Max min trong oxyz

Dạng TOáN: Các toán cực trị hình học: MT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HINH HỌC GIẢI TÍCH a Dạng 1: Cho điểm A( x1; y1 ; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M ∈ ( P) : ax + by + cz + d = để (MA+MB)min Phương pháp : Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng : t A = ax1 + by1 + cz1 + d ; tB = ax2 + by2 + cz2 + d * Nếu t At B < ⇔ A, B khác phía (P) Gọi M = ( AB) ∩ ( P) , MA + MB ≥ AB = M A + M B * Nếu t At B > ⇔ A, B phía (P) Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M = ( A1 B ) ∩ ( P ) Khi đó, MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M A1 + M B VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), N(4; 4; 5) Tìm điểm I∈ mp(Oxy) cho IM + IN nhỏ Nhận xét: Bài toán ta kiểm tra M, N nằm hay hai phía mặt phẳng Nếu M, N nằm hai phía mặt phẳng I giao điểm MN mặt phẳng, M, N nằm phía mặt phẳng I giao điểm M 'N mặt phẳng M ' điểm đối xứng M qua mặt phẳng Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Trước hết ta xét xem M N có hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM zN = 3.5 = 15 > ⇒ M, N phía với mp (Oxy)  x =1  Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt:  y = z = + t  M N d H Gọi H giao điểm d với mp(Oxy) I Ta có H∈ d ⇒ H(1; 2; + t) Ox y Vì H∈ (Oxy) ⇒ + t = ⇒ t = − ⇒ H(1; 2; 0) M' Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy) uuuuur H trung điểm MM' nên M'(1; 2; − 3) M ' N = (3; 2; 8) Ta có IM + IN = IM' + IN ≥ M'N ⇒ Min (IM + IN) = M'N ⇔ I giao điểm M'N mp(Oxy)  x = + 3t , u u u u u r  , M'N qua M ' có VTCP M ' N = (3; 2; 8) nên có phương trình:  y = + 2t  z = −3 + 8t ,  Điểm I( + 3t', + 2t', − + 8t') ∈ d I∈ (Oxy) ⇒ − + 8t' = ⇒ t' =   Vậy I  ; ;0 ÷   17 11 b Dạng 2: Cho điểm A( x1; y1 ; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M ∈ ( P ) : ax + by + cz + d = để MA − MB max Phương pháp : Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng : t A = ax1 + by1 + cz1 + d ; tB = ax2 + by2 + cz2 + d * Nếu t At B > ⇔ A, B phía (P) Gọi M = ( A1B) ∩ ( P) Khi MA − MB ≤ AB = M A − M B * Nếu t At B < ⇔ A, B khác phía (P) Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M = ( A1 B ) ∩ ( P ) Khi MA − MB = MA1 − MB ≤ A1 B = M A1 − M B c Dạng 3: Cho điểm A( x1; y1 ; z1 ); B( x2 ; y2 ; z2 ) Tìm M ∈ ∆ cho trước cho (MA + MB) Phương pháp : Xác định tọa độ điểm A’, B’ hình chiếu tương ứng điểm A, B lên ∆ uuuuur M A′ Gọi M0 điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số k = uuu0uur = − M B′ uuur AA′ uuur BB′ Ta chứng minh MA + MB ≥ M A + M B Chứng minh : Gọi A1 ∈ ( P) ≡ ( (∆), B ) cho A1 khác phía B so với ∆ thỏa mãn uuuur uuuuur  A1 A′ = AA′ A1 A′ M A′ ur = uuuuur ⇒ A1 , M , B thẳng hàng ⇒ uu  BB′ M B′  A1 A′ ⊥ ∆ ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M A1 + M B = M A + M B VD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) đường thẳng d có phương trình:  x = 7+t   y = − 2t Tìm điểm I ∈ d cho: IM + IN nhỏ  z = 9+t  Nhận xét: Ta có MN ⊥ d nên IM + IN nhỏ I = d ∩ (P) (P) mặt phẳng qua MN vng góc với d Hướng udẫn giải: uuu r r uuuu r r Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), MN u =0 ⇒ MN ⊥ d Mặt phẳng(P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x − 2y + z −d = Gọi H = d ∩ (P), H∈ d ⇒ H(7 + t; − 2t; + t) I − − − ∈ Vì H (P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) = M  17 17 23  ⇔ t = − ⇒ H ; ; ÷  3  H Với I ∈ d, ta có: IM + IN ≥ HM + HN ⇒ IM + IN nhỏ ⇔ IM + IN = HM + HN ⇔ I ≡ H (P) N  17 17 23  Vậy: I  ; ; ÷  3  x Bài toán 1: Cho đường thẳng ( d ) : = Tìm tọa độ điểm M ∈ ( d ) cho: 1) MA + MB nhỏ y z = hai điểm A ( 0;0;3) , B ( 0;3;3) 1 2) MA2 + 2MB nhỏ uuur uuur 3) MA − 2MB nhỏ 4) MA − MB lớn Hướng dẫn – Phương pháp giải: x = t  1) Chuyển ph/trình ( d ) sang dạng tham số ( d ) :  y = t z = t  Gọi tọa độ M ∈ ( d ) có dạng M ( t ; t; t ) , t ∈ R Ta có P = MA + MB = ( −t) + ( −t) + ( 3−t) + ( −t) + ( 3−t)2 + ( 3−t)2 P = 3t − 6t + + 3t − 12t + 18 = P =    P = 3  ( t − 2t + + t − 4t + ) ( t − 1) + + ( t − ) + ÷   ÷  Trong mặt phẳng Oxy xét điểm N ( t;0 ) ∈ Ox ; H 1; ; K 2; ( ( t − 1) + ( − Gọi H ′ 1; − ) ( t − 2) + ( − + ) ( ) ( ) ) điểm đối xứng điểm H ( 1; ) qua trục Ox • Ta có P = ( NH + NK ) = ( NH ′ + NK ) ≥ 3H ′K Dấu “=” xảy ⇔ H ′, N , K thẳng hàng ⇔ N = H ′K ∩ Ox uuuur Đường thẳng H ′K có vecto phương H ′K = 1;2 nên có vecto pháp tuyến r n = 2; −1 qua H ′ 1; − nên có phương trình tổng qt ( ) ( ( x − 1) − 1( y + ) = ⇔ ( ) ) 2x − y − = Tọa độ giao điểm N đường thẳng H ′K trục Ox nghiệm hệ  2 x − y − = x =   ⇔ Vậy N  − ;0 ÷     y =  y = ( Vậy P = 3H ′K = 12 + 2 3 2 )   =3 3 Đạt N ( t;0 ) ≡ N  ;0 ÷ ⇔ t = 3 3 Suy MA + MB nhỏ 3 M  ; ; ữ 2 Cỏch 2: ã Làm cách 1, đến đoạn P =   Xét hàm số f ( t ) = Ta có f ′ ( t ) = ( t − 1) + + ( t − ) + ÷ ( t − 1) + + ( t − ) + t −1 ( t − 1) + + t −2 ( t − 2) +  f ′( t ) = ⇔ t −1 ( t − 1) + =− t−2 ( t − 2) + ⇔ t −1 ( t − 1) + = ( −t) (*) ( − t )  +  u  ′ g u = u + − u ( )  ÷÷ = • Xét hàm số g ( u ) = , Ta có  u +   u +2 u +2 u ( u + 2) >0 nên hàm số g đồng biến R • Do từ (*) ta có g ( t − 1) = g ( − t )  ⇔ t − = −t + ⇔ t = Bảng bt hàm số f : −∞ t f ′( t ) − +∞ + f ( t) 3 Từ bảng biến thiên suy f ( t ) = f  ÷ = 2 3 3 Vậy ( MA + MB ) = 3 đạt t = , tức M  ; ; ÷ 2 2 2) Làm tương tự câu 1), ta tính Q = MA2 + 2MB = 3t − 6t + + 3t − 12t + 18 = 9t − 30t + 45 ( ) Biểu thức tam thức bậc hai với hệ số a = > nên đạt giá trị nhỏ t=− −30 5 5 = Tức M  ; ; ÷ 2.9 3 3 Nhận xét: khơng nhớ tính chất đồ thị bậc hai khảo sát hàm số f ( t ) = 9t − 30t + 45 để tìm giá trị nhỏ 3) Theo câu 1) , gọi M ( t ; t; t ) uuur uuur MA = − t ; − t ;3 − t ( ) , MB = ( −t;3 − t;3 − t ) Ta có uuur uuur Suy MA − 2MB = ( −t − ( −t ) ; −t − ( − t ) ;3 − t − ( − t ) ) = ( t ; t − 6; t − 3) uuur uuur 2 ⇒ MA − 2MB = t + ( t − ) + ( t − 3) = 3t − 18t + 45 uuur uuur ⇒ MA − 2MB = ( t − 3) + 18 ≥ 18 = Dấu “=” xảy ⇔ t − = ⇔ t = hay M ( 3;3;3) uuur uuur Vậy MA − MB = đạt M ( 3;3;3) uuur uuur Nhận xét: khơng phân tích MA − 2MB = ( t − 3) + 18 khảo sát hàm số f ( t ) = 3t − 18t + 45 để tìm giá trị nhỏ 4) Tương tự câu 1), ta tính MA − MB = MA − MB =   ( t − 1) + − ( t − ) + ÷  ( t − 2t + − t − 4t + ) ( ) ( ) Trong mặt phẳng Oxy xét điểm N ( t;0 ) ∈ Ox ; H 1; ; K 2; Khi MA − MB = NH − NK Nhận thấy H, K nằm phía so với trục Ox Suy MA − MB = NH − NK ≤ 3HK Bài tốn vơ nghiệm KH || Ox Cách 2: Khảo sát hàm số cách câu → Hàm số khơng có GTLN Bài tốn 2: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Tìm điểm M ∈ ( P ) cho: 1) MA + MB nhỏ nhất, biết A ( 1;0;0 ) , B ( 1;2;0 ) 2) MA − MB lớn nhất, biết A ( 1;2;2 ) , B ( 0;1;2 ) 3) MA2 + 2MB nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) 4) MA2 + 3MB + 2MC nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) uuur uuur uuuu r 5) MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) Hướng dẫn – Cách giải: 1) Cách giải • Xét vị trí tương đối A, B so với (P) Đặt f ( x; y; z ) = x + y + z − Thay tọa độ A, B vào tính f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) < A, B hai phần khơng gian khác ngăn cách (P) - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) > A, B phía so với (P) • Nếu A, B khác phía so với (P) với M ∈ ( P ) tùy ý ta có MA + MB ≥ AB Suy ( MA + MB ) = AB đạt M = AB ∩ ( P ) - Viết p/trình đường thẳng AB - Tìm giao điểm M AB ∩ ( P ) (Giải hệ p/trình AB (P)) Kết luận • Nếu A, B phía so với (P) , ta lấy điểm A′ đối xứng với A qua (P) Khi MA′ = MA ⇒ MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B ⇒ ( MA + MB ) = A′B đạt M = A′B ∩ ( P ) ♣ Tính tọa độ A′ : - Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A ( d ) ⊥ ( P ) - Giải hệ { ( d ) ; ( P ) } tìm tọa độ H = ( d ) ∩ ( P ) hình chiếu vng góc A (P) - H trung điểm A′A Biết tọa độ A, H suy tọa độ A′ ♣ Viết p/trình đường thẳng A′B ♣ Giải hệ { A′B; ( P ) } tìm tọa độ M = A′B ∩ ( P ) A’ A M M B H B Tr.Hợp Tr.Hợp A 2) Làm ngược lại hai trường hợp câu • Nếu A, B phía so với (P) MA − MB ≤ AB • Nếu A, B phía so với (P), ta lấy điểm A′ đối xứng với A qua (P) Khi MA′ = MA ⇒ MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B Cách làm trường hợp câu uuur ( uuu r uu r ) uuu r2 uu r2 uuu r uu r 3) Xét điểm I tùy ý, ta có MA2 = MA = MI + IA = MI + IA + 2MI IA uuur uuu r uur uuu r uur2 uuu r uur MB = MB = MI + IB = MI + IB + 2MI IB uuu r uu r2 uuu r uu r uuu r uur2 uuu r uur 2 Suy MA + 2MB = MI + IA + 2MI IA + MI + IB + 2MI IB uuu r uu r2 uur2 uuu r uu r uur ⇒ MA2 + MB = 3MI + IA + IB + 2MI IA + IB uuu r uu r uur ⇒ MA2 + MB = 3MI + IA2 + IB + 2MI IA + IB ( ) ( ( ( ) ) ) x A + xB + 2.0  x = 1+ = =  uu r uur r uu r uur y + y B + 2.1  = = Giả sử IA + IB = ⇔ IA = −2 IB , ta có tọa độ I là: I  y = A 1+ 3  z A + z B + 2.2  z = = =  1+ 3  1 5 Hay I  ; ; ÷ 3 3 uu r uur r 1 5 Vậy, với I  ; ; ÷, ta có IA + IB = nên MA2 + 2MB = 3MI + IA2 + IB 3 3 Do I cố định nên IA2 , IB không đổi Vậy MA2 + 2MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I (P) r 1 5 • Đường thẳng ( d ) qua I  ; ; ÷ vng góc với (P) nhận vecto pháp tuyến n = ( 1;1;1) 3 3 (P) làm vecto phương nên có p/trình x = + t   ( d ) : y = 43 + t   z = + t  14 17  - Tọa độ giao điểm H ( d ) ∩ ( P ) là: H  ; ; ÷ 9 9  - H hình chiếu I (P) • Vậy M hình chiếu I (P) nên M ≡ H  14 17  Kết luận: MA2 + 2MB nhỏ M  ; ; ÷ 9 9  4) Làm tương tự câuu3) uur uuur uuuu r uuuu r 5) Cần rút gọn tổng MA + 3MB + 4MC thành vecto MH uuur uuur uuuu r uuuu r Khi MA + 3MB + 4MC = MH = MH nhỏ ⇔ M hình chiếu H (P) Làm câu 3) uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur MA + MB + MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC Bằng cách phân tích ( uuu r uu r uur uur = 8MI + IA + 3IB + IC uu r ) ( uur uur ) r Đến việc tìm tọa độ điểm I cho IA + 3IB + IC = làm hướng dẫn uu r uur uur r uur Chú ý: IA + 3IB + IC = ⇔ OI = r uuu r uuur uuu OA + 3OB + 4OC ( )   xI = ( x A + 3xB + xC )   Suy tọa độ I  yI = ( y A + yB + yC )    z I = ( z A + 3z B + zC ) Bài tập tự luyện Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ®iĨm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) đờng thẳng (d): x +1 y z − = = −2 a Chøng minh: Đờng thẳng (d) đờng thẳng AB đồng phẳng b Tìm điểm I (d) cho IA + IB nhỏ Bài 2: Cho mặt phẳng (): 2x - y + z + = vµ P(3; 1; 0), Q(-9; 4; 9) T×m M ∈ mp (α) cho MP MQ đạt giá trị lớn Bài 3: Trong không gian Oxyz cho A(2; 3; 0), B(0; - ; 0) đờng thẳng (): giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x + y + z − = 0; ( β ) : x − y + z − = Tìm toạ độ điểm M () cho MA + MB ngắn Bài 4: Cho điểm A(-1; 3; -2), B(-9; 4; 9) mặt phẳng (P): 2x - y + z+ 1=0 Tìm điểm K (P) cho KA + KB nhá nhÊt Bµi 5: Cho A(1; 3; -2), B(13; 7; -4) phơng trình mặt phẳng: (): x - 2y + 2z - = a Tìm hình chiếu H A lên mp (α) b T×m I ∈ mp (α) cho IA + IB ng¾n nhÊt c Cho K(5; -1;1) Chøng minh AIHK lµ tø diƯn TÝnh thĨ tÝch tø diƯn AIHK Bài 6: (KA-2002) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = 0; (Q) : x + y − z + = vµ ∆2: x = 1+ t  y = 2+t  z = + 2t  a Viết phơng trình mặt phẳng (R) chứa song song với đờng thẳng b Cho điểm M(2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Bài 7: (KD-2004) Trong Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1B1C1 BiÕt A(a; 0; 0), B(-a;0;0), C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b) a > 0, b > a TÝnh khoảng cách đờng thẳng B1C AC1 theo a, b b Cho a, b thay đổi nhng thoả mÃn a + b = Tìm a, b để khoảng cách đờng thẳng B1C AC1 lớn Bài toán tq 1: Trong không gian với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho mặt phẳng () có phơng trình (PT) Ax + By + Cz + D = hai điểm M(x1; y1; z1), N(x2; y2; z2) không thuộc () Tìm điểm I mặt phẳng () cho: a IM + IN nhá nhÊt; b IM − IN lµ lín nhÊt Bµi 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm M(1; 2; 3) N(4; 4; 5) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (xOy) cho IM + IN nhỏ Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (): 2x y +z+1=0 hai điểm M(3;1;0), M(-9;4;9) Tìm điểm I mp() cho IM IN đạt giá trị lớn Bài toán tq 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Descartes Oxyz cho đờng thẳng d điểm M(x1; y1; z1) N(x2; y2; z2) không thuộc d Tìm điểm I đờng thẳng d cho IM + IN bé Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho M(1; 2; -1), N(7;-2;3) đờng thẳng (d) có phơng trình: x +1 y − z − = = −2 Tìm điểm I thuộc (d ) cho IM + IN nhỏ Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1;2;4) đờng thẳng (d ) : x y + z = = −1 T×m toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d cho: uuur uuur a MA + MB nhá nhÊt ; b MA2 + MB2 nhá nhÊt; c MA + MB nhá nhÊt ; d DiƯn tÝch tam gi¸c AMB nhá nhÊt Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng d cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất, nhỏ Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa đờng thẳng d tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ Viết phơng trình mặt phẳng (R) chứa đờng thẳng d tạo víi trơc Oy gãc lín nhÊt Trong sè c¸c đờng thẳng qua A cắt đờng thẳng d, viết phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách từ B đến lớn ? nhỏ ? Bài 12: (Đề thi Đại học Cao đẳng khối A 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2; 3; 5) đờng thẳng d: x −1 y z − = = 21 a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc A đờng thẳng d b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Bài 13: (Đại học An Giang, khối B-2001) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có độ dài cạnh Các cạnh bên AA, BB, CC, DD Đặt hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0; 0; 0), B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) a Viết phơng trình chùm mặt phẳng chứa đờng thẳng CD b Giả sử (P) mặt phẳng chứa đờng thẳng CD góc mặt phẳng (P) mặt phẳng BBDD HÃy tìm giá trị nhỏ số đo góc Bài 14: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phơng trình mặt phẳng () qua điểm A(1; 2; 4) cắt chiều dơng trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lợt M, N, P khác gốc toạ độ cho tứ diện OMNP tích nhỏ Bài 15: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phơng trình mặt phẳng () qua điểm M(1; 2; 3), cắt trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lợt A, B, C cho: 1 + + nhá nhÊt 2 OA OB OC Bài 16: Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phơng trình mặt phẳng () qua điểm M(2; 5; 3) cắt chiều dơng trục Ox, Oy, Oz lần lợt điểm A, B, C Sao cho OA + OB + OC nhỏ Bài 17: Cho mặt phẳng (): x y + 2z = điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng () cho: a MA + MB nhá nhÊt; b MA − MC lín nhÊt; c MA2 - MB2 – MC2 lín nhÊt; uuur uuur uuuu r d MA + MB + MC nhá nhÊt Bµi 18: Trong mặt phẳng qua A(2; -1; 0) song song với đờng thẳng d: x +1 y − z +1 = = 1 −1 ViÕt phơng trình mặt phẳng () tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ Bài 19: Trong mặt phẳng qua A(1; 1;-1) vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z + = Viết phơng trình mặt phẳng tạo với đờng thẳng Oy góc lớn Bài 20: Cho mặt phẳng (): x + y – z + = vµ ®êng th¼ng d = ( P ) ∩ (Q), ( P) : x + y + z − = 0; (Q) : x − y + z − = Trong đờng thẳng qua A(1; -1; 2) song song với mặt phẳng (), viết phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách d lớn Bài 21: Cho đờng thẳng d: x −1 y +1 z −1 = = vµ hai ®iĨm A(2; 1; -1), −1 B(3; -2;1) Trong đờng thẳng qua B cắt đờng thẳng d, viết phơng trình đờng thẳng cho khoảng cách từ A tới lớn nhất; bé x Bài 22: Cho hai đờng thẳng : = y−2 z+4 x + y − z − 10 = , ∆2 : = = −1 2 1 a Chứng minh đờng thẳng chéo b Trong mặt cầu tiếp xúc với đờng thẳng 2, viết phơng trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Bài 23: Trong mặt cầu qua A(1; 2; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (): x + y + 2z – 13 = ViÕt ph¬ng trình mặt cầu có bán kính nhỏ Bài 24: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 2x + 2z = mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + = Tìm điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng () lớn Bài 25: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 2x + 2z = Và điểm A(0;1;1), B(-1;-2;-3), C(1;0;-3) Tìm điểm D thuộc mặt cầu (S) cho thĨ tÝch tø diƯn ABCD lín nhÊt  ... lín nhÊt Bµi 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm M(1; 2; 3) N(4; 4; 5) Tìm điểm I thuộc mặt phẳng (xOy) cho IM + IN nhỏ Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng... cho IA + IB ng¾n nhÊt c Cho K(5; -1;1) Chøng minh AIHK lµ tø diƯn TÝnh thĨ tÝch tø diƯn AIHK Bài 6: (KA-2002) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng giao tuyến hai mặt phẳng... ( z A + 3z B + zC ) Bài tập tự luyện Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ®iĨm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3) đờng thẳng (d): x +1 y z − = = −2 a Chøng minh: Đờng thẳng (d) đờng thẳng AB đồng phẳng