Chuyên đề xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu

19 33 0
Chuyên đề xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Thay t ọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M th ỏa mãn... Tính di ện tích tam giác IAB..[r]

(1)

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH

TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH MẶT CẦU

(2)

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Phương trình mặt cầu dạng tắc:

Cho mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R Khi phương trình tắc mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S xa + y b− + −z c =R

 Phương trình mặt cầu dạng khai triển ( ) 2

: 2

S x +y +zaxbycz+ =d

Khi mặt cầu có có tâm I a b c( ; ; ), bán kính 2 ( 2 ) R= a +b + −c d a +b + − >c d

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Hệ Oxyz ( Tìm tọa độ tâm mặt cầu )

 Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu

 PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)

 PTMC biết đầu mút đường kính

 PTMC ngoại tiếp tứ diện

 PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

 PTMC biết tâm đường trịn

 PTMC biết tâm ĐK dây cung

 PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác

 Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

 Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK

 Tốn thực tế, liên mơn liên quan PTMC

BÀI TẬP MẪU

(3)

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian oxyz, cho mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y+ + z− = Tâm ( )S có tọa độ

A (−2; 4; 1− ) B. (2; 4;1− ) C (2; 4;1) D. (− − −2; 4; 1)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định tâm mặt cầu

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Cho mặt cầu ( ) (S : xa) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2 ( )S có tâm I a b c( ; ; )

Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lời giải

Chọn B

Ta có mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+4) (2+ z−1)2 =9 có tọa độ tâm (2; 4;1− )

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2  (z 3)2 16 Tâm ( )S có tọa độ

A. ( 1; 2; 3).   B.(1;2;3) C. ( 1;2; 3).  D. (1; 2;3). Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 1, suy tâm I(1; 2;3).

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình ( ) (2 )2

1

x− + y+ +z =

Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu

A I(−1;3; 0); R= B I(1; 3; 0− ); R= C I(1; 3; 0− ); R= D I(−1;3; 0); R= Lời giải

Chọn C

Mặt cầu cho có tâm I(1; 3; 0− ) bán kính R=

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−6x+4y−8z+ = Tìm

tọa độ tâm I mặt cầu ( )S

A I(3; 2; 4− − ) B I(−3; 2; 4) C I(3; 2; 4− ) D I(−3; 2; 4− )

Lời giải

Chọn C

(4)

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z22y 4z  2 Độ dài đường kính mặt cầu ( )S bằng

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy (0;1; 2),IR 0   1 3,

Câu Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R 

A. (x 1)2 (y2)2 z2 3 B.(x 1)2 (y2)2 z2 9

C. (x1)2 (y2)2 z2 9 D. (x 1)2 (y2)2 z2 

Lời giải Chọn B

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R 3

2 2

(x 1) (y2) z 9

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

2

x +y +zxyz+ = Tính diện tích mặt cầu ( )S

A 42π B 36π C D 12π

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) bán kính R= 12+22+ −32 =

Diện tích mặt cầu ( )S là: S=4π R2 =4 3π =36π

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 )2

:

S x− + y+ +z = Mặt cầu

( )S có thể tích

A V =16π B V =36π. C V =14π D

36

V = π

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2)2+z2 =9 có tâm (1; 2; 0− ), bán kính R=

Thể tích mặt cầu 36

V = πR = π

Câu Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu ( )S 2

3x +3y +3z +6x+12y−18z− = Tâm c3 ( )S có tọa độ

A I(− −3; 6;9) B.I(1; 2; 3− ) C I(− −1; 2;3) D I(3; 6; 9− ) Lời giải

(5)

Ta có 3x2+3y2+3z2+6x+12y−18z− = ⇔3 x2+y2+z2+2x+4y−6z− =

Mặt cầu ( )S có tâm I(− −1; 2;3)

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S x2+y2+ +(z 3)2 =25.Điểm

đây thuộc ( )S

A M(4; 0; 0) B N(0; 4; 0) C P(0; 4; 0) D Q(0; 0; 4)

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy có tọa độ điểm M thỏa mãn

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( )2

:

S x + y− +z = Trong điểm

cho đây, điểm nằm mặt cầu ( )S ?

A M(1;1;1) B N(0;1; 0) C P(1; 0;1) D Q(1;1; 0)

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1; 0), bán kính R=

Khoảng cách từ điểm tâm mặt cầu:

2

MI = = ; R NI = < , R PI = 3> , R QI = <1 R Do điểm P nằm mặt cầu

 Mức độ

Câu Trong khơng gian Oxyz tìm t, ất tham số m để x2 y2 z2 2x 4ym 0 phương trình mặt cầu

A. m 5 B. m  5 C. m 5 D. m   5

Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy 02   12 22 m 0 m 

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4zm 0 có bán kính

R  Giá trị tham số m

A. 16 B.16 C. D. 4

Lời giải Chọn B

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy tâm I1; 2;2 

1 4 16

(6)

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z24x 8y2mz 6m0 có đường kính 12 tổng giá trị tham số m

A. 2 B. C. 6 D.

Lời giải

Chọn D

Đường kính 12 , suy bán kính R  6

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy tâm I2; 4; m, R  416m2 6m  ,

Suy m26m16 0 m1 m2  (Theo Viet)

Câu Trong không gian Oxyz , phươngtrình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  qua điểm (5; 1;4)A 

A. (x1)2 (y3)2 (z 2)2  24 B.(x 1)2 (y3)2 (z 2)2  24 C. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24 D. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  bán kính RIA 42 22 22 2 6là

2 ( ( 24.

(x1)  y3)  z 2) 

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm điểm I(1; 0; 1− ) qua điểm (2; 2; 3)

M − Phương trình ( )S

A 2

(x 1)+ +y + −(z 1) =3 B 2 (x 1)− +y + +(z 1) =3.

C (x 1)+ 2+y2+ −(z 1)2 =9 D (x 1)− 2+y2+ +(z 1)2 =

Lời Giải Chon D

( )2

2

1 2

IM = + + − = =R

Mặt cầu (S) I (x 1)2 y2 (z 1)2 R

− + + + =

 

Taâm (1;0;-1)

co ùPT :

=

Câu Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2;1;1) ,

(0;3; 1)

B

A x2+(y−2)2+z2 =3. B (x−1)2+(y−2)2+z2 =3,

C (x−1)2+(y−2) (2+ +z 1)2 =9 D (x−1)2+(y−2)2+z2 =9

Lời Giải Chọn B

Tọa độ trung điểm AB: 1; ; 1 (1; 2; 0)

2 2

I + + − +  ⇒ I

(7)

( )2

2

1 1

IA= + − + = = Mặt cầu R (S): (1; 2; 0) I R    Tâm =

có PT: ( )2 (x−1) + y−2 +z =3

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x-2y-2z-8=0 Phương trình mặt cầu tâm (1; 2; 1)

I − tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

A. (x+1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 = B. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =

C. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 = D (x+1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =

. Lời Giải Chọn C

( )

( )

( ) ( )2

2

1

,

1 2

d I P = − + − = =R

+ − + −

Mặt cầu (S) I(1; 2; 1) R −    Tâm

= có PT: ( ) ( ) ( )

2 2

1

x− + y− + +z =

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) tiếp xúc với trục hồnh có

dạng

A. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =13 B. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =

C. (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 = D. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =25

. Lời Giải Chọn A

( ) 2

, 13

d I Ox = + = =R

Mặt cầu (S) ( ) 1; 2;3 13 I R    Tâm

= có phương trình ( ) ( ) ( )

2 2

1 13

x− + y− + −z =

Câu Viết phương trình mặt cầu có tâmI(1; 2;3)và qua giao điểm đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t = +   = −   = + 

với mặt phẳng( )Oxy

A (x+1)2+ +(y 2)2+ +(z 3)2 =27 B (x−1)2 + −(y 2)2+ −(z 3)2 =27

C 2

(x−1) +(y−2) + −(z 3) =3 D 2

(x+1) +(y+2) + +(z 3) =3

(8)

Mặt phẳng Oxyz : z = 0

Gọi A= ∩d (Oxyz)⇒ = − ⇒t A( 2;5; 0)−

Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R=IA= ( 3)− 2+ + −32 ( 3)2 =3

Phương trình mặt cầu ( )S tâm I(1; 2;3) bán kính R=3

( )2

2

(x−1) +(y−2) + −z =27

Câu 10 Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) diện tích 32 π Phương trình ( )S

A (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =16 B (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =16

C (x−1) (2+ −y 2) (2+ −z 3)2 =8 D (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =8

Lời giải

Chọn C

Ta có: S =4πR2 ⇔4πR2 =32π ⇔ =R

Khi ( ): Tâm: 1; 2;3( ) Bán kính:

I S

R 

= 

 

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x y z

⇒ − + − + − =

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0− ) C(0; 0; 6) Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp OABC

A 7

2 B 11 C 11 D

7 Lời giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu có dạng: ( ) 2

: 2

S x +y +zaxbycz+ = d

Do A, B, C O thuộc mặt cầu ( )S nên:

4

9

36 12

0 a d

b d

c d

d

− + =

 + + = 

 − + = 

 = 

1 a

⇔ = ,

2

b= − , c=3 , d =

Do đó, mặt cầu có bán kính bằng: 2

(9)

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu qua

(2 ;3 ; , ) (2; ; , ) (3 ;3 ; 4)

ABC có tâm nằm mặt phẳng (Oxy )

A (x 6)2  (y 1)2 z2 29 B (x 6)2  (y 1)2 z2 29

C (x6)2  (y 1)2 z2  29 D (x 6)2 (y1)2 z2  29

Lời giải

Chọn A

Giả sử I a b( ; ; 0)∈(Oxy ) r tâm bán kính mặt cầu ( )S qua

(2 ;3 ; , ) (2; ; , ) (3 ;3 ; 4)

ABC

Phương trình mặt cầu ( )S (x a )2  (y b)2 z2 r2 Vì mặt cầu qua A(2 ;3 ; , − ) (B 2; ; , − ) (C ;3 ; 4) nên

2 2

2 2

2 2 2 2 2

(2 ) (3 ) ( 3) 10 10

(2 ) ( ) 2 12

(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) 29

a b r b b

a b r a a

a b r a b r r

 − + − + − = − + =  =

  

− + − − + = ⇔ − = ⇔ =

  

 − + − + =  − + − + =  =

 

Vậy phương trình mặt cầu ( )S (x 6)2  (y 1)2 z2 29

Câu Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho

2 AB=

A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20

C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9

Lời giải

Chọn A

Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox M (1;0;0) M trung điểm AB

Ta có: (1 1) (2 2) (2 3)2 13,

AB

IM = − + + + − = AM = =

IMA

∆ vuông MIA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = R

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2

1 16

(10)

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;3) mặt phẳng

( )P : 2x−3y+6z+ =11 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường

trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( )S

A ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =25 B ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =5

C ( ) (S : x+1) (2+ y+1) (2+ z+3)2 =25 D ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ z−3)2 =7

Lời giải

Chọn A

Ta có : ( ( ))

( )2

2

2.1 3.1 6.3 11

,

2

− + +

= = =

+ − +

d d I P

Suy R= d2 +r 2 = 42+32 =

Vậy, mặt cầu có phương trình : ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =25

Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

x y z

d − = = − điểm I(1; 2;5− ) Lập phương

trình mặt cầu ( )S tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B cho tam giác IAB

vuông tại I

A.( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =40 B ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =49 C ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =69 D ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =64

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d qua M(2; 0;1) có véc tơ phương u =(3; 6; 2)

H

O A

(11)

Gọi H hình chiếu I đường thẳng d ta có ( )

, ,

IM u IH d I d

u

 

 

= =

 

 , với

(1; 2; 4) IM = − 

, u=(3; 6; 2) ( )

,

, 20

IM u IH d I d

u

 

 

= = =

 

Theo đề ta có tam giác IAB vuông cân I nênIA=IH = 40 Vậy phương trình mặt cầu ( )S ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =40

Câu Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I 1; 0;3  cắt : 1

2

− = + = −

x y z

d tại hai

điểm A, B cho tam giác IAB vuông tại I

A ( 1)2 ( 3)2 40

9

− + + − =

x y z B ( 1)2 ( 3)2 40

9

+ + + + =

x y z

C ( )2 ( )2 10

1

3 − + + − =

x y z D ( )2 ( )2 10

1

3 + + + + =

x y z

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có vectơ phương u =(2;1; 2) P(1; 1;1− )∈d

Ta có: IP=(0; 1; 2− − )⇒u IP,=(0; 4; 2− ) Suy ra: ( )

, 20

d ;

3    

= =

 

u IP I d

u

∆IAB vuông I⇔ ∆IAB vuông cân I 2d( ), 40

IA= I d =

Vậy (S) : ( )2 2 ( )2 40

1

9

− + + − =

x y z

Câu Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) Một mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn

( )C Biết chu vi lớn ( )C bằng 2π Phương trình ( )S

A (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =4 B (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =2

C (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =4 D (x−1) (2 + y−1) (2+ −z 1)2 =2

Lời giải

Chọn D

Đường tròn ( )C đạt chu vi lớn ( )C đi qua tâm I mặt cầu ( )S

(12)

Khi ( ) : Tâm: 1;1;1( ) Bán kính:

I S

R 

= 

 

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 1

S x y z

⇒ − + − + − =

Câu Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho

2 AB=

A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20

C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9 Lời giải

Chọn A

Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox ⇒ M (1;0;0) M trung điểm AB

Ta có: (1 1) (2 2) (2 3)2 13,

AB

IM = − + + + − = AM = =

IMA

∆ vuông MIA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = R

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2

1 16

x− + y+ + −z =

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :

1

x y z

d − = = +

− − mặt cầu ( )S tâm I có phương trình ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =18 Đường thẳng d cắt ( )S hai điểm ,A B Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

3 B.

16 11

3 C 11

6 D.

8 11

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d qua điểm C(1; 0; 3− ) có vectơ phương u = −( 1; 2; 1− )

(13)

Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d

Khi đó: IH IC u, u

 

 

=

 

 , với IC=(0; 2; 2− − ); 2x+ −y 3z− =

Vậy

2 2

6 2 66

IH = + + =

+ +

Suy 18 22

3

HB= − =

Vậy, 1 66 8 11

2 3

IAB

S∆ = IH AB⋅ = ⋅ ⋅ =

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 2;3) cắt

mặt phẳng ( )β : 2x− +y 2z− = theo hình trịn giao tuyến có chu vi bằng 88 π có diện tích

A 80π B 50π C 100π D 25π

Lời giải

Chọn A

Đường trịn giao tuyến có chu vi 8π nên bán kính r =4

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến ( ( ))

2

2

,

2 d =d I β = − − + − =

+ +

Theo công thức R2 =r2+d2 =20

Diện tích mặt cầu ( )S 80

S = πR = π

 Mức độ

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =16 Gọi

M điểm thuộc mặt cầu ( )S cho biểu thức A=2xMyM +2zM đạt giá trị lớn nhất, giá

trị biểu thức B=xM +yM +zM

A 21 B 3 C 5 D 10

Lời giải

Chọn D

Ta có A=2xMyM +2zM =2(xM − −1) (yM − +2) (2 zM − + 3)

( 2 2 2)(( ) (2 ) (2 )2)

2 x y z 3.4 18

(14)

Dấu xảy

1

1

0

2

3 M

M M M

M

M

x t

x y z

t y t

Z t

= + 

− = − = − = > ⇒ = − 

− 

= + 

, thay vào phương trình

( )S ta được: 2

4 16

3

t + +t t = ⇒ =t Do 11 17; ; 3

M 

  B=xM +yM +zM =10

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 0) đường thẳng :

1

xyz+

∆ = =

− Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt ∆ hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB

12

A (x+3) (2+ y+4)2+z2 =25 B (x−3) (2+ y−4)2+z2 =5

C (x−3) (2+ y+4)2+z2 =5 D (x−3) (2+ y−4)2+z2 =25

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 2; 1− có véc-tơ phương ) u =(1;1; 4− )

Ta có IM= − − −( 2; 2; 1) ⇒ IM u, =(9; 9; 0− )⇒  IM u,  =9

Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ ( )

, 9 2

, 18 IM u d I u     ∆ = = =   

Diện tích tam giác IAB 12 nên

( ) 2.12 , IAB S AB d I = = = ∆

Bán kính mặt cầu ( )S ( )

2 2 2

,

2

AB

R=   +d I ∆  = + =

 

Phương trình mặt cầu ( )S cần lập ( ) (2 )2

3 25

x− + y− +z =

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1− mặt phẳng ) ( )P :x+ − − =y z

Gọi ( )S mặt cầu có tâm I nằm mặt phẳng ( )P , qua điểm A gốc tọa độ O

cho diện tích tam giác OIA 17

2 Tính bán kính R mặt cầu ( )S

A R=3 B R=9 C R=1 D R=5

Lời giải

Chọn A

Gọi I a b c ( ; ; )

Ta có IA=IO=R ⇔ hình chiếu I lên OA là trung điểm 1; 0; 2

H − 

(15)

( )

2

2

2 2

1 1

1

2 2

OIA

S∆ = IH OA= a−  +b +c+  + + −

   

2 2

17 1

2 a b c a c

⇔ = + + − + + 2

17 2a 2b 2c 2a 2c

⇔ = + + − + +

2 2

2a 2b 2c 2a 2c 16 ⇔ + + − + − =

Theo ta có

( ) 17 OIA OI IA S I P ∆ =    =    ∈ 

( )2 ( )2

2 2

2 2

1

2 2 2 16

3

a b c a b c

a b c a c

a b c

 + + = − + + +   ⇔ + + − + − =  + − − = 

2 2

1

8

3

a c

a b c a c

a b c

− − =   ⇔ + + − + − =  + − − =  ( ) ( ) ( )

Từ ( )1 ( )3 ta có a c b − =   =  a c b = +  ⇔  =

 vào ( )2 ta có

( )2 2 ( )

1

c+ + +c − + + − =c c

1 c c = −  ⇔  =  ( ) ( )

1; 2;

2; 2;1 I I − −  ⇒ 

 ⇒OI = = R

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 2

M 

  mặt cầu ( )

2 2

:

S x +y +z = Đường

thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A B Tính diện

tích lớn S tam giác OAB

A S = B S = C S =2 D S =2

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm O(0; 0; 0) bán kính R=2

OM = < nên R M thuộc miền mặt cầu ( )S Gọi H là chân đường cao hạ từ O

của tam giác OAB

Đặt x OH= , ta có 0< ≤x OM = , đồng thời HA= R2−OH2 = 8−x2 Khi diện tích tam giác OAB là:

A

B M H

(16)

2

2 OAB

S = OH AB=OH HA=xx

Khảo sát hàm số ( )

f x =xx (0;1], ta

(0;1] ( ) ( )

max f x = f =

Vậy giá trị lớn SOAB = , đạt x= hay HM , nói cách khác

dOM

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =

tam giác ABC với A(5; 0; 0), B(0;3; 0),C(4;5; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu ( )S cho

khối tứ diên MABC tích lớn

A M(0; 0;3) B M(2;3; 2) C M(2;3;8) D M(0; 0; 3− )

Lời giải

Chọn C

Kẻ MJ ⊥(ABC), .

M ABC ABC

V = S MJ

Để VM ABC lớn ⇔MJ lớn ⇔MJđi qua tâm Icủa mặt cầu ( )S ( )

M IJ S

⇒ = ∩

Phương trình mặt phẳng (ABC : ) z=

Đường thẳng :JI

2

3

5 x

y

z t

= 

 =

  = + 

(2;3;5 )

M t

⇒ +

( )

MS ⇒ (2 2− ) (2+ −3 3) (2+ + −5 t 5)2 =9 ⇒ = ± tM(2;3; ,) M1(2;3;8)

Do MJ =d M( 1,(ABC))>d M( ,(ABC)) ⇒M1(2;3;8)

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−3) (2+ −z 2)2 =4 Gọi

( 0; 0; 0)

N x y z điểm thuộc ( )S cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (Oxz l) ớn

nhất Giá trị biểu thức P=x0+y0+ bz0 ằng

A 6 B 8 C 5 D 4

Lời giải

(17)

Gọi d đường thẳng qua tâm I(1;3; 2) mặt cầu ( )S vng góc với (Oxz )

Phương trình tham số ( )

: ,

x

d y t t

z

= 

 = + ∈ 

 = 

Gọi A B, lần lượt giao điểm d ( )S suy ra: A(1;5; 2), B(1;1; 2)

Ta có: d A Oxz( ;( ))>d B Oxz( ;( ))

Theo đề N A≡ ⇒N(1;5; 2)⇒x0+y0+z0 =

Câu Cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y−2z 15+ =0 mặt cầu ( ) 2

: 2z

S x +y +zy− − =

Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến điểm thuộc mặt cầu( )S

A 3

2 B C

3

2 D

3 Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R=

Gọi H hình chiếu I ( )P A giao điểm IH với ( )S

Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến điểm thuộc mặtcầu ( )S

đoạn , ( ,( )) 3

AH AH =d I P − =R

Câu Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm mặt cầu Mặt phẳng qua cắt theo thiết diện đường trịn có diện tích nhỏ Bán kính đường trịn

A B C D

Lời giải Chọn D

Mặt cầu có tâm bán kính

Oxyz A(2;1; 2)

( ) 2

: 2

S x +y +zyz− = ( )P A ( )S

( )C ( )C

1

(18)

Ta có nên nằm mặt cầu

Đặt khoảng cách từ đến mặt phẳng , bán kính đường trịn Khi đó:

Đường trịn có diện tích nhỏ nên

Câu 9.Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =27 Gọi ( )α mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; 4− , ) B(2; 0; 0) cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn ( )C cho khối nón đỉnh tâm ( )S và đáy là đường trịn ( )C có thể tích lớn Biết

( )α :ax by+ − + = , a b cz c − +

A −4 B 8 C 0 D 2

Lời giải Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3− ) bán kính R=3

Vì ( )α :ax by+ − + = qua hai điểm z c A(0; 0; 4− , ) B(2; 0; 0) nên c= − a= Suy ( )α : 2x by+ − − = z

Đặt IH x= , với 0< <x 3 ta có r= R2−x2 = 27−x2

Thể tích khối nón π

V = r IH π 27( 2)

3 x x

= − π 27( 2) ( 27 2).2

3 x x x

= − − ≤18π

max 18π

V = 2

27−x =x ⇔ = x

Khi đó, d I( ;( )α ) 2

5 b

b + =

+ =3 ( ) ( )

2

2b b

⇔ + = + ⇔ = b

Vậy a b c− + = −

( ) (2 ) (2 )2

2 1

IA= − + − + − = 5< =3 R A ( )S

h I ( )P r ( )C

5

hIA= h= IA⊥( )P

2

2 2

3

r =Rh ≥ − = ⇒ ≥r

(19)

Câu 10.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =9 mặt phẳng

( )P :2x−2y+ + = Gọi z M a b c ( ; ; ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn Khi đó:

A a b c+ + =8 B a b c+ + =5 C a b c+ + =6 D a b c+ + =7

Lời giải Chọn D

Mặt ( )S cầu có tâm I(1; 2;3 ,) R=

( )

( )

( )2

2

2.1 2.2 3 ,

3

2

d I P = − + + = < R

+ − + mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn

Gọi M a b c ( ; ; ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn Khi M

thuộc đường thẳng ∆ vng qua M vng góc với ( )P

1

: 2

3

x t

y t

z t

= +   ∆  = −

 = + 

Thay vào mặt cầu ( )S ( ) ( ) ( )2 2

2t 2t t 9t t ⇒ + − + = ⇒ = ⇒ = ±

Với ( ) ( ( ))

( )2

2

2.3 2.0 10

1 3; 0; ;

3

2

t= ⇒Md M P = − + + =

+ − +

Với ( ) ( ( )) ( )

( )2

2

2 2.4 1

1 1; 4; ;

3

2

t= − ⇒M − ⇒d M P = − − + + =

+ − +

Vậy M(3; 0; 4)⇒ + + = a b c

Ngày đăng: 11/12/2020, 09:26

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan