên đặt * Dạng 2: f( x) = g( x)  f ( x) = g ( x)    f ( x) ≥   g ( x) ≥  ⇔ Ví dụ : Giải phương trình = x + 3x − 7x + 2 x + x − = x + ⇔ 7 x + ≥   x = −1 2 x − x − =     x = ⇔ ⇔ x ≥ −  x ≥ −   Trong toán ta chọn đk 7x + ≥ ⇔ x = để giả đk đơn giản đễ giải f ( x ) = g ( x) + h( x) * Dạng 3: (đk :  f ( x) ≥   g ( x) ≥  h( x) ≥  ) ⇔ f ( x) = ( g ( x ) + h( x))2 Ví dụ1: Giải phương trình: 11 3x + − x + = x + 11 (1) ĐK: 3 x + ≥  2 x + ≥ ⇔ x ≥ − x + ≥  ⇔ 3x + = x + + x + ⇔ 3x + = 3x + + (2 x + 1)( x + 3) ⇔ (2 x + 1)( x + 3) =  x = −3 (l ) ⇔  x = − (tm)  Vậy pt có nghiệm x=Ví dụ2: Giải phương trình Điều kiện 3 x + ≥  x +1 ≥ ⇔ 3x + 7  x ≥ −   x ≥ −1 pt(2) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ⇔ 3x + x +1 ≥ −1 =2 x +1 (2) (**) =2 + x +1 3x + = x + + x +1 =x+1 4x + = x2 + 2x + x2 -2x - = ⇔ x = −1  x =  12 - 12 (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 ; x = *Dạng :Một số phương trình khơng mẫu mực Những tốn thường tốn khó khơng có cơng thức chung để giải.khi giải toán cần ý điều kiện xác định toán,quan sát đề tư suy luận nhanh nhạy Ví dụ 1: Sử dụng đẳng thứ biển đổi thức Giải phương trình : - x +1 x + + x +1 (1) ⇔ ⇔ x +1 x +1 +2 - =2 x +1 ⇔ = (1) ĐK x ≥ -1 , (*) =4 x+1=4 ⇔ x = (thoả mãn ĐK (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = Ví dụ 2: Giải phương trình = − x2 + x x + Đk (3) − 2x − x 7 − x + x x + ≥  3 − x − x ≥ x + ≥  (*) Hệ điều kiện (*) phức tạp nên ta khơng cần giải cụ thể.ta giải pt trước sau đố thay nghiệm tìm vào hệ ĐK để kiểm tra Từ ĐK (*) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3) 13 ⇔ - x2 + x 13 x+5 = - 2x - x2 ⇔ ⇔ x x+5 = - 2x - ⇔  x(2 x + 4) ≤  2  x ( x + 5) = x + 16 x + 16 ⇔ −2 ≤ x ≤   x + x − 16 x − 16 = −2 ≤ x ≤  ( x + 1)( x − 16) = ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔    x = −1   x = ±4  x = -1(thoả mãn hệ ĐK (*)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm: m( x − + x − 1) = x − + x − x + (3) Nếu bình phương hai vế phương trình em HS gặp phải phương trình phức tạp.Với tốn ta giải sau: ĐK: 3x − ≥ ⇔ x ≥  x −1 ≥ t = x − + x − (t ≥ 1) ⇒ t = x − + (3x − 2)( x − 1) = x − + 3x − x + (3) ⇔ mt = t − ⇔ t − mt − = 0(*) Để pt (3)có nghiệm pt (*) phải có nghiệm t ≥1 Nhận thấy pt(*) ln có hai nghiệm trái dấu ,nên pt phải có 14 14 t1 ≤ < ≤ t t2 = m + m + 24 ≥1 ⇔ m + 24 ≥ − m Ta có ⇔m≥5 ≥ Vậy m pt có nghiệm Ví dụ 4: Sử dụng tốn có liên quan đến giá trị tuyệt đối x2 – 7x + 12 = Giải phương trình : ⇔ x2 – 7x + 12 = ⇔ ⇔ TH1: x≥3 (4) (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = ( x − 3) ( x − x − ) ( x − 3) ( x − x − ) ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ( x − 3) ( x − ) (4) = (x-3)(x-4) ⇔ ( x − 3) x + ( ) ⇔ ( x − 3) x + − x + = x = ⇔  x+2 = x−4 TH2: 15 x