0

Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

52 14 0
  • Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/01/2021, 15:55

Trong Chương 6, chúng ta ñã lưu ý rằng các trị thống kê, những con số ñịnh lượng ñược tính từ các ñại lượng mẫu, ñược sử dụng ñể tạo ra những suy luận về các tham số tổng thể, và chúng[r] (1)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi C H Ư Ơ N G Ư ƯỚỚCCLLƯƯỢỢNNGGCCÁÁCCSSỐỐ TTRRUUNNGGBBÌÌNNHHVVÀÀTTỶỶLLVề chương này: Như ñã phát biểu Chương 3, xác suất suy luận từ tổng thể ñến mẫu Sự suy luận thống kê, đảo ngược qui trình này, luận chất tổng thể dựa thơng tin chứa mẫu Chương đến Chương trình bày khái niệm xác suất, phân phối xác suất, phân phối xác suất (chọn mẫu) trị thống kê Mục đích chương ñể chứng minh cho bạn thấy cách thức mà phân phối xác suất sử dụng ñể tạo suy luận tổng thể từ giá trị quan sát ñược trị thống kê mẫu Vì chúng tơi trình bày hai phương pháp nhằm rút suy luận tham số tổng thể - ước lượng thống kê ● (2)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng NGHIÊN CỨU ðIỂN HÌNH CHỌN MẪU: IRS SẼ CHO PHÉP ðIỀU GÌ Sở Thuế Nội ðịa (IRS) không sử dụng việc chọn mẫu thống kê ñể khảo sát khối lượng khổng lồ liệu kế tốn mà cịn cho phép sử dụng việc chọn mẫu thống kê suy luận doanh nghiệp để ước lượng số chi phí hạng mục định việc có liệu xác khơng thực tế Viết chủ đề này, W.L.Fell Jr R.S.Roussey trích dẫn ví dụ doanh nghiệp mà u sách $6 triệu năm $3.8 năm cho khoản mục chi phí thay sửa chữa chi phí khác (Fell 1985)+ Những yêu sách ñược mẫu gồm 350 khoản mục cho năm ñầu tiên 520 khoản mục cho năm thứ hai IRS không tranh cãi việc sử dụng chọn mẫu, qui trình chọn mẫu hay qui mơ mẫu, họ thực phản đối thiếu thơng tin “sai số mẫu” Phân tích liệu mẫu doanh nghiệp này, IRS kết luận chi phí thực thấp khoảng $3.5 triệu $2.8 triệu cho năm thứ thứ hai, khơng ñồng ý $3.4 triệu tổng số $9.8 triệu doanh nghiệp địi hỏi Ví dụ minh chứng nhiều cách thức mà việc chọn mẫu suy luận thống kê có giá trị việc hạch toán Trong chương này, nghiên cứu ước lượng cho nhiều tham số tổng thể hữu ích, sử dụng phân phối xác suất cho ước lượng ñể ñịnh liệu ước lượng gần ñúng ñến mức với tham số tổng thể Sau Phần 7.10, khảo sát tính hợp lý không công nhận khoản yêu sách $3.4 triệu IRS 7.1 TÓM LƯỢC Sáu chương trước làm cho mục đích chương này: hiểu biết suy luận thống kê cách mà suy luận ñược áp dụng cho lời giải vấn ñề thực tiễn Trong Chương 1, ñã phát biểu nhà thống kê học quan tâm ñến việc tạo suy luận tổng thể đại lượng dựa thơng tin chứa đựng mẫu Chúng tơi chứng tỏ cho bạn thấy cách thức ñể thực suy luận - nghĩa là, cách thức mô tả tập hợp ñại lượng - Chương Trong Chương 3, ñã thảo luận xác suất chế ñể tạo suy luận, ñã việc với thảo luận chung phân phối xác suất - phân phối xác suất rời rạc Chương phân phối xác suất liên tục Chương Trong Chương 6, ñã lưu ý trị thống kê, số định lượng tính từ ñại lượng mẫu, ñược sử dụng ñể tạo suy luận tham số tổng thể, tìm cách sử dụng quan trọng phân phối xác suất Chương ðặc biệt là, bạn ñã biết số trị thống kê quan trọng - trung bình tỷ lệ mẫu - có phân phối xác suất mà ñược ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn cỡ mẫu lớn, nhờ vào ðịnh lý Giới hạn Trung tâm Những trị thống kê ñược sử dụng ñể tạo suy luận tham số tổng thể, phân phối xác suất chúng cung cấp phương tiện ñể ñánh giá ñộ tin cậy suy luận + (3)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi 7.2 CÁC LOẠI ƯỚC LƯỢNG Các qui trình ước lượng chia thành hai loại, ước lượng ñiểm ước lượng khoảng Giả sử ñại lý xe Oldsmobile muốn ước lượng lợi nhuận trung bình thương vụ bán xe Sự ước lượng có kết số nhất, ví dụ $935, ước lượng lợi nhuận trung bình thương vụ bán hàng rơi vào khoảng từ $835 đến $1035 Loại hình ước lượng thứ ñược gọi ước lượng ñiểm số ñại diện cho số ước lượng mà với một điểm đường thẳng Loại hình thứ hai, có liên quan đến hai điểm xác ñịnh khoảng ñường thẳng, ñược gọi ước lượng khoảng Chúng ta nghiên cứu phương pháp ước lượng Nhằm xây dựng ước lượng ñiểm hay ước lượng khoảng, sử dụng thông tin từ mẫu hình thức số ước lượng Các số ước lượng hàm số quan sát mẫu thế, theo định nghĩa, trị thống kê ðỊNH NGHĨA Một ước lượng qui luật mà cho biết cách thức tính tốn ước lượng dựa thơng tin mẫu thường thể cơng thức Ví dụ, số trung bình mẫu n x x n i i ∑ = = là ước lượng số trung bình tổng thể µ giải thích xác cách thức mà giá trị số thực sự ước lượng đạt giá trị mẫu x1.x2, ,xn biết Số trung bình mẫu ñược sử dụng ñể ñi ñến số nhằm ước lượng µ hay xây dựng khoảng, hai ñiểm mà ñược dự ñịnh dùng ñể bao quanh giá trị đúng µ ðỊNH NGHĨA Một ước lượng ñiểm tham số tổng thể qui luật mà cho biết cách thức tính tốn số dựa liệu mẫu Con số tạo ñược gọi một ước lượng ñiểm ðỊNH NGHĨA Một ước lượng khoảng tham số tổng thể qui luật mà cho biết cách thức tính tốn hai số dựa liệu mẫu Cặp số ñược gọi ước lượng khoảng hay khoảng tin cậy. Cả hai qui trình ước lượng điểm khoảng ñược phát triển cách sử dụng phân phối mẫu số ước lượng tốt tham số tổng thể xác định Ngồi ra, nhiều trị thống kê khác xây dựng để ước lượng tham số Ví dụ, lấy mẫu n = ñại lượng, 2, 7, 0, 1, 4, từ tổng thể ñối xứng, ước lượng số trung bình tổng thể cách sử dụng số trung bình mẫu 8 14 1 = = = ∑= n x x n i i (4)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng thể ñánh giá ñặc trưng số ước lượng này, so sánh số với số khác, cuối ñịnh số “tốt nhất”? Mức ñộ tốt số ước lượng ñược ñánh giá cách quan sát hành vi chọn mẫu lặp lại Chúng ta xem xét giống sau Trên nhiều khía cạnh, ước lượng ñiểm tương tự với việc bắn súng ngắn ổ quay vào mục tiêu Số ước lượng, mà tạo ước lượng, tương tự với súng ngắn ổ quay; ước lượng cụ thể giống với viên ñạn; tham số quan tâm tương tự ñiểm ñen Chọn mẫu từ tổng thể ước tính giá trị tham số tương tự với việc bắn phát súng vào mục tiêu Giả sử người đàn ơng bắn phát súng vào mục tiêu phát súng trúng điểm đen Trong kỳ tích đáng ngưỡng mộ, liệu kết luận ơng ta xạ thủ cừ khôi? Câu trả lời không - không số lịng giữ mục tiêu phát súng thứ hai ñược bắn ñi ðến mà xác ơng ta quan sát thấy lần bắn ñược lặp ñi lặp lại, với tất phát súng ñều trúng vào gần điểm đen, tuyên bố ông ta tay súng giỏi Giả sử xem xét số ước lượng tham số tổng thể ví dụ µ, σ, hay p Một số ñặc trưng ñáng mong muốn số ước lượng gì? Về bản, có hai đặc trưng, chúng thấy cách quan sát phân phối mẫu cho Hình 7.1 7.2 Thứ nhất, muốn phân phối mẫu ñược tập trung trung tâm qua giá trị thật tham số Như thế, muốn số trung bình phân phối mẫu này với giá trị ñúng tham số ñó Một số ước lượng gọi khơng bị lệch HÌNH 7.1 Những phân phối cho ước lượng bị lệch không bị lệch Số ước lượng không bị lệch Số ước lượng bị lệch (5)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi HÌNH 7.2 So sánh biến ñổi ước lượng ðỊNH NGHĨA Một ước lượng tham số cho khơng bị lệch số trung bình phân phối ước lượng với giá trị tham số Nếu khơng ước lượng đó cho bị lệch. Các phân phối mẫu cho số ước lượng không bị lệch số ước lượng bị lệch trình bày Hình 7.1 Phân phối mẫu cho ước lượng bị lệch Hình 7.1 bị dịch chuyển sang phía bên phải giá trị tham số Ước lượng bị lệch có khả xảy nhiều ước lượng không bị lệch việc ước tính mức giá trị tham số ðặc trưng thứ hai ñáng mong ước ước lượng khoảng rộng (ñược ño bằng phương sai) phân phối mẫu phải nhỏ tốt ðiều ñảm bảo rằng, với một xác suất cao, ước lượng riêng lẻ rơi gần vào giá trị ñúng tham số Các phân phối mẫu cho hai ước lượng không bị lệch, với phương sai nhỏ+ ước lượng với phương sai lớn hơn, trình bày Hình 7.2 ðương nhiên thích ước lượng với phương sai nhỏ ước lượng có xu hướng nằm gần với giá trị ñúng tham số với phương sai lớn Trong tình trạng chọn mẫu sống thật, bạn biết phân phối mẫu ước lượng ñiểm tập trung quanh tham số mà bạn ñang cố gắng ước lượng, nhưng tất thứ mà bạn có ước lượng ñược tính từ n ñại lượng ñược chứa mẫu Sự ước lượng bạn nằm cách giá trị ñúng tham số xa chừng nào? Khoảng cách số ước lượng giá trị ñúng tham số ñược gọi sai số ước lượng cung cấp ñại lượng mức ñộ tốt ước lượng ñiểm ðỊNH NGHĨA Khoảng cách số ước lượng tham số ñược ước lượng ñược gọi sai số ước lượng. + Các nhà thống kê thường sử dụng thuật ngữ phương sai số ước lượng thực tế họ ám phương sai của phân phối mẫu số ước lượng Thành ngữ rút gọn sử dụng phổ biến Ước lượng với phương sai nhỏ Ước lượng với phương sai lớn (6)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Mức ñộ tốt ước lượng khoảng phân tích giống phần lớn cách thức mà người ta phân tích số ước lượng điểm Những mẫu có cỡ chọn lặp ñi lặp lại từ tổng thể, ước lượng khoảng tính tốn cho lần chọn mẫu Qui trình tạo số lượng lớn khoảng ñiểm Một ước lượng ñiểm tốt bao quanh cách thành cơng giá trị tham số phần lớn thời gian “Tỷ lệ thành công” ñược xem hệ số tin cậy cung cấp ñại lượng mức ñộ tốt số ước lượng khoảng ðỊNH NGHĨA Xác suất mà khoảng tin cậy bao quanh tham số ñược ước lượng ñược gọi hệ số tin cậy. Sự chọn lựa ước lượng “tốt nhất” - cơng thức phù hợp để sử dụng việc tính tốn ước lượng - có liên quan ñến so sánh phương pháp ước lượng khác ðây nhiệm vụ nhà thống kê lý thuyết vượt khỏi phạm vi chương Xuyên suốt phần lại chương chương tiếp theo, tổng thể tham số quan tâm định nghĩa ước lượng thích hợp trình bày với đại lượng mức độ tốt 7.3 SỰ ƯỚC LƯỢNG CHO MẪU LỚN Ước lượng ðiểm Giả định có ước lượng khơng bị lệch mà phân phối mẫu chuẩn hay ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn Chúng ta biết 95% giá trị số ước lượng rơi vào bên 1.96 lần ñộ lệch chuẩn số trung bình nó, tham số mà ta quan tâm Như thế, sai số ước lượng, ñược ñịnh nghĩa khác biệt ước lượng ñiểm cụ thể với tham số mà ước lượng được, phải nhỏ 1.96 lần ñộ lệch chuẩn số ước lượng với xác xuất xấp xỉ với 0.95 (Tham khảo Hình 7.3) ðại lượng tạo giới hạn ñối với sai số ước lượng mà thường ñược gọi biên sai số ước lượng Mặc dù có 5% may sai số ước lượng vượt q biên sai số, điều có khả xảy HÌNH 7.3 Phân phối mẫu ước lượng không bị lệch Số ước lượng mẫu Giá trị ñúng Một ước lượng cụ thể Sai số của ước lượng (7)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Ước lượng ðiểm cho Tham số Tổng thể ước lượng điểm: trị thống kê tính tốn cách sử dụng ñại lượng mẫu Biên sai số: 1.96 x ñộ lệch chuẩn số ước lượng Ước lượng Khoảng Khi xây dựng ước lượng khoảng cho tham số, xác định hai điểm mà bên khoảng mong ñợi giá trị tham số chưa biết ñó rơi vào Những ước lượng khoảng ñược xây dựng ñể cho chọn mẫu lặp lại tỷ lệ lớn (gần với 1) khoảng bao quanh tham số quan tâm Tỷ lệ ñược gọi hệ số tin cậy, khoảng tạo gọi khoảng tin cậy Ví dụ, ước tính số trung bình tổng thể với khoảng tin cậy, nói “xác suất mà khoảng bao quanh µ,” khơng phải “xác suất mà µ rơi vào khoảng đó,” giá trị µ cố định khoảng chứa ñiểm cuối ngẫu nhiên Một khoảng tin cậy mẫu lớn dựa số ước lượng không bị lệch ñược phân phối chuẩn hay xấp xỉ chuẩn có cách đo 1.96 x (độ lệch chuẩn số ước lượng này) phía số ước lượng điểm Bởi biết 95% ước lượng ñiểm nằm 1.96 lần độ lệch chuẩn số trung bình tổng thể, 95% khoảng ñược lập nên theo cách phải bao quanh số trung bình tổng thể Một khoảng thất bại trong việc bao quanh số trung bình số ước lượng ñiểm nằm xa 1.96 lần độ lệch chuẩn tính từ số trung bình, điều xảy với xác suất 0.05 Hình 7.4 cho thấy cách thức mà ñiều vận hành x ñược sử dụng số ước lượng µ HÌNH 7.4 Các giới hạn ñộ tin cậy 95% số trung bình tổng thể Nói chung, thay ñổi hệ số tin cậy cách thay ñổi giá trị 96 25 = z Nếu mong muốn có hệ số tin cậy với 1−α,thì chọn giá trị zα/2mà có α/2 đoạn phân phối chuẩn chuẩn hóa Giá trị tìm thấy Bảng Phụ lục II Một giá trị cụ thể x LCL µ UCL x x σ 96 (8)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Khi cỡ mẫu lớn số ước lượng ñược phân phối chuẩn hay phân phối xấp xỉ chuẩn, ước lượng khoảng tin cậy (1 - α) 100% cho tham số tổng thể chưa biết được thể phần trình bày sau Một Khoảng Tin cậy Mẫu Lớn (1 - αααα) 100% (Số ước lượng ñiểm) ± zα/2x (Sai số chuẩn số ước lượng) trong ñó zα/2là giá trị z tương ứng với diện tích α/2 đoạn phân phối chuẩn chuẩn hóa Cơng thức tạo hai giá trị, giới hạn tin cậy thấp (LCL) giới hạn tin cậy cao (UCL). Một số khoảng tin cậy phổ biến, hệ số tin cậy, giá trị z chúng ñược cho Bảng 7.1 BẢNG 7.1 Các giới hạn tin cậy cho ước lượng khoảng cho mẫu lớn Khoảng Tin cậy αααα zαααα/2 0.90 0.10 1.645 0.95 0.05 1.96 0.99 0.01 2.58 Xuyên suốt phần lại chương này, bạn thấy cách thức mà cơng thức chung cho ước lượng điểm khoảng cho mẫu lớn áp dụng cho tổng thể tham số cụ thể ñược quan tâm Các bạn học hỏi cách thức điều chỉnh cơng thức chung cỡ mẫu không lớn 7.4 SỰ ƯỚC LƯỢNG CHO MẪU LỚN VỀ SỐ TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Những vấn đề thực tiễn thường dẫn ñến ước lượng số trung bình tổng thể µ Chúng ta có lẽ quan tâm đến điểm số trung bình sinh viên theo học Thạc sĩ Quản trị Kinh doanh (MBA) trường ñại học cụ thể, ñến sức chịu lực trung bình loại thép mới, đến số trung bình số người chết bình qn đầu người giai cấp xã hội ñã biết, hay ñến nhu cầu trung bình ñối với sản phẩm Nhiều số ước lượng sẵn có cho việc ước lượng số trung bình tổng thể µ, bao gồm số trung vị mẫu, số trung bình đại lượng lớn nhỏ mẫu, số trung bình mẫu x Mỗi số ước lượng có phân phối mẫu và, tùy thuộc vào tổng thể vấn đề thực tiễn có liên quan, mà có ưu hay bất lợi ñịnh Mặc dù số trung vị mẫu trung bình giá trị cao thấp mẫu dễ tính tốn hơn, số trung bình mẫu x thường ưu việt chổ, ñối với số tổng thể, phương sai tối thiểu và, khơng quan tâm đến tổng thể, thì ln ln khơng bị lệch Phân phối mẫu số trung bình mẫu x , mà thảo luận Phần 6.3, có bốn đặc trưng quan trọng: • Phân phối mẫu x xấp xỉ chuẩn mà khơng quan tâm đến phân phối xác suất tổng thể ñược chọn mẫu n lớn (9)William Mendenhall cộng Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi • Số trung bình phân phối mẫu x ln ln với µ Vì x số ước lượng khơng b lch ca ã lch chun ca phân phối mẫu x , cịn gọi ñộ lệch chuẩn số trung bình, σx/ n Số ước lượng x thỏa mãn tất điều kiện trình bày Phần 6.3, cơng thức chung áp dụng cho ước lượng ñiểm khoảng Số Ước lượng ðiểm số Trung bình Tổng thể µ Số ước lượng điểm: x Biên sai số: 1.96σx =1.96σ/ n Một Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% cho Mẫu Lớn ñối với số Trung bình Tổng thể µ n z x± α/2 σ trong zα/2là giá trị z tương ứng với diện tích nằm ñoạn phân phối z chuẩn chuẩn hóa n = cỡ mẫu σ = ñộ lệch chuẩn tổng thể ñược chọn mẫu Nếu σ chưa biết, đại lượng ước lượng xấp xỉ độ lệch chuẩn của mẫu s cỡ mẫu lớn.+ Giả định: n ≥ 30 VÍ DỤ 7.1 Một tổ chức nghiên cứu tiếp thị ñược thuê ñể ước lượng số trung bình lãi suất cho vay bản ngân hàng ñặt vùng phía tây Hoa Kỳ Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 50 ngân hàng ñược chọn nội vùng này, lãi suất ñược ghi nhận cho ngân hàng Trung bình độ lệch chuẩn cho 50 lãi suất % = x s = 0.24 Hãy ước lượng số trung bình lãi suất cho tồn khu vực, tìm biên sai số với ước lương Lời giải Ước lượng số trung bình lãi suất x=8.1% Biên sai số 50 96 96 96 1 σ = σ = σ n x Mặc dù σ chưa biết, cỡ mẫu lớn, ước lượng xấp xỉ giá trị σ cách sử dụng s Như vậy, biên sai số xấp xỉ 07 0665 50 24 96 96 1 = = ≈ n s + (10)William Mendenhall cộng 10 Biên dịch: Hải ðăng Chúng ta cảm thấy tin tưởng ước lượng 8.1% nằm 0.07% số trung bình lãi suất VÍ DỤ 7.2 Tìm khoảng tin cậy 90% cho số trung bình tỷ lệ cho vay thảo luận Ví dụ 7.1 Lời giải Khoảng tin cậy 90% số trung bình tỷ lệ cho vay µ x z x± 0.05σ hoặc n x±1.645 σ Thay x =8.1% n = 50 sử dụng s = 0.24% ñể ước lượng xấp xỉ σ, có 50 24 ) 645 ( ± hay 0558 ± Như vậy, ước lượng số trung bình lãi suất cho vay nhằm 8.0442% 8.1558% Liệu nói khoảng cụ thể bao quanh µ khơng? Khơng, tin tưởng việc này, khoảng ñược lập nên theo cách bao quanh µ 90% thời gian ðối với cỡ mẫu cố ñịnh, bề rộng khoảng tin cậy tăng lên hệ số tin cậy gia tăng, kết mà ñồng ý với trực giác Chắc mong muốn tin tưởng khoảng bao quanh µ, tăng bề rộng khoảng Bởi ưa thích khoảng tin cậy hẹp hệ số tin cậy lớn hơn, nên phải ñạt ñược thỏa hiệp việc lựa chọn hệ số tin cậy Lựa chọn hệ số tin cậy sử dụng tình cho trước thực người làm thí nghiệm tùy thuộc vào mức ñộ tin cậy mà người làm thí nghiệm mong muốn đặt ước lượng Phần lớn khoảng tin cậy ñược lập nên cách sử dụng trong ba hệ số tin cậy trình bày Bảng 7.1 Hệ số tin cậy phổ biến có lẽ khoảng tin cậy 95% Việc sử dụng khoảng tin cậy 99% phổ biến bề rộng khoảng lớn ñược tạo Dĩ nhiên, lúc bạn giảm bớt bề rộng cách gia tăng cỡ mẫu n Ngồi khoảng tin cậy hai phía (mà ñơn giản gọi khoảng tin cậy), xây dựng các khoảng tin cậy phía cho tham số Một khoảng tin cậy phía thấp cho tham số cho giới hạn tin cậy thấp (11)William Mendenhall cộng 11 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi LCL = (số ước lượng ñiểm) - z x (ñộ lệch chuẩn số ước lượng) α và UCL = (số ước lượng ñiểm) + z x (ñộ lệch chuẩn số ước lượng) α VÍ DỤ 7.3 Một cơng ty lên kế hoạch cho việc phát hành kỳ phiếu ngắn hạn hy vọng lãi suất mà cơng ty phải trả khơng vượt q 11.5% ðể có số thơng tin lãi suất trung bình mà cơng ty kỳ vọng chi trả, doanh nghiệp đưa thị trường 40 kỳ phiếu, kỳ phiếu thông qua 40 công ty mơi giới Số trung bình độ lệch chuẩn cho 40 lãi suất % 10 = x s = 0.31% Bởi cơng ty quan tâm đến giới hạn cao ñối với lãi suất mà công ty trả, tìm khoảng tin cậy 95% phía cho lãi suất trung bình mà cơng ty trả cho kỳ phiếu Lời giải Bởi hệ số tin cậy 0.95, α = 0.05 z0.05 =1.645.Do vậy, khoảng tin cậy 95% phía cho µ x z x+ 0.05σ hoặc n x+1.645 σ Thay x = 10.3, n = 40, s = 0.31 ñể ước lượng σ, có khoảng tin cậy phía UCL = 40 31 ) 645 ( 10 + hay UCL = 10.3 + 0.0806 = 10.3806 Vì thế, ước lượng lãi suất trung bình mà doanh nghiệp trả cho kỳ phiếu thấp 10.3806% Chúng ta tin tưởng kết luận này? Chúng ta tin tưởng, ta biết khoảng ñược lập theo cách bao quanh µ 95% thời gian Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.1 Giải thích “biên sai số ước lượng” nghĩa 7.2 Tìm biên sai số ước lượng số trung bình tổng thể µ cho: a n=40,σ2=4 b n=100,σ2=0.9 c n=50,σ2=12 7.3 Tìm biên sai số ước lượng số trung bình tổng thể µ cho: (12)William Mendenhall cộng 12 Biên dịch: Hải ðăng c n=100,σ =0.01 7.4 Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể µ cho: a n=36,x=13.1,s2=3.42 b n=64,x=2.73,s2=0.1047 c n=41,x =28.6,s2 =1.09 7.5 Tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể µ cho: a n=125,x=0.84,s2=0.086 b n=50,x =21.9,s2=3.44 c n=46,x =907,s2 =128 7.6 Tìm khoảng tin cậy (1 - α) 100% cho trung bình tổng thể µ cho: a α =0.1,n=38,x =34,s2=12 b α=0.10,n=65,x=1049,s2 =51 c α =0.05,n=89,x =66.3,s2=2.48 7.7 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n ñại lượng ñược chọn từ tổng thể với số trung bình chưa biết µ độ lệch chuẩn biết σ = 10 Hãy tính bề rộng khoảng tin cậy 95% cho µ cho giá trị sau ñây n a n=100 b n=200 c n=400 7.8 So sánh khoảng tin cậy Bài tập 7.7 Ảnh hưởng lên bề rộng khoảng tin cậy trong ñiều kiện ñây a Bạn nhân đơi cỡ mẫu b Bạn nhân bốn cỡ mẫu 7.9 Tham chiếu lại Bài tập 7.7 a Tính tốn bề rộng khoảng tin cậy 90% cho µ n = 100 b Tính tốn bề rộng khoảng tin cậy 99% cho µ n = 100 c So sánh bề rộng khoảng tin cậy 90%, 95% 99% cho µ Việc gia tăng hệ số tin cậy có tác động ñến bề rộng khoảng tin cậy? Các Ứng dụng 7.10 Một gia tăng tỷ lệ tiết kiệm người tiêu dùng thường ñược gắn chặt với thiếu tin tưởng vào kinh tế ñược cho báo xu hướng suy thoái kinh tế Chọn mẫu ngẫu nhiên n = 200 tài khoản tiết kiệm cộng ñồng ñịa phương cho thấy gia tăng trung bình tài khoản tiết kiệm 7.2% vịng 12 tháng qua độ lệch chuẩn 5.65 Ước lượng gia tăng tỷ lệ phần trăm trung bình giá trị tài khoản tiết kiệm 12 tháng qua ñối với người gởi tiền cộng đồng Hãy tính biên sai số ước lượng 7.11 Phần lớn yêu cầu toán bảo hiểm y tế công ty nhỏ nằm khoảng (13)William Mendenhall cộng 13 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi tổng thể tất u cầu tốn có, sử dụng x để ước tính số trung bình tổng thể µ a Biên sai số ước lượng bao nhiêu? b Liệu bạn thực phát biểu xác xác suất ñể cho biên sai số thấp biên phần (a) hay không? Hãy giải thích 7.12 Trong báo lựa chọn chuyên ngành ñại học, Jake Batsell (1994) báo cáo phần lớn nhà tư vấn học thuật khuyến khích sinh viên thực ñịnh khoảng năm thứ hai ñại học Một nhân tố mà thường xuất ñịnh mức lương khởi ñầu cho công việc ñi với chuyên ngành khác Các lĩnh vực nóng ghi nhận Khoa học Máy tính Kỹ sư Hóa, với tiền lương bình quân $41,800 $39,400 Tiền lương bình quân cho chuyên ngành khác ñược quan tâm ñược liệt kê ñây Chuyên ngành Tiền lương Khởi đầu Bình qn Quản trị Nhân $32,600 Kế tốn 28,600 Quản trị Tài 26,700 Tiếp thị/Bán hàng 24,100 Truyền thông 22,909 Bán lẻ 22,500 Quảng cáo 21,400 Chúng ta giả định mức tiền lương bình qn dựa mẫu có cỡ 100 a Nếu ñộ lệch chuẩn cho Quản trị Nhân $1000, tìm ước lượng khoảng tin cậy 95% cho tiền lương khởi đầu bình qn thực tế cho chuyên ngành Quản trị Nhân b Tìm ước lượng điểm cho tiền lương khởi đầu bình qn thực tế cho chuyên ngành Tiếp thị/Bán hàng ñộ lệch chuẩn $800 Biên sai số ñi với ước lượng bao nhiêu? c Xây dựng khoảng tin cậy 98% cho tiền lương khởi ñầu bình qn thực tế chun ngành Truyền thơng độ lệch chuẩn σ = $800 7.13 Nếu bạn thuê hộ bạn nghĩ tiền thuê cao, phần tiền thuê nhà mà bạn ñang trả lãi suất cao tiền ñi vay Lãi suất vào ngày tháng Chín tới bao nhiêu? Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 32 nhà dự báo kinh tế cho số trung bình x =11.7%và độ lệch chuẩn s = 2.1% Nếu dự báo nhà dự báo “không bị lệch” - nghĩa là, số trung bình tổng thể dự báo tất nhà dự báo kinh tế với lãi suất thực tế vào mùa thu - tìm khoảng tin cậy 90% cho lãi suất vào ngày tháng Chín 7.14 Một nhân viên nhân cơng ty muốn ước lượng thời gian trung bình lần xảy tai nạn nhân mà tạo tiềm cho vụ kiện tụng pháp lý Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 30 nạn từ hồ sơ lưu trữ cơng ty vào thời gian x tai nạn tai nạn trước cho số trung bình mẫu x =42.1ngày ñộ lệch chuẩn s = 19.6 ngày Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho thời gian trung bình lần xảy tai nạn nhân mà có tiềm gây vụ kiện tụng pháp lý (14)William Mendenhall cộng 14 Biên dịch: Hải ðăng 7.5 SỰ ƯỚC LƯỢNG CHO MẪU NHỎ VỀ SỐ TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Qui trình cho mẫu lớn việc ước lượng số trung bình tổng thể mà thảo luận Phần 7.4 ñược dựa hai kiện Thứ nhất, cỡ mẫu lớn, phân phối số trung bình mẫu có phân phối chuẩn với số trung bình µ độ lệch chuẩn σ/ n, hay xấp xỉ ðịnh lý Giới hạn Trung tâm Thứ hai, giá trị ñộ lệch chuẩn tổng thể σ chưa ñược biết cỡ mẫu lớn, độ lệch chuẩn mẫu s sử dụng số ước lượng đáng tin cậy cho σ cơng thức σx =σ/ n Tuy nhiên, giới hạn chi phí, hạn chế thời gian, nhân tố khác thường làm hạn chế cỡ mẫu mà ñược lựa chọn ñể cho qui trình mẫu lớn khơng áp dụng được Khi cỡ mẫu nhỏ, phân phối mẫu x biến thiên lớn nhiều so với số ước lượng σ/ n Khi tổng thể chọn mẫu có phân phối chuẩn σ biết, số trung bình mẫu x có phân phối chuẩn với số trung bình µ độ lệch chuẩn σ/ n,và trị thống kê: n x / σ µ − có phân phối chuẩn chuẩn hóa cho tất cỡ mẫu Bây ta nói điều phân phối trị thống kê n s x / µ − khi σ chưa ñược biết n nhỏ? Phân phối trị thống kê n s x t / µ − = cho mẫu ñược chọn từ tổng thể phân phối chuẩn ñược phát W S Gosset xuất (1908) bút danh Student Ơng ám đại lượng nghiên cứu t từ đó đại lượng gọi t Student Chúng ta bỏ qua biểu thức tốn học phức tạp hàm mật độ t mơ tả số đặc trưng Phân phối mẫu trị thống kê kiểm ñịnh t, ñược gọi phân phối t, giống z, có hình dạng gị hồn tồn đối xứng qua t = Tuy nhiên, đại lượng biến thiên lớn nhiều so với z, nhỏ dần cách nhanh chĩng phía bên phải bên trái, tượng mà cĩ thể giải thích cách sẵn sàng ðộ biến thiên z việc chọn mẫu lặp lại x ; đại lượng khác xuất z (n, µ, σ) khơng phải ngẫu nhiên Trái lại, độ biến thiên t đĩng gĩp hai đại lượng ngẫu nhiên, x s, mà cĩ thể chứng minh độc lập với Vì x lớn, s cĩ thể nhỏ, ngược lại Kết là, t biến thiên nhiều so với z việc chọn mẫu lặp lại (xem Hình 7.5) Cuối cùng, cĩ lẽ đốn, độ biến thiên t giảm n tăng lên s, ước lượng σ, ngày nhiều thơng tin Khi n vơ lớn, phân phối t z đồng Vì Gosset phát phân phối t phụ thuộc vào cỡ mẫu n Ước số tổng bình phương ñộ lệch, (n - 1) mà xuất công thức cho 2 (15)William Mendenhall cộng 15 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi liên tưởng với lý thuyết thống kê tảng phân phối xác suất s liên quan ñến số lượng độ lệch bình phương độc lập sẵn có cho việc ước lượng σ2 HÌNH 7.5 z chuẩn chuẩn hóa phân phối t dựa n = ñại lượng (5 d.f) Các giá trị t có diện tích định rõ phía bên phải chúng trình bày Bảng Phụ lục II Bảng ñược chép phần Bảng 7.2 Giá trị bảng ta ghi lại giá trị t ñể cho diện tích a nằm phía bên phải nó, thấy Hình 7.6 Bậc tự ñi với t, d.f., ñược thể cột ñầu tiên cuối bảng (xem Bảng 7.2), ta tương ứng với giá trị khác a xuất dịng đầu tiên Vì thế, muốn tìm giá trị t 5% diện tích nằm phía bên phải nó, sử dụng cột có nhãn t0.05 Ví dụ, giá trị t0.05 n = 6, ñược tìm thấy cột t0.05 ñối qua bậc tự d.f = (n - 1) = (6 - 1) = 5, t = 2.015 (được đóng khung Bảng 7.2) Lưu ý ñối với diện tích có đoạn cuối cố định, giá trị đoạn cuối phía bên phải t ln ln lớn giá trị tương ứng đoạn cuối phía bên phải z Ví dụ, α = 0.05, giá trị đoạn cuối phía bên phải t cho n = (d.f = n -1 = 1) 6.314, lớn so với giá trị tương ứng z0.05 = 1.645 Dò xuống cột t0.05, lưu ý giá trị t giảm ñi, qua ñó phản ảnh tác ñộng cỡ mẫu lớn (nhiều bậc tự hơn) lên ước lượng σ Cuối cùng, n vơ lớn, giá trị t0.05 với z0.05 = 1.645 Lý chọn n = 30 (một chọn lựa tùy ý) làm ñường phân chia mẫu lớn nhỏ ñã rõ ràng Khi n = 30 (d.f = 29), giá trị đoạn cuối phía bên phải t0.05 = 1.699 mặt số học gần với z0.05 1.645 Với a = 0.035 ñoạn cuối bên phải n = 30, giá trị đoạn cuối phía bên phải t 2.045, mà gần với giá trị z0.025= 1.96 HÌNH 7.6 Các giá trị bảng t Student 0 t f(t) f(t) Phân phối chuẩn Phân phối t Diện tích = a f(t) (16)William Mendenhall cộng 16 Biên dịch: Hải ðăng BẢNG 7.2 ðịnh dạng bảng t Student, Bảng Phụ lục II d.f t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005 d.f 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 1.533 2.132 2.776 3.747 4,604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4,032 1.440 1,943 2.447 3.143 3,707 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 26 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29 inf 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 inf Lưu ý t Student giá trị bảng tương ứng ñược giả ñịnh tổng thể chọn mẫu có phân phối xác suất chuẩn ðiều dường giả ñịnh rất nghiêm ngặt, nhiều tình chọn mẫu, đặc trưng tổng thể hồn tồn chưa biết khơng chuẩn Nếu tính khơng chuẩn tổng thể ảnh hưởng nghiêm trọng ñến phân phối trị thống kê t, việc áp dụng số kiểm tra t sẽ hạn chế May mắn người ta chứng minh phân phối trị thống kê t gần có hình dạng với phân phối theo lý thuyết t cho tổng thể mà không chuẩn sở hữu phân phối xác suất có hình dạng gị ðặc trưng trị thống kê t xảy phổ biến phân phối có hình dạng gị liệu tự nhiên ñã làm gia tăng giá trị t Student sử dụng cho việc suy luận thống kê Khi xây dựng số ước lượng khoảng tin cậy µ dựa phân phối t, ñơn giản thay giá trị bảng z giá trị bảng tương ứng t Tính hợp lý sử dụng để lập nên số ước lượng khoảng cho mẫu lớn µ áp dụng ñược, ngoại trừ rằng phân phối ám t thay z Trong Hình 7.7(a), (1 - α) 100% giá trị t nằm bên khoảng (tα/2,tα/2); tương tự vậy, Hình 7.7(b), (1 - α) 100% giá trị biến số ngẫu nhiên x nằm bên tα/2, ñộ lệch chuẩn ñược ước lượng giá trị µ Vì vậy, có xác suất (1 - α) ước lượng khoảng n s t x± α/2 (17)William Mendenhall cộng 17 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi HÌNH 7.7 Các phân phối mẫu (a) n s x t / µ − = (b) x Ước lượng Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% số Trung bình µ n s t x± α/2 trong s độ lệch chuẩn mẫu, s / nlà ñộ lệch chuẩn ñược ước lượng x, t có (n - 1) d.f Giả ñịnh: Mẫu ñược chọn ngẫu nhiên từ tổng thể mà có phân phối chuẩn (hay xấp xỉ vậy) VÍ DỤ 7.4 Một thí nghiệm tiến hành nhằm đánh giá qui trính cho việc sản xuất kim cương tổng hợp Sáu viên kim cương ñã ñược tạo từ qui trình này, với trọng lượng ñược ghi nhận 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57, 0.54 cara Hãy tìm ước lượng khoảng tin cậy 95% cho µ, trọng lượng trung bình thực tế viên kim cương sản xuất qui trình Lời giải Sử dụng phương pháp Chương 2, bạn kiểm định số trung bình độ lệch chuẩn mẫu cho sáu trọng lượng 53 = x s = 0.0559 Giá trị bảng t với 0.025 ñoạn cuối phía bên phải, dựa n - = - = bậc tự do, tìm thấy Bảng Phụ lục II 571 025 = t 0 ) 1 ( −α ) ( −α 2 / α / α 2 / α α/2 2 / α ttα/2 n s tα/2 µ− n s tα/2 µ+ µ a (18)William Mendenhall cộng 18 Biên dịch: Hải ðăng Thay giá trị vào cơng thức tính số ước lượng khoảng tin cậy cho 6 0559 ) 571 ( 53 025 0 = ± ± n s t x hay 59 53 ± Ước lượng khoảng cho µ từ 0.471 đến 0.589 với hệ số tin cậy với 0.95 Nếu người làm thí nghiệm muốn phát gia tăng nhỏ trọng lượng trung bình kim cương vượt 0.5 cara, bề rộng khoảng phải giảm bớt cách có nhiều ñại lượng trọng lượng kim cương Gia tăng cỡ mẫu làm giảm 1/ n lẫn tα/2 làm giảm bề rộng khoảng Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.16 Tìm giá trị t a t0.05 cho bậc tự (d.f.) b t0.025 cho d.f c t0.10 cho 18 d.f d t0.025 cho 30 d.f 7.17 Tìm ta biết P(t>ta)=a a a = 0.10, 12 d.f b a = 0.01, 25 d.f c a = 0.05, 16 d.f 7.18 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = quan sát từ tổng thể có phân phối chuẩn tạo liệu sau ñây: 6.2, 5.8, 7.1, 6.3, 6.9, 5.7 a Tính x s cho liệu b Tìm khoảng tin cậy 90% cho trung bình tổng thể µ c Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể µ So sánh bề rộng khoảng với khoảng tính câu (b) 7.19 Mười hai quan sát ñược chọn ngẫu nhiên từ tổng thể chuẩn, tạo x=125.12 s = 12.3 a Tìm khoảng tin cậy 98% cho trung bình tổng thể µ b Tìm khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng thể µ c Giải thích khoảng tìm câu (a) (b) Các Ứng dụng 7.20 Với lãi suất chấp nhà cửa ñang xu ñi lên chậm lãi suất trung bình phổ biến 8.7%, ngân hàng ñịnh ñiều tra kỳ vọng lãi suất chấp người nộp hồ sơ chấp nhà ngân hàng họ Một mẫu ngẫu nhiên gồm mười người nộp hồ sơ gần ñây tìm thấy trung bình kỳ vọng lãi suất người nộp hồ sơ (19)William Mendenhall cộng 19 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi a Nếu phân phối lãi suất chấp nhà cửa ñược giả ñịnh xấp xỉ phân phối chuẩn tắc, tìm khoảng tin cậy 90% cho kỳ vọng lãi suất trung bình người nộp hồ sơ vay chấp nhà ngân hàng Giải thích khoảng b Liệu khoảng ñược tạo câu (a) có chứa lãi suất trung bình 8.7% mà phổ biến khu vực thị trường ngân hàng này? Liệu ñiều dẫn bạn ñến việc tin kỳ vọng lãi suất chấp trung bình người nộp hồ sơ vay chấp ngân hàng thấp lãi suất trung bình phổ biến 8.7% hay khơng? Giải thích 7.21 Các biến phí, chủ yếu lao động, khiến cho lợi nhuận việc xây nhà thay ñổi từ ñơn vị nhà sang ñơn vị nhà khác Một công ty xây dựng nhà ống tiêu chuẩn cần làm mức lợi nhuận bình quân vượt $8500 nhà nhằm ñạt ñược mục tiêu lợi nhuận hàng năm Các khoản lợi nhuận tính nhà cho năm ñơn vị nhà gần ñây công ty xây dựng $8760, $6370, $9620, $8200, $10,350 a Tìm khoảng tin cậy 95% cho lợi nhuận trung bình đơn vị nhà công ty xây dựng Giải thích khoảng b Liệu khoảng tạo câu (a) có chứa $8500 hay khơng? Liệu bạn có kết luận cơng ty xây dựng ñang hoạt ñộng mức lợi nhuận mong muốn? 7.22 Giá trung bình tính đơla cho số n = 21 tivi 27 inch ñược ñề cập Bài tập 6.41 (“Xếp hạng: tivi 27 inch”, 1994) ñược cho bảng sau: 380 590 585 670 699 530 560 430 610 565 705 475 565 580 405 385 465 425 390 450 390 a Tìm trung bình độ lệch chuẩn giá b Xây dựng khoảng tin cậy 99% cho giá bình quân chung 21 nhãn hiệu/mẫu tivi 27 inch này, không bao gồm mẫu Sony KV-27XBR26 c Nếu giá bình qn tivi Sony, $1085, thêm vào, bạn ước lượng bạn câu (b) thay ñổi sao? d Liệu giá bình quân tivi Sony xem quan sát nằm ngồi? 7.23 Bảng sau liệt kê tăng trưởng tỷ lệ phần trăm thu nhập cá nhân bình qn đầu người cho 11 vùng thị từ năm 1988 đến 2000, dự báo Bộ Thương mại Hoa Kỳ Vùng thị Tăng trưởng Tỷ lệ Phần trăm Thu nhập Bình quân ðầu người Anaheim 13.6 Atlanta 14.2 Cleveland 17.2 Detroit 15.3 Fort Lauderdale, FL 16.0 Jacksonville, FL 16.2 New Orleans 18.7 New York 15.3 Pittsburgh 15.8 (20)William Mendenhall cộng 20 Biên dịch: Hải ðăng Seattle 15.5 Nguồn: Bộ Thương mại Hoa Kỳ, The Press Enterprise, 12 tháng Mười, 1990, trang a Nếu dự báo tượng trưng cho mẫu ngẫu nhiên dự báo tăng trưởng cho tất vùng thị Hoa Kỳ, tìm khoảng tin cậy 98% cho tăng trưởng phần trăm trung bình dự báo thu nhập cá nhân bình qn đầu người cho tất vùng đơ thị Hoa Kỳ giai ñoạn 1988-2000 (Tổng thể tăng trưởng phần trăm thu nhập cá nhân bình quân ñầu người ñược giả ñịnh có phân phối xấp xỉ chuẩn.) b Liệu có khả xảy tăng trưởng phần trăm trung bình dự báo câu (a) với tăng trưởng phần trăm trung bình thực tế năm 2000 hay khơng? Giải thích 7.6 ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT GIỮA HAI SỐ TRUNG BÌNH Một vấn đề có tầm quan trọng không cho việc ước lượng số trung bình tổng thể so sánh hai số trung bình tổng thể Ví dụ, có lẽ mong muốn ước lượng khác biệt hai tiểu bang qui mơ trung bình u cầu tốn loại hình bảo hiểm xe cộ Ước lượng ñược mẫu ngẫu nhiên ñộc lập yêu cầu tốn chọn lựa số u cầu ñược lưu hồ sơ hai tiểu bang Hoặc có lẽ mong muốn so sánh suất sinh lợi bình qn nhà máy hóa chất sử dụng ngun vật liệu thơ cung cấp hai nhà cung ứng, A B Các mẫu suất sinh lợi hàng ngày, cho số hai nhà cung ứng này, ñược ghi nhận sử dụng ñể tạo suy luận có liên quan ñến khác biệt suất sinh lợi trung bình ðối với số mẫu có hai tổng thể, tổng thể thứ với trung bình phương sai µ1và σ12và tổng thể thứ hai với trung bình phương sai µ2và σ22 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n1 ñại lượng ñược chọn từ tổng thể n2 từ tổng thể 2, mà mẫu giả định rút cách ñộc lập với Cuối cùng, ước lượng tham số tổng thể tính toán từ liệu mẫu cách sử dụng số ước lượng x1,s12,x2,và s 22 Một cách trực quan, khác biệt hai số trung bình mẫu tạo thơng tin tối đa khác biệt thực hai số trung bình tổng thể, thực tế ñiều xảy ñúng Ứớc lượng ñiểm tốt chênh lệch (µ −1 µ2)giữa số trung bình tổng thể (x1−x2) Phân phối mẫu ước lượng khơng khó để suy ra, khẳng định việc mà khơng có chứng Các ðặc trưng Phân phối Mẫu (x1−x2), sự Khác biệt Hai số Trung bình Mẫu Khi mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1 n2 quan sát ñược chọn lựa từ tổng thể với số trung bình µ1và µ2 phương sai σ12 σ22, phân phối mẫu chênh lệch (x1−x2)sẽ có đặc trưng sau: 1. Trung bình độ lệch chuẩn+ (x1−x2)sẽ là: + Các nhân tố hiệu chỉnh tổng thể hữu hạn địi hỏi N1và N2 nhỏ n1/ N1và n2/ N2là lớn (21)William Mendenhall cộng 21 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi 1 ) ( µ µ µxx = − và 2 2 1 ) (x1 x2 n n σ σ σ − = + 2. Nếu tổng thể chọn mẫu có phân phối chuẩn, phân phối mẫu ) (x1−x2 được phân phối xác chuẩn, mà khơng quan tâm ñến cỡ mẫu. 3. Nếu tổng thể ñược chọn mẫu khơng phân phối chuẩn, phân phối mẫu (x1−x2) ñược phân phối xấp xỉ chuẩn n1và n lớn, 2 ðịnh lý Giới hạn Trung tâm Do (µ1−µ2) số trung bình phân phối mẫu, (x1−x2)là số ước lượng khơng bị lệch (µ −1 µ2) Như thế, cỡ mẫu lớn, cơng thức chung Phần 7.3 sử dụng để lập nên ước lượng ñiểm khoảng Ước lượng ðiểm (µ1−µ2) Trị ước lượng: (x1−x2) Biên sai số: 2 2 1 ) ( 1.96 96 2 1 x n n x σ σ σ − = + Một Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% cho (µ −1 µ2) 2 2 1 2 / 1 ) ( n n z x x − ± α σ +σ Nếu σ12và σ22là chưa biết, hai đại lượng ñược ước lượng xấp xỉ các phương sai mẫu s12và s22 Giả ñịnh: Cả n1lẫn n2ñều lớn hay với 30 VÍ DỤ 7.5 Nhận thức ñược phần thưởng cho việc thi hành nghĩa vụ pháp lý tịa án thay đổi theo thời gian, công ty bảo hiểm muốn so sánh mức trung bình phần thưởng cho việc thi hành nghĩa vụ pháp lý cá nhân hành với mức năm trước Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 30 vụ kiện ñược chọn lựa số vụ kiện ñược phân xử năm số hai thời kỳ hàng năm Các số trung bình phương sai mẫu phần thưởng cho việc thi hành nghĩa vụ pháp lý (tính triệu đơla Mỹ) cho số hai năm ñược cho Bảng 7.4 a Hãy tìm ước lượng điểm cho chênh lệch mức trung bình phần thưởng cho việc thi hành nghĩa vụ pháp lý năm năm trước Cho biết biên sai số (22)William Mendenhall cộng 22 Biên dịch: Hải ðăng BẢNG 7.3 Các số trung bình phương sai mẫu cho Ví dụ 7.5 Năm Cỡ Mẫu Trung bình Mẫu (triệu $) Phương sai Mẫu (triệu $)2 Hiện n1=30 x1=1.32 0.9734 1 = s Trước n2=30 x2 =1.04 0.7291 2 = s Lời giải a Ước lượng điểm cho µ1−µ2là 28 04 32 1−x = − = x với biên sai số ñược cho 47 ) 2382 ( 96 30 7291 30 9734 96 96 2 2 1 + ≈ + = = n n σ σ b Bởi mong muốn tìm khoảng tin cậy 90% cho (µ −1 µ2), (1 - α) = 0.90 α = 0.10 α/2 = 0.05 z0.05 = 1.645 Khoảng tin cậy là: 2 2 2 / ) ( n n z x x − ± α σ +σ 30 7291 30 9734 645 ) 04 32 ( − ± + 392 28 ± Làm tròn hai số thập phân, ước lượng chênh lệch phần thưởng cho việc thi hành nghĩa vụ pháp lý rơi vào khoảng -$110,000 ñến $670,000 Bạn thấy khoảng tin cậy rộng, qua cho phép xác suất phần thưởng trung bình năm lớn $670,000 hay thấp $110,000 so với năm trước Nếu công ty bảo hiểm muốn ước lượng chênh lệch phần thưởng trung bình với khoảng tin cậy hẹp hơn, cơng ty phải có nhiều thơng tin cách gia tăng cỡ mẫu n1 n2 Sự suy luận cho mẫu nhỏ chênh lệch số trung bình tổng thể vào giả ñịnh hai tổng thể ñều ñược phân phối chuẩn và, nữa, chúng sở hữu phương sai - nghĩa là, σ12 =σ22 =σ2 Với trường hợp ñặc biệt này, ước lượng khoảng tin cậy cho mẫu lớn ñược trị thống kê 2 2 2 1 ) ( ) ( n n x x z σ σ µ µ + − − − = mà với 2 2 1 σ σ (23)William Mendenhall cộng 23 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi 2 2 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( n n x x n n x x z + − − − = + − − − = σ µ µ σ σ µ µ ðối với suy luận cho mẫu nhỏ, việc sử dụng trị thống kê sau ñây tỏ hợp lý 2 2 1 ) ( ) ( n n s x x t + − − − = µ µ trong thay độ lệch chuẩn mẫu s cho ñộ lệch chuẩn tổng thể σ ðủ làm ta ngạc nhiên, trị thống kê có phân phối t Student giả ñịnh ñã nói rõ ñược thỏa mãn Ước lượng s ñược sử dụng trị thống kê t s 1 s , ñộ lệch 2 chuẩn cho hai mẫu, sử dụng ñại lượng hay ñại lượng lãng phí cả hai ước lượng s Bởi muốn có ñược ước lượng tốt có, việc sử dụng số ước lượng mà tổng hợp ñược thông tin từ hai mẫu tỏ hợp lý Số ước lượng chung σ2, sử dụng tổng bình phương độ lệch chuẩn ñối với số trung bình hai mẫu, thể phần trình bày sau Ước lượng Chung σ2 2 ) ( ) ( 1 2 1 2 − + − + − = ∑= ∑= n n x x x x s n i i n i i hay ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 − + − − + − = n n s n s n s với ) ( 1 1 1 − − = ∑= n x x s n i i ) ( 2 2 2 − − = ∑= n x x s n i i Mẫu số cơng thức cho s2,(n1+n2−2),được gọi số bậc tự ñi với s 2 Người ta chứng minh toán học hay thực nghiệm giá trị kỳ vọng của số ước lượng chung s2 với σ2 s2 số ước lượng không bị lệch phương sai tổng thể chung Cuối cùng, nhắc lại số chia tổng bình phương độ lệch chuẩn s 12 s22,(n1−1)và (n2−1)là số bậc tự ñi với hai ước lượng ñộc lập σ2 Lưu ý s2 số bình quân gia quyền 1 s 2 s , với bậc tự trọng số, số ước lượng mà sử dụng thông tin chung cho hai mẫu sở hữu (n1−1)+(n2−1), hay (n1+n2−2),các bậc tự Ước lượng khoảng tin cậy cho mẫu nhỏ (µ1−µ2)với hệ số tin cậy (1−α)ñược (24)William Mendenhall cộng 24 Biên dịch: Hải ðăng Một Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% cho Mẫu Nhỏ ñối với (µ1−µ2) 2 / 1 ) ( n n s t x x − ± α + trong s có từ ước lượng chung σ2, trình bày Các giả định: Các mẫu ñược chọn lựa ngẫu nhiên ñộc lập từ tổng thể có phân phối chuẩn Những phương sai tổng thể, σ12và σ22, Lưu ý tính tương đồng qui trình lập nên khoảng tin cậy cho số trung bình (Phần 7.5) khác biệt hai số trung bình Trong hai trường hợp, khoảng ñược xây dựng cách sử dụng ước lượng điểm thích hợp sau thêm vào trừ ñi lượng với tα/2lần ñộ lệch chuẩn ước lượng ước lượng điểm VÍ DỤ 7.6 Một hoạt ñộng lắp ráp nhà máy chế tạo địi hỏi xấp xỉ giai đoạn huấn luyện một tháng cho nhân viên ñể ñạt ñược hiệu suất tối ña Một phương pháp huấn luyện ñược ñề xuất kiểm tra ñược tiến hành nhằm so sánh phương pháp với qui trình tiêu chuẩn Hai nhóm gồm chín nhân viên huấn luyện thời gian ba tuần, nhóm sử dụng phương pháp nhóm theo qui trình huấn luyện tiêu chuẩn ðộ dài thời gian tính phút địi hỏi cho nhân viên ñể lắp ráp thiết bị ñược ghi nhận vào lúc cuối thời kỳ ba tuần Những ñại lượng xuất Bảng 7.4 Xây dựng ước lượng khoảng tin cậy 95% cho khác biệt thời gian trung bình ñể lắp ráp sau thời kỳ huấn luyện kéo dài ba tuần qui trình tiêu chuẩn qui trình BẢNG 7.4 Dữ liệu thời gian lắp ráp cho Ví dụ 7.6 Qui trình Tiêu chuẩn Qui trình Mới 32 35 37 31 35 29 28 25 41 34 44 40 35 27 31 32 34 31 Lời giải ðặt µ1và µ2lần lượt với thời gian trung bình ñể lắp ráp cho qui trình lắp ráp tiêu chuẩn Ngồi ra, giả định độ biến thiên thời gian trung bình để lắp ráp chất hàm số khác biệt riêng lẻ ñộ biến thiên cho hai tổng thể ñại lượng xấp xỉ Các số trung bình độ lệch chuẩn mẫu tìm thấy cách sử dụng máy tính có chức thống kê: 4752 56 31 9441 22 35 2 1 = = = = s x (25)William Mendenhall cộng 25 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Sau ước lượng chung phương sai chung 24 22 9 22 160 55 195 ) ( ) ( 2 2 1 = − + + = − + − + − = n n s n s n s và ñộ lệch chuẩn s= 22.24=4.72 Tham chiếu lại Bảng Phụ lục II, tìm thấy giá trị t với diện tích 025 / = α phía bên phải (n1+n2−2)=9+9−2=16bậc tự 120 025 = t Thay vào công thức 2 / 1 ) ( n n s t x x − ± α + chúng ta tìm ước lượng khoảng (hay khoảng tin cậy 95%) 9 ) 72 )( 120 ( ) 56 31 22 35 ( − ± + hay 72 66 ± Như vậy, ước lượng khác biệt thời gian trung bình để lắp ráp, (µ1−µ2),rơi vào khoảng - 1.06 ñến 8.38 Lưu ý bề rộng khoảng ñáng kể việc gia tăng cỡ mẫu ước lượng lại ñiều nên làm Trước kết luận thảo luận chúng ta, chúng tơi bình luận hai giả định mà qua qui trình suy luận ñược vào Những chệch hướng vừa phải so với giả ñịnh tổng thể sở hữu phân phối xác suất chuẩn khơng ảnh hưởng nghiêm trọng đến đặc trưng số ước lượng hay hệ số tin cậy cho khoảng tin cậy tương ứng Trái lại, phương sai tổng thể phải gần ñể cho qui trình đề cập có giá trị Một qui trình trình bày Phần 8.9 việc kiểm tra giả thuyết có liên quan ñến hai phương sai tổng thể Một qui trình khác cho việc ước lượng 2 µ µ − tổng thể chuẩn có phương sai khơng ( 22) σ σ ≠ ñược trình bày Chương Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.24 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập ñược chọn từ hai tổng thể, Các cỡ mẫu, trung bình, phương sai ñược cho bảng ñi kèm Tìm biên sai số cho việc ước lượng khác biệt số trung bình tổng thể (µ1−µ2) Tổng thể 1 2 Cỡ mẫu 35 49 (26)William Mendenhall cộng 26 Biên dịch: Hải ðăng 7.25 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập ñược chọn từ hai tổng thể, Các cỡ mẫu, trung bình, phương sai cho bảng ñi kèm ñây Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt số trung bình tổng thể, giải thích kết bạn Tổng thể 1 2 Cỡ mẫu 64 64 Trung bình mẫu 2.9 5.1 Phương sai mẫu 0.83 1.67 7.26 Tìm số bậc tự cho s , số ước lượng chung 2 σ2,cho cỡ mẫu sau ñây a n1 =16,n2 =8 b n1 =10,n2 =12 c n1 =15,n2 =3 7.27 Tính s số ước lượng chung cho 2, σ2,cho mẫu liệu sau ñây a n1 =10,n2 =4,s12 =3.4,s22=4.9 b n1 =12,n2 =21,s12=18,s22 =23 7.28 Bạn ñược cho hai mẫu ngẫu nhiên ñộc lập sau ñây ñược rút từ số hai tổng thể chuẩn Mẫu 12 Mẫu 14 7 Tính tốn s số ước lượng chung 2, σ2 7.29 Tìm khoảng tin cậy 95% cho (µ1−µ2) Bài tập 7.28 7.30 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1=16và n2=13quan sát ñược chọn từ hai tổng thể chuẩn có phương sai Các số trung bình phương sai mẫu ñược thể bảng ñi kèm sau Tìm khoảng tin cậy 99% cho(µ1−µ2) Giải thích khoảng Tổng thể 1 2 Cỡ mẫu 16 13 Trung bình mẫu 34.6 32.2 Phương sai mẫu 4.8 5.9 Các Ứng dụng 7.31 Một nghiên cứu ñược thực nhằm so sánh số trung bình gọi khẩn cấp cho cảnh sát ca làm việc tám tiếng hai quận thành phố lớn Các mẫy gồm 100 ca làm việc tám tiếng ñược chọn ngẫu nhiên từ hồ sơ lưu trữ cảnh sát cho số hai khu vực ñó, số gọi khẩn cấp cho cảnh sát ñược ghi nhận cho ca Các trị thống kê mẫu cho bảng kèm sau Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt số trung bình gọi khẩn cấp cho cảnh sát ca làm việc hai quận thành phố Giải thích khoảng Tổng thể (27)William Mendenhall cộng 27 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Cỡ mẫu 100 100 Trung bình mẫu 2.4 3.1 Phương sai mẫu 1.44 2.64 7.32 Một phương pháp ñược ñề xuất nhiều năm trước ñây cho việc giải thiếu hụt lượng ñiện sử dụng nhà máy ñiện hạt nhân ñược ñịnh vị vài dặm khơi bờ biển Bởi có quan ngại khả va chạm tàu với nhà máy (nhưng ñược neo) này, ước lượng mật độ lưu thơng tàu khu vực cần thiết Số lượng tàu đi qua vịng 10 dặm cách vị trí nhà máy điện đề xuất ngày, ñược ghi nhận cho n = 60 ngày suốt tháng Bảy tháng Tám, sở hữu trung bình phương sai mẫu với: 8 7 2= = s x a Tìm khoảng tin cậy 95% cho số trung bình tàu qua vịng 10 dặm cách vị trí nhà máy điện ñề xuất suốt thời gian ngày b Mật độ lưu thơng tàu kỳ vọng giảm tháng mùa đơng Một mẫu gồm n = 90 ghi nhận hàng ngày việc quan sát thấy tàu cho tháng Mười Hai, tháng Giêng tháng Hai cho ta số trung bình phương sai sau: 9 4 = = s x Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt mật độ lưu thơng tàu trung bình tháng mùa hè mùa đơng c Tổng thể ñi với ước lượng bạn câu (b) nào? ðiều sai với qui trình chọn mẫu câu (a) (b)? 7.33 Một công ty chế tạo xe gần ñây ñã ñịnh nhân tố chủ yếu làm hạn chế doanh số bán hàng xe hay dịch vụ họ mà cách tiếp cận bán hàng mà nhân viên bán hàng áp dụng Trong kiểm tra ý kiến này, 16 nhân viên bán hàng ñại lý bán hàng lớn ñược dịnh ngẫu nhiên vào hai nhóm gồm nhân viên nhóm Mỗi nhóm sử dụng cách tiếp cận bán hàng cứng nhắc ñối với khách hàng thời gian tháng; nhóm áp dụng cách tiếp cận bán hàng mềm dẻo, chậm thời gian Các số trung bình độ lệch chuẩn doanh số bán hàng tính đơla nhân viên bán hàng tháng cho hai nhóm cho bảng ñi kèm ñây Dữ liệu Mẫu Bán hàng Cứng nhắc Bán hàng Mềm dẻo Cỡ mẫu 8 Trung bình mẫu 106,200 111,900 ðộ lệch chuẩn mẫu 24,400 28,600 a Tìm khoảng tin cậy 99% cho (µ1−µ2), khác biệt mức doanh số bán hàng trung bình cho hai cách tiếp cận Giải thích khoảng b Liệu khoảng tin cậy ñược xây dựng câu (a) có chứa giá trị (µ1−µ2)= hay khơng? Liệu khoảng tin cậy có có khác biệt mức doanh số bán hàng trung bình cho hai cách tiếp cận khơng? Giải thích 7.34 Một phận cho vay ngân hàng tìm thấy 57 khoản cho vay mua nhà tháng Tư có giá trị trung bình $78,100 độ lệch chuẩn $6300 Một phân tích khoản cho vay tháng Năm, với tổng cộng 66 khoản, cho thấy giá trị trung bình $82,700 độ lệch chuẩn $7100 Giả ñịnh khoản cho vay mua nhà ñại diện cho mẫu (28)William Mendenhall cộng 28 Biên dịch: Hải ðăng chấp thuận Tìm khoảng tin cậy 98% cho khác biệt mức trung bình hồ sơ xin vay mua nhà ñược chấp thuận từ tháng Tư ñến tháng Năm 7.35 Bằng cách mà giám ñốc doanh nghiệp chuyên gia phân tích thị trường chứng khốn so sánh ñược với dự báo họ việc gia tăng tổng sản phẩm quốc gia (GNP) cho năm tới? Những dự báo (tính tỷ lệ phần trăm) từ năm giám ñốc doanh nghiệp năm chun gia phân tích thị trường chọn ngẫu nhiên ñược cho bảng sau Giám ñốc doanh nghiệp 3.4 2.8 3.9 3.7 3.4 Chuyên gia phân tích thị trường 3.3 3.9 3.4 3.8 4.0 Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt dự báo GNP trung bình nhà giám đốc doanh nghiệp chuyên gia phân tích thị trường chứng khốn Giải thích khoảng 7.7 ƯỚC LƯỢNG MỘT TỶ LỆ NHỊ THỨC Nhiều ñiều tra có mục tiêu ước lượng tỷ lệ người hay vật thể nhóm lớn mà sở hữu thuộc tính cụ thể Một điều tra ví dụ thực tiễn cho thí nghiệm nhị thức thảo luận Chương Việc ước lượng tỷ lệ thương vụ bán hàng mà kỳ vọng số lượng lớn tiếp xúc với khách hàng vấn đề thực tiễn địi hỏi ước lượng tham số nhị thức p Ước lượng ñiểm tốt cho tham số nhị thức p số ước lượng mà ñược chọn về mặt trực giác Nghĩa là, số ước lượng p, ñược biểu thị ký hiệu pˆ , tổng số x những lần thành công chia cho tổng số n lần thử: n x pˆ = trong x số lượng lần thành công n lần thử [Dấu mũ (^) bên tham số ký hiệu ñược sử dụng ñể biểu thị ước lượng tham số đó.] Khi nói đến “Tốt nhất”, chúng ta ám pˆ không bị lệch sở hữu phương sai nhỏ so với số ước lượng có khác Như lưu ý Chương 6, số ước lượng pˆ sở hữu phân phối xác suất mà ñược ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn ðịnh lý Giới hạn Trung tâm ðây số ước lượng không bị lệch cho tỷ lệ tổng thể p, với trung bình độ lệch chuẩn ñược thể phần trình bày sau Trung bình ðộ lệch Chuẩn n pq p p E p = = ˆ ) ˆ ( σ (29)William Mendenhall cộng 29 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Ước lượng ðiểm cho p Trị ước lượng: n x pˆ= Biên sai số: n pq p 1.96 96 σˆ = Biên sai số ước lượng ñược: n q pˆˆ 96 Một Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% cho p n q p z pˆ± α/2 ˆˆ Giả ñịnh: n phải ñủ lớn ñể cho phân phối mẫu pˆ ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn Khoảng p±2σpˆ phải ñược chứa khoảng từ ñến Khó khăn mà ta gặp phải qui trình việc tính tốn σ, mà có liên quan đến giá trị chưa biết p (và q = - p) Các bạn lưu ý ñã thay pˆ cho tham số p ñộ lệch chuẩn pq/n Khi n lớn, sai số nhỏ áp dụng thay Thực tế độ lệch chuẩn thay đổi p thay đổi Tính chất quan sát thấy Bảng 7.5, pq ghi nhận cho nhiều giá trị p Lưu ý pq thay đổi p thay ñổi, ñặc biệt p tiến gần ñến 0.5 BẢNG 7.5 Một số giá trị tính tốn pq p pq 0.5 0.50 0.4 0.49 0.3 0.46 0.2 0.46 0.1 0.40 VÍ DỤ 7.7 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 100 nhà bán buôn mua ống nhựa polyvinyl cho thấy rằng 59 người có kế hoạch gia tăng việc mua hàng năm tới Hãy ước lượng tỷ lệ p nhà bán buôn tổng thể tất nhà bán buôn ống nhựa polyvinyl mà có kế hoạch gia tăng việc mua hàng năm tới, tìm biên sai số ước lượng Tìm khoảng tin cậy 95% cho p Lời giải Ước lượng ñiểm pˆ =x/n=59/100=0.59,và biên sai số ước lượng 096 100 ) 41 )( 59 ( 96 96 96 1 ˆ = ≈ = n pq p σ Một khoảng tin cậy 95% cho p (30)William Mendenhall cộng 30 Biên dịch: Hải ðăng Thay vào cơng thức này, có ) 049 ( 96 59 ± hay 096 59 ± Như vậy, ước lượng tỷ lệ p nhà bán buôn mà có kế hoạch gia tăng việc mua hàng nằm khoảng 0.494 đến 0.686, với hệ số tin cậy 0.95 Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.36 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 900 quan sát từ tổng thể nhị thức tạo x = 655 lần thành cơng Hãy tìm khoảng tin cậy 99% cho p, giải thích khoảng 7.37 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 300 quan sát từ tổng thể nhị thức tạo x = 263 lần thành cơng Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho p, giải thích khoảng 7.38 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 500 quan sát từ tổng thể nhị thức tạo x = 140 lần thành công Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho p, giải thích khoảng 7.39 Giả ñịnh số lần thành cơng quan sát n = 500 lần thử thí nghiệm nhị thức 27 Tìm khoảng tin cậy 95% cho p Tại khoảng tin cậy hẹp so với khoảng tin cậy Bài tập 7.38? Các Ứng dụng 7.40 Ngày có nhiều đàn ơng phụ nữ thực lựa chọn mua hàng mà có thời nhường cho người khác phái mình, hầu hết hộ gia đình có nhân, người chồng người vợ có tiếng nói ngang việc thực lần mua sắm lớn Trong báo đăng tạp chí American Demographics (Nhân học Hoa Kỳ),Shannon Dorch (1994) ñề xuất cơng ty quảng cáo có lẽ phải thay ñổi nơi mà họ quảng cáo số mặt hàng ñịnh mức ñộ quảng cáo nên Rõ ràng là, việc quảng cáo xe cần ñến ñược với phụ nữ Xấp xỉ khoảng 80% ông chồng bà vợ ñều ñồng ý họ có tiếng nói ngang việc mua nhà mới, 58% đàn ơng 56% phụ nữ đồng tình họ có tiếng nói ngang việc mua xe Giả ñịnh tỷ lệ phần trăm ñược cỡ mẫu 3000 a Tìm ước lượng khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ ông chồng mà trí họ lẫn bà vợ có tiếng nói ngang việc mua nhà (Cũng ước lượng số cho tỷ lệ phần trăm bà vợ mà ñồn ý họ lẫn ơng chồng có tiếng nói ngang việc mua nhà.) b Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ phần trăm ông chồng mà đồng ý vợ họ có tiếng nói ngang với họ việc mua sắm xe cho gia đình c Ước lượng tỷ lệ phần trăm bà vợ mà đồng tình chồng họ có tiếng nói ngang việc mua xe cho gia đình 7.41 Cơng ty Ford Motor đặt hàng nghiên cứu ñể xác ñịnh lĩnh vực nơi mà nhà lãnh ñạo chuyên nghiệp u cầu vấn đề sách mơi trường Trong số 7000 nhà lãnh (31)William Mendenhall cộng 31 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi cơng nghiệp phải chịu trách nhiệm phá hủy dọn dẹp môi trường hành ñộng của ngành (Opinions ’90, tháng Sáu năm 1990, trang 64.) a Xác ñịnh ước lượng ñiểm giá trị ñúng p với biên sai số 95% Liệu sai số có nhỏ ba điểm phần trăm khơng? b Sử dụng kết câu (a) ñể xây dựng ước lượng khoảng tin cậy 95% cho p 7.42 Trong ñiều tra gần 1600 hộ gia đình thu nhập cao năm vùng thị, 24% những người đàn ơng tự xem người mua sắm hàng tạp hóa cho hộ gia đình mình, áo quần cho cá nhân (Dholakia, 1994) Mặc dù người đàn ơng mua hàng điều tra người có trình ñộ hiểu biết máy tính cao (87% có máy tính nhà), có 22% nói việc mua hàng vi tính hóa mang lại thỏa mãn a Tìm ước lượng khoảng tin cậy 90% cho tỷ lệ phần trăm người đàn ơng mà tự xem người mua sắm hàng tạp hóa cho hộ gia đình mình, áo quần cho cá nhân b Tìm biên sai số việc ước lượng tỷ lệ người đàn ơng mua hàng có trình độ hiểu biết cao máy tính mà nhận thấy việc mua hàng vi tính hóa mang lại thỏa mãn 7.43 Trong ñiều tra năm 1993 Hiệp hội Dinh dưỡng Hoa Kỳ công ty Kraft General Food liên quan ñến dinh dưỡng thói quen ăn uống, 54% người trả lời xem dinh dưỡng quan trọng, 52% thói quen ăn uống thay đổi, 44% nói họ làm tất để có chế độ ăn uống lành mạnh (“Crunching Numbers”, 1994) Nếu 1000 người trả lời tham gia vào điều tra này, ước lượng tỷ lệ phần trăm tổng thể tương ứng xác đến đâu? Tìm biên sai số cho ước lượng 7.44 Ngành công nghiệp quảng cáo cố gắng bán sản phẩm cách tự thể tình với ý ñịnh thu hút phân khúc thị trường khác Trừ phi ñược dự ñịnh nhắm cách cụ thể đến cơng dân lớn tuổi, hầu hết chương trình quảng cáo đề cao ñến người trưởng thành trẻ tuổi, ñộng (Darnay, 1994) Trong ñiều tra 1002 người Mỹ độ tuổi từ 18 trở lên, câu trả lời cho câu hỏi “Bạn nghĩ người sau đại diện cách cơng chương trình quảng cáo?” tóm tắt bảng sau Bộ phận Dân chúng Chưa ñược ñại diện ñúng mức Người khuyết tật 0.57 Người gốc Tây Ban Nha Bồ đào Nha 0.41 Người từ 50 tuổi trở lên 0.37 Người da ñen 0.29 Thiếu niên/người trưởng thành trẻ tuổi 0.09 a Tìm biên sai số cho ước lượng tỷ lệ người Mỹ mà cảm thấy người khuyết tật chưa ñược ñại diện ñúng mức quảng cáo b Biên sai số ñi với tỷ lệ người Mỹ mà cảm thấy thiếu niên người trưởng thành trẻ tuổi chưa ñược ñại diện ñúng mức quảng cáo bao nhiêu? Tại biên sai số trường hợp khác với biên sai số câu (a)? (32)William Mendenhall cộng 32 Biên dịch: Hải ðăng 7.8 ƯỚC LƯỢNG SỰ KHÁC BIỆT GIỮA HAI TỶ LỆ NHỊ THỨC Sự ước lượng thứ tư cuối mà chương xem xét ước lượng khác biệt tham số hai tổng thể nhị thức - nghĩa là, khác biệt hai tỷ lệ nhị thức Chúng ta có lẽ quan tâm ñến khác biệt tỷ lệ sản xuất cho số hai dây chuyền sản xuất, hay khác biệt tỷ lệ người bỏ phiếu ủng hộ hai ứng cử viên dẫn ñầu cho chức thị trưởng Một cách trực giác, khác biệt hai tỷ lệ mẫu cung cấp thông tin tối ña tỷ lệ tổng thể tương ứng Giả ñịnh hai tổng thể nhị thức có tham số p 1 p Những 2 mẫu ngẫu nhiên ñộc lập bao gồm n 1 n lần thử ñược rút từ tổng thể tương ứng, 2 ước lượng p ˆ1 p tính tốn Phân phối mẫu chênh lệch ˆ2 p -ˆ1 p làm ˆ2 rõ mà khơng có chứng phần trình bày sau Các ðặc trưng Phân phối Mẫu Chênh lệch ( ˆp -1 ˆp2) Giữa Hai Tỷ lệ Mẫu Giả ñịnh mẫu ñộc lập ngẫu nhiên gồm n1và n2 quan sát ñược chọn lựa từ tổng thể nhị thức với tham số làp1và p2 Phân phối mẫu khác biệt tỷ lệ mẫu       − = − 2 1 ˆ ) ˆ ( n x n x p p sẽ có đặc trưng sau đây: 1. Trung bình ñộ lệch chuẩn (pˆ1−pˆ2)sẽ 2 ) ˆ ˆ (p1−p2 = pp µ 2 1 ) ˆ ˆ ( n q p n q p p p− = + σ 2. Phân phối xác suất (pˆ1−pˆ2)có thể ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn n1và n2là lớn, ðịnh lý Giới hạn Trung tâm Khi sử dụng phân phối chuẩn ñể ước lượng xấp xỉ xác suất nhị thức , khoảng (pˆ1−pˆ2)±2σ(pˆ1−pˆ2) phải ñược chứa bên khoảng (pˆ1−pˆ2), mà thay ñổi từ -1 đến khơng phải từ ñến 1, trường hợp tỷ lệ Bởi (pˆ1−pˆ2)là số ước lượng khơng bị lệch (p1− p2), số ước lượng điểm 2 p p − ñược thể phần trình bày sau Ước lượng ðiểm (p1 - p2) Trị ước lượng: (pˆ1− pˆ2) Biên sai số: 2 2 1 ) ˆ ˆ ( 1.96 96 n q p n q p p (33)William Mendenhall cộng 33 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi [Lưu ý: Các ước lượng ˆp1và ˆp2phải ñược thay cho p1và p2ñể ước lượng biên sai số.] Khoảng tin cậy (1−α)100%, phù hợp n 1 n lớn, trình bày 2 Một Khoảng Tin cậy (1 - αααα) 100% cho Mẫu Lớn (p1 - p2) 2 2 1 / ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( n q p n q p z p p − ± α + Giả ñịnh: n1và n2phải ñủ lớn ñể cho phân phối mẫu (pˆ1−pˆ2)có thể ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn Khoảng 1 2 (ˆ ˆ ) 2 ) ˆ ˆ (pp ± σ pp phải ñược chứa khoảng -1 đến VÍ DỤ 7.8 Một cơng ty lớn bán lẻ quần áo ñã tiến hành nghiên cứu nhằm so sánh tính hiệu của quảng cáo báo số hai thành phố lớn Một trang quảng cáo lớn rộ ñược thực tờ báo số hai thành phố lớn Ngay sau đó, tổ chức nghiên cứu tiếp thị ñã tiến hành ñiều tra qua ñiện thoại 1000 người lớn ñược chọn ngẫu nhiên sống khu vực ngoại có thu nhập trung bình cao số thành phố nhằm xác ñịnh tỷ lệ mà ñã đọc trang quảng cáo cơng ty bán lẻ Các tỷ lệ mẫu pˆ1=0.18và pˆ2 =0.14 Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho chênh lệch tỷ lệ người lớn hai tổng thể mà ñã ñọc trang quảng cáo ñó Lời giải Một khoảng tin cậy 95% cho chênh lệch (p1− p2)trong tỷ lệ người lớn mà ñã ñọc trang quảng cáo cơng ty bán lẻ 2 2 1 / ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( n q p n q p z p p − ± α + trong α=0.5và zα/2 =z0.025=1.96 Thay giá trị này, với ước lượng 18 ˆ1= p pˆ2=0.14, vào cơng thức tính khoảng tin cậy, tìm khoảng tin cậy 1000 ) 86 )( 14 ( 1000 ) 82 )( 18 ( 96 ) 14 18 ( − ± + hay 321 04 ± (34)William Mendenhall cộng 34 Biên dịch: Hải ðăng Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.45 Các mẫu gồm n1=500và n2 =500 quan sát ñược chọn từ tổng thể nhị thức 2, 120 1= x x2 =147ñược quan sát Tìm biên sai số ước lượng khác biệt tỷ lệ tổng thể (p1− p2) 7.46 Các mẫu gồm n1=800và n2 =640 quan sát ñược chọn từ tổng thể nhị thức 2, 337 1= x x2 =374ñược quan sát a Tìm khoảng tin cậy 90% cho chênh lệch (p1− p2)trong hai tham số tổng thể Giải thích khoảng b Các giả định mà bạn cần ñặt ñể cho khoảng tin cậy có ý nghĩa? 7.47 Các mẫu gồm n1=1265và n2=1688 quan sát ñược chọn từ tổng thể nhị thức 2, x1=849và x2=910ñược quan sát a Tìm khoảng tin cậy 99% cho chênh lệch (p1− p2)trong hai tham số tổng thể Giải thích khoảng b Các giả định mà bạn cần ñặt ñể cho khoảng tin cậy có ý nghĩa? 7.48 Các mẫu gồm n1=314và n2 =207 quan sát ñược chọn từ tổng thể nhị thức 2, 108 1= x x2 =102ñược quan sát a Tìm khoảng tin cậy 95% cho chênh lệch (p1− p2)trong hai tham số tổng thể Giải thích khoảng b Các giả ñịnh mà bạn cần ñặt khoảng tin cậy có ý nghĩa? Các Ứng dụng 7.49 Một ñiều tra ngân hàng khoản chi trả thẻ tín dụng trễ hạn tìm thấy tỷ lệ trễ hạn tháng cho trước ñối với 414 chủ doanh nghiệp nhỏ 5.8% so với 3.6% 1029 nhà hoạt ñộng chuyên nghiệp Giả ñịnh liệu cho hai loại hình người dùng thẻ xem mẫu ngẫu nhiên ñộc lập tài khoản hàng tháng qua khoảng thời gian tương đối dài, ví dụ, hai năm Tìm khoảng tin cậy 95% tỷ lệ trễ hạn cho hai loại hình người sử dụng thẻ tín dụng 7.50 Trong suốt phục hồi từ thời kỳ đình trệ kinh tế vào năm ñầu thập niên 1990, ñiều tra Conference Board tiến hành ñược sử dụng ñể ño kiểu hình hành vi tiêu dùng và sức khỏe dài hạn kinh tế, với câu hỏi chủ ñề dàn trải từ kế hoạch mua sắm hộ gia đình đến điều kiện việc làm địa phương (“Consumer Confidence (Niềm tin Người tiêu dùng)”, 1994) Một thăm dò ý kiến vào tháng Bảy năm 1994 ñã cho thấy 10% số 5000 hộ gia đình tồn quốc kỳ vọng điều kiện kinh doanh trở nên tồi tệ hơn, thay đổi có chiều hướng gia tăng từ số 8% 5000 hộ gia đình tháng trước ñó a Xây dựng ước lượng khoảng tin cậy 95% khác biệt tỷ lệ người trả lời mà kỳ vọng ñiều kiện kinh doanh trở nên tồi tệ (35)William Mendenhall cộng 35 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi 7.51 Theo nghiên cứu ñược báo cáo American Enterprise (Doanh nghiệp Mỹ) (“How the Japanese (Người Nhật nào)”, 1990), thỏa mãn người Nhật với thành tựu kinh tế không mở rộng san sống cá nhân họ so sánh với người Mỹ, mà biểu thị nhiều thỏa mãn với sống, thành tựu cá nhân cơng việc Khi hỏi “Liệu bạn mơ tả cơng việc nói chung thú vị?” 88% số người Mỹ điều tra ñã trả lời ñồng ý so với 58% số người Nhật ñiều tra Gia ñịnh ñược cho biết 300 người Mỹ 2500 người Nhật có điều tra Hãy sử dụng thơng tin để lập nên ước lượng khoảng tin cậy 99% cho p1− p2 7.52 Những ảnh hưởng theo độ tuổi khơng xảy điều mà bạn xem thấy tivi mà cịn nơi mà bạn xem tivi. Một nghiên cứu (Darnay, 1994, trang 784) ñã cho thấy người Mỹ lớn tuổi xem tivi giường ngủ so với người trẻ tuổi thường xem tivi phòng ăn nhiều Với liệu ñã cho bảng, giả ñịnh cỡ mẫu cho nhóm tuổi 100 Khu vực 25 ñến 44 45 ñến 69 60 trở lên Phòng khách/phòng sinh hoạt chung/phòng làm việc 95% 95% 93% Phòng ngủ 58% 57% 45% Nhà bếp 12% 20% 20% Phòng ăn 10% 10% 10% a Tìm ước lượng khoảng tin cậy 95% khác biệt tỷ lệ người Mỹ ñộ tuổi từ 45 ñến 69 người từ 60 tuổi trở lên mà xem tivi phòng ăn b Ước lượng khác biệt tỷ lệ người Mỹ nhóm tuổi từ 25 đến 59 những người nhóm độ tuổi từ 60 trở lên mà xem tivi phòng khách, phòng sinh hoạt chung hay phịng riêng làm việc tìm biên sai số ước lượng [Gợi ý:Tỷ lệ cho nhóm tuổi từ 25 ñến 59 bình quân giản ñơn tỷ lệ riêng lẻ dựa cỡ mẫu 2000.] 7.9 CHỌN CỠ MẪU Sự thiết kế thí nghiệm chất kế hoạch nhằm mua sắm lượng thông tin Thông tin này, giống hàng hóa khác, có với giá khác tùy thuộc vào cách thức mà qua có liệu Một số đại lượng chứa đựng lượng thơng tin lớn liên quan ñến tham số mà ta quan tâm: đại lượng khác chứa đưng thơng tin hay hồn tồn khơng có thơng tin Bởi sản phẩm việc nghiên cứu thông tin, phải cố gắng mua thơng tin với phí tổn thấp Qui trình chọn mẫu, hay thiết kế thí nghiệm (như thường gọi), ảnh hưởng đến số lượng thơng tin đại lượng Qui trình này, với cỡ mẫu n, kiểm sốt tổng khối lượng thông tin liên quan mẫu Với số ngoại lệ, quan tâm đến tình chọn mẫu đơn giản - chọn mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể tương ñối lớn - tập trung ý vào việc chọn lựa cỡ mẫu n Nhà nghiên cứu tạo ñược tiến triển việc hoạt ñịnh thí nghiệm trước gặp phải vấn đề chọn cỡ mẫu Thật vậy, có lẽ câu hỏi ñược ñặt thường xuyên nhà thống kê Có đại lượng nên đưa vào mẫu? Thật (36)William Mendenhall cộng 36 Biên dịch: Hải ðăng thông tin mẫu ảnh hưởng ñến mức ñộ tốt phương pháp suy luận phải ñược người làm thí nghiệm xác định cụ thể ðặc biệt liên quan ñến ước lượng, muốn biết mức ñộ xác mà người làm thí nghiệm mong muốn số ước lượng Sự xác ñược ñịnh rõ cách xác ñịnh cụ thể mức giới hạn biên sai số ước lượng Ví dụ, giả định muốn ước lượng lãi suất cho vay ngân hàng (Ví dụ 7.1), mong muốn sai số ước lượng nhỏ 0.06 với xác suất 0.95 Bởi xấp xỉ 95% trung bình mẫu nằm khoảng 1.96σtrong chọn mẫu lặp lại, nên ñang yêu cầu 1.96σ với 0.06 (xem Hình 7.8) Sau 06 96 σxˆ = hay 06 96 1 = n σ Giải n, có 2 06 96 1 σ       = n hay n=1067.111σ2 HÌNH 7.8 Phân phối mẫu xấp xỉ x cho mẫu lớn Nếu biết σ, thay giá trị vào cơng thức tìm n Nếu σ chưa ñược biết, sử dụng ước lượng xấp xỉ tốt sẵn có, ước lượng s có từ mẫu trước hay từ kiến thức dãy mà ñại lượng rơi vào Bởi dãy xấp xỉ với 4σ (Qui tắc Thực chứng), phần tư dãy cung cấp giá trị xấp xỉ cho σ Trong ví dụ chúng ta, sử dụng độ lệch chuẩn mẫu Ví dụ 7.1, mà cung cấp ước lượng xác mức chấp nhận ñược của σ với s = 0.24 Vậy 5 61 ) 24 , )( 111 1067 ( 111 1067 2 = ≈ = σ n hay x σ 96 ) (x f x µ x σ 96 (37)William Mendenhall cộng 37 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi n = 62 Sử dụng cỡ mẫu n = 62, chắn mức chấp nhận ñược (với xác suất xấp xỉ với 0.95) ước lượng nằm khoảng 1.96σxˆ =0.06 lãi suất cho vay thực tế ngân hàng Lời giải n = 62 xấp xỉ phải sử dụng giá trị xấp xỉ cho σ tính tốn giá trị n Mặc dù việc cĩ thể làm phiền bạn, phương pháp tốt cĩ thể cĩ việc lựa chọn cỡ mẫu, điều chắn tốt việc ước đốn Ước lượng µ với khoảng tin cậy (1 - α)100% mà bề rộng phải nhỏ W = 2B, B giới hạn tương ñương biên sai số ước lượng, yêu cầu n z B= α/2 σ mà đến lượt địi hỏi cỡ mẫu lớn hay với 2 2 / B z n= α σ Khi cỡ mẫu tạo ra, n nhỏ 30 ước lượng s σ sử dụng tính tốn, phương trình phải giải cách sử dụng giá trị ghi bảng tα/2thay / α z Bậc tự ñi với tα/2ñược qui ñịnh n0 - Qui trình lặp lặp lại nhiều lần cách sử dụng giá trị trước n, lời giải cỡ mẫu khơng cịn thay ñổi Ví dụ, giới hạn ñược thay ñổi thành 0.1, cỡ mẫu yêu cầu lớn hay với 13 22 ) 24 ( 96 =       = n hay n = 23, nhỏ 30 Sử dụng t0.025với 23 - = 22 bậc tự do, giá trị phù hợp t 2.074 78 24 ) 24 ( 074 2 =       = n Bây n = 25, d.f = 24, t0.025= 2.064, 54 24 ) 24 ( 064 2 =       = n Bởi cỡ mẫu giống với cỡ tìm lần lặp lại trước, nên lấy n lớn hay với 25 Phương pháp chọn cỡ mẫu cho qui trình ước lượng ñược thảo luận phần trước qn với phương pháp mơ tả ñây Qui trình Chọn lựa Cỡ mẫu Xác ñịnh tham số ñược ước lượng ñộ lệch chuẩn số ước lượng điểm Sau thực sau: 1. Chọn B, giới hạn biên sai số, hệ số tin cậy (1−α) (38)William Mendenhall cộng 38 Biên dịch: Hải ðăng / α z x (ñộ lệch chuẩn số ước lượng) = B trong zα/2là giá trị z có diện tích α/2 phía bên phải 3. Nếu giá trị tạo n nhỏ 30 ước lượng σñược sử dụng, giá trị zα/2được thay tα/2và qui trình lặp lặp lại cỡ mẫu khơng thay đổi [Lưu ý: ðối với phần lớn số ước lượng (tất trình bày sách này), ñộ lệch chuẩn hàm số cỡ mẫu n.] Chúng ta minh họa ví dụ VÍ DỤ 7.9 Trong Ví dụ 7.7, ñiều tra 100 ñại lý mua hàng tạo ước lượng tỷ lệ những người bán bn ống nước polyvinyl mà có kế hoạch gia tăng mua hàng năm tới Biên sai số, 0.096, tương ñối lớn Giả ñịnh tổ chức tiếp thị tiến hành ñiều tra ñược yêu cầu phải thực ñiều tra ñạt ñược ước lượng xác giới hạn 0.04 với xác suất với 0.90 Xấp xỉ có nhà bán bn ñã phải tính ñến ñiều tra này? Lời giải ðối với ví dụ cụ thể này, giới hạn B ñối với biên sai số 0.04 Bởi hệ số tin cậy α α) 0.90, ( − = phải với 0.10 α/2 0.05 Giá trị z tương ứng với diện tích bằng với 0.05 đoạn cuối phân phối z z0.05 =1.645.Sau yêu cầu 04 645 1 σpˆ = hay 04 645 1 = n pq ðể giải tốn tìm n, phải thay giá trị xấp xỉ p vào phương trình này Chúng ta sử dụng ước lượng pˆ=0.59dựa vào mẫu gồm n = 100; chúng ta muốn chắn mẫu đủ lớn, sử dụng p=0.5 (thay 5 = p sẽ tạo lời giải lớn có cho n, giá trị tối đa pq xảy p = q = 5) Chúng ta thay p=0.5 Sau 04 ) )( ( 645 1 = n hay 56 20 04 ) )( 645 ( = = n và 7 422 ) 56 20 ( = = n (39)William Mendenhall cộng 39 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi VÍ DỤ 7.10 Một giám ñốc nhân mong muốn so sánh tính hiệu hai phương pháp huấn luyện các nhân viên công nghiệp nhằm thực hoạt động lắp ráp Một số lượng nhân viên chia thành hai nhóm nhau, nhóm thứ nhận ñược phương pháp huấn luyện nhóm thứ hai huấn luyện phương pháp Mỗi nhóm thực hoạt động lắp ráp này, ñộ dài thời gian lắp ráp ñược ghi nhận Người ta kỳ vọng ñại lượng cho hai nhóm có khoảng xấp xỉ phút ðể cho ước lượng khác biệt thời gian trung bình để lắp ráp xác giới hạn phút với xác suất với 0.95, cần phải đưa cơng nhân vào nhóm huấn luyện? Lời giải Cho ( ) 2 96 1 σ xx bằng với B = phút, có 1 96 2 2 1 1 + = n n σ σ Bởi mong muốn n với 1 n , đặt 2 n1=n2=n có phương trình 1 96 2 2 1 + = n n σ σ Như ñã ñược lưu ý trên, ñộ biến thiên (dãy = range = max - min) phương pháp lắp ráp xấp xỉ nhau, σ12 =σ22=σ2.Bởi dãy này, với phút, xấp xỉ với , σ 8 4σ ≈ và 2 ≈ σ Thay giá trị cho σ1và σ2trong phương trình trên, có 1 ) ( ) ( 96 2 = + n n hay 1 96 1 = n và 8 96 = n Giải ra, có n = 31 Như nhóm nên có xấp xỉ n = 31 cơng nhân Bảng 7.6 cung cấp tóm tắt cơng thức sử dụng để xác định cỡ mẫu cần thiết cho ước lượng với giới hạn cho trước biên sai số B hay bề rộng khoảng tin cậy W(W = 2B) Lưu ý ước lượng p cơng thức cỡ mẫu sử dụng σ2 = pq,trong khi (40)William Mendenhall cộng 40 Biên dịch: Hải ðăng BẢNG 7.6 Các cơng thức tính cỡ mẫu Tham số Trị Ước lượng Cỡ Mẫu Giả định µ x 2 2 2 / B z n≥ α σ 2 µ µ − x1−x2 2 2 2 2 / ( ) B z n≥ α σ +σ n1=n2 =n p         ≥ ≥ 2 / 2 / ) 25 ( B z n hay B pq z n α α = p p ppˆ1− pˆ2         ≥ + ≥ 2 / 2 1 2 / ) 25 ( ) ( B z n hay B q p q p z n α α 2 = = = = = = p p n n n n n n Bài tập Các Kỹ thuật Cơ 7.53 Giả ñịnh bạn mong muốn ước lượng số trung bình tổng thể từ mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát, thí nghiệm trước cho σ =12.7 Nếu mong muốn ước lượng µ điều chỉnh nằm giới hạn sai số 1.6 với xác suất với 0.95, có quan sát nên đưa vào mẫu bạn? 7.54 Giả ñịnh bạn mong muốn ước lượng tham số nhị thức p xác giới hạn 0.04 với xác suất với 0.95 Nếu bạn nghi ngờ p với giá trị khoảng từ 0.1 ñến 0.3 bạn muốn chắn mẫu đủ lớn, n phải lớn bao nhiêu? [Gợi ý: Khi tính toán σpˆ, sử dụng giá trị p khoảng 0.1 < p < 0.3 mà cho cỡ mẫu lớn nhất.] 7.55 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1=n2 =n quan sát ñược chọn từ số hai tổng thể, Nếu bạn mong muốn ước lượng khác biệt hai số trung bình tổng thể xác giới hạn 0.17 với xác suất với 0.90, n 1 n nên lớn bao nhiêu? Giả ñịnh 2 bạn biết σ12≈σ22≈27.8 7.56 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1=n2 =n quan sát ñược chọn từ số hai tổng (41)William Mendenhall cộng 41 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi bạn khơng có thơng tin trước giá trị p 1 p , bạn muốn chắn bạn 2 có số phù hợp quan sát mẫu.) Các Ứng dụng 7.57 Thế chấp ngược tỏ hứa hẹn giúp cho người sở hữu nhà lớn tuổi sử dụng giá trị tài sản ñã chấp nhà ñể hỗ trợ tài cho việc tiêu dùng hay chi trả cho khoản ñột xuất (Mayer Simons, 1994) Một khoản chấp ngược cho phép người sở hữu nhà cho vay lại giá trị nhà ñã chấp nhận ñược khoản chi trả hàng tháng sống nhà ñến họ chết hay chuyển ñi nơi khác Một nghiên cứu ñược ñề xuất nhằm ước lượng giá trị tài sản ñã chấp nhà sở hữu người từ 65 tuổi trở lên Dãy (range) giá trị tài sản ñã chấp ñược kỳ vọng vào khoảng $100,000 Nếu nhà ñiều tra mong muốn ước lượng giá trị tài sản đã chấp xác giới hạn $5000, mẫu họ phải lớn bao nhiêu? 7.58 Trong Bài tập 7.34, ñã ước lượng khác biệt giá trị trung bình khoản cho vay mua nhà ngân hàng ñược xử lý tháng Tư so với tháng Năm Giả định ngân hàng mong muốn có ước lượng xác khác biệt này, ví dụ, ước lượng xác giới hạn $1000 với xác suất 0.95 Có khoản cho vay mua nhà phải ñược ñưa vào mẫu? (Giả ñịnh cỡ mẫu cho hai tháng nhau.) 7.59 Một công ty kiểm toán mong muốn ước lượng sai số trung bình tài khoản khoản phải thu cho công ty cung cấp hệ thống ống nước xác giới hạn $20 với xác suất 0.99 Một mẫu nhỏ trước gợi ý sai số tài khoản sở hữu ñộ lệch chuẩn xấp xỉ với $58 Nếu công ty kiểm tốn mong muốn ước lượng sai số trung bình tài khoản xác giới hạn $20, có tài khoản phải chọn mẫu? Mẫu phải sở hữu (các) thuộc tính nào? 7.60 Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thực phẩm th cơng ty nghiên cứu thị trường ñể chọn mẫu hai thị trường, I II, nhằm so sánh tỷ lệ người tiêu dùng mà ưa thích đồ ăn tối đơng lạnh doanh nghiệp sản phẩm đối thủ cạnh tranh Thơng tin trước khơng sẵn có độ lớn tỷ lệ p 1 p Nếu công ty sản xuất sản phẩm thực 2 phẩm mong muốn ước lượng khác biệt tỷ lệ người tiêu dùng mà ưa thích sản phẩm họ mức xác giới hạn 0.04 với xác suất với 0.95, có khách hàng phải chọn mẫu thị trường? Các mẫu phải thu thập cách nào? 7.61 Quay lại Bài tập 7.41 Nếu Công ty Ford Motor mong muốn ước lượng tỷ lệ phần trăm người lãnh đạo chun nghiệp mà cảm thấy ngành cơng nghiệp phải chịu trách nhiệm cho phá hủy dọn dẹp mơi trường gây hành động họ xác giới hạn 0.01 với xác suất 0.99, cơng ty cần thực mẫu lớn bao nhiêu? Giả định khơng có kiến thức trước giá trị p 7.62 Quay lại Bài tập 7.61 a Tìm cỡ mẫu phù hợp ta biết p nằm khoảng từ 0.7 ñến 0.9 b Liệu cỡ mẫu tìm câu (a) lớn hay nhỏ cỡ mẫu tìm thấy Bài tập 7.61? Bạn giải thích khác biệt này? 7.63 Các nhóm sắc tộc Hoa Kỳ mua lượng khác nhiều loại sản phẩm thực phẩm (42)William Mendenhall cộng 42 Biên dịch: Hải ðăng cứu mong muốn ước lượng nằm giới hạn 0.03 với xác suất 0.95, ta phải đưa hộ gia đình vào mẫu? QUAY LẠI NGHIÊN CỨU ðIỂN HÌNH 7.10 TÍNH HỢP LÝ PHÍA SAU SỰ KHƠNG THỪA NHẬN KHOẢN $3.4 TRIỆU CỦA IRS Nghiên cứu điển hình chương mơ tả u cầu thừa nhận cơng ty cho thay chi phí sửa chữa không thừa nhận phần lớn yêu cầu Sở Thuế Nội ðịa (IRS) Trong phần thảo luận sau đây, giải thích sở cho không thừa nhận IRS phần yêu sách Cả nghiên cứu ñiển hình lẫn giải thích phần thông tin chứa báo W L Felix, Jr., R S Roussey (“Statistical Inference and the IRS (Sự Suy luận Thống kê Sở Thuế Nội ðịa)”, Journal of Accountancy, tháng Sáu năm 1985) ðể nhớ lại chi tiết trường hợp này: doanh nghiệp yêu cầu thừa nhận $6 triệu năm $3.8 triệu năm tới cho thay chi phí sửa chữa Những số liệu ñược “các kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên”, cụ thể là, mẫu gồm 350 khoản mục năm ñầu tiên 520 năm IRS khơng phản đối qui trình chọn mẫu này, cỡ mẫu, hay việc sử dụng suy luận thống kê ñể ước lượng tổng yêu cầu thừa nhận thay Tuy nhiên, IRS ñã “tham khảo tiêu chuẩn ñược viết thành sách cho việc chọn mẫu thống kê mà cho phép biểu thức toán học biên sai số với mẫu (sự tính tốn sai số mẫu)” Hơn nữa, IRS giữ quan điểm cơng ty ñó “ắt nên áp dụng sai số mẫu để tính tốn giới hạn thấp thừa nhận chi phí sửa chữa qui ñịnh cho phép ñể cho phận quản lý nói, ví dụ, ‘Chúng tơi chắn 95% thừa nhận chi phí sửa chữa ñược qui ñịnh cho phép tối thiểu X đơla.’ ” Trên thực tế, IRS tính tốn giới hạn thấp sử dụng thay cho chi phí sửa chữa mà quan cho phép ðể hiểu quan ñiểm IRS liên quan ñến không thừa nhận này, cần chuyển dịch hai câu trích dẫn sang cách diễn ñạt chương Trong câu trích dẫn thứ nhất, IRS khẳng định doanh nghiệp phải cung cấp thơng tin “sai số mẫu” Nói sai số mẫu, giả ñịnh quan ám sai số ước lượng Giải thích câu trích dẫn thứ hai, giả định IRS có ý muốn nói phận quản lý phải đặt giới hạn tin cậy thấp 95% ñối với tổng chi phí sửa chữa IRS thực tính tốn sau chọn LCL chi phí sửa chữa tối đa mà cơ quan cho phép Mặc dù Felix Roussey khơng giải thích chi tiết qui trình chọn mẫu ước lượng sử dụng nghiên cứu điển hình này, giải thích cách thức mà IRS đến giới hạn tin cậy thấp cho thừa nhận phí tổn sửa chữa dựa việc chọn mẫu ngẫu nhiên Chúng ta giả ñịnh tổng số lượng chi phí sửa chữa cho năm N, cho mục đích minh họa giả ñịnh (43)William Mendenhall cộng 43 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Một mẫu ngẫu nhiên n = 500 chi phí sửa chữa chọn từ số 100,000 tổng thể, chi phí bình quân phí tổn sửa chữa cho n = 500 tính tốn 65 $ = x , ước lượng tổng chi phí phí tổn sửa chữa cho 100,000 phí tổn sửa chữa xảy năm (100,000)($65) = $6,500,000 Nghĩa là, để τˆ tượng trưng cho tổng chi phí phí tổn sửa chữa, có Ước lượng tổng chi phí phí tổn sửa chữa = τˆ = xN = (100,000)(65) = $6,500,000 ðể tìm khoảng tin cậy phía thấp cho tổng chi phí phí tổn sửa chữa, cần xác ñịnh ñặc trưng phân phối mẫu τˆ = N Chúng ta biết rằng, từ ðịnh lý x Giới hạn Trung tâm, phân phối mẫu x ñược phân phối xấp xỉ chuẩn Sau đó, N số, phân phối mẫu τˆ = N có phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình x µ N độ lệch chuẩn n N Nσx σ στˆ = = Bởi τˆ số ước lượng khơng bị lệch tổng chi phí phí tổn sửa chữa ñược phân phối xấp xỉ chuẩn, nên ñại lượng thỏa mãn tất đặc trưng cần có khoảng tin cậy 95% phía thấp trình bày Phần 7.4 Nghĩa là, n N z σ τ σ τ τ 645 ˆ ˆ LCL 0.05 ˆ − = − = ðể minh họa cho tính tốn LCL này, giả ñịnh ñộ lệch chuẩn s cho mẫu gồm 500 phí tổn sửa chữa $342 Vậy khoảng tin cậy 95% phía thấp cho năm 021 , 984 , $ 979 , 515 , 000 , 500 , 500 ) 342 ( ) 000 , 100 )( 645 ( 000 , 500 , ˆ LCL 0.05 = − = − = − = n N z σ τ Vì vậy, từ họa IRS cho phép thay phí tổn sửa chữa $3,984,021 IRS rõ ràng không tiền qua việc chọn giới hạn tin cậy thấp ñối với tổng phí tổn sửa chữa làm thayy tế phí tổn sửa chữa tối ña mà quan cho phép Như bạn thấy từ Hình 7.9, số ước lượng điểm khơng bị lệch τˆước lượng tổng chi phí (44)William Mendenhall cộng 44 Biên dịch: Hải ðăng HÌNH 7.9 Vị trí LCL liên quan đến τˆ 7.11 TĨM TẮT Chương trình bày khái niệm ước lượng thống kê chứng minh cách mà khái niệm áp dụng cho việc tìm lời giải cho số vấn ñề thực tiễn Các ước lượng qui tắc (thường cơng thức) mà nói với cách thức để tính tốn ước lượng tham số dựa liệu mẫu Các ước lượng ñiểm tạo số (ñiểm) mà ước lượng giá trị tham số tổng thể Các ñặc trưng ước lượng ñiểm ñược chứa ñựng phân phối mẫu Như ưa thích ước lượng điểm mà khơng bị lệch - nghĩa là, trung bình phân phối mẫu với tham số ước lượng ñược Ước lượng ñiểm phải sở hữu phương sai nhỏ, tốt tối thiểu ðộ tin cậy ước lượng ñiểm thường ñược ño 1.96 lần ñộ lệch chuẩn (của phân phối mẫu ước lượng đó) biên sai số ước lượng Khi sử dụng liệu mẫu để tính tốn ước lượng cụ thể, xác suất sai số ước lượng thấp biên sai số xấp xỉ 0.95 Một ước lượng khoảng sử dụng liệu mẫu để tính tốn hai điểm - khoảng tin cậy - mà hy vọng bao quanh tham số ước lượng ñược Bởi muốn biết xác suất mà khoảng bao quanh tham số, nên cần biết phân phối xác suất trị thống kê sử dụng để tính tốn khoảng Bốn số ước lượng - trung bình mẫu, tỷ lệ nhị thức, khác biệt cặp trị thống kê - ñược sử dụng ñể ước lượng ñại lượng tương ñương tổng thể chúng ñể chứng minh khái niệm ước lượng ñược phát triển chương Những số ước lượng ñược chọn lựa cho lý cụ thể Nói chung, chúng số ước lượng “tốt” cho tham số tổng thể có liên quan nhiều ứng dụng May mắn tất ước lượng ñều sở hữu, ñối với mẫu lớn, phân phối xác suất mà xấp xỉ chuẩn Sự kiện cho phép sử dụng qui trình giống để lập nên khoảng tin cậy cho bốn tham số tổng thể µ,p,(µ1−µ2),và(p1− p2) Vì chứng minh vai trò quan trọng mà ðịnh lý Giới hạn Trung tâm (Chương 6) đóng suy luận thống kê Khi tổng thể ñược chọn mẫu chuẩn cỡ mẫu khơng lớn, số ước lượng µvà µ1−µ2được vào phân phối t Student LCL = $3,984,021 τˆ=$6,500,000 (45)William Mendenhall cộng 45 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi Những Gợi ý Giải Toán Khi giải tập chương này, bạn ñược yêu cầu trả lời câu hỏi thực tế mà doanh nhân, người hoạt ñộng chuyên nghiệp, nhà khoa học, hay người tình quan tâm ðể tìm câu trả lời cho câu hỏi này, bạn cần phải suy luận hay nhiều tham số tổng thể Do vậy, bước ñầu tiên việc giải tốn xác định mục tiêu tập Tham số mà bạn mong muốn ñể thực suy luận? Việc trả lời hai câu hỏi sau ñây giúp bạn xác ñịnh (các) tham số 1. Loại hình liệu có liên quan? Câu hỏi giúp bạn ñịnh loại tham số nào bạn muốn có để thực suy luận: tỷ lệ nhị thức (các p) hay trung bình tổng thể (các µ) Hãy kiểm tra ñể xem liệu thuộc dạng có/khơng (hai-khả-năng) Nếu vậy, dự liệu nhị thức, bạn quan tâm ñến tỷ lệ Nếu khơng, dự liệu hẳn đại diện cho ñại lượng hay nhiều biến số ngẫu nhiên ñịnh lượng, bạn quan tâm đến số trung bình Hãy tìm từ khóa “tỷ lệ”, “tỷ phần” vân vân mà liệu nhị thức Dữ liệu nhị thức thường (nhưng luôn) phát triển từ “cuộc ñiều tra mẫu” hay trưng cầu ý kiến 2. Bạn có mong muốn thực suy luận tham số p hay µ, hay về khác biệt hai tham số (p1− p2)hay(µ1−µ2)?ðây câu hỏi dễ trả lời Kiểm tra số lượng mẫu có liên quan Một mẫu hàm ý suy luận tham số nhất, hai mẫu hàm ý so sánh hai tham số 3. Sau ựã xác ựịnh (các) tham số có liên quan tập, bạn phải xác ựịnh mục ựắch tập (a) chọn lựa cỡ mẫu cần thiết cho việc ước lượng tham số với giới hạn ựã ựược xác ựịnh cụ thể ựối với biên sai số hay (b) ước lượng tham số (hay khác biệt hai tham số) Mục ựắch rõ ràng (a), câu hỏi yêu cầu hay hướng dẫn bạn tìm kiếm Ộcỡ mẫuỢ Mục ựắch (b) rõ ràng tập hướng dẫn cụ thể bạn vào việc tìm kiếm ước lượng tham số (hay khác biệt hai tham số) 4. Kiểm tra ñiều kiện ñược yêu cầu cho phân phối mẫu tham số ñược ước lượng xấp xỉ phân phối chuẩn ðối với liệu lượng hóa, cỡ hay cỡ mẫu phải 30 hay nhiều ðối với liệu nhị thức, cỡ mẫu lớn ñảm bảo p±2σ(pˆ1−pˆ2)ñược chứa ñựng khoảng ñến [hay ) ˆ ˆ ( 1 ) 2 (pp ± σ pp ñược chứa khoảng -1 ñến cho trường hợp hai mẫu.] (46)William Mendenhall cộng 46 Biên dịch: Hải ðăng HÌNH 7.10 Cây ñịnh Bài tập Thêm 7.64 Phát biểu ðịnh lý Giới hạn Trung tâm ðịnh lý Giới hạn Trung tâm có giá trị sự suy luận thống kê? 7.65 Các giả ñịnh ñược thực sử dụng kiểm tra t Student ñể xây dựng khoảng tin cậy cho số trung bình tổng thể nhất? 7.66 Các giả ñịnh ñược thực sử dụng kiểm tra t Student ñể xây dựng khoảng tin cậy cho khác biệt hai số trung bình tổng thể? 7.67 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 64 quan sát sở hữu trung bình x =29.1và độ lệch chuẩn s = 3.9 Tìm ước lượng điểm cho trung bình tổng thể µ, tìm biên sai số ước lượng 7.68 Xem lại Bài tập 7.67, tìm khoảng tin cậy 90% cho µ 7.69 Xem lại Bài tập 7.67 Có quan sát cần có bạn muốn ước lượng µvới biên sai số ước lượng với 0.5 với xác suất 0.95? 7.70 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1=50và n2=60quan sát ñược chọn từ tổng thể Các cỡ mẫu trị thống kê mẫu tính được cho bảng kèm Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt số tổng thể, giải thích khoảng Loại liệu? Một mẫu hay hai mẫu? Một mẫu hay hai mẫu? Một mẫu (một p nhất) Hai mẫu (p1 - p2 ) Một mẫu (một µ nhất) Hai mẫu (µ1 - µ2) Nhị thức (quan tâm đến p) ðịnh lượng (quan tâm ñến µ) Cỡ mẫu Cỡ mẫu Ước lượng p Các cỡ mẫu Ước lượng µ Các cỡ mẫu Ước lượng (p1 - p2 ) Ước lượng (µ1 - µ ) Mẫu lớn (z) Các mẫu lớn (z) Các mẫu nhỏ (t) Mẫu (47)William Mendenhall cộng 47 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu ñính:: Cao Hào Thi Tổng thể 1 2 Cỡ mẫu 50 60 Trung bình mẫu 100.4 96.2 ðộ lệch chuẩn mẫu 0.8 1.3 7.71 Xem lại Bài tập 7.70 Giả định bạn muốn ước lượng (µ1−µ2)chính xác giới hạn 0.2 với xác suất 0.95 Nếu bạn muốn sử dụng cỡ mẫu, n 1 n phải lớn 2 bao nhiêu? 7.72 Một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 500 quan sát từ tổng thể nhị thức tạo x = 240 lần thành công a Tìm ước lượng điểm cho p, tìm biên sai số b Tìm khoảng tin cậy 90% p 7.73 Xem lại Bài tập 7.72 Một mẫu lớn ñược yêu cầu bạn muốn ước lượng p xác giới hạn 0.025 với xác suất với 0.90? 7.74 Các mẫu ngẫu nhiên ñộc lập gồm n1=40và n2 =80quan sát ñược chọn từ tổng thể Số lần thành công hai mẫu x1=17vàx2 =23 Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt hai tỷ lệ tổng thể nhị thức 7.75 Xem lại Bài tập 7.74 Giả ñịnh bạn muốn ước lượng (p1− p2) xác giới hạn 0.06 với xác suất 0.90 bạn có kế hoạch sử dụng cỡ mẫu nhau, nghĩa là, n1=n2.Vậy n 1 n phải lớn bao nhiêu? 2 7.76 Một chọn mẫu ngẫu nhiên séc chi trội cho khách hàng ngân hàng ngân hàng ñịa phương tạo liệu sau (tính đơla ñược làm tròn số) 302 512 97 316 69 16 133 701 107 156 401 14 465 72 128 68 Giả ñịnh mức chung khoản chi trội ngân hàng ñược kỳ vọng ổn ñịnh tương lai trước mắt Hãy sử dụng liệu mẫu để tìm khoảng tin cậy 90% cho qui mơ trung bình séc chi trội ngân hàng 7.77 Một máy bán nước giải khát khơng có cồn tự động thiết kế để bơm ra, mức bình quân, một lượng aoxơ nước cốc Trong lần kiểm tra máy này, 10 cốc ñầy nước ñược rút từ mày đo lường Trung bình ñộ lệch chuẩn 10 ñại lượng 7.1 aoxơ 0.12 aoxơ Tìm khoảng tin cậy 99% cho lượng bơm trung bình 7.78 Hai mẫu ngẫu nhiên, mẫu chứa 11 ñại lượng, ñược rút từ tổng thể không chuẩn sở hữu số trung bình µ1và µ2,và phương sai chung σ2 Các số trung bình phương sai mẫu sau: Tổng thể I Tổng thể II 4 60 1= x x2 =65.3 40 31 = (48)William Mendenhall cộng 48 Biên dịch: Hải ðăng Tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt số trung bình mẫu 7.79 “Các khoản ñầu tư lớn vào tự động hóa cơng nghệ khơng mang lại hạnh phúc cho ngành công nghiệp chế tạo Chính cải thiện nhỏ bé, đơn giản làm cho Toyota trở thành cơng ty dẫn đầu giới tính hiệu quả.”, theo Trung tâm Hỗ trợ Cung ứng Toyota Lexington, Kentucky (Chappell, 1994) Nhóm ñã ñi xuyên nước Mỹ ñể thảo luận nguyên lý Hệ thống Sản xuất Toyota với mà lắng nghe Trong số hàng ngàn công ty cung ứng Hoa Kỳ, có 22 số 391 cơng ty mà Toyota liên hệ có yêu cầu trợ giúp Nếu 391 công ty cung ứng xem đại diện cho mẫu ngẫu nhiên công ty cung ứng, tìm ước lượng tỷ lệ tất công ty cung ứng Hoa Kỳ mà có lẽ yêu cầu trợ giúp từ nhóm Biên sai số bao nhiêu? 7.80 Mặc dù hầu hết người Mỹ nói họ thích bữa ăn nấu nhà hơn, 56% cho họ thỉnh thoảng ăn tối nhà hàng hay nơi bán thức ăn nhanh vào cuối tuần Một ñiều tra gần ñây ñã bộc lộ cho thấy có 45% người từ 60 tuổi trở lên ñã ăn tối ngồi tuần trước đó, so với tỷ lệ 66% người trưởng thành 30 tuổi (“Most Restaurant Meals (Phần lớn bữa ăn nhà hàng)”, 1994) Giả ñịnh tỷ lệ phần trăm ñược hai mẫu mà mẫu có cỡ 1200 a Các biên sai số ñi với ước lượng tỷ lệ người từ 60 tuổi trở lên người độ tuổi 30 mà ngồi ăn tối tuần trước đó? b Tìm ước lượng ñiểm biên sai số cho khác biệt tỷ lệ người từ 60 tuổi trở lên người 30 tuổi mà ngồi ăn tối tuần trước 7.81 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 400 ñèn ñêm ñược kiểm tra, 40 ñèn ñược tìm thấy có lỗi Với hệ số tin cậy với 0.90, ước lượng khoảng mà giới hạn tỷ lệ thực ñèn bị lỗi rơi vào 7.82 Kinh nghiệm khứ cho thấy ñộ lệch chuẩn thu nhập hàng năm công nhân dệt tiểu bang cụ thể $1000 Một mẫu công nhân dệt lớn mà người cần để chọn người muốn ước lượng số trung bình tổng thể xác giới hạn $100.00 với xác suất với 0.95? Biết số trung bình mẫu tốn $14,800, xác ñịnh giới hạn tin cậy 95% cho số trung bình tổng thể 7.83 Một người làm thí nghiệm muốn sử dụng số trung bình mẫu x để ước lượng trung bình một tổng thể có phân phối chuẩn với sai số thấp 0.5 với xác suất với 0.9 Nếu phương sai tổng thể với 4, mẫu phải lớn để ñạt ñược xác này? 7.84 Một nghiên cứu thời gian ñược lên kế hoạch nhằm ước lượng, xác giới hạn giây với xác suất 0.90, thời gian trung bình cho cơng nhân hồn tất cơng việc lắp ráp Nếu kinh nghiệm từ khứ gợi ý σ =16giây đo lường thay đổi từ cơng nhân sang công nhân khác thời gian lắp ráp, có cơng nhân, người thực hoạt ñộng lắp ráp nhất, phải ñược ñưa vào mẫu này? 7.85 ðể ước lượng tỷ lệ công nhân thất nghiệp tiểu bang Iowa, nhà kinh tế ñã chọn lựa ngẫu nhiên 400 người từ giai cấp lao ñộng Trong số này, 25 người thất nghiệp a Ước lượng tỷ lệ thực công nhân thất nghiệp, tìm biên sai số ước lượng b Có người phải chọn mẫu nhằm giảm biên sai số xuống 0.02? 7.86 Sáu mươi số 87 người nội trợ ưa thích bột giặt A Nếu 87 người nội trợ ñại diện cho mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể tất người mua sắm tiềm năng, ước lượng tỷ lệ tổng số người nội trợ ưa thích bột giặt A Sử dụng khoảng tin cậy (49)William Mendenhall cộng 49 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi 7.87 Một chủ nhiệm khoa sinh viên mong muốn ước lượng chi phí bình qn năm ñại học ñầu tiên trường ñại học cụ thể xác giới hạn $500.00 với xác suất 0.95 Nếu mẫu ngẫu nhiên sinh viên năm thứ ñược chọn lựa yêu cầu giữ lại liệu tài chính, có sinh viên phải đưa vào mẫu này? Giả định ơng chủ nhiệm khoa biết dãy chi tiêu thay ñổi từ xấp xỉ $4800 ñến $13,000 7.88 Tỷ lệ phần trăm số ñiểm D F ban cho sinh viên hai giáo sư sử học ñại học ơng chủ nhiệm khoa lưu ý Giáo sư I ñạt ñược tỷ lệ 32% so với tỷ lệ 21% giáo sư II, lần lượt vào 200 180 sinh viên Hãy ước lượng chênh lệch tỷ lệ phần trăm số ñiểm D F ban cho sinh viên hai giáo sư Biên sai số bao nhiêu? 7.89 Giả ñịnh bạn mong muốn ước lượng sản lượng trung bình hàng qui trình sản xuất ra loại kháng sinh Qui trình quan sát cho 100 giai đoạn hàng ñược chọn lựa ngẫu nhiên, với kết sau: 34 = x aoxơ s = Hãy ước lượng sản lượng trung bình hàng cho qui trình này, sử dụng khoảng tin cậy 95% 7.90 Một kỹ sư kiểm soát chất lượng muốn ước lượng tỷ lệ có lỗi lơ lớn bóng đèn Từ kinh nghiệm trước đó, ơng ta cảm thấy tỷ lệ thực sản phẩm bị lỗi phải nằm đâu quanh 0.2 Một mẫu lớn mà ông ta phải chọn ông ta muốn ước lượng tỷ lệ thực rơi vào 0.01, sử dụng khoảng tin cậy 95%? 7.91 Các mẫu gồm 400 pin AA ñược chọn từ số hai dây chuyền sản xuất, A B Số lượng sản phẩm có lỗi mẫu cho bảng ñi kèm Hãy ước lượng khác biệt tỷ lệ thực tế sản phẩm có lỗi cho hai dây chuyền với khoảng tin cậy 0.90 Dây chuyền Số lượng Sản phẩm có lỗi A 40 B 80 7.92 Hiệu ñốt cháy mà người nội trợ kỳ vọng từ lò sưởi chạy dầu? EPA xác ñịnh mức 80% hay cao tuyệt vời, 755 ñến 79% tốt, 70% ñến 74% khá, 70% Một nhà thầu sưởi ấm cho nhà mà bán hai loại lò sưởi chạy dầu (ta gọi chúng A B) ñịnh so sánh mức ñộ hiệu trung bình chúng Một phân tích thực mức độ hiệu cho lị sưởi loại A lị loại B Xếp hạng mức độ hiệu quả, tính tỷ lệ phần trăm, cho 14 lị sưởi ñược cho bảng sau Loại A 72 78 73 69 75 74 69 75 Loại B 78 76 81 74 82 75 a Tìm khoảng tin cậy 90% cho (µA−µB)và giải thích kết b Dựa kết câu (a), liệu bạn kết luận có khác biệt xếp hạng mức ñộ hiệu trung bình cho hai loại lị sưởi khơng? Giải thích 7.93 Một kiểm tra sổ sách ñược tiến hành nhằm ước lượng khác biệt hao hụt (mất (50)William Mendenhall cộng 50 Biên dịch: Hải ðăng Cửa hàng Bách hóa 1 2 Cỡ mẫu 100 100 Trung bình mẫu 5.3 6.4 ðộ lệch chuẩn mẫu 2.7 2.9 7.94 Tiêu chuẩn liên bang ñang có hiệu lực u cầu phận đỡ va chạm xe phải giữ cho thân xe khơng bị hư hỏng chịu tác động va chạm phía trước phía sau vào chướng ngại vật phẳng chạy với tốc ñộ 2.5 mph Tuy nhiên, khơng có tiêu chuẩn liên bang tối thiểu cho xe gia đình, mặc cho kiện vào năm 1992 có nhiều số mười người mua chọn mua xe gia đình (“Passenger Van Bumpers (Các phân đỡ va chạm xe gia đình”, 1994) Trong kiểm tra người tiêu dùng bảy nhãn hiệu/mẫu xe gia đình phổ biến, chi phí sửa chữa sau phản ảnh tổng chi phí sửa chữa hư hỏng gây từ va chạm phía trước phía sau vào chướng ngại vật, va chạm từ phía trước vào chướng ngại vật nghiêng, va chạm từ phía sau vào cột: $1862 2554 3693 4082 4505 4601 7643 a Tìm trung bình độ lệch chuẩn n = chi phí sửa chữa b Tính tốn ước lượng khoảng tin cậy 95% chi phí sửa chữa tổng thể cho xe gia đình ñại diện mẫu c Sử dụng in Minitab ñược cho ñây ñể khẳng ñịnh kết câu (a) (b) N Trung bình •• l•ch chu•n Trung bình sai s• chu•n 95.0 Ph•n tr•m C.I Phí t•n 4173 1842 696 ( 2469, 5877) 7.95 Biết bảo toàn lượng quan trọng, nên số nhà khoa học nghĩ chúng ta phải có xem xét kỹ lưỡng chi phí (về lượng) việc sản xuất số loại hình thực phẩm khác Một nghiên cứu gần ñây so sánh lượng dầu mỏ trung bình cần thiết để sản xuất mẫu Anh loại hình trồng khác Ví dụ, giả định muốn so sánh khối lượng dầu mỏ trung bình ñể sản xuất mẫu Anh bắp so với mẫu Anh súp lơ Số ño thùng (khoảng 150 lít) dầu mỏ mẫu Anh, dựa ñất 20 mẫu Anh, bảy cho trồng, ñược cho bảng sau Sử dụng liệu để tìm khoảng tin cậy 90% cho khác biệt số khối lượng dầu mỏ trung bình cần thiết để sản xuất hai loại trồng Bắp 5.6 7.1 4.5 6.0 7.9 4.8 5.7 Súp lơ 15.9 13.4 17.6 15.8 15.8 16.3 17.1 7.96 Chiều dài thời gian từ lúc ghi hóa đơn đến nhận khoản chi trả ñược ghi nhận cho mẫu ngẫu nhiên gồm 100 khách hàng công ty kiểm tốn Trung bình độ lệch chuẩn mẫu cho 100 khách hàng 39.1 ngày 17.3 ngày Tìm khoảng tin cậy 90% cho thời gian trung bình từ lúc ghi hóa đơn đến nhận ñược khoản chi trả cho tất khách hàng cơng ty kiểm tốn Giải thích khoảng 7.97 Xem lại Bài tập 7.96 Một so sánh thời gian trung bình từ lúc ghi hóa đơn đến nhận khoản chi trả ñược thực cách chọn lựa mẫu ngẫu nhiên gồm 30 khách (51)William Mendenhall cộng 51 Biên dịch: Hải ðăng Hiệu đính:: Cao Hào Thi bảng kèm sau Tìm khoảng tin cậy 95% cho khác biệt thời gian trung bình để chi trả khách hàng cá nhân doanh nghiệp Khách hàng Cá nhân Khách hàng Doanh nghiệp Cỡ mẫu 100 100 x 5.3 6.4 s 2.7 2.9 7.98 Xem lại Bài tập 7.97 Có khách hàng loại phải ñược chọn mẫu (với các cỡ mẫu nhau) bạn muốn ước lượng khác biệt thời gian trung bình để chi trả xác giới hạn ngày với xác suất xấp xỉ với 0.95? 7.99 Những công ty quảng cáo truyền hình có lẽ tin tưởng cách sai lầm hầu hết người xem hiểu phần lớn mẫu quảng cáo mà học xem nghe ñược Một ñiều tra nghiên cứu gần ñây sử dụng 2300 người xem ñộ tuổi 13 Mỗi người xem nhìn trích đoạn quảng cáo truyền hình dài 30 giây Trong số này, 1914 người xem ñã hiểu sai tất hay phần trích đoạn Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ tất người xem (mà mẫu có tính đại diện) mà hiểu sai tồn hay phần trích đoạn quảng cáo truyền hình sử dụng nghiên cứu 7.100 Xe ñiện Tropica ñã ñược ño Ủy ban Tài ngun Khơng khí California để có kết một qng đường trung bình 44.7 dặm (“Thinking Cheaper (Suy nghĩ Rẻ hơn), 1994) Trong Bài tập 2.13, kiểm tra ñộc lập gồm 30 lần thử tạo quãng ñường ñi trung bình sau: 45.4 45.9 45.3 42.9 45.8 44.6 55.7 46.4 45.7 45.9 44.1 47.1 46.4 44.3 47.3 46.8 44.2 45.5 45.0 46.4 43.5 46.6 44.5 44.8 44.3 47.0 44.6 43.3 46.1 43.8 Dựa vào in Minitab sau đây, sử dụng qui trình ước lượng thích hợp để kiểm tra hay tranh luận qng ñường ñi trung bình 44.7 dặm ñược báo cáo Ủy ban Tài ngun Khơng khí California N Trung bình Trung v• Trung bình TR •• l•ch chu•n Trung bình sai s• chu•n Các quãng •••ng •i 30 45.273 45.350 45.292 1.199 0.219 T•i thi•u T•i •a Q1 Q3 Các quãng •••ng •i 42.900 47.300 44.300 46.400 7.101 Tốc độ mà máy tính cá nhân thực công việc khác giá trị ñể (52)William Mendenhall cộng 52 Biên dịch: Hải ðăng Standard Enhanced 1.56 1.20 1.59 0.96 1.41 1.38 1.68 1.09 1.48 1.54 1.17 1.26 1.37 1.41 0.94 1.23 1.39 1.16 1.56 1.30 Sử dụng Bộ Dữ liệu http://swlearning.com 7.102 Tham khảo liệu A ðối với loại khoa cố ñịnh, chọn hai mẫu ngẫu nhiên tiền lương với cỡ mẫu n = 50, từ khoa nam từ khoa nữ a Ước lượng khác biệt tiền lương trung bình ñối với giảng viên nam so với giảng viên nữ cách sử dụng khoảng tin cậy 95% dựa cách tiếp cận mẫu lớn (ðịnh lý Giới hạn Trung tâm) b Chọn loại khoa khác lặp lại câu (a) với cỡ mẫu n = 30 cho giảng viên nam lẫn giảng viên nữ cách sử dụng cách tiếp cận mẫu lớn 7.103 Tham khảo liệu B Chọn mẫu ngẫu nhiên gồm n1=10quan sát trọng lương tươi thuộc loại (mã hóa 0) n2 =10 quan sát trọng lượng tươi thuộc loại (mã hóa 1) a Sử dụng cách tiếp cận mẫu nhỏ dựa phân phối t ñể tìm ước lượng khoảng tin cậy 99% µ1−µ2,sự khác biệt thực trọng lượng tươi trung bình búp bơng cải xanh b Lựa chọn biến khác trọng lượng thị trường, trọng lượng khơ, đường kính búp lặp lại câu (a) 7.104 Tham khảo liệu C Trung bình độ lệch chuẩn thực tế kỳ hạn chi trả bình qn tính ngày µ=38.56 σ =14.224 a Xem xét kỳ hạn chi trả bình quân cho 694 quỹ ñầu tư thị trường tiền tệ tổng thể cần quan tâm chọn mẫu ngẫu nhiên có cỡ 30 từ tổng thể (sử dụng bảng số ngẫu nhiên, Bảng 13, Phụ lục II) b Sử dụng mẫu từ câu (a) ñể xây dựng khoảng tin cậy 99% cho µ Liệu khoảng tin cậy có bao quanh giá trị đúng, µ=38.56khơng? c Chọn mẫu ngẫu nhiên khác có cỡ 30 xây dựng khoảng tin cậy 99% khác cho µ Liệu khoảng có bao quanh µkhơng?
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ, Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

Hình ảnh liên quan

HÌNH 7.1 Những phân phối cho các ước lượng bị lệch và không bị lệch - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.1.

Những phân phối cho các ước lượng bị lệch và không bị lệch Xem tại trang 4 của tài liệu.
HÌNH 7.2 So sánh sự biến ñổ ic ủa ước lượng - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.2.

So sánh sự biến ñổ ic ủa ước lượng Xem tại trang 5 của tài liệu.
lệch chuẩn của số ước lượng ñó với xác xuất xấp xỉ bằng với 0.95. (Tham khảo Hình 7.3) - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

l.

ệch chuẩn của số ước lượng ñó với xác xuất xấp xỉ bằng với 0.95. (Tham khảo Hình 7.3) Xem tại trang 6 của tài liệu.
ñộ l ệch chuẩn tính từ số trung bình, và ñ iều này sẽ xảy ra với xác suất 0.05. Hình 7.4 cho thấy cách thức mà ñiều này vận hành khi xñược sử dụng như là một sốước lượng của µ - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

l.

ệch chuẩn tính từ số trung bình, và ñ iều này sẽ xảy ra với xác suất 0.05. Hình 7.4 cho thấy cách thức mà ñiều này vận hành khi xñược sử dụng như là một sốước lượng của µ Xem tại trang 7 của tài liệu.
BẢNG 7.2 ðị nh dạng của bản gt Student, Bảng 4 trong Phụ lục II - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

BẢNG 7.2.

ðị nh dạng của bản gt Student, Bảng 4 trong Phụ lục II Xem tại trang 16 của tài liệu.
HÌNH 7.7 Các phân phối mẫu của (a) - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.7.

Các phân phối mẫu của (a) Xem tại trang 17 của tài liệu.
2. Nếu các tổng thể ñượ c chọn mẫu có phân phối chuẩn, thì phân phối mẫu của - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

2..

Nếu các tổng thể ñượ c chọn mẫu có phân phối chuẩn, thì phân phối mẫu của Xem tại trang 21 của tài liệu.
ñượ c cho trong Bảng 7.4. - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

c.

cho trong Bảng 7.4 Xem tại trang 21 của tài liệu.
BẢNG 7.5 Một số giá trị tính toán của pq - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

BẢNG 7.5.

Một số giá trị tính toán của pq Xem tại trang 29 của tài liệu.
HÌNH 7.8 Phân phối mẫu xấp xỉ củ ax cho các mẫu lớn - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.8.

Phân phối mẫu xấp xỉ củ ax cho các mẫu lớn Xem tại trang 36 của tài liệu.
BẢNG 7.6 Các công thức tính cỡ mẫu - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

BẢNG 7.6.

Các công thức tính cỡ mẫu Xem tại trang 40 của tài liệu.
HÌNH 7.9 Vị trí của LCL liên quan ñế τˆ - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.9.

Vị trí của LCL liên quan ñế τˆ Xem tại trang 44 của tài liệu.
HÌNH 7.10 Cây quyết ñị nh - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

HÌNH 7.10.

Cây quyết ñị nh Xem tại trang 46 của tài liệu.
bảng ñi kèm sau ñ âỵ Tìm khoảng tin cậy 95% cho sự khác biệt về thời gian trung bình ñể chi trả giữa các khách hàng cá nhân và doanh nghiệp - Bài đọc 8. Khóa học ngắn về thống kê trong kinh doanh - 2nd ed., Chương 7: Ước lượng các số trung bình và tỉ lệ

b.

ảng ñi kèm sau ñ âỵ Tìm khoảng tin cậy 95% cho sự khác biệt về thời gian trung bình ñể chi trả giữa các khách hàng cá nhân và doanh nghiệp Xem tại trang 51 của tài liệu.