Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngượcSáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược

SỞ DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠO THANH HOÁ SỞ GIÁO GIÁO DỤC THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNGSÁNG KIẾN NGHIỆM KIẾNKINH KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNGCHỨNG DẪN HỌC SINHQUAN LỚP 11HỆ DÙNG SƠ ĐỒ SUY LUẬN MINH VNG GĨC NGƯỢC LỜI GIẢI CHO BÀIHỌC TỐN CHỨNG TRONGTÌM KHƠNG GIAN CHO SINH LỚPMIN 11 VNGĨC TRONG KHƠNG GIAN NHỜ SƠ ĐỒ TƯ DUY NGƯỢC Người thực hiện: Lê Thị Liên Người thực hiện: Lê Thị Liên Chức vụ: Giáo viên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn SKKN mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2015 THANH HỐ NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung 1.MỞ ĐẦU NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề dạy - học tìm lời giải cho tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian trước áp dụng SKKN 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Trong toán chứng minh hai đường thẳng vng góc 2.3.2 Trong tốn chứng minh đường thẳng vng góc với mp 2.3.3 Trong tốn chứng hai mặt phẳng vng góc 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 2 12 14 15 MỞ ĐẦU: LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học khơng gian mơn học tương đối khó học sinh THPT nói chung học sinh lớp 11 nói riêng, học sinh có học lực trung bình trở xuống Đây nội dung chiếm phần lớn chương trình hình học lớp 11, tảng để học sinh học chương trình hình học lớp 12: Thể tích khối đa diện; Phương pháp tọa độ không gian Trong năm giảng dạy mơn Tốn trường THPT, tơi thấy đa số học sinh yếu phần hình học không gian, mà đặc biệt chương III: Quan hệ vng góc khơng gian, chứng minh quan hệ vng góc tốn Do hệ lụy kéo theo em khó khăn tốn “Góc”, “Khoảng cách”, “Thể tích khối đa diện” “Phương pháp tọa độ không gian” nên thường không lấy trọn vẹn 2,0 điểm nội dung đề thi THPTQG Giải tốn hình học khơng gian lớp 11 nói chung tốn “chứng minh quan hệ vng góc khơng gian” nói riêng, theo tơi, thường có ba phần: Vẽ hình, tìm hướng giải trình bày lời giải Việc hướng dẫn học sinh vẽ hình phải thực xuyên suốt q trình dạy học mơn Tuy vậy, học sinh vẽ hình tốt điều kiện cần để giải toán (trong đề thi thường có câu: hình vẽ sai khơng chấm, lại khơng có thang điểm cho hình vẽ) Vậy khâu quan trọng tìm hướng giải (hay đường lối giải), sau trình bày lời giải Tuy nhiên, rèn luyện kĩ tìm hướng giải cho tốn khâu có tính chất định đến tồn q trình rèn luyện giải tốn khả tư cho người giải tốn Trong mơn Đại số hướng dẫn học sinh giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn, bất phương trình tích hay bất phương trình có ẩn mẫu ta thường hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu lập trục xét dấu biểu thức vế trái tạo nên “quy tắc” giải đơn giản Thiết nghĩ hình học tìm “quy tắc” tương tự cho dạng tập thường gặp hay không? Trong năm học 2014-2015 năm học 2015-2016 nghiên cứu đưa vào áp dụng thí điểm đề tài đổi phương pháp dạy học là: “Rèn luyện kĩ giải tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược” với ý tưởng: Thông qua việc lập sơ đồ tư ngược để tìm đường lối giải dựa vào sơ đồ để trình bày lời giải cho tốn chứng minh quan hệ vng góc không gian Qua thực tế thấy phương pháp góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh bước đầu thu kết cao Qua cách lập sơ đồ tìm đường lối giải cho toán, học sinh rèn luyện kĩ phân tích, tổng hợp, so sánh hệ thống hóa kiến thức từ khắc sâu kiến thức mơn học, phát triển tư thuật toán tư logic nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn góp phần đạt mục tiêu giáo dục tồn diện Hiện chưa thấy tài liệu nghiên cứu sâu vấn đề Vì tất lí tơi thấy việc nghiên cứu hồn thiện đề tài SKKK cấp thiết MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Nâng cao chất lượng dạy học Hình học khơng gian, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các tốn chứng minh quan hệ vng góc không gian PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết kết hợp với phương pháp thực nghiệm sư phạm NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung, chương trình hình học khơng gian lớp 11; Các định nghĩa, tính chất,… chương III: Quan hệ vng góc khơng gian, sách giáo khoa hình học 11 Một số tài liệu tham khảo phương pháp dạy học toán như: “Giải toán nào” Polia; “Rèn luyện kĩ tìm lời giải cho tốn” Nguyễn Văn Hịe,… 2.2 Thực trạng vấn đề dạy - học tìm lời giải cho tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian trước áp dụng SKKN Học sinh lớp 11 thường yếu phân mơn “hình học khơng gian”, đặc biệt học sinh không lớp mũi nhọn Chương III: Quan hệ vng góc khơng gian nói nội dung quan trọng chương trình mà dạng tốn chứng minh quan hệ vng góc dạng tốn chương, từ xây dựng khái niệm góc khoảng cách Với vài học sinh chưa biết vẽ hình vẽ hình khơng tốt, vẽ hình khơng trực quan, sai quy tắc lẽ tất yếu khơng tìm lời giải Nhưng với đa số học sinh biết vẽ hình tốt, trực quan khó khăn việc tự tìm hướng giải cho tốn chứng minh quan hệ vng góc Nhiều học sinh giáo viên trình bày lời giải em hiểu thường có thắc mắc “Tại (thầy) lại nghĩ hướng làm này?” Nhiều học sinh tự tìm hướng giải tốn theo kiểu “mò mẫm” nhiều thời gian Nhiều học sinh có hướng giải trình bày lời giải lại khơng rõ ràng, khơng lơgic chí “dài dịng” “quanh co” không đạt yêu cầu Từ thực trạng trên, học sinh thường có tâm lý “ngại”, “né tránh”, “khơng có hứng thú” với tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian Và giáo viên thường gặp nhiều khó khăn giảng dạy nội dung Năm học 2013-2014 cho 11A4 làm đề kiểm tra 45 phút chương III, kết điểm lớp 11A4 sau: Số Giỏi Khá TB Yếu Lớp H SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) S 11A4 42 2,38 16,67 25 59,52 21,43 Xuất phát từ thực trạng trên, mạnh dạn tiến hành đổi phương pháp “Rèn luyện kĩ giải toán chứng minh quan hệ vng góc khơng gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược” cho hai lớp 11C3 11D4, 11C3 có chất lượng tương đương 11A4, 11D4 có chất lượng thấp hơn, thân nhận thấy cách làm có hiệu rõ rệt 2.3 Các giải pháp thực Tôi thực dạy chương III: Quan hệ vng góc khơng gian mà dạng toán chứng minh quan hệ vng góc ba lớp: Lớp 11A4 11C3 hai lớp A có chất lượng tương đương; Lớp 11D4 có chất lượng đầu vào thấp lớp 11A4 Năm học 2013 – 2014, lớp 11A4, thực theo phương pháp truyền thống: Phân dạng đưa phương pháp giải tương ứng cho dạng tập chứng minh quan hệ vng góc khơng gian, hướng dẫn giải ví dụ tập, giáo viên yêu cầu vài học sinh nêu đường lối giải (hoặc giáo viên gợi ý đường lối giải) sau trình bày lời giải Năm học 2014-2015 lớp 11C3 năm học 2015-2016 lớp 11D4 lớp có chất lượng thấp dạy nội dung hệ thống tập tương ứng với ví dụ tập, sau hướng dẫn học sinh vẽ hình, giáo viên dùng hệ thống câu hỏi gợi ý để hướng dẫn học sinh tiến hành giải toán theo hai bước: Bước 1: Lập sơ đồ tư ngược để tìm hướng giải (Chỉ làm vào bảng nháp) Bước 2: Dựa vào sơ đồ để trình bày lời giải Khi hướng dẫn học sinh tìm hướng giải cho tốn, dùng câu hỏi là: “ Để chứng minh…(mệnh đề A quan hệ vng góc- Điều cần chứng minh) ta phải chứng minh điều gì?”, hay “tại sao…(đường thẳng a, mp (P)) vng góc với…( đường thẳng b, mp (Q))” Giả sử câu trả lời câu hỏi là: “ Để chứng minh mệnh đề A (là đúng), ta phải chứng minh mệnh đề B (B giả thiết kết phán đoán mà ta cho đúng)”, lặp lặp lại câu hỏi kiểu B giả thiết tốn hồn thành việc tìm hướng giải Bằng cách vấn đáp trực tiếp ghi tóm tắt lại trình thành “sơ đồ” tạm gọi “sơ đồ tư ngược” kiểu như: (?) (?) (?) (?) (?) (?) A ⇐ B ⇐ C ⇐ D ⇐ ⇐ H ⇐ F , theo đó, từ mệnh đề A kết luận toán (mệnh đề cần chứng minh), ta lần tìm B, từ B lại lần tìm C, D,… cuối đến F, F giả thiết tốn Và cần lưu ý sơ đồ lập bảng nháp, khơng đưa vào lời giải Khi trình bày lời giải, ta việc trình bày theo chiều ngược lại sơ đồ Tức trình bày theo kiểu: F ⇒ H ⇒ ⇒ C ⇒ B ⇒ A Trong phạm vi đề tài SKKN xin trình bày hai khâu qua ví dụ cụ thể dạng toán thường gặp chứng minh quan hệ vng góc khơng gian sau đây: 2.3.1 Trong toán chứng minh hai đường thẳng vng góc Các phương pháp (PP) thường dùng: + PP1: Chứng minh hai véc tơ phương a b vng góc  a ⊥ ( P) ⇒a ⊥b  b ⊂ ( P )  + PP2: : Đây phương pháp hay dùng (Một hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường cịn lại) + PP3: Sử dụng định lí ba đường vng góc a / / c ⇒a ⊥b  c ⊥ b  + PP4: + PP5: Khi a b nằm mặt phẳng, sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc hình học phẳng… Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD) Một mặt phẳng ( α ) qua A vng góc với SC cắt SC, SB, SD theo thứ tự K, H, E Chứng minh rằng: a) BD ⊥ SC; b) AE ⊥ SD; AH ⊥ SB Trong ví dụ 1, ý a,b hướng dẫn học sinh giải theo PP2 PP3 nêu Sau tơi trình bày cách giải ví dụ 1.a theo PP3, ví dụ 1.b theo PP2 Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải *Có thể hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải cho ví dụ1.a) sau: Giáo viên đưa câu hỏi gợi ý Học sinh trả lời (mong muốn) (?1)  BD ⊥ AC -?1: Đề chứng minh BD ⊥ SC cách sử dụng định lí ba đường vuông BD ⊥ SC ⇐  SA ⊥ ( ABCD ) góc (PP3) phải chứng minh điều gì? (?2) BD ⊥ AC ⇐ -?2: Tại có BD ⊥ AC ? Tứ giác ABCD hình vng Vấn đáp trực tiếp ghi lại q trình thành “sơ đồ” tạm gọi sơ đồ tư ngược (thực bảng nháp) sau: (?2) (?1)  ⇐  BD ⊥ AC ⇐ ABCD hình vng  SA ⊥ ( ABCD) (gt) BD ⊥ SC * Có thể hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải cho ví dụ1.b) chứng minh AE ⊥ SD sau: Giáo viên đưa câu hỏi gợi ý Học sinh trả lời (mong muốn) (?1)  AE ⊥ ( SDC ) -?1: Sử dụng PP2, để chứng minh AE ⊥ SD ⇐ AE ⊥ SD ta phải chứng minh điều gì?  SD ⊂ ( SDC )  -?2: Tại AE ⊥ ( SDC ) ? (?2)  AE ⊥ SC AE ⊥ (SDC ) ⇐   AE ⊥ DC (?3) AE ⊥ SC ⇐ SC ⊥ (α ),(α ) ⊃ AE (?4)  DC ⊥ ( SAD ) AE ⊥ DC ⇐  ( SAD ) ⊃ AE (?5)  DC ⊥ AD DC ⊥ ( SAD ) ⇐   DC ⊥ SA DC ⊥ SA SA ⊥ ( ABCD) -?3: Tại AE ⊥ SC ? -?4: Tại AE ⊥ DC ? - ?5: Tại DC ⊥ ( SAD ) ? - ?6: Tại DC ⊥ SA ? Học sinh có sơ đồ tìm hướng giải câu b) chứng minh AE ⊥ SD sau:    (?3)   AE ⊥ SC ⇐ SC ⊥ (α ),(α ) ⊃ AE   (?2)  (?1)   AE ⊥ ( SDC ) ⇐ (?5)  DC ⊥ AD AE ⊥ SD ⇐  (?4)    DC ⊥ (SAD) ⇐  (?6)  AE ⊥ DC ⇐    DC ⊥ SA ⇐ SA ⊥ ( ABCD)        (SAD) ⊃ AE   SD ⊂ ( SDC ) * Chứng minh AH ⊥ SB cho học sinh làm hoàn toàn tương tự ta sơ đồ :    (?)    AH ⊥ SC ⇐ SC ⊥ (α ),(α ) ⊃ AH   (?)   (?)  AH ⊥ ( SBC ) ⇐   (?)  BC ⊥ AB  AH ⊥ SB ⇐  (?)   BC ⊥ ( SAB ) ⇐  (?)   AH ⊥ BC ⇐     BC ⊥ SA ⇐ SA ⊥ ( ABCD)     ( SAB ) ⊃ AH       SB ⊂ ( SBC ) Bước 2: Trình bày lời giải: Ví dụ 1.a) Tứ giác ABCD hình vng nên ta có BD ⊥ AC (1) Mặt khác: SA ⊥ ( ABCD) nên AC hình chiếu SC lên (ABCD) (2) Từ (1) (2) suy BD ⊥ SC Ví dụ 1.b) Chứng minh AE ⊥ SD; AH ⊥ SB DC ⊥ AD ⇒ DC ⊥ ( SAD ) + Ta có SA ⊥ ( ABCD) ⇒ DC ⊥ SA mà , AE ⊂ (SAD) lại có nên AE ⊥ DC (1) Mặt khác SC ⊥ (α ),(α ) ⊃ AE ⇒ AE ⊥ SC (2) SD ⊂ ( SDC ) nên AE ⊥ SD Từ (1) (2) suy AE ⊥ (SDC ) mà BC ⊥ ( SAB ) + Ta có SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BC , mà BC ⊥ AB nên , AH ⊂ ( SAB ) suy AH ⊥ BC (1) lại có Mặt khác SC ⊥ (α ),(α ) ⊃ AH ⇒ AH ⊥ SC (2) SB ⊂ ( SBC ) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( SBC ) mà nên AH ⊥ SB Ví dụ (Bài tập 6- SGK hình học 11, trang 98 ) Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD;ABC'D' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O; O ' Chứng minh rằng: AB ⊥ OO ' a) b) Tứ giác CDD'C' hình chữ nhật Trong ví dụ 2, tơi trình bày cách giải câu a) theo PP1 câu b) theoPP4 (có thể hướng dẫn học sinh chọn PP khác PP nêu) Khi sử dụng PP1, kĩ thuật hay dùng để chứng minh đẳng thức liên quan đến véc tơ phân tích véc tơ liên quan theo véc tơ chung gốc Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải Bằng cách đưa hệ thông câu hỏi vấn đáp tương tự ví dụ 1, ta hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải sau: Ví dụ 2.a) (?) uuur uuuuur (?) uuur uuuuur uuuur (?) uuur uuuuur uuur uuuur (?)  AO' = AO AB ⊥ OO' ⇐ AB.OO' = ⇐ AB AO' − AO = ⇐ AB AO' − AB AO = ⇐  · ·  BAO' = BAO ( ) Ví dụ 2.b) CD // = C'D' (?)   (?) CC' //OO'  ⇐ CC' ⊥ CD CD //AB ⇐   AB ⊥ OO'   Tứ giác CDD'C' hình chữ nhật  Bước 2: Trình bày lời giải:  AO' = AO 2.a) Do  · ·   BAO' = BAO uuur uuuuu r uuur uuuu r ⇒ AB.AO' − AB AO = uuur uuuuu r uuuu r ⇒ AB ( AO' − AO ) = uuur uuuuur ⇒ AB.OO' = ⇒ AB ⊥ OO' CC' //OO' 2.b) Do CD //AB ⇒ CC' ⊥ CD (1)  AB ⊥ OO'  Mặt khác CD // = C'D' nên tứ giác CDD'C' hình bình hành (2) Từ (1) (2) suy tứ giác CDD'C' hình chữ nhật Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có tất cạnh a M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AM ⊥ BC' / b) N trung điểm cạnh BB Chứng minh AN ⊥ BC' ; a B'P = Q trung điểm cạnh B'C' c) P điểm cạnh A'B' cho Chứng minh: AN ⊥ NP; AN ⊥ PQ Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải Bằng cách đưa hệ thơng câu hỏi vấn đáp tương tự ví dụ 1, ta hướng dẫn học sinh lập sơ đồ tìm hướng giải sau: Ví dụ 3.a) (Theo PP2)  BC' ⊂ ( BCC'B' )  ( ABC ) ⊥ ( BCC'B' ) (?)  (?) ( ABC ) ∩ ( BCC'B' ) = BC AM ⊥ BC' ⇐   AM ⊥ ( BCC'B' ) ⇐  AM ⊂ ( ABC )    AM ⊥ BC   Ví dụ 3.b) (Theo PP2)  AN ⊂ ( AMN )  (?)  (?)  (?)  BC' ⊥ AM ⇐ câu 3.a) AN ⊥ BC' ⇐  BC' ⊥ ( AMN ) ⇐  (?)  MN / / B'C   BC' ⊥ MN ⇐      B'C ⊥ BC' Ví dụ 3.c) (Theo PP5) (?) AN ⊥ NP ⇐ AP = AN + NP (1) (?) (?)  AN ⊥ NP (theo(1)) AN ⊥ PQ ⇐ AN ⊥ ( NPQ) ⇐   AN ⊥ NQ Khi tính độ dài cạnh tam giác thường dùng định lí Pitago đảo để chứng minh tam giác vng Bước 2: Trình bày lời giải: 3.a) Ta có: ( ABC ) ⊥ ( BCC'B' ); ( ABC ) ∩ ( BCC'B' ) = BC; AM ⊂ ( ABC ); AM ⊥ BC ⇒ AM ⊥ ( BCC'B' ) mà BC' ⊂ ( BCC'B' ) suy AM ⊥ BC' 3.b) Ta có: MN / / B'C; B'C ⊥ BC' ⇒ BC' ⊥ MN (1) Lại có: BC' ⊥ AM (Câu 3.a) (2) Từ (1) (2) suy BC' ⊥ (AMN), mặt khác AN ⊂ (AMN) nên AN ⊥ BC' 2 5a a 2 AN = a +  ÷ = ; NP = NB' + B'P = 5a ; 2 16 3.c)Ta có: 25a AP = AA' + A'P = 16 2 Nên AP = AN + NP ⇒ AN ⊥ BC' (1) Tương tự: AN ⊥ PQ (2) Từ (1) (2) suy AN ⊥ ( NPQ) ⇒ AN ⊥ PQ Ví dụ 4:Trong mặt phẳng (P) cho tam giác nhọn ABC Trên đường thẳng d vng góc với (P) A ta lấy điểm M khác A Gọi BH, BK theo thứ tự đường cao kẻ từ đỉnh B ∆ ABC, ∆ MBC; HK cắt AM N Chứng minh rằng: a MC ⊥ NK ; b MC ⊥ NB ; c MB ⊥ NC Ở ví dụ 4, tất ý giải theo PP2 PP3 Với học sinh yếu thường em hay sử dụng PP2, nên ví dụ tơi giải theo PP2 Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải  NK ⊂ ( BHK )  (?)   MC ⊥ BK (gt) (?)  MC ⊥ NK ⇐  (?)  MC ⊥ ( BHK ) ⇐  MC ⊥ BH ⇐  BH ⊥ AC     MA ⊥ ( ABC )   4.a) (?)  NB ⊂ (BHK) MC ⊥ NB⇐  (?)  MC ⊥ (BHK)⇐ câu 4.a) 4.b) 10  MB ⊂ ( MBH )  (?)  NH ⊥ MC  (?)  NC ⊥ MH ⇐   (?)  MB ⊥ NC ⇐  CH ⊥ MN  NC ⊥ (MBH) ⇐  (?)  NA ⊥ ( ABC )   NC ⊥ BH ⇐     BH ⊥ AC   4.c) Bước 2: Trình bày lời giải: 4.a) Ta có BH ⊥ AC ; MA ⊥ ( ABC ) ⇒ MC ⊥ BH MC ⊥ BK (gt) nên MC ⊥ ( BHK ) (1) mà Mặt khác NK ⊂ (BHK) (2) Từ (1) (2) suy MC ⊥ NK b) Theo câu 3.a) ta có MC ⊥ (BHK) NB ⊂ (BHK) nên MC ⊥ NB mà 4.c) Ta có: NH ⊥ MC; CH ⊥ MN ⇒ NC ⊥ MN (3) Mặt khác: NA ⊥ ( ABC ); BH ⊥ AC ⇒ NC ⊥ BH (4) NC ⊥ (MBH) mà MB ⊂ (MBH) nên MB ⊥ NC Từ (3) (4) suy 2.3.2 Trong tốn chứng minh đường thẳng a vng góc với (P) Các phương pháp (PP) thường dùng: + PP1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt (P) + PP2: Chứng minh a giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với (P);  a / /b ⇒ a ⊥ ( P)  b ⊥ ( P )  + PP3: ; +PP4 Hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mp mà vng với giao tuyến vng với mp Ví dụ Trong (P) cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên đường thẳng vng góc với (P) kẻ từ A ta lấy điểm D Gọi M trung điểm cạnh BC, H hình chiếu A DM Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (ADM) ; b) AH ⊥ ( BCD) PP1 phương pháp hay dùng cho dạng tập Trong ví dụ 4a,b sử dụng PP1 PP4, ví dụ tơi trình bày cách giải câu a) theo PP1 câu b) theo PP4 Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải 11 (?)  BC ⊥ AD ⇐ AD ⊥ (ABC) (?)   BC ⊥ ( ADM ) ⇐  (?)  AB = AC  BC ⊥ AM ⇐    MB = MC Ví dụ 5.a) ( ADM ) ∩ ( BCD) = DM   AH ⊂ ( ADM ) (?)  AH ⊥ ( BCD) ⇐  AH ⊥ DM (?)  (?)  ( ADM ) ⊥ ( BCD) ⇐ ( ADM ) ⊥ BC ⇐ câu 4.a)   BC ⊂ ( BCD)  Ví dụ 5.b) Bước 2: Trình bày lời giải: Ví dụ 5.a) Do AB = AC M trung điểm BC nên BC ⊥ AM (1) Mặt khác AD ⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ AD (2); Từ (1) (2) suy BC ⊥ (ADM) Ví dụ 5.b) Theo câu 5.a) : ( ADM ) ⊥ BC; mà BC ⊂ ( BCD ) ⇒ ( ADM ) ⊥ ( BCD ) (1) ( ADM ) ∩ ( BCD) = DM   AH ⊂ ( ADM )   AH ⊥ DM Mặt khác (2) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( BCD) Ví dụ Cho tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC = AD Gọi I trung điểm cạnh CD Chứng minh AI ⊥ ( BCD) Các toán tính khoảng cách đề thi thử THPTquốc gia trường THPT Sở giáo dục hầu hết quy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khi PP4 phương pháp hiệu 12 Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải (ACD) ⊥ (BCD)  (ACD) ∩ (BCD)= CD (?)   AI ⊥ (BCD) ⇐  AI ⊂ (ACD)  (?)  AI ⊥ CD ⇐  AC = AD   IC = ID Bước 2: Trình bày lời giải: Do AC = AD I trung điểm cạnh CD nên AI ⊥ CD Vậy ( ACD) ⊥ ( BCD);( ACD) ∩ ( BCD) = CD; AI ⊂ (ACD); AI ⊥ CD ⇒ AI ⊥ ( BCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng , hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với đáy Gọi M,N hình chiếu A SB,SD Chứng minh: a) SA ⊥ ( ABCD) ; b) BD ⊥ (SAC ) ; c) BC ⊥ (SAB) Chứng minh: SC ⊥ ( AMN ) Gọi K giao điểm SC với (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc PP2 dễ nhớ “dễ nhìn thấy” để áp dụng Ví dụ 7.1.a) ta giải theo PP2, Ví dụ 6.3 theo PP3 Các ý cịn lại giải theo nhiều cách Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải  SA = ( SAB ) ∩ ( SAD ) (?)  SA ⊥ ( ABCD) ⇐ ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 7.1.a)  ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) (?)  (?)   SA ⊥ ABCD ⇐ ( ) Câu 6.1.a)  (?)  BD ⊥ SA ⇐   BD ⊂ ( ABCD ) BD ⊥ (SAC) ⇐   (?)  BD ⊥ AC ⇐ ABCD hình vng  Ví dụ 7.1.b) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  (?) ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB BC ⊥ (SAB)⇐   BC ⊂ ( ABCD )   BC ⊥ AB Ví dụ 7.1.c) Ví dụ 7.2 13    AM ⊥ SB (?)    (?)  BC ⊥ (SAB) (câu 6.1.c)) (?)  AM ⊥ (SBC)   ⇐ (?) SC ⊥ AM  AM ⊥ BC ⇐  AM ⊂ (SAB) ⇐ SC ⊥ (AMN)⇐       SC ⊂ SBC ( )     SC ⊥ AN (?) Ví dụ 7.3 Tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc ⇐MN ⊥ AK     (?) SB = SD SM SN (?)   (?)    MN / / BD⇐ = ⇐ (?)  MN ⊥ (SAC) (?)   ⇐ SB SD ⇐  MB = ND ⇐ ∆SAB = ∆SAD     BD ⊥ (SAC) (câu 6.1.b))   AK ⊂ (SAC) Bước 2: Trình bày lời giải:  SA = ( SAB ) ∩ ( SAD )  ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SAD ) ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 7.1.a) ( ⇒ SA ⊥ ( ABCD) Ví dụ 7.1.b) Câu 6.1.a) : SA ⊥ ( ABCD ) ; BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA (1) Mặt khác, tứ giác ABCD hình vng nên BD ⊥ AC (2) Từ (1) (2) suy BD ⊥ (SAC) Ví dụ 7.1.c) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB Do  ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊂ ABCD ( )    BC ⊥ AB Ví dụ 7.2 Theo câu 6.1.c) : BC ⊥ (SAB); AM ⊂ (SAB) ⇒ AM ⊥ BC mà AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ (SBC);SC ⊂ ( SBC ) ⇒ SC ⊥ AM (1) Chứng minh tương tự ta có SC ⊥ AN (2) Từ ( 1) ( 2) ⇒ SC ⊥ (AMN) Ví dụ 7.3 Ta có: ∆SAB = ∆SAD ⇒ MB = ND mà SB = SD ⇒ SM SN = ⇒ MN / / BD SB SD 14 Lại có BD ⊥ (SAC) (câu 6.1.b)) ⇒ MN ⊥ (SAC) mà AK ⊂ (SAC) ⇒ MN ⊥ AK Vậy tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc 2.3.3 Trong tốn chứng hai mặt phẳng vng góc Phương pháp thường dùng là: Để chứng minh ( P) ⊥ (Q) ta hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cịn lại Ví dụ 8: (Trích tập 119 trang 102, SGK hình học 11 nâng cao) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng: a) (AB'C'D) ⊥ (BCD'A') ; b) AC' ⊥ ( A'BD ) Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải Ví dụ 8.a) (AB'C'D) ⊃ DC' (?)  (AB'C'D) ⊥ (BCD'A') ⇐  (?)  DC' ⊥ CD'  (?)  DC' ⊥ (BCD'A') ⇐   DC' ⊥ BC ⇐ BC ⊥ (DCC'D')   (?)  AC ⊥ BD    AC' ⊥ BD ⇐  (?)   CC' ⊥ ( ABCD ) AC' ⊥ ( A'BD ) ⇐  (?)  AB' ⊥ A'B   AC' ⊥ A'B ⇐  '    C'B' ⊥ ( ABB'A )  Ví dụ 8.b) Bước 2: Trình bày lời giải: Lời giải: Ví dụ 8.a) BC ⊥ (DCC'D') ⇒ DC' ⊥ BC Ta có mà DC' ⊥ CD' nên DC' ⊥ (BCD'A') , lại DC' ⊂ (AB'C'D) suy (AB'C'D) ⊥ (BCD'A') Ví dụ 8.b) Ta có  AB' ⊥ A'B ⇒ AC' ⊥ A'B  C'B' ⊥ ( ABB'A' ) (1);   AC ⊥ BD  CC' ⊥ ( ABCD ) Mặt khác:  ⇒ AC' ⊥ BD (2); AC / ⊥ ( A/ BD ) Từ (1) (2) suy Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD) b) Gọi I trung điểm cạnh AB, Chứng minh ( SOI ) ⊥ (SAB) 15 c) Gọi OJ đường cao tam giác SOI Chứng minh OJ ⊥ SB SCD ) ⊥ ( BDK ) d) Gọi K trung điểm cạnh bên SC Chứng minh ( ? Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải ( SAC ) ⊃ AC (?)  (?)  AC ⊥ BD ( SAC ) ⊥ ( SBD) ⇐   AC ⊥ ( SBD ) ⇐  (?)  AC ⊥ SO ⇐ SO ⊥ ( ABCD)  Ví dụ 9.a) Ví dụ 9.b)  (?) (?)  (?) ( SOI ) ⊥ AB ⇐  AB ⊥ SO ⇐ SO ⊥ ( ABCD ) ( SOI ) ⊥ ( SAB) ⇐   AB ⊥ OI    AB ⊂ ( SAB )  Ví dụ 9.c) Ví dụ 9.d)  SB ⊂ (SAB)  (SOI) ⊥ (SAB) (?)  (?) (SOI) ∩ (SAB)= SI OJ ⊥ SB ⇐  OJ ⊥ (SAB) ⇐ OJ ⊂ (SOI)   OJ ⊥ SI   ( SCD) ⊃ SC (?) (?)  ( SCD ) ⊥ ( BDK ) ⇐  SC ⊥ BDK ⇐  SC ⊥ BK ⇐ ( )    SC ⊥ DK  BK trung tuyến (?)  tam giác SBC Bước 2: Trình bày lời giải: Ví dụ 9.a) Ta có SO ⊥ ( ABCD) ⇒ AC ⊥ SO mà BD ⊥ AC nên AC ⊥ ( SBD ) , từ suy ( SAC ) ⊥ ( SBD) Ví dụ 9.b) SO ⊥ (ABCD) ⇒ AB ⊥ SO Ta có: AB ⊥ OI nên ( SOI ) ⊥ AB mà từ suy (SOI ) ⊥ (SAB) Ví dụ 9.c) Ta có (SOI) ⊥ (SAB);(SOI) ∩ (SAB)= SI;OJ ⊂ (SOI);OJ ⊥ SI 16 nên OJ ⊥ (SAB) từ suy OJ ⊥ SB SC ⊥ BK Ví dụ 9.d) Do BK trung tuyến tam giác SBC nên ta có Mặt khác: SC ⊥ DK suy SC ⊥ (BDK) (1) Lại có SC ⊂ (SCD)(2) Từ (1) (2) suy ( SCD ) ⊥ ( BDK ) Bài tập 1) Cho tứ diện ABCD; AD ⊥ ( ABC ), DE đường cao tam giác BCD a) Chứng minh: ( ADE ) ⊥ ( BCD) b) Vẽ đường cao BF, BK tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh ( BFK ) ⊥ ( BCD) ? c) Gọi H, J trực tâm tam giác ABC tam giác DBC Chứng minh HJ ⊥ ( BCD) 2) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a, hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vuông góc với đáy, SA = a Gọi M trung điểm SB BC ⊥ ( SAB ) ; SBD ) ⊥ ( SAC ) ; Chứng minh rằng: a) b) ( c) AM ⊥ SC 3) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng, SA = SB = SC = SD a) Chứng minh rằng: SO vng góc với (ABCD) b) Chứng minh rằng: BD vng góc với (SAC) c) Gọi I trung điểm AB Chứng minh rằng: AB vng góc với (SOI) d) Kẻ đường cao OJ SOI Chứng minh rằng: SA vng góc với OJ 4) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng tâm O, SO vng góc với (ABCD), SO = a , AB = a a) Chứng minh rằng: BD vng góc với SA; AC vng góc với SB b) Vẽ CI vng góc với SD, OJ vng góc với SC Chứng minh đường thẳng SD vng góc với (ACI); SC vng góc với (BDJ) c) K trung điểm SB Chứng minh rằng: OK vng góc với OI 5) Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I, J trung điểm AB, CD Trên đường thẳng vng góc (ABCD) I lấy S a) Chứng minh: BC vng góc với (SAB), CD vng góc với (SIJ) b) Chứng minh: (SAD) vng góc với (SBC), (SAB) vng góc với (SIJ) c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: (SIM) vng góc với (SBD) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : Sau kiên trì áp dụng SKKN “rèn luyện kĩ giải tốn chứng minh quan hệ vng góc không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược”vào hai lớp 11C3, 11D4 so sánh với lớp 11A4 (năm học 2013-2014) lớp có chất lượng tương đương Tôi thấy học sinh lớp11C3, lớp 11D4 nắm bắt kiến thức tốt có kỹ giải tốn tốt Nhìn chung em giải tương đối tốt dạng toán chứng minh quan hệ vng góc khơng 17 gian, đặc biệt phần trình bày lời giải rõ ràng, xúc tích; Một số có linh hoạt, khéo léo vận dụng cách làm cho dạng tập chứng minh quan hệ song song, tính góc, tính khoảng cách, Qua thực tế giảng dạy lớp 11C3, 11D4, tơi thấy học sinh cịn hứng thú với cách lập sơ đồ tư ngược, cải thiện phần tâm lí “ngại”, “né tránh” em việc giải tốn hình khơng gian Cụ thể, cho lớp 11C3, 11D4 làm đề kiểm tra 45 phút cuối chương III tương đương với đề mà năm học 2013-2014 cho 11A4 làm: Kết điểm lớp sau: Số Giỏi Khá TB Yếu Lớp H SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) S 11A4 42 2,38 16,67 25 59,52 21,43 11C3 46 6,52 12 26,09 28 60,87 6,52 11D4 42 4,76 14 33,33 22 52,38 9,52 Trong đó: + Lớp thực nghiệm 11C3; 11D4 + Lớp đối chứng 11A4 Chất lượng đầu năm 11C3, 11A4 tương đương, 11D4 thấp 11A4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận: Tìm hướng giải khâu quan giải tốn hình khơng gian Phương pháp tìm hướng giải cho tốn chứng minh hình học đặc biệt chứng minh quan hệ vng góc cách lập sơ đồ tư ngược phương pháp dễ làm mà mang lại hiệu cao dạy học Vì tiếp cận dạng toán chứng minh quan hệ vng góc, với ví dụ tập, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách lập sơ đồ tư ngược thông qua hệ thống câu hỏi vấn đáp (Cần lưu ý cho học sinh cách tìm đường lối giải khơng phải lời giải tốn, sơ đồ trình bày bảng nháp) Đồng thời hướng dẫn học sinh trình bày lời giải có sơ đồ tư ngược Trong lập sơ đồ tìm hướng giải, học sinh liên tục phải trả lời câu hỏi làm vậy? Khi học sinh đưa hướng giải khơng ta lại u cầu học sinh trả lời câu hỏi không đúng? (Thường sử dụng phương pháp phản chứng),… để trả lời câu hỏi học sinh liên tục phải sử dụng thao tác tư phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức nên thuận lợi cho việc khắc sâu kiến thức môn học phát triển tư cho người học Đó đích cuối q trình dạy học Bản thân tơi dạy học sinh lớp 11, nhờ áp dụng giải pháp nêu SKKN này, thấy hiệu dạy học nâng cao rõ rệt Tôi tin 18 rằng, đồng nghiệp khác áp dụng SKKN vào thực tiễn dạy học thân, thu kết tốt - Kiến nghị: Bạn đọc phát triển cách làm cho dạng toán khác chứng minh quan hệ song song, tốn góc khoảng cách, chứng minh đẳng thức véc tơ,… Với BGH trường THPT Triệu Sơn 4: Tiếp tục tổ chức báo cáo SKKN hàng năm thân đồng nghiệp thấy hoạt động chun mơn bổ ích Trên vài kinh nghiệm nhỏ tơi q trình thực việc đổi phương pháp dạy học, đề tài không tránh khỏi hạn chế, mong đóng góp quý báu bạn bè, đồng nghiệp để SKKN tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2016 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Liên 19 ... học là: ? ?Rèn luyện kĩ giải toán chứng minh quan hệ vng góc khơng gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược? ?? với ý tư? ??ng: Thông qua việc lập sơ đồ tư ngược để tìm đường lối giải dựa vào sơ đồ. .. đổi phương pháp ? ?Rèn luyện kĩ giải tốn chứng minh quan hệ vng góc khơng gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược? ?? cho hai lớp 11C3 11D4, 11C3 có chất lượng tư? ?ng đương 11A4, 11D4 có chất lượng... khơng gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư ngược? ??vào hai lớp 11C3, 11D4 so sánh với lớp 11A4 (năm học 201 3-2 014) lớp có chất lượng tư? ?ng đương Tôi thấy học sinh lớp1 1C3, lớp 11D4 nắm bắt kiến