0

SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI

5 3 0
  • SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/01/2021, 14:38

Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng lưới tính toán tựa đều giải gần đúng phương trình song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải.. Chúng tôi thực hiện mộ[r] (1)SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI Trần Đình Hùng*, Nông Quỳnh Vân Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Các tốn giá trị biên cho phương trình song điều hịa có số ứng dụng vật lý, học kỹ thuật Trong báo này, tìm nghiệm gần tốn song điều hịa với điều kiện biên Dirichlet nửa dải Sử dụng lưới tính tốn tựa để tính chủ yếu giá trị gần biên hữu hạn đồng thời xử lý điều kiện biên vô Dựa ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng, đưa phương trình véctơ ba điểm dạng phương trình vô hướng ba điểm Chúng đưa số ví dụ minh họa cho hiệu phương pháp Từ khóa: Lưới tựa đều; phương trình song điều hòa; điều kiện biên Dirichlet; nửa dải; phương trình véctơ ba điểm Ngày nhận bài: 21/5/2020; Ngày hoàn thiện: 28/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 USING QUASI-UNIFORM GRIDS FOR SOLVING THE BIHARMONIC EQUATION WITH DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS IN SEMISTRIP Tran Dinh Hung*, Nong Quynh Van TNU - University of Education ABSTRACT Boundary value problems for biharmonic equations have many applications in physics, mechanics and engineering In this paper, we find an approximation solution of the biharmonic problem with Dirichlet boundary conditions in a semistrip Using quasi-uniform grids to find mostly near-finite boundary values and at the same time be able to handle boundary conditions at infinity Using the idea of Polozhii in the method of summary representations to transform the system of three-point vector equations to systems of three-point scalar equations Some examples demonstrate the applicability of the proposed method Keywords: Quasi-uniform grids; biharmonic equation; Dirichlet boundary; semistrip; three-point vector equations. Received: 21/5/2020; Revised: 28/5/2020; Published: 31/5/2020 (2)1 Giới thiệu Các toán giá trị biên cho phương trình Berger [1] có số ứng dụng vật lý, học kỹ thuật Cụ thể, tốn Dirichlet cho phương trình Berger biểu diễn trực tiếp ứng dụng lý thuyết độ võng mỏng Bài toán giá trị biên song điều hịa với điều kiện biên Dirichlet xét trường hợp đặc biệt tốn giá trị biên Dirichlet cho phương trình Berger Các tốn phương trình song điều hịa thu hút quan tâm lớn nhiều nhà học toán học Trong [2], Meleshko tổng hợp nhiều phương pháp mà nhà học sử dụng để giải tốn song điều hịa hai chiều phương pháp hàm Green, phương pháp hàm phức số phương pháp gần giải tích phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov-Galerkin với hàm sở chọn hàm trơn số miền đặc biệt hình chữ nhật, hình ellip, Trong vấn đề định tính đánh giá độ phức tạp tính tốn phương pháp chưa đề cập đến Matevossian [3] nghiên cứu tính giải được, nghiệm toán biên Neumann cho phương trình song điều hịa miền khơng giới nội với giả thiết nghiệm có tích phân Dirichlet bị chặn Các phương pháp gần giải tích nhiều tác giả sử dụng để giải phương trình song điều hòa miền bị chặn phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm bản, phương pháp phương trình tích phân biên Bài tốn giải phương trình song điều hịa nửa dải xuất lý thuyết đàn hồi nghiên cứu dòng chảy chậm chất lỏng nhớt Một số tốn biên Dirichlet miền khơng giới nội xử lý hiệu thơng qua lưới tính tốn tựa Phương pháp thường áp dụng toán mà lan truyền vật chất nhỏ dần xa nguồn ưu tiên tính tốn cần độ xác cao Hơn nữa, theo lưới tựa đều, điều kiện biên vô xử lý cách dễ dàng Trong báo này, chúng tơi sử dụng lưới tính tốn tựa giải gần phương trình song điều hịa với điều kiện biên Dirichlet nửa dải 2 Lưới tựa Cho ( )x hàm trơn, đơn điệu chặt biến [0,1]  Lưới không { ( / ), 0,1, , }, N xi x i N i N  = = = (1) với (0) 0, (1)x = x = + gọi lưới tựa đều [0,+ Để xây dựng lưới tựa ] đều, người ta thường xét hàm [4]: ( ) ln(1 ), x  = −c − ( ) tan , 2 x  =c  ( ) 1 xc   = − Khi ta lưới tựa tương ứng: Lưới logarithm: { ln(1 ), 0,1, , } N i i x c i N N  = = − − = Lưới tangent: { tan , 0,1, , } 2 N i i x c i N N   = = = Lưới hyperbol: { , 0,1, , } N i i x c i N N i  = = = − Trong c 0 tham số điều khiển Sử dụng xấp xỉ đạo hàm cấp 2: 2 1 1/2 1/2 3/4 1/4 1 1/4 3/4 1 ( ) ( 2( ) ) 2( ) i i i i i i i i i i i u u u x x x x x u u x x + + − + + − − −   − −  − − − − − (2) Xấp xỉ giá trị u điểm lưới: 1 1/2 1/2 . i i i i x x x x (3)Các công thức chứa uN =u không chứa x =  Các xấp xỉ sai phân hữu N hạn có bậc xác ( ) O N3 Xây dựng lược đồ sai phân Xét toán giá trị biên Dirichlet cho phương trình Berger: 2 ( ) ( , ), 0, 1, u b x u f x y x y  −  =    01 02 ( ,0) ( ), ( ,1) ( ), u x = x u x = x 0 (0, ) ( ), ( , ) 0, , u y = y u x yx→ + (3) 11 12 ( ,0) ( ), ( ,1) ( ), u xx u xx  =  = 1 (0, ) ( ) u yy  = với giả thiết thông thường hàm (3) liên tục 0 0 ( ) , ( , ) 0, ( ) 0, 1, 2, i b x B f x y x i x    → → = → + Nhận xét b x =( ) 0, phương trình (3) phương trình mỏng kinh điển phân tích thành tốn dạng phương trình Poisson liên tiếp Đặt  =u v, x0, 0  y Khi tốn (3) chuyển toán cấp sau: , 0, 1, v bv f x y  − =    11 12 ( ,0) ( ), ( ,1) ( ), v x = x v x = x (4) 1 (0, ) ( ), ( , ) 0, v y = y v x yx→ + Và  =u v, x0, 0  y 1, 01 02 ( ,0) ( ), ( ,1) ( ), u x = x u x = x (5) 0 (0, ) ( ), ( , ) 0, x u y = y u x yx→ + Xét lưới tựa N (1) theo hướng x lưới theo biến y : 2, j y = jh j=0,1, ,M Khi ta có lưới ={ ,x yi j} với x y i, j xác định Gọi vi j, ui j, giá trị xấp xỉ ( , )v x yi j ( ,u x yi j) với ( ,x yi j)  ( ), ( , ), ( , ) i i ij i j i j b =b x f = f x y x y   Sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm bậc (2) lưới tựa x công thức xấp xỉ đạo i hàm thông thường lưới y , ta có lược i đồ sai phân cho toán (4): 1, , 1/2 1/2 3/4 1/4 , 1, , , 2 1/4 , 3/4 ( 2( ) ) 2( ) 2 i j i j i i i i i j i j i j j i j i i i v v x x x x v v v v x v x h + + − + + − − + − − − − − − − − + − + − − , , ( , ) i j i ij i j b v f x y  − =  (6) ,0 11 , 12 0, 1 , ( ), ( ), ( ), i i i M i j j N j v x v x v y v    = = = = và lược đồ sai phân cho toán (5): 1, , 1/2 1/2 3/4 1/4 1 ( 2( ) i j i j i i i i u u x x x x + + − + + − − − − , 1, , , , 1/4 , /4 ) , 2( ) 2 j i j i j i j i j i j i i i u u u u v u x x h − − + − − − + − + − = − ( ,x yi j)  (7) ,0 01 , 02 0, 0 , ( ), ( ), ( ), i i i M i j j N j u x u x u y u    = = = = Lược đồ sai phân (6) (7) có cấp xấp xỉ 2 2 ( ) O N− +h 4 Phương pháp giải Viết lại lược đồ sai phân (6) dạng hệ phương trình véctơ ba điểm: 1 1 2 2 2 1 ( ) , i i i i i i i i i i A V TV B V A B b V F h h − + + + − + + + = 1, 2, , i= N (8) (4)1/2 1/2 1/4 3/4 , ) 2( ( ) i i i i i A x+ xxx− = − − 1/2 1/2 3/4 1/4 1 , ) 2( ( ) i i i i i B x+ xx+ x+ = − − (9) 1, 2, , i= N ,1 1 ,2 , 1 , ( ) ( ) , , ( ) i i i i M M i M v y v y V V v y v    − − −               = =                 ,1 11 2 ,2 , , 12 2 ( ) , 1, 2, , ( ) i i i i i M i M i f x h f F i N f f x h   − −  −          =  =      −      N V = T ma trận cấp M − : 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 T           =             Tiếp theo, áp dụng phương pháp đối [5] dựa ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để biến đổi hệ vơ hạn phương trình véctơ ba điểm thành hệ vơ hạn phương trình vơ hướng ba điểm Ký hiệu 2 ( ),ij ij sinij , S s s M M  = = 1 [ , , , M ], j 2cos j , M     −   = = , 1,2, , i j= MNhân (8) với S đặt 1 , ( ) i, 0,1,2, , i i j W = w =SV i= N 1 1 , ( ) , 1,2, , , 1,2, , i i j i G = g =SF i= N j= M− Khi (8) đưa dạng hệ phương trình véctơ ba điểm 1, 0,1, 2, , i W i = sau: 1 1 1 2 i i i i i AW W BW h − +  + + − 2 1 2 (Ai Bi b Wi) i G ii, 1, 2, , N h − + + + = = Khi cố định số j ta có hệ phương trình vơ hướng ba điểm: 1 1 1 1, , , 1, , , 1,2, , i i j i j i j i i j i j A w− −C w +B w+ = −F i= N 1 0,j 0, N j, 0, w = w = (10) trong A i B xác định (9), i 1 1 , , , 1 , ( ) M i j i j j l l l F gsy − = = − = 1 , 2 sin i j i i i j C A B b h M  = + + +  Để giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm (10), ta áp dụng phương pháp truy đuổi [6] Sau tìm , 0,1, 2, , , i W i= N V i được xác định , 0,1,2, , i i V =SW i= N Nghiệm lược đồ sai phân (7) tìm tương tự Chúng tơi thực số ví dụ số lưới tựa logarithm, tangent hyperbol, số nút lưới N, tham số điều khiển c Trong bảng kết sai số max | i j ( i, j) | i uu x y biểu diễn sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm Ví dụ Chọn 3 (1 ) ( ) 2, 1 x y b x u x + = = + (5)Bảng Sai số nghiệm gần ví dụ N c Sai số logarithm tangent hyperbol 40 0,0216 2.10− 2.10−3 60 0,0159 4.10−4 3.10−4 Ví dụ Chọn 2 ( ) 1, xsin( 2) cos b x = u=ex+ y Tham số điều khiển c =1 Kết tính tốn lưới tựa cho bảng 2: Bảng Sai số nghiệm gần ví dụ N h2 Sai số logarithm tangent hyperbol 40 0.1 0,0445 0,0148 0,0163 60 0.1 0,0329 0,0103 0,0092 40 0.01 6.10-3 3.10-5 4.10-5 60 0.01 2.10-3 10-5 2.10-5 Ví dụ Trong ví dụ này, ta xét trường hợp chưa biết trước nghiệm toán Chọn 01 02 11 12 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 1, ( ) 0, ( ) 0, ( ) x x y x x y       = = = = = = Hàm vế phải: ( , ) 5sin( ) cos( ) x f x y x y y = + + Chọn bước lưới h =2 0,1 Hình Đồ thị nghiệm xấp xỉ sử dụng lưới tựa tangent với N = 40, c = 1. 5 Kết luận Nội dung báo áp dụng lưới tựa vào giải tốn biên Dirichlet cho phương trình song điều hòa nửa dải áp dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa phương trình véctơ ba điểm dạng phương trình vô hướng ba điểm Một số thực nghiệm số thực minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] H M Berger, “A new approach to the analysis of large deflection of plates,” Journal of Applied Mechanics, vol 22, pp 465-472, 1955 [2] V V Meleshko, “Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem,” Applied Mechanics Reviews, vol 56, no 1, pp 33-85, 2003 [3] O A Matevossian, “On solutions of the Neumann problem for the biharmonic equation in unbounded domains,” Math Notes, vol 98, pp 990-994, 2015 [4] R Fazio, and A Jannelli, “Finite difference schemes on quasi-uniform grids for BVPs on infinite intervals,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 269, pp 14-23, 2014 [5] Q A Dang, and D H Tran, “Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip,” Applied Numerical Mathematics, vol 87, pp 114-124, 2015
- Xem thêm -

Xem thêm: SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI, SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI

Hình ảnh liên quan

Bảng 1. Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 1 - SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI

Bảng 1..

Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 1 Xem tại trang 5 của tài liệu.