182Cau UNG DUNG TICH PHAN

CHUN ĐỀ Ứng dụng hình học tích phân DẠNG Các câu hỏi chưa phân dạng Câu [2D3-5.0-2] (CHUYÊN BIÊN HÒA HÀ NAM ) Một chất điểm cuyển động với vận tốc v0  15m / s tăng vận tốc với gia tốc a  t   t  4t  m / s  Tính qng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68, 25m B 70, 25m C 69, 75m D 67, 25m Lời giải Đáp án C v t  �  t  4t  dt  13 t  2t  C Mà v    15 � C  15 nên v  t   13 t  2t  15 �1 � �1 � 279 S  t  � dt  � t  t  15t �30   69, 75  m  � t  2t  15 � 12 � � � 0� DẠNG Câu hỏi lý thuyết ứng dụng hình học TP Câu [2D3-5.1-1] (THPT–Chuyên ĐH Vinh - Lần 2) Cho hàm số y  f  x  liên tục � thỏa mãn f  1   f   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y  , x  1 x  Mệnh đề sau đúng? A S  1 �f  x  dx  �f  x  dx B S  1 C S  �f  x  dx 1 �f  x  dx D S  �f  x  dx 1 1 Lời giải Đáp án B Từ giả thiết ta có diện tích hình phẳng cần tìm giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục �, y  , x  1 x  , nên: S  �f  x  dx 1 Câu [2D3-5.1-1] (THPT VÂN CANH ) Cơng thức tính diện tích S hình thang cong giới hạn hai đồ thị y  f  x  , y  g  x  , x  a, x  b ( a  b ) � f  x   g  x   dx C S  �  f  x   g  x   dx A S  b a b b �f  x   g  x  dx D S  �  f  x   g  x   dx B S  a a b 2 a Câu [2D3-5.1-1] (SGD BẮC GIANG) Cho hàm số y  f  x  liên tục  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số, đường thẳng x  a , đường thẳng x  b  b  a  trục hoành b f  x  dx A S   � a b f  x  dx B S  � a b f  x  dx C S   � a b f  x  dx D S  � a Lời giải Đáp án D Áp dụng định nghĩA Câu [2D3-5.1-1] (TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - VĨNH PHÚC) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành, đường thẳng x  a, x  b b f  x  dx A � a b f  x  dx B � a a f  x  dx C � b Lời giải b f  x  dx D  � a Đáp án A Câu [2D3-5.1-1] (THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ-HP) Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục  a; b  có đồ thị  C1   C2  tương ứng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn  C1  ,  C2  hai đường thẳng x  a , x  b A S  C S  b �g  x   f  x  � �dx � a � b �f  x   g  x  dx D S  �f  x  dx  � g  x  dx B S  b dx �f  x   g  x  � � �� a a b b a a Lời giải Đáp án B �  C1  : y  f  x  �  C2  : y  g  x  Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng  H  � �x  1; x  b � b f  x   g  x  dx S  � a Câu [2D3-5.1-1] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu) Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành, đường thẳng b A �f  x  dx a b f  x  dx B  � a a C f  x  dx � x  a, x  b b D b f  x  dx � a Lời giải: Đáp án A b f  x  dx Theo định nghĩa ta có S  � a Câu [2D3-5.1-1] (THPT Chuyên Quốc Học Huế) Tính thể tích V khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  , trục 0x , hai đường thẳng x  a; x  b quay quanh trục Ox b f  x  dx A V   � a b f  x  dx B V  � a b f  x  dx C V   � a b f  x  dx D V  � a Lời giải Đáp án C Áp dụng cơng thức thể tích ta có đáp án C Câu [2D3-5.1-1] (Trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh - Lần - 2017) Cho hình  D  giới hạn n � � � � �� e  lim �  �� Quay  D  quanh trục Ox ta khối tròn đường y  f  x  , y  0, x   , x  e, � � n �� � xoay tích  f  x  dx A V   � e  f  x  dx B V   � e e f  x  dx C V   �   f  x  dx D V  � e Câu 10 [2D3-5.1-2] (THPT ĐOÀN THƯỢNG – HÀI DƯƠNG) Giả sử hình phẳng tạo đường y  f  x  , y  , x  a , x  b có diện tích S1 , hình phẳng tạo đường y  f  x  , y  , x  a , x  b có diện tích S , cịn hình phẳng tạo đường y   f  x  , y  , x  a, x  b có diện tích S3 Kết sau đúng? A S2  S3 B S1  S3 C S1   S3 D S  S1 DẠNG Xây dựng cơng thức tính diện tích theo hình vẽ Câu 11 [2D3-5.2-1] (THPT LƯƠNG TÂM – HẬU GIANG) Nếu hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1 ( x) f ( x) liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng x  a, x  b diện tích S cho cơng thức: b  f1 ( x)  f ( x) dx A S  � b B S  a b f1 ( x)  f ( x)dx C S  � a  f ( x)  f � ( x)  dx a b f1 ( x)  f ( x)dx D S  � a Lời giải Đáp án D b f1 ( x )  f ( x ) dx Ta có S  � a Câu 12 [2D3-5.2-1] (THPT CHUN LÊ KHIẾT) Cơng thức tính diện tích S hình thang cong giới hạn đường (với a  b hàm số f  x  g  x  liên tục  a; b  ) � f  x   g  x   dx C S  �  f  x   g  x   dx A S  b a b a b �f  x   g  x  dx D S  �  f  x   g  x   dx B S  a b 2 a Lời giải Đáp án B Câu 13 [2D3-5.2-3] (TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 1) Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl , S dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng Đáp án C B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng Lời giải D 3.000.000 đồng Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y  ax  bx  c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B  2;2  nên có phương trình y  x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB  2 nên có phương trình x  y  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y   x 2� � dx Vậy diện tích phần S1  � �8 x  x � � � 2 2� � dx �15, 233 Do đó, diện tích trồng hoa S1  S  � �8 x  x � � � 2   Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: 15, 233 �150.000   2    15, 233 �100.000 �3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng Câu 14 [2D3-5.2-3] (THPT CHUYÊN HƯNG YÊN) Vòm cửa lớn trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m A 128 m B 131 m C 28 m Lời giải Đáp án A Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi đó, vịm cửa giới hạn đường y  Phương trình hồnh độ giao điểm x4 � x 8� � x  4 � Diện tích vịm cửa x , y 8 D 26 m � 2� S� 8 x � dx � � 4 � 128 � �4 � 8x  x �  � �4 Câu 15 [2D3-5.2-3] (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN-QUẢNG TRỊ 2017) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị đoạn  1; 4 hình vẽ Tính tích phân I  �f ( x)dx 1 A I  B I  11 C I  D I  Lời giải Đáp án A Gọi A  1;0  , B  0;2  , C  1;2  , D  2;0  , E  3;  1 , F  4;  1 , H  1;0  , K  3;0  , L  4;0  Khi I  f ( x)dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx �f ( x)dx  �f ( x)dx  � 1  1 1 1 �f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx  �f ( x) dx ( f  x  �0 , x � 1; 2 f  x  �0 , x � 2;4 )  S ABO  SOBCH  S HCD  S DKE  S EFLK = 1 2� 1 2�  ��  1�  1� 1 2 2 Câu 16 [2D3-5.2-3] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Xét hình phẳng  D  giới hạn đường y   x  3 , y  0, x  Gọi A  0;9  , B  b;0   D  3  b   Tìm b để đoạn thẳng AB chia thành hai phần có diện tích A b  2 B b   C b  1 Lời giải Đáp án C D b   Phương trình hồnh độ giao điểm  x  3  � x  3 � S D   Theo đề bài, ta có SOAB   x  3 �  x  3 dx  3  3 9 S D   � OA.OB  � b  � b  1 thỏa mãn 3  b  2 2 Câu 17 [2D3-5.2-3] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - L3 - 2017) Anh Tồn có ao hình elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé 100m 80m Anh chia ao hai phần theo đường thẳng từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộng anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt lãi nuôi cá giống năm 20.000 đồng/m2 40.000 đồng/m2 Hỏi năm anh Toàn có tiền lãi từ ni cá ao nói (Lấy làm trịn đến hàng nghìn) A 176350 000 đồng B 105664 000 đồng C 137 080 000 đồng D 139 043000 đồng Lời giải Đáp án C π m Diện tích tồn ao Sπ 40.50  2000 Diện tích phần ni cá giống S1  S  Sπ m  1000  OAB  500 2   Diện tích phần nuôi cá thịt S2  S  Sπ  1000    1500 m Tiền lãi từ nuôi cá 40000.S1  20000.S2 �137 080000 Câu 18 [2D3-5.3-2] (TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Cho hình  H  giới hạn đường y   x  x trục hồnh Quay hình  H  quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích 4 32 496 A B C 15 15 D Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y   x  x trục hoành x2 �  x2  x  � � x0 � Thể tích khối trịn xoay cần tính 16 15 �x5 x � 16 V �   x  x  dx   �  x  x  x  dx   �5  x  �  15 � �0 0 2 2 Câu 19 [2D3-5.3-2] (TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x , y  x Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục hoành A 16 15 B 64 15 C 21 15 D 32 15 Lời giải Đáp án B x0 � Phương trình hồnh độ giao điểm x  x � � x2 � 64 x  x dx  Thể tích cần tìm VOx   � 15 DẠNG Diện tích hình phẳng y=f(x), Ox Câu 20 [2D3-5.4-1] [THPT PHẢ LẠI] Diện tích hình phẳng giới hạn y   x  x  , x  , x  trục Ox A B C 10 D  ln D ln  Câu 21 [2D3-5.4-2] (SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC) Gọi S  t  diện tích hình phẳng giới hạn đường y , y  , x  , x  t (t  0) Tìm lim S  t  t ��  x  1  x   A  ln  2 B ln  C Lời giải: Đáp án B Cách 1: *Tìm a, b, c cho  a bx  c  x  ( x  2)  x  1  x   �  a  x     bx  c   x  1 �  ax  4ax  4a  bx  bx  cx  c �a  b  �a  � � �   a  b  x   4a  b  c  x  4a  c � �4a  b  c  � �b  1 �4a  c  � c  3 � �  nên ta có: *Vì  0;t  , y   x  1  x   t � � t �1 x3 � S t  d x   dx � � � � Diện tích hình phẳng:   � 2 � � � � � x  x  x  x        0� � 0� � t t � 1 � � x 1 � �  dx  � ln  �  � �x   x    x   � � x  x  � �0 0� �  ln t 1 1   ln  t 2 t 2 �t  � �t  � ln � � lim 0 � � tlim t �� t  �  � �t  � �t  � 1� � t 1 ln   ln  � ln  Nên lim S  t   lim � t �� t �� 2� � t2 t2 *Vì lim � t �� Cách 2: Dùng Máy tính cầm tay t � � � �dx Diện tích hình phẳng: S  t   � � x  1  x   � 0� � 100 � � dx �0,193 � � Cho t  100 ta bấm máy  � � x  1  x   � � � Dùng máy tính kiểm tra kết ta đáp án B Câu 22 [2D3-5.4-2] (TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ - VĨNH PHÚC) Tính diện tích S miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3x trục hoành A S  13 B S  29 C S   27 D S  27 Lời giải Chọn D x0 � Phương trình hoành độ giao điểm: x  3x  � � x3 � 3 S � x  x dx  �  x  3x  dx  27 0 Câu 23 [2D3-5.4-2] (THPT NGƠ QUYỀN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ln x, trục hoành đường thẳng x  e e2  B S  A S  e  e2  C S  e2  D S  Lời giải Đáp án B Phương trình hồnh độ giao điểm: x ln x  � x  e x ln x dx  Khi S  � e x ln xdx � 1 � e d u  dx e � u  ln x �x � ex � e2 x e2  � x S  ln x  d x    � Đặt � � � � � 2 4 dv  xdx x2 � � � � v � Câu 24 [2D3-5.4-2] (THPT CHUYÊN KHTN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục hoành đường thẳng x  0; x  A e4 e2   4 B e4 e2   4 C e4 e2   4 D Lời giải Đáp án A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành  x  1 e x  � x   � x  � 0;  Vậy diện tích hình phẳng cho S�  x  1 e 0 2x dx  �  x  1 e S1  �  x  1 e2 x dx 1 2x dx  �  x  1 e dx  �  x  1 e xdx  S1  S 2x 1 e4 e2   4 du  dx � u  x 1 � � � � 2x Đặt � v e dv  e x dx � � � S1  0 1 2x 1 e dx   x  1 e x  e x  e   x  1 e2 x  � 21 4 1 1  x  1 e x dx  e4  e � S  e  e  Tương tự, ta có S  � 4 4 Câu 25 [2D3-5.4-2] (THPT Chun Quốc Học Huế) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   x  x  trục Ox A B  C D  Lời giải Đáp án C x 1 � Phương trình hoành độ giao điểm x  x   � � x3 � 3 1 Câu 26 [2D3-5.4-2] (THPT THANH THUY) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  xe x , y  0, x  1, x  x  x  dx  � Do đó, diện tích cần tìm là: S  �   x  x   dx  2 e e A e   e B e   C e   e D e   Lời giải Đáp án B x Phương trình hồnh độ giao điểm xe  � x  � 1;  Diện tích hình phẳng cần tìm S  x �xe dx  1 Ta có xe dx  xe  � e dx  xe � x x x x Khi S   xe  e  x x xe x dx  � 1 xe dx � x  e x  C ( Dùng phương pháp phần) 1   xe x  e x   1    e2      e2 1 e e e Câu 27 [2D3-5.4-2] (THPT VĨNH THẠNH) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường thẳng x  0, x   đồ thị hai hàm số y  cos x, y  sin x A B 2 C D Câu 28 [2D3-5.4-2] (Trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh - Lần - 2017) Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , x  , trục Ox A 72 B 16 C 16 D 24 Câu 29 [2D3-5.4-2] [TTLTĐH DIỆU HIỀN- CẦN THƠ - LẦN 1-2017] Tính thể tích vật thể trịn xoay 2 , y  , x  , x  quanh Ox quay hình phẳng giới hạn  C  : y   x  2 A 3 B  C  Lời giải Chọn C D  4 7 Thể tích cần tìm là: V   � dx  4 � d( x  2)    4 ( x  2) ( x  2) 3( x  2) 0 1 Câu 30 [2D3-5.4-2] (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Một người làm cổng cổ xưa có dạng Parabol hình vẽ Hãy tính diện tích cổng? A 28 B 16 C 16 D 32 Lời giải Đáp án D Phương trình parabol ( P ) có đỉnh I  0;4  qua điểm  0;2  y   x  Diện tích cổng diện tích hình phẳng giới hạn bởi: �y   x  � � y0 � � x  2 � � x2 Từ ta có S  � x 2  dx  2  x � 2   dx  32 ( đvdt ) Câu 31 [2D3-5.4-2] (THPT CHUYÊN KHTN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x sin x , trục hoành đường thẳng x  , x     A 2 B C D  Lời giải Đáp án D du  dx � ux � � �� Đặt � dv  sin xdx � v   cos x � � 1 1  x sin x  dx   x.cos x  �  cos x  dx   x.cos x  sin x  C � 2 x0 � �  x Xét  0;   ta có x sin x  � � � � x  � Diện tích hình phẳng   0     x sin x  dx  �  x sin x  dx S� x sin x dx  � x sin x dx  � x sin x dx  �   Thể tích khối trịn xoay cần tính   2 V   � x dx   �  x2  dx   � x  x  dx 1 0 �x x5 � 3  �  � �2 �0 10 Câu 145 [2D3-5.10-2] (THPT CÔNG NGHIỆP) Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y  , y  , x  , x  quanh trục Ox x A 2 B 3 C 4 D 6 ln Câu 146 [2D3-5.10-3] (TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - VĨNH PHÚC) Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol  P  : y  x đường thẳng d : y  x quay xung quanh trục Ox bằng: 2  x  x  dx A  �  x  x  dx B  � 2 0 2 0 x 2dx   � x 4dx D  � x dx   � x 4dx C  � Lời giải Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm x  x � x  x  Do 2x �x với x �(0; 2) nên V  V1  V2 V1 thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn đường thẳng d : y  x , trục Oy , đường thẳng x  trục Ox quay quanh trục Ox ; V2 thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P) , trục Oy , đường thẳng x  trục Ox quay quanh trục Ox Từ ta suy câu D Câu 147 [2D3-5.10-3] [THPT LÊ Q ĐƠN-BÌNH PHƯỚC] Kí hiệu H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  xe x , trục tung, trục hoành đường thẳng x  Thể tích V khối trịn xoay quay hình H xung quanh trục Ox là: A e2  B e  e C e2  D e2 Câu 148 [2D3-5.10-3] (TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG 1) Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục Ox đường thẳng x  quay quanh trục Ox x 1 V    a  b ln  với  a, b �� Khi ab bằng? B  A C D 3 Lời giải Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số trục hoành: x 0� x0 x 1 � 1 � � x � �   1  �V   � d x     d x � � � � � � � x   x  1 x 1� x 1� 0� 0� 0� 2 � � �3 � �  �  ln   1�  �  ln � � �2 � � Vậy V    a  b ln  � a  ; b  2 � ab  3 � � � dx   �x  2ln x   � � � x  �0 � � Câu 149 [2D3-5.10-3] (THPT Chuyên Bắc Giang lần 1) Tính thể tích khối trịn xoay có cho hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  , x  quay xung quanh trục hoành A 2  ln  1 B   ln  1 C 2 ln Lời giải D   ln  1 Đáp án D Phương trình hoành độ giao điểm ln x  � ln x  � x  Thể tích khối trịn xoay cần tìm � u  ln x du  dx � � V � ln x.dx Đặt � �� x dv  dx � � vx �   � � 2 V   �x ln x  � x dx �  ln  x    ln  1 x � � Câu 150 [2D3-5.10-3] (THPT Chuyên Bắc Giang lần 1) Tính thể tích khối trịn xoay có cho hình phẳng giới hạn đường y  ln x , y  , x  quay xung quanh trục hoành A 2  ln  1 B   ln  1 C 2 ln Lời giải D   ln  1 Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm ln x  � ln x  � x  Thể tích khối trịn xoay cần tìm � u  ln x du  dx � � V � ln x.dx Đặt � �� x dv  dx � � vx �   � � 2 V   �x ln x  � x dx �  ln  x    ln  1 x � � Câu 151 [2D3-5.10-4] ( SỞ GIÁO DỤC & ĐÀOTẠO NAM ĐỊNH) Cho hình phẳng H giới hạn đường y   x  , y  x  , x  Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay hình phẳng H quanh trục hồnh 27 9 55 A V  B V  C V  9 D V  2 Lời giải Đáp án D Lấy đối xứng đồ thị hàm số y   x  qua trục Ox ta đồ thị hàm số y  x  Phương trình hồnh độ giao điểm hai ssồ thị hàm số y   x  , y  x  là: x   x  � x    x  2 � x  2 � �x  �0 �� � � x  1 � �x    x   Gọi V1 thể tích khối trịn xoay sinh bở hình phẳng y  Ox x  , x  2, x  1 quay quanh trục V2 thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường thẳng quay quanh trục Ox 1   1 26 V1   � x  dx   ; V2   �  x   dx   2 1 y  x  2; x  1; x  Vậy V  V1  V2  55 Câu 152 [2D3-5.10-4] [TTLT ĐH DIỆU HIỀN THÁNG 10 - 2016] Gọi  H  hình phẳng giới hạn  C  : y  x ; d : y   x  2; Ox Quay  H  A  B 10 21 xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay tích là:  4 C D 21 Lời giải Đáp án B Gọi  H1  hình phẳng giới hạn y  x ; y  0; x  0; x  Khi quay hình  H1  quanh trục Ox khối  x3  dx  xoay tích V1   �  Gọi  H  hình phẳng giới hạn y   x; y  0; x  1; x    x  dx  Khi quay hình  H  quanh trục Ox khối xoay tích V2   � 10 Vậy thể tích cần tìm V  V1  V2  21  Câu 157 DẠNG 11 Thể tích vật thể trịn xoay (quay quanh Oy) Câu 153 [2D3-5.11-1] (THPT LƯƠNG TÂM – HẬU GIANG) Thể tích khối trịn xoay tạo nên quay xung quanh trục trục Ox hình phẳng giới hạn đường y    x  , y  0, x  0, x  bằng: A 8 B 2 C 5 D 2 Lời giải Đáp án B (1  x) dx  Gọi V thể tích cần tìm: V   � 2 Câu 154 [2D3-5.11-2] [THPT CHUYÊN ĐH VINH] Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y   x , y  x , y  xung quanh trục Ox tính theo cơng thức sau đây? x dx   x  dx   � A V   � 1 xdx   �2  xdx C V   �   x  dx B V   � x dx   �   x  dx D V   � Câu 155 [2D3-5.11-2] (THPT CHUN LÊ KHIẾT) Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn đường y  x  , x  tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  điểm A  1;  xung quanh trục Ox A 2 B  C 8 15 D  Lời giải Đáp án C  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  điểm A  1;  y  x  Thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức: �5 � V �  x2  1  x dx   �x  x  dx   �  x4  x2  1 dx   �x5  23x  x �  815 � �0 0 1 Câu 156 [2D3-5.11-3] [THPT CHUYÊN ĐH VINH] Cho số phức z1   2i , z2   3i Khẳng định sau sai số phức w  z1.z2 ? A Môđun w 65 B Số phức liên hợp w  i C Điểm biểu diễn w M  8; 1 D Phần thực w 8, phần ảo 1 DẠNG 12 Câu hỏi liên hệ giá trị hàm diện tích hình phẳng Câu 157 [2D3-5.12-3] (TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Cho hàm số y  x  (m  2) x  m  có đồ thị (Cm ) Các giá trị m thỏa (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm ) trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh B  2; 2 A  0;  C  1;1 Lời giải 96 thuộc tập hợp sau đây? 15 D  2;  Đáp án B � x2  Ta có x  (m  2) x  m   � �2 x  m2  � (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt m �0 2 (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ theo thứ tự  m2  1; 1;1; m2  1 S �x   m 1    x  m  dx   96 15 �x 96 � �   m   x   m  1 15 �5 1 1 48   m     m  1  � m2  � m2  � m  � 15 3 �S 2 �x   m   x  m  dx  �1 96 x�  �1 15 Câu 158 [2D3-5.12-4] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN) Cho số thực a , b , c , d thỏa mãn  a  b  c  d hàm số y  f  x  Biết hàm số y  f �  x  có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y  f  x   0; d  Khẳng định sau khẳng định đúng? y a b c d x O A M  m  f    f  c  B M  m  f  d   f  c  C M  m  f  b   f  a  D M  m  f    f  a  Lời giải Đáp án A Gợi ý: Sử dụng bảng biến thiên ta tìm được: max � f  x � �f  x  � � max  f   , f  b  , f  d   ; �  f  a  , f  c    0;d  �  0;d  � Quan sát đồ thị, dùng phương pháp tích phân để tính diện tích ta có: b c a b f� f�  x  dx  �  x  dx � f  c   f  a  � a b f� f�  x  dx  �  x  dx � f    f  b  Tương tự: � a c d b c f� f�  x  dx  �  x  dx � f  b   f  d  � �f  x  � �f  x  � Vậy max � f   ;min � f  c   0;d  �  0;d  � DẠNG 13 Bài tốn thực tế (gắn hệ trục, tìm đường cong,…) Câu 159 [2D3-5.13-1] (THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ-HP) Bạn An ngồi máy bay du lịch giới vận tốc chuyển động máy bay v  t   3t   m /s  Quãng đường máy bay từ giây thứ đến giây thứ 10 A 996m B 876m C 966m D 1086m Lời giải Đáp án C 10 Quãng đường cần tìm  3t �   dx   t  5t  10  966 Câu 160 [2D3-5.13-3] (TRƯỜNG THPT CHUN QUANG TRUNG)Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) A 19m3 B 21m3 C 18m3 D 40m3 Câu 161 [2D3-5.13-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Gọi S diện tích Ban - Cơng ngơi nhà có hình dạng hình vẽ ( S giới hạn parabol  P  trục Ox ) Khi B S  A S  C S  D S  Lời giải Đáp án C Tìm phương trình parabol  P  qua ba điểm: đỉnh A  0;1 , B  1;0  C  1;0  giao điểm với trục Ox ta  P  : y   x  1 � x3 �   S   x  d x    x Diện tích � �  (xem thêm hình vẽ minh hoạ) � � �1 1 Câu 162 [2D3-5.13-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc toạ độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn 2 100 kg trục nhỏ (như hình vẽ) Trong đơn vị diện tích cần bón  2  1  phân hữu Hỏi cần sử dụng kg phân hữu để bón cho hoa? A 30 kg B 40 kg C 50 kg Lời giải D 45 kg Đáp án C Diện tích hình phẳng giới hạn elip đường trịn diện tích hình elip trừ diện tích hình trịn  Phương trình elip có trục lớn 2a  2 , trục nhỏ 2b   E  : Áp dụng cơng thức diện tích Selip   ab ta Seip    Phương trình đường trịn  C  tâm O  0;0  bán kính R  Áp dụng cơng thức diện tích S hình trịn   R   * Vậy diện tích hình phẳng S  S elip  S hình trịn    x2 y  1 1  C  : x  y  2   � 100 �  2 �  50 Do khối lượng phân cần bón � � � 2  1  x2 y S   ab   + Chứng minh cơng thức diện tích elip: elip với E :    a b � b y a  x ,  y �0  � a � b 2 � y a  x ,  y  0 � a � a Do tính đối xứng nên Selip b  �a  x dx a0 44 43 I  � �x  a � sin u  � u  Đặt x  a sin u  dx  a cos udu ; đổi cận � � �x  � sin u  � u      a2   cos 2u  du I  �a  a sin u a cos udu  a �1  sin u cos udu  a � cos udu  � 0 0 a   2 � �  a  Vậy Selip   ab u  sin 2u � � � �0 Câu 163 [2D3-5.13-3] (THI THỬ LỚP 12 LẦN THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối cầu tâm O bán kính R Mặt phẳng  P  cách O khoảng R chia khối cầu thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 27 B 19 C 24 D 32 Lời giải Đáp án A Thể tích khối cầu V  4 R Thể tích chỏm cầu có chiều cao h  h � R 5R 5 R R 2�  V1   h �R  �  24 � 3� Do phần cịn lại tích V2  V  V1  V1 27 R  Vậy V2 27 24 Câu 164 [2D3-5.13-3] [TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP] Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m chiều rộng 30m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí để làm m2 làm đường 500.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 119000000 B 152000000 C 119320000 Lời giải D 125520000 Đáp án C x2 y2 Gọi S diện tích elip  E  :   ta có S   ab a b a � x2 x2 � S  b    � �  ab Chứng minh 2 � � � a a a � � Xét hệ trục tọa độ Oxy cho trục hoành trục tung trục đối xứng hình chữ nhật trục hồnh dọc theo chiều dài hình chữ nhật Gọi  E1  elip lớn,  E2  elip nhỏ ta có: x2 y  E1  :   � Diện tích S1   25.15  375 25 15 x2 y2  E2  :   � Diện tích S2   23.13  299 23 13 Diện tích đường 375  299  76 Do số tiền đầu tư 76 *500.000 �119320000 Câu 165 [2D3-5.13-3] ( SỞ GIÁO DỤC & ĐÀOTẠO NAM ĐỊNH) Một ô tô chạy với vận tốc t  m /s  Tính qng đường mà 36km /h tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a  t    tô sau giây kể từ ô tô bắt đầu tăng tốc A 90m B 246m C 58m Lời giải Đáp án A Đổi 36 km h  10 m s Khi ô tô chuyển động nhanh dần với gia tốc a  t    D 102m t  m s2  t2 � t� a  t  dx  �  d x  t   C  m s � Vận tốc ô tơ v  � � � � 3� Khi tơ bắt đầu tăng tốc v    10 �   C  10 � C  10 � v  t  t  10  m s  Vậy quãng đường ô tô sau giây kể từ ô tô bắt đầu tăng tốc � t2 � s� t   10 � dt  90 m � � � Câu 166 [2D3-5.13-3] (QUẢNG XƯƠNG-1-THANH-HOA-L2) Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng Lời giải D 4821322 đồng Đáp án D Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x  y  36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y  36  x  f (x) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hồnh, đồ thị y  f (x) hai đường thẳng x  3; x  3 � S  �36  x dx 3 Đặt x  6sin t � dx  cos tdt Đổi cận: x  3 � t           ; x  3�t  6   18  12 �S 2� 36cos 2tdt  36 � (c os2t+1) dt  18(sin t  t)   Do số tiền cần dùng 70000.S �4821322 đồng Câu 167 [2D3-5.13-4] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA-HÀ NAMLẦN 2) Để trang trí tồ nhà người ta vẽ lên tường sau: cạnh hình lục giác có cạnh dm cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol  P  cách cạnh lục giác 3dm nằm phía ngồi hình lục giác, đầu mút cạnh điểm giới hạn đường  P  Hãy tính diện tích hình (kể lục giác) 2 A  24  dm  B  12  dm  C  24  dm  D  12  dm  Lời giải Đáp án A Xét cánh hoa hình parabol mơ tả; đặt hệ trục hình vẽ: Khi ta phương trình parabol y  3x  �  3 x   dx    x �   dm  diện tích cánh hoa là: S1  1 Diện tích hình lục giác S  3x  1   dm  2 Vậy tổng diện tích hình trang trí S  S1  S2  24   dm  Câu 168 [2D3-5.13-4] [CỤM TP VŨNG TÀU 2017] Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai đầu hai mặt phẳng vùng vng góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu khoảng dm để làm lu đựng nước Thể tích lu 500 2296 952 472 dm3 dm3 dm3 dm3 A B C D 15 27 Lời giải Đáp án D Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích R 2 V1   � R  x dx      25  x2  dx  143 � d 4 14 472 Vậy thể tích lu V  Vc  2V1   53  �   3 Câu 169 [2D3-5.13-4] (TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Cho hai đường tròn  O1 ;5   O2 ;3 cắt hai điểm A, B cho AB đường kính đường trịn  O2  Gọi  D  hình thẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay  D  quanh trục O1O2 ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành A  D O1 O2 B A V  14 B V  68 C V  40 D V  36 Lời giải Đáp án C Chọn hệ tọa độ Oxy với O2 �O, O2C �Ox, O2 A �Oy Đoạn O1O2  O1 A2  O2 A2  52  32  �  O1  :  x    y  25 Kí hiệu  H1  hình phẳng giới hạn đường  O1  :  x    y  25, Oy : x  0, x �0 2 Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đường  O2  : x  y  9, Oy : x  0, x �0 y A  D O1 O2 �O C x B Khi thể tích V cần tìm thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình  H1  xung quanh trục Ox 3 Ta có V2   r   33  18 � x   �1 14  � � y dx   � 25  x   dx   � 25 x  � Lại có V1   � �  � 3 � � 0 � � 1 Do V  V2  V1  18  14 40  3 Câu 170 [2D3-5.13-4] (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu) Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1 m  rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng nghìn) A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng Lời giải D 6.620.000 đồng Đáp án C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trong A  2,5;1,5  , B  2,5;1,5  , C  0;2  Giả sử đường cong phía Parabol có dạng y  ax  bx  c , với a; b; c �� Do Parabol qua điểm A  2,5;1,5  , B  2,5;1,5  , C  0;2  nên ta có hệ phương trình � �a  2,5   b  2,5   c  1,5 �a   25 � � � b0 �a  2,5   b  2,5   c  1,5 � � � � c2 c2 � � � � Khi phương trình Parabol y   2 x 2 25 Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   trục hoành hai đường thẳng x  2,5 , x  2, 2 x 2, 25 2,5 2,5 � 55 � 2 � � x  x  d x    2x �  Ta có S  � � � � 25 � � 25 �2,5 2,5 � Vậy ông An phải trả số tiền để làm cửa sắt S �700000  55 �700000 �6.417.000 (đồng) DẠNG 14 Các tốn liên mơn Câu 171 [2D3-5.14-2] (THPT VĨNH THẠNH) Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với 2 gia tốc a(t )  3t  t (m/s ) Quảng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc mét? A 4000 m B 4300 m C 1900 m D 2200 m Câu 172 [2D3-5.14-2] (THPT LƯƠNG TÂM – HẬU GIANG) Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t   s  chuyển động thẳng với vận tốc v  t   t   t   m /s  Tìm quảng đường vật dừng lại A 20,8m B 20,83m C 125 m D 20,83333m Lời giải Đáp án C t (5  t )dt  Gọi S quảng đường S  � 125 Câu 173 [2D3-5.14-2] [THPT CHUYÊN ĐH VINH] Ông B có khu vườn giới hạn đường parabol đường thẳng Nếu đặt hệ tọa độ Oxy hình vẽ bên parabol có phương trình y  x đường thẳng y  25 Ông B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu vườn đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng loại hoA Hãy giúp ông B xác định điểm M cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ A OM  B OM  15 C OM  10 D OM  10 Câu 174 [2D3-5.14-3] Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới với vận tốc chuyển động máy báy v (t )  3t  5(m / s ) Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 là: A 36m B 252m C 1134m D 966m Câu 175 [2D3-5.14-3] (THPT VĨNH THẠNH) Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a(t )  3t  t ( m / s ) Quảng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc mét? A 4000 m B 4300 m C 1900 m D 2200 m Câu 176 [2D3-5.14-3] [THPT LẠNG GIANG 1- BẮC GIANG LẦN - 2017] Tốc độ phát triển số 1000 , t �0 , B  t  số  t  lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số B�   0,3t  lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 ml nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an tồn nữa? A B 10 C 11 D 12 Lời giải Đáp án B 1000 1000 B '  t  dt  � dt   C Ta có � 0,   0, 3t    0,3t  Mà B    500 �  Do đó: B  t    10000 11500  C  500 � C    0,3.0  10000 11500    0,3t  Nước hồ an toàn khi B  t   3000 �  10000 11500   3000 � t  10   0,3t  Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không cịn an tồn Câu 177 [2D3-5.14-3] (THPT CHUN THÁI BÌNH) Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xả lũ 40 phút với tốc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v  t   10t  500  m /s  Hỏi sau thời gian xả lũ hồ thoát nước nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu? A 5.10  m  B 4.10  m  C 3.10  m  D 6.10  m  Lời giải Đáp án C Lượng nước thoát là: 2400 � 10t  500  dt   5t  500t  2400  3.107  m  Câu 178 [2D3-5.14-3] [THPT PHẢ LẠI] Một ô tô chạy với vận tốc 12 m /s người lái đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  12  m /s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc xe dừng hẳn, tơ cịn mét? A m B m C 18 m D 36 m Câu 179 [2D3-5.14-3] (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ TTLT ĐH DIỆU HIỀN) Một ô tô di chuyển với vận tốc v1  t   2t  16  m / s  (gọi lúc xuất phát) sau khoảng thời gian t1 bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2  t   16  6t1  4t  m / s  thêm khoảng thời gian t2 dừng lại Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại  s  Hỏi xe quãng đường nhiều mét? A 32m B 80m C 64m D 48m Lời giải Đáp án B Quảng đường mà ô tô di chuyển tổng thời gian là: t1 t1  t t1 S� (16  2t ) dt  �(16  4t )dt 16t  t t1 � (16  6t1 )t  2t � � �t (do  16t1  t12  (16  6t1 )(4  t1 )  2(16  t12 )  3t12  24t1  32 �� 6t1  24 �S�� t1 S ' t  0;4  Nên S � Smax t1  t2  ) 80( m) Bảng biến thiên: Câu 180 [2D3-5.15-3] (TTLT DIỆU HIỀN ) Một đám vi trùng ngày thứ N� (t )  t có số lượng N (t ) Biết 7000 lúc đầu đám vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng bao t2 nhiêu con? A 322542 B 332542 C 312542 Lời giải D 302542 Đáp án C 7000 dt  7000.ln  t    C mà N    300000 � C  300000  7000 ln t2 Ta có: N  t   � Nên N  t   7000.ln  t    300000  7000 ln Do đó: N  10   312542 Câu 181 [2D3-5.5-2] (THPT VÂN CANH ) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số y  2 x  x  x  đồ thị (C’) hàm số y  x  x  bằng: A B C D Câu 182 [2D3-5.9-2] (THPT VÂN CANH ) Cho hình (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x ,trục Ox đường thẳng x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình (H) y  x2 xung quanh trục Ox bằng:  4  A ln B ln C ln D  ln 3 ... chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/... Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN parabol có phương trình y   x  208 �1 �  x  6� dx  m - Khi diện tích khung tranh S  � � � 2 � - Suy... (TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - L3 - 2017) Gọi H hình phẳng x giới hạn đồ thị hàm số y  , trục Ox đường thẳng x  Tính thể tích V khối  x2 tròn xoay thu quay hình H xung quanh trục Ox 