Ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Hải Hà

ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐKHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Hải Hà

ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ GIỮA MỘT SỐKHÔNG GIAN MÊTRIC COMPACTChuyên ngành : Hình học và tôpô

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích

dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

Trần Thị Hải Hà

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biếtơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn,giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của TrườngĐại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham giagiảng dạy lớp Cao học khóa 27 đã cho tôi những kiến thức toán học vềĐại số, Giải tích và Hình học tôpô.

Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công!

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin củaTrường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiệnhọc tập tốt nhất cho chúng tôi Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trongHội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hìnhhọc và tôpô khoa Toán khóa 26, 27 về những sẻ chia và giúp đỡ trongthời gian học tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vìnhững sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học.

Trần Thị Hải Hà

Trang phụ bìaLời cam đoanLời cảm ơnMục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian tôpô 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Định nghĩa 4

1.1.3 Tập mở 4

1.1.4 Không gian tôpô con 4

1.1.5 Không gian tôpô tổng 4

1.1.6 Không gian tôpô tích 5

1.1.7 Không gian tôpô thương 5

1.1.8 Cơ sở không gian tôpô 5

1.1.9 Phần trong, bao đóng, biên 6

1.2 Các tiên đề tách 6

1.2.1 Không gian T60

1.2.2 Không gian T61 .

1.7.2 Không gian mêtric con 12

1.7.3 Không gian mêtric tích 12

1.7.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric 12

1.7.5 Không gian mêtric đầy đủ 13

1.7.6 Không gian mêtric compact 14

1.7.7 Mở rộng đầy đủ của một không gian mêtric 14

1.7.8 Tôpô sinh bởi mêtric 15

1.7.9 Không gian mêtric hóa 15

1.11 Lớp tương đương, quan hệ tương đương 20

1.11.1 Quan hệ tương đương 20

1.11.12 Lớp tương đương 20

Chương 2 PHÉP NHÚNG ĐẲNG CỰTRÊN CÁC KHÔNG GIANMÊTRIC COMPACT CÓ SỐ CHIỀU ĐẾM ĐƯỢC212.1 Không gian tôpô M,R 22

2.2 Không gian mêtric (M,R,P) 25

2.3 Phủ c X 29

n2.4 Số u ( X , n)và số đếm  ( X , n)29

2.5 Họ R* 29

2.6 Số u ( E , n) và số đếm (E,n) 29

2.7 Tập hợp VX 30

( n ,i )2.8 Cơ sở đánh chỉ số B0 30

2.9 Cơ sở ban đầu MQ ( n ,i , E )

302.10 Họ R 31M

Q ( n , i , E )d ( X , j , s ), d ( X , j , s)và d ( X , j , s)312.11.1 Số12

*2.18 Tập Hs 34

MỞ ĐẦU

1.Giới thiệu đề tài

Trong tài liệu này chúng ta nghiên cứu về ánh xạ đẳng cự giữa những không gian mêtric compact Trong bài báo [5] vào năm 2013 của tác giả

nchiều bao hàm tất cả các không gian mêtric compact n chiều được xâydựng” Và vấn đề được đưa ra cho việc nghiên cứu sau này là kết quả này có

được giữ trong không gian có số chiều siêu hạn hay không Chúng ta giảiquyết những vấn đề sau trong tài liệu này:

Vấn đề 1: Ta xây dựng không gian mêtric compact khả ly đầy đủ có số

chiều siêu hạn thỏa điều kiện trên.

Vấn đề 2: Ta nhắc lại rằng ánh xạ F: XY từ X vào Y được gọi là phổ

dụng trong lớp của ánh xạ nếu

Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn thì khi đó F được gọi là ánh xạ bao hàm cho lớp

F Trong trường hợp tất cả các không gian được xét là mêtric và ánh xạ i và j

là đẳng cự, F được gọi là ánh xạ đẳng cự phổ dụng.

Trong phần này, kết hợp những kết quả ở tài liệu tham khảo, chúng ta khẳngđịnh sự tồn tại và xây dựng ánh xạ bao hàm đẳng cự cho lớp các ánh xạ liêntục giữa các tập mêtric compact thông qua các định lý trong bài.

2 Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệmcủa khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã đượcđịnh nghĩa.

Chúng ta có định nghĩa về đẳng cự của hai không gian mêtric như sau:

Trong tài liệu [5], Stavros Iliadis khẳng định rằng “Tồn tại một không

mêtric compact đẳng cự số chiều n” và ông đã nêu lên một số vấn đề cần giảiquyết như sau:

1 Cho  \ Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp tất cả

4 Cho   \  Có tồn tại một không gian mêtric compact khả li

hỏi 3 và xây dựng những sơ đồ ánh xạ đẳng cự giữa một số không gian mêtric

Nghiên cứu ánh xạ và đẳng cự của một số không gian mêtric compact.

Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và sử

dụng các kết quả nghiên cứu đã có để chứng minh một số định lý và tính chất trong bài.

Chương 1: Giới thiệu tổng quan Các kiến thức chuẩn bị về đại số,

nhóm tôpô, tính compact, tính liên thông và không gian mêtric.

Chương 2: Phép nhúng đẳng cự giữa những không gian mêtric

compact có số chiều đếm được.

Chương 3: Ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact.

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian tôpô

1.1.2 Định nghĩa

x VX

Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở.

x  A thì có một

 A

1.1.4 Không gian tôpô con

  A U :U mở trong X là họ các tập mở trong A Dễ thấy 

1.1.5 Không gian tôpô tổng

.Đặt X Xi và   U  X :U  Xi mở trong Xi ,i I

iI

không gian tôpô XiiI Kí hiệu:

i

1.1.6 Không gian tôpô tích

Cho họ các không gian tôpô

 được gọi là không gian tôpô tích.

1.1.7 Không gian tôpô thương

Ta đặt:

q : X  X / Rx [ x]

với X / R là tập các lớp tương đương củaR .

là tôpô thương.

1.1.8 Cơ sở không gian tôpô

họ con của 

Như vậy, một họ các tập con (trên

và lân cận

   được gọi là cơ sở của

của một

V

b Bao đóng

 c Biên

1.2 Các tiên đề tách1.2.1 Không gian

không gian nếu với hai điểm

0

sao cho x U

2

1.2.3 Không gian T2

1.2.4 Không gian T3Không gian tôpô

(hay không gian

điểm

f V W.x

o  X nếu với mỗi lận cận W của

thì f 1 W  là lân cận của xo trong X

1.3.3 Định lý

mệnh đề sau tương đương:

1.5 Phủ, phủ con, lọc1.5.1 Phủ

vài phần tử của .

1.6 Không gian compact1.6.1 Định nghĩa

 GI ,

Ví dụ:

1.6.3 Định lý

compact thì với mọi họ UiiI các tập con mở

giancủa

họ các không gian

X, ) là không gian tích

Cho tập tùy ý (khoảng cách) trong

được gọi là một không gian

1.7.2 Không gian mêtric con

1.7.3 Không gian mêtric tích

Xét X  Y  x , y : x  X , y Y X Y là một không gian mêtric với

1.7.4 Sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa:

Cho không gian mêtric X ,   Dãy xn

được gọi là hội tụ về

xn 

hội tụ

Nhận xét (tính chất):

i) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất.

dãy

, nếu với mỗi i ,

j  no luôn có d ( xi ,

x j )    0

Không gian mêtric

1.7.6 Không gian mêtric compact

chứa một dãy con

1.7.7 Mở rộng đầy đủ của một không gian mêtric

có tính chất như sau:

mở rộng đầy đủ của M

Ví dụ với mêtric khoảng cách, tập hữu tỉ không hội tụ vì tồn tại những

rộng đầy đủ của tập hữu tỉ là tập số thực Chú ý rằng mở rộng đầy đủ phụthuộc vào mêtric.

là một không gian mêtric, tôpô sinh bởi cơ sở gồm các hình

a , r : a  X , r  0 được gọi là tôpô sinh bởi mêtric (hay

1.7.9 Không gian mêtric hóa

1.7.10 Bổ đề về số Lebesgue

1.7.11 Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric

Định nghĩa:

f là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểmx  X

Cho ánh xạ f :XY từ không gian mêtric 

mêtric Y, Y  Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương

X , 

vào không gian

X , Y

Nếu A  X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X

1.8 Không gian khả ly1.8.1 Định nghĩa

Ta có:

1.8.2 Mệnh đề

gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian khả ly.

minh: Gọi   U  là cơ sở đếm được của X Ta đặt:

trong đómỗi Giả sử

là một song ánh,liên tục.

tương đương tôpô.

gian bao hàm của

là không

1.9.3 Không gian phổ dụng Urysohn

ly và đầy đủ, với những tính chất sau:Cho một không gian mêtric hữu hạn

Cho f và g là hai ánh xạ Cặp i , j, với i là một phép nhúng từ Dg

1.9.5 Ánh xạ phổ dụng

ánh xạ nếu

X vào Y được gọi là phổ dụng trong lớp

Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn thì khi đó F được gọi là ánh xạ bao hàm cho lớp

F Trong trường hợp tất cả các không gian được xét là mêtric và ánh xạ i và j

là đẳng cự, F được gọi là ánh xạ đẳng cự phổ dụng.

1.10 Số chiều ind

1.10.1 Hàm số chiều

Cho X , d 

h :0,0,

gian đa tạp đồng luân.

là một không gian mêtric và là một hàm một chiều liên thông trong Ta có:

Khi đólà hữu hạn và

nhất được xác định bởi những điều kiện sau:

mọi U  B (Vì thế, indX   nếu và chỉ nếu bất đẳng thức indX 

diễn như là hợp các không gian con đóng có số chiều không.

biểu diễn như là hợp các không gian con đóng có số chiều hữu hạn.

thể được biểu diễn như là hợp các không gian con mở có số chiều hữu hạn.

1.11 Lớp tương đương, quan hệ tương đương1.11.1 Quan hệ tương đương

y  E Bất cứ quan hệ tương đương nào trên một lớp ký hiệu là ~ thường đi

Chương 2 PHÉP NHÚNG ĐẲNG CỰ TRÊN CÁC KHÔNGGIAN MÊTRIC COMPACT CÓ SỐ CHIỀU ĐẾM ĐƯỢC

Trong chương 2 và chương 3, chúng tôi đã tham khảo tài liệu nghiên cứu [3]của tác giả Starvos Iliadis và [4] của tác giả Stavros Iliadis và InderasanNaidoo để trình bày các kết quả về không gian bao hàm và ánh xạ bao hàmgiữa một số không gian mêtric compact.

Tất cả các không gian được đề cập trong chương này được giả sử là

OX( x )  y  X :  ( x , y)  

C( ) là tập tất cả các lớp tương đương .

Ký hiệu “ ” trong những quan hệ nghĩa là một hoặc cả hai vế của quan hệ được đưa ra là một chú giải mới.

2.1 Không gian tôpô M,R

Cho S là một họ các không gian tùy ý và Ui : i  là một cơ sở

được đánh chỉ số MUi: i  : X  S (2.1) được gọi là cơ sở của S

Một họ được đánh chỉ số R  ~ : s   (2.2) với ~ s là một quan hệ

tương đương trên S được gọi là chấp nhận được nếu:

Vậy với mọi tập Ri

Không gian bao hàm (M,R) tương ứng củaS là một không gian

tôpô được xây dựng như sau:

thỏa các điều kiện sau:

ii x UiXvới i  nào đó nếu và chỉ nếu y UiY với cùng chỉ số i.

Khi đó, tập  là tập tất cả các lớp ~MR - tương đương Trên  , phần tử

là một cơ

X S , tập U i : i 

xXi (x )  a  Ánh xạ này là một phép nhúng tôpô tự nhiên từ X vào 

đánh chỉ số.

Q , sao cho với mỗi s  hai phần tử QXvà Q của YQ là ~s |Q tương đương

R |Q là M|Q - chấp nhận được.

Trong trường hợp này ta có không gian bao hàm như sau:| (M| ,R| )

2.2 Không gian mêtric (M,R,P)

Chọn một họ R thích hợp, một mêtric tương thích trên không gian tôpô M , R kí hiệu là T , sao cho ánh xạ nhúng tự nhiên iTX từ bất kỳ một phần

thực hiện như sau:

Cho aiX : i  là một tập con được đánh chỉ số trù mật của các điểm

và i,

Cho M là cơ sở (2.1) và P như trong (2.4), họ

j  n 1 thì X ~n Y , khi đó có những kết quả như

(Ta chú ý rằng điều kiện (i)-(ii) có hơi khác so

tại trong định nghĩa đó.)

s  .

Giả sử rằng họnhư sau:

R là M,P chấp nhận được Ta xây dựng mêtric 

Cho a và b là hai phần tử của  M,R và cho x,X a ,  y,Yb.

M , Q -chấp nhận được và M,P - chấp nhận được Ta chú ý rằng nếu R

s

s  )

Mệnh đề 2.1.

 Cho Si là một  tập đánh chỉ số các không gian mêtric compact và

có tính chất như sau:

tồn tại một

Chứng minh:

ra thành nhiều phần với những định nghĩa và bổ đề được nêu ra theo các bướcđược in đậm như sau đây.

của X Hiển nhiên,

Diam(VX ) 1

( n ,i)

i Q(n,i,E)  Bd X(V(n,i))

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một cơ sở ban đầu

của MQ ( n,i , E ) , vậy theo giả

tương đương trên S là ( M , đầu

j   ( 

(( n, i )))

 s 1

định nghĩa những số

(do đó U jX VkXaiX)

mãn những điều kiện sau:

d ( X , j , s )  d (Y , j , s)  

hay tồn tại một số nguyên l ,2,1,0,1, 2 

2.14 Số u ( L , n) và số đếm ( L , n)

 

u ( X , n)  u (Y , n) và  ( X , n) (Y , n) Vậy ta sẽ kí hiệu u ( L, n) và ( L, n)

chấp nhận được tùy ý của quan hệ tương

ind(|Q) 

) 

.

phần tử riêng biệt trong

Nhận xét: Vì họ R là một lọc cuối cùng của họRM , nên với mỗi

X p có thể trừ một số hữu hạn.

Để không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng những quan hệ

thỏa mãn với mọi

Uj

 

2Điều trên đã chứng minh tính chất (i) cho trường hợp này.

Chứng minh phần đầu của quan hệ (i).

Bây giờ, giả sử rằng H

với mọi



F j0 H0

 U j0H0

(10)

Ta đã trình bày xong chứng minh phần đầu của kết quả (i).

Chứng minh phần 2 của kết quả (i).

Từ đẳng thức trên và các kết quả (1) và (7), ta có

Qn,i,E

R, j

B U 0, j

|Q, là cơ sởcủa không

giả thiếtquy nạp tacó là không gian đầy đủ của |Qn,i

,E ) Vì vậy,

để chứng minh mệnh đề ta phải chứng minh bất đẳng thức  Q  

Chứng minh này tương tự trong [4].

 Cl |

n , i ,E

2.3 Hệ quả

Chương 3 ÁNH XẠ VÀ ĐẲNG CỰ CỦA CÁC KHÔNG GIANMÊTRIC COMPACT

Với mỗi ánh xạ toàn ánh f

từ không gian X vào không gian Y , ta ký hiệutập xác định của f

, nghĩa là tập X , là Dfvà tập giá trị của f

, nghĩa làtập Y , là Rf. Ảnh của f là tập con f(X)Y. Số chiều trong bài này nghĩalà số chiều vô hạn ind.

3.1 Định lý

Chứng minh Cho Sd và Sr lần lượt là ký hiệu cho tập được đánh chỉ

đánh chỉ số của những tập con  - được đánh chỉ số trù mật.

ta sẽ sử dụng chú giải, khái niệm, và những xây dựng có

r ).Ta xem xét những đối tượng sau:

S

đương khi và chỉ khi:

k ,1  k  n;

sau rE , n 

n ,i , Er ,

r ,n ,i , E 

cơ sở tương ứng với thu hẹp có số thứ tự tương ứng).

Y ', j , s 

cũng xét những chú giải, khái niệm, và xây dựng được cho trong chứng minh

nữa, trong chú giải được đưa ra trong [4], thêm vào những những chỉ số đã có tasẽ sử dụng chỉ số “ d ” (cái mà sẽ chỉ ra rằng chú giải đang được xem xét có

vài khái niệm ta sẽ thêm vào một số điều kiện mới Ta xem xét những đốitượng sau:

mở d ,n , x mỗii.

Diam WX 1

 6d Thu hẹp đóng của Sd

 có d

n

d ,n ,i , E  d  - họ chấp nhận được Qd , n , i , E 

tương ứng.

và thu hẹp

4713d

U jH  Để không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

tại của một phần tử

H ' C ~r

f F thuộc H , khi đó tập giá trị của f cũng thuộc H

2q0

Từ định nghĩa của mêtric r dẫn đến

Hai quan hệ trên dẫn đến kết quả  p  i 

F a   b r Giả sử rằng ak :k là một dãy những điểm thuộc d hội

và có tập

về ánh xạ và đẳng cự giữa một số không gian mêtric compact.

chiều bao hàm đẳng cự tất cả các không

- Định lý và chứng minh về sự tồn tại của ánh xạ bao hàm đẳng cự

F:X Y của lớp các ánh xạ toàn ánh với tập xác định là các không gianmêtric compact có số chiều

Câu hỏi 1 Cho   \  Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp

Câu hỏi 2 Cho \ Có tồn tại một phần tử phổ dụng trong lớp

Câu hỏi 3 Cho   \  Có tồn tại một không gian mêtric compact

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Topology and its Applications 221 (2017), no 11, 28-37.

compact metric spaces of a countable dimension”, Topology and its Applications

160 (2013), no 11, 1284-1291

containing isomêtrically all compact metric spaces of dimension n”, Topology

and its Applications 160 (2013), no 11, 1271-1283.

Applications 137 (2004) 175-186.

Mathematics Studies, 198, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005, xvi+559 pp.

Soc Vol 297, No 1 (1986), 255-268.

dimension, Israel Journal of Mathematics”, Vol 209 (2015), 187-197.