Ứng dụng đồ thị trong tin học (4).DOC

Ứng dụng đồ thị trong tin học

Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh LongChơng 1một số vấn đề cơ bản của đồ thịI. Các định nghĩa đồ thị1. Định nghĩa đồ thị Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này, các loại đồ thị khác nhau đợc phân biệt bởi kiểu và số lợng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đồ thị. Giả sử X là tập hữu hạn, không rỗng các phần tử nào đó và U XìX. Bộ G = <X, U> đợc gọi là đồ thị hữu hạn. Mỗi phần tử xX gọi là một đỉnh và mỗi phần tử u = (x,y) U gọi là một cạnh của đồ thị G = <X, U>. Xét một cạnh u U khi đó tồn tại 2 đỉnh x, y X sao cho u = (x, y), ta nói rằng x nối với y hoặc x và y thuộc u.- Nếu cạnh u = (x, y) mà x và y là hai đỉnh phân biệt thì ta nói x, y là hai đỉnh kề nhau.- Nếu u = (x, x) thì u là cạnh có hai đỉnh trùng nhau ta gọi đó là một khuyên.- Nếu u = (x, y) mà x,y là cặp đỉnh có phân biệt thứ tự hay có hớng từ x đến y thì u là một cung, khi đó x là gốc còn y là ngọn hoặc x là đỉnh ra, y là đỉnh vào.- Khi giữa cặp đỉnh (x, y) có nhiều hơn một cạnh thì ta nói những cạnh cùng cặp đỉnh là những cạnh song song hay là cạnh bội a) b) c)a. Tại đỉnh y có một khuyên b. Một cung có hớng từ x sang yc. Cặp đỉnh (x, y) có 2 cạnh song songHình 1.1Trong thực tế ta có thể gặp nhiều vấn đề mà có thể dùng mô hình đồ thị để biểu diễn, nh sơ đồ một mạng máy tính, sơ đồ mạng lới giao thông, sơ đồ thi công một công trình.9xyxyuxyy Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh LongVí dụ: Xét một mạng máy tính, có thể biểu diễn mạng này bằng một mô hình đồ thị, trong đó mỗi máy là một đỉnh, giữa các máy đợc nối với nhau bằng các dây truyền, chúng tơng ứng là các cạnh của đồ thị. Một mô hình mạng máy tính nh hình 1.2 trong đó có các máy tính A, B, C, D tơng ứng là các đỉnh, giữa 2 máy đợc nối trực tiếp với nhau thì tơng ứng với 1 cặp đỉnh kề nhau.Hình 1.2 Ví dụ về một đồ thị2. Đồ thị đơnĐồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị đơn nếu giữa hai đỉnh bất kỳ đợc nối với nhau bởi không quá một cạnh (cung), tức là đồ thị không có cạnh bội, không có khuyên. Hình 1.2 là một ví dụ về đồ thị đơn3. Đa đồ thịĐồ thị G = <X, U> đợc gọi là đa đồ thị nếu nó có ít nhất một cặp đỉnh đợc nối với nhau bởi hai cạnh (hai cung) trở lên.4. Giả đồ thịLà đồ thị có ít nhất một khuyên, có thể chứa cạnh bội, cạnh đơn. Tóm lại đây là loại đồ thị tổng quát nhất. a) b)Hình 1.3 a. Đa đồ thị b. Giả đồ thịII. Các loại đồ thị1. Đồ thị vô hớng10ABCDABCDABCD Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long Đồ thị G=<X,U> đợc gọi là đồ thị vô hớng nếu tất cả các cạnh e U mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x,y) X không phân biệt thứ tự. Đồ thị vô hớng là đồ thị không có bất kỳ một cung nào. Ví dụ: nh hình 1.3.a là biểu diễn của một đồ thị vô hớng.2. Đồ thị có hớngĐồ thị G = <X, U> đợc gọi là đồ thị có hớng nếu tất cả các cạnh e U mà cặp đỉnh thuộc nó e = (x, y) X có phân biệt thứ tự. Đồ thị có hớng là đồ thị mà mọi e = (x, y) X đều là cung.Hình 2.1 Đồ thị có hớng3. Đồ thị hỗn hợpĐồ thị G=<X,U> vừa có cạnh vô hớng, vừa có cạnh có hớng thì nó đợc gọi là đồ thị hỗn hợp, loại đồ thị này rất ít khi đợc dùng tới.Chú ý rằng vấn đề phân chia đồ thị và các thuật ngữ về đồ thị chỉ mang tính tơng đối, hiện nay vẫn còn cha mang tính thống nhất chuẩn trên nhiều tài liệu.III. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của đồ thị1. Bậc đồ thị1.1 Bậc đồ thị vô hớng Cho đồ thị vô hớng G = <X,U>. Xét 1 đỉnh x X đặt m(x) là số cạnh thuộc đỉnh x khi đó m(x) đợc gọi là bậc của đỉnh x. Nếu x có một khuyên thì m(x) đợc cộng thêm 2. m(x) = 3 m(x) = 2- Nếu m(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh cô lập- Nếu m(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treo Ta đặtthì m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị vô hớng G = <X, U>11xx=X xm(x) m(G) ABC Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long1.2 Bậc đồ thị có hớngCho đồ thị có hớng G= <X,U> xét 1 đỉnh x X, ta ký hiệu m+(x) là số các cung vào của đỉnh x, còn m-(x) là số các cung ra khỏi x. Khi đó ta gọi m+(x) là bậc vào của đỉnh x còn m-(x) là bậc ra của đỉnh x. - Nếu m+(x) + m-(x) = 0 thì đỉnh x đợc gọi đỉnh là cô lập- Nếu m+(x) + m-(x) = 1 thì đỉnh x đợc gọi là đỉnh treoTa đặt Khi đó m(G) đợc gọi là bậc của đồ thị có hớng G = <X,U>.Trong đồ thị có hớng thì m+(x) = m-(x) = U Ví dụ: - Xét đồ thị vô hớng nh trong hình 1.3.a ta có:m(G) = m(A) + m(B) + m(C) + m(D) = 2 + 5 + 2 + 1 = 10 - Xét đồ thị có hớng trong hình 2.1 ta có:m(G) = [m+(A) + m+(B) + m+(C) ] + [m-(A) + m-(B) + m-(C)] = [1 + 2 + 1] + [2 + 1 +1] = 8Định lý: Cho đồ thị hữu hạn G = <X,U> khi đó bậc của đồ thị G bằng 2 lần số cạnh của đồ thị, tức là m(G) = 2U . Chứng minh: Ta thấy một cạnh thuộc 2 đỉnh, nếu xoá một cạnh thì bậc của G giảm đi 2, nếu xoá một khuyên u = (x, x) thì bậc của G cũng giảm đi 2, còn nếu xoá hết cạnh, hết khuyên thì bậc của đồ thị bằng 0. Từ đó suy ra định lý.Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị G = <X,U> là một số chẵnChứng minh: Gọi A và B tơng ứng là tập đỉnh bậc lẻ và tập đỉnh bậc chẵn của đồ thị. Ta có:Do vế trái chẵn nên tổng vế phải cũng là số chẵn. Mà tổng bậc của các đỉnh bậc chẵn (xA) là số chẵn nên tổng bậc của các đỉnh bậc lẻ (x) phải là số chẵn, do tất cả các số hạng của nó là số lẻ, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng. Vì vậy số đỉnh bậc lẻ phải là số chẵn.12++=X xX x (x)m (x)m m(G) +==B xA xX x m(x) m(x) m(x) 2m Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long2. đờng đi và chu trình2.1 Đờng điXét đồ thị G = <X,U> với - Tập đỉnh X = {x1,x2, .,xn} - Tập cạnh U = {u1,u2, .,um}Tập hợp các đỉnh kề nhau từ xi đến xj đợc gọi là 1 đờng đi, kí hiệu xixi1xi2 . xj xiuixi1ui1xi2ui2 . ujxjTrong đó các cạnh, các đỉnh trong đờng đi có thể lặp lạiĐộ dài của đờng đi bằng số các cạnh (hoặc cung) trong đờng đi đó.*Chú ý rằng trong đồ thị có hớng, trên một cung uv chẳng hạn thì đờng đi chỉ có thể đi từ gốc (u) đến ngọn (v) không thể đi ngợc lại. 2.2 Chu trình Xét một đờng đi từ xi - xj. Nếu xi xj thì đờng đi này đợc gọi là một chu trình. Nh vậy chu trình là một đờng đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau.Chú ý rằng đờng đi trong đồ thị có hớng không đợc đi ngợc chiều mũi tên- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần.- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần Hình 3.1 Ví dụ nh ở hình 3.1 ADBE là một đờng đi sơ cấp từ A đến E độ dài 3; ABCDBE là đờng đi không sơ cấp ( qua B 2 lần) từ A đến E độ dài 5; ABDAB là một đờng đi không đơn (chứa cạnh AB 2 lần) từ A đến B độ dài 4; ABDA Là 1 chu trình đơn và sơ cấp độ dài 3; CC là đờng đi độ dài 0.Xét đồ thị có hớng nh hình 2.1 thì ABCB là một đờng đi độ dài 3; CBA không là một đờng đi vì không có cung đi từ B đến A.Định lý: Nếu trong đồ thị G = <X,U> các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2 ( x X | m(x) 2 ) thì trong G tồn tại ít nhất một chu trình.Chứng minh: Xét tất cả các đờng đi đơn. Vì đồ thị là hữu hạn cho nên số các đờng đi đơn là hữu hạn. Chọn một đờng đi là dài nhất nào đó ví dụ từ xi1 đến xij +1 (xem hình vẽ 13ABCDE Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Longdới đây). Theo giả thiết m(x) 2 nên tồn tại ít nhất một đỉnh xi0 và một cạnh nối đỉnh xi1 và xi0. Đỉnh xi0 thuộc một trong các đỉnh trên đờng đi đã chọn chẳng hạn xij vì đờng đi là dài nhất, nên chứng tỏ tồn tại một chu trình trong đờng đi. 3. Đồ thị liên thôngCho đồ thị G = <X,U>. Hai đỉnh phân biệt x,y X đợc gọi là liên thông nếu tồn tại một đờng đi nối các đỉnh x, y với nhau. Đồ thị G đợc gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông.Ví dụ nh hình 3.1 là một đồ thị liên thông vì luôn có đờng đi nối hai đỉnh bất kỳ của đồ thị, còn đồ thị nh hình 3.2 là không liên thông vì không có đờng đi từ A tới D hoặc từ D tới F v.v Xét 2 đồ thị liên thông G1 = <X1, U1> và G2 = <X2, U2>Trong đó: X1 X2 = và U1 U2 = Khi đó: X = X1 X2U = U1 U2Thì G = <X,U> là đồ thị có 2 thành phần liên thông G1, G2. Hình 3.3Ví dụ nh đồ thị trong hình 3.3 có ba thành phần liên thông sau:G1 = <X1, U1> với X1= {A,B,C} và U1 = {AB, AC, CB}G2 = <X2, U2> với X2= {D, E} và U2 = {DE}G3 = <X3, U3> với X3= {F} và U3 = Cho đồ thị có hớng G = <X, U>- G đợc gọi là đồ thị liên thông yếu nếu đồ thị vô hớng tơng ứng với nó là liên thông- G là liên thông một chiều nếu với hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G luôn có đờng đi x - y hoặc đờng đi y - x.14xi0xi1xi2xi3xijxij+1ABFCED Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long- G là liên thông mạnh (liên thông 2 chiều) nếu hai đỉnh x,y khác nhau bất kỳ của G đều có đờng đi x - y và đờng đi y - x.H1 H2 H3Hình 3.4ở hình 3.4 đồ thị H1 là liên thông mạnh, giả sử cặp đỉnh (A,C) ta có chiều đi từ C tới A, và đồng thời cũng có chiều đi từ A tới C, và bất kỳ các cặp đỉnh khác cũng tơng tự nh vậy. H2 là liên thông một chiều vì xét cặp đỉnh (A,D) có chiều đi từ D tới A nhng không có chiều đi từ A tới D. H3 là liên thông yếu vì tồn tại cặp đỉnh (B,C) không có chiều đi B - C cũng không có chiều đi C - B, nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông.4. Đồ thị con và đồ thị bộ phậnCho đồ thị G = <X,U>- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một số đỉnh nào đó và các cạnh xuất phát từ đỉnh đó thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị con của đồ thị G đã cho, hoặc là nếu D = <X',U'> là đồ thị con của G = <X,U> thì X' X và U' U- Nếu trong đồ thị G ta bỏ đi một số cạnh nhng giữ nguyên các đỉnh thì phần còn lại của đồ thị đợc gọi là đồ thị bộ phận của đồ thị G.IV. Các dạng biểu diễn của đồ thị1. Biểu diễn hình học của đồ thị Để có cái nhìn trực quan ta thờng biểu diễn đồ thị bằng hình học, một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng hoặc trong không gian. Phơng pháp biểu diễn nh sau: Biểu diễn các đỉnh của đồ thị bằng các điểm (hay vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ) và nối hai điểm bằng một đờng (cong, thẳng, mũi tên) khi cặp điểm đó ứng với một cạnh (cung) của đồ thị.Ví dụ 1: Cho đồ thị G = <X,U> trong đóX = {A, B, C, D, E} và U = {AB, AC, AD, AE, BD, CD, CE}15ABCDABCDABCDABDECCDEBA Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long a) b)Hình 4.1 Hình 4.1.a và hình 4.1.b đều là biểu diễn hình học của đồ thị G đã cho ở trên2. Sự đẳng cấu Với mỗi đồ thị thì có thể có nhiều dạng biểu diễn hình học, có nhiều đồ thị tởng chừng khác nhau nhng đó là cách biểu diễn hình học khác nhau của cùng một đồ thị, sự đẳng cấu cho phép chúng ta kết luận đợc điều đó.Định nghĩa: Xét 2 đồ thị G1 = (X1, U1) và G2 = <X2, U2> Hai đồ thị này đợc gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại 1 song ánh từ X1 vào X2 và từ U1 vào U2 sao cho nếu có cạnh e = (u, v) U1 tơng ứng với cạnh e' = (u', v') U2 thì cặp đỉnh u, v X1 cũng là tơng ứng cặp đỉnh u', v' X2Ví dụ xét 2 đồ thị G1 và G2 nh hình 4.2G1 G2Hình 4.2Ta có f : G1 G2 f(a) = m f(c) = nf(d) = q f(b) = pNếu a, b X1 kề nhau thì f(a), f(b) X2 kề nhau.Vậy đây là 2 đồ thị đẳng cấu với nhau, ta có thể xem G1 và G2 thực chất chỉ là 1 chỉ có điều biểu diễn ở dạng hình học khác nhau, các tên đỉnh khác nhau. Để xét 2 đồ thị có đẳng cấu không là việc khó, tuy nhiên để xét 2 đồ thị không đẳng cấu với nhau thì đơn giản hơn.Đối với 2 đồ thị đẳng cấu thì các đồ thị đó có những tính chất bất biến nh sau:- Số đỉnh bằng nhau- Số cạnh bằng nhau- Bậc các đỉnh tơng ứng cùng nh nhau- 2 Ma trận kề cũng nh nhau- Các chu trình cũng nh nhau16m n pqa b cd Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long3. Một số đồ thị đặc biệtDo tính chất, dạng biểu diễn có những nét đặc thù riêng biệt nên ta phân loại một số đồ thị thành các dạng đặc biệt sau:3.1 Đồ thị đềuLà một đồ thị mà mọi đỉnh có cùng bậc, nếu bậc này bằng k thì đó là đồ thị k - đều a) b) c) d)Hình 4.3 a: G- 1 đều; b: G - 2 đều; c: G - 2 đều; d: G - 3 đều.Trờng hợp riêng nh đồ thị hình 4.3.b và hình 4.3.c là những đồ thị vòng ký hiệu Cn (n là số đỉnh)3.2 Đồ thị đầy đủĐồ thị đầy đủ n đinh, ký hiệu Kn là đơn đồ thị vô hớng mà mọi cặp đỉnh phân biệt luôn kề nhau. Xem ví dụ nh hình 4.4 dới đây hoặc 1 trờng hợp riêng của đồ thị đều G - 3 là những đồ thị đầy đủ a) b)Hình 4.4 a - đồ thị đầy đủ K2 ; b - đồ thị đầy đủ K43.3 Đồ thị bánh xe: Ký hiệu Wn, thu đợc từ đồ thị vòng có n đỉnh bằng cách bổ sung một đỉnh mới nối tất cả các đỉnh đã có. W4W5W6Hình 4.5 Các dạng đồ thị bánh xe17 Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long3.4 Một vài ứng dụng của đồ thị đặc biệtở các mạng cục bộ (LAN), các máy tính thờng đợc kết nối theo một cách thức nào đó gọi là hình trạng (topolopy). Dựa theo đặc điểm của các totolopy này mà ta có thể mô hình bằng 1 số dạng đồ thị đặc biệt. Ví dụ với mạng LAN các máy tính đợc kết nối theo topolopy hình sao (Star) sau đây:Hình 4.6ở dạng này, tất cả các máy đợc nối vào một thiết bị trung tâm có nhiệm vụ nhận tín hiệu từ các máy và chuyển đến máy đích của tín hiệu. Từ đặc điểm này có thể mô hình bằng một đồ thị bộ phận của đồ thị bánh xe W6 nh hình 4.7.a a) b) c) d)a) Dạng sao b) dạng vòng c) dạng hỗn hợp d) dạng đầy đủ (Complete)Hình 4.7 Một số topolopy của LANở mạng LAN ta cũng thờng có các dạng topolopy khác nh dạng chu trình (loop) hoặc gọi là vòng. ở dạng này mỗi máy nối đúng với 2 máy khác. Mạng cục bộ với cấu trúc vòng tròn đợc mô hình bằng các đồ thị đặc biệt dạng vòng Cn nh hình 4.7.b, thông báo gửi từ máy này sang máy khác theo chu trình vòng tròn cho tới khi tới đợc máy đích. Hoặc 1 dạng nữa là dạng hỗn hợp, đó là sự kết hợp của dạng hình sao và hình vòng. Topolopy kiểu này là một đồ thị bánh xe Wn (hình 4.7.c). Mạng cục bộ dạng bánh xe các máy có thể truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua bộ phận trung tâm. Ngoài ra ngời ta cũng thờng hay bố trí mạng sao cho các máy đều kết nối trực tiếp với nhau, với kiểu này có thể mô hình bằng đồ thị đầy đủ Kn (hình 4.7.d)4. Biểu diễn đồ thị trên máy tính18 [...]... tốt nghiệp Phan Thanh Long Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó Nên việc biểu diễn và lu trữ đồ thị trên máy tính là một vấn đề khá trọng tâm, phơng thức biểu diễn từng loại đồ thị trên máy tính ảnh hởng đến các giải thuật, phơng pháp giải quyết các ứng dụng trên máy tính 4.1 Biểu diễn bằng... của đồ thị Nhợc điểm lớn nhất của phơng pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lu trữ ma trận kề của nó Định lý: Nếu G = là đa đồ thị với A = (aij) là ma trận kề tơng ứng, thì số đờng đi khác nhau từ đỉnh xi đến đỉnh xj có độ dài s bằng phần tử Pij của ma trận tích AìAì ìA = As = (Pij) s lần Xét ví dụ ứng dụng: Trong một số hệ thống thông tin. .. đỉnh, mỗi đồ thị đợc đặt tơng ứng với một ma trận vuông cấp n (n là số đỉnh của đồ thị) Gọi ma trận kề là A = (aij ) i,j = 1 n + Trờng hợp G = là đồ thị vô hớng với X = {x1, x2, ,xn} khi đó mỗi phần tử aij của ma trận A đợc xác định nh sau: aij = aji = d, nếu cặp đỉnh (xi, xj) có d cạnh nối với nhau Khi cặp đỉnh (xi, xj) không có cạnh nào nối với nhau thị aij = 0 Ta thấy ma trận kề của đồ thị vô... Danh sách cạnh (cung) Cho đồ thị G = với số cạnh m, số đỉnh n Nếu m < 6n thì G thờng đợc biểu diễn dới dạng danh sách cạnh (cung) 21 Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long Theo cách này danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vô hớng (có hớng) Mỗi cạnh (cung) e = (x, y) của đồ thị tơng ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e] 1 4 2 1 2 3 3 G1 4 G2 Hình 4.9 Ví dụ: Hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn... để lu trữ đồ thị cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ Nhợc điểm của phơng pháp này là để xác định những đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trớc chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh 4.3 Danh sách kề Phơng pháp biểu diễn bằng danh sách kề cũng đợc sử dụng khá phổ biến và thờng hay dùng cho đồ thị có hớng Danh sách kề cho đỉnh xi là danh sách gồm tất cả các đỉnh kề của xi theo thứ tự các đỉnh trong tập... Ta có thể biểu diễn đồ thị nh một mảng FIRST, với phần tử FIRST[i] là con trỏ trỏ tới danh sách kề cho đỉnh xi Ví dụ: ở hình 4.9 đồ thị G1 và G2 đợc biểu diễn bằng danh sách kề nh sau: FIRST 1 2 3 2 1 3 4 Nil 3 1 2 4 Nil 4 2 3 Nil Nil a) Danh sách kề của đồ thị G1 22 Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long FIRST 1 2 Nil 2 3 Nil 3 1 Nil 4 2 3 Nil b) Danh sách kề đồ thị G2 Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu... hệ thống thông tin khi đợc mô hình bằng đồ thị có thể thực hiện tốt một số công tác kiểm kỹ thuật Ví dụ khi biểu diễn một mạng máy tính bằng đồ thị, giả sử có 2 máy nào đó mà thông tin truyền giữa chúng là quan trọng, cần tiến hành kiểm tra xem đã có đờng truyền dự phòng giữa chúng không Xét ở góc độ đồ thị thì cần kiểm tra xem số đờng đi giữa cặp đỉnh tơng ứng với 2 máy đó, nếu số đờng đi lớn hơn... hớng là ma trận đối xứng + Trờng hợp G = là đồ thị có hớng với X = {x1, x2, ,xn} thì mỗi phần tử aij của A đợc xác định nh sau: đối với mỗi cặp đỉnh (xi, xj) từ xi đến xj nếu có d cung thì aij = d Chú ý aji = 0 nếu không có cung nào hớng từ xj đến xi Ma trận kề trong trờng hợp này là không đối xứng Trong 2 trờng hợp trên ta chú ý nếu đỉnh xi có một khuyên thì phần tử tơng ứng của ma trận kề là... Ta có thể dùng ma trận kề biểu diễn đồ thị G1 và G2 trong hình 4.8 nh sau: Đối với đồ thị có trọng số mỗi cạnh e = (xi, xj) đợc gán một trọng số l(e) (còn viết là l(xi, xj) ) thì ma trận kề của nó đợc thay bằng ma trận có trọng số, khi đó M G1 1 1 = 1 0 1 0 2 1 1 2 0 0 0 1 0 0 M G2 0 1 1 = 0 1 0 1 1 0 mỗi phần tử của ma trận bằng trọng số của cạnh tơng ứng: aij = l(xi, xj) 19 Luận văn tốt... Bộ nhớ sử dụng cho phơng pháp biểu diễn danh sách kề là tỷ lệ thuận với tổng số đỉnh và các cạnh của đồ thị Nhợc điểm của cách biểu diễn này là thời gian cần thiết để xác định có một cạnh đi từ đỉnh xi tới đỉnh xj có hay không mất O(n) Cách biểu diễn này thích hợp cho các thuật toán mà cấu trúc đồ thị hay thay đổi nh thêm hoặc bớt các cạnh 23 . chiều đi C - B, nhng đồ thị vô hớng tơng ứng là liên thông.4. Đồ thị con và đồ thị bộ phậnCho đồ thị G = <X,U>- Nếu trong đồ thị đó ta bỏ đi một. Lĩnh vực đồ thị có nhiều ứng dụng trong thực tế, có thể mô hình nhiều ứng dụng bằng đồ thị và sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán về ứng dụng đó.