Đang tải... (xem toàn văn)
DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz khi bi ết điểm đi qua và một vectơ chỉ phương.1. Đường trung tuy ến xuất phát từ đỉnh A c ủa tam [r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG TRONG OXYZ
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A x( A;y zA; A), B x( B;y zB; B) C x( C;yC;zC)
Ta có: AB=(xB −xA;yB −yA;zB −zA)
Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB ,
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
I y
z z
z
+ =
+ =
+ =
Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ,
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x x
y y y G y
z z z z
+ +
=
+ +
=
+ +
=
Nếu u=(x y z; ; )⇔ = +u xi y j+zk
u =(x y z1; 1; 1) phương với v=(x2;y2;z2)( )v ≠0
1
1
1
x kx
u kv y ky
z kz
= = ⇔ =
=
Nếu vectơ u , v không phương a u a u v,
a v
⊥
⇒ =
⊥
Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B ∆ có vectơ phương AB BA Nếu u vectơ phương ∆ ku k ( ≠0) vectơ phương ∆ , đường thẳng có vơ số vectơ phương
Nếu hai đường thẳng song song với vectơ phương đường thẳng vectơ phương đường thẳng
Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )α thì vectơ phương u∆ đường thẳng ∆ chính vectơ pháp tuyến nα
mặt phẳng ( )α , tức u ∆ =nα
Đường thẳng ∆ qua điểm M x( 0;y0;z0) có vectơ phương u=(a b c; ; )
có phương
trình tham số
0
0
0 :
x x at
y y bt
z z ct
= +
∆ = + = +
(3)
Website: tailieumontoan.com
phương trình tắc 0 ( )
:x x y y z z abc
a b c
− − −
∆ = = ≠
Điểm M thuộc đường thẳng ∆ có PTTS
0
0
0 :
x x at
y y bt
z z ct
= +
∆ = + = +
M x( 0+at y; 0+bt z; 0+ct)
Cho hai mặt phẳng ( )α :Ax+By+Cz+ =D ( )α′ :A x′ +B y′ +C z′ +D′=0
Với điều kiện A B C: : ≠ A B C′ ′: : ′ Điều kiện chứng tỏ hai mặt phẳng cắt Gọi d đường thẳng giao tuyến chúng Đường thẳng d gồm điểm M x y z( ; ; ) vừa thuộc ( )α vừa
thuộc ( )α′ , nên tọa độ M nghiệm hệ 0
Ax By Cz D A x B y C z D
+ + + =
′ + ′ + ′ + ′=
Khi ud = n n, ′
với
( , , )
n= A B C
n′=(A B C′ ′ ′, , ) vectơ phương đường thẳng d Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Ox i=(1; 0; 0)
Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oy j=(0;1; 0) Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oz k =(0; 0;1)
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (khơng dùng t.c.h) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho mp) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt+mp)
PTĐT qua điểm, cắt d , có liên h1 ệ với d 2
PTĐT qua điểm, cắt d , có liên hệ với mp ( )P
PTĐT qua điểm, cắt d l1 ẫn d 2
PTĐT qua điểm, vừa cắt – vừa vng góc với d
PTĐT qua điểm, vng góc với d , thỏa ĐK khoảng cách
PTĐT qua điểm, thỏa ĐK khác
PTĐT cắt đường thẳng d d , th1, 2 ỏa ĐK khác
PTĐT nằm ( )P , vừa cắt vừa vng góc với d
PTĐT thỏa ĐK đối xứng PT giao tuyến mặt phẳng
(4)BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gianOxyz, cho hai điểm M(1; 0;1) (3; 2; 1)
N − Đường thẳng MN có phương trình tham số
A
1
2
1
x t
y t
z t
= + = = +
B
1
x t
y t
z t
= + = = +
C
1
x t
y t
z t
= − = = +
D
1
1
x t y t z t
= + = = −
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình đường thẳng hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết điểm qua vectơ phương
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
* Trong không gian Oxyz:
Cho hai điểm A x( A;y zA; A), B x( B;y zB; B) Ta có: AB=(xB−xA;yB −yA;zB −zA)
Đường thẳng ∆ qua điểm M x( 0;y z0; 0) có vectơ phương u =(a b c; ; ) có phương
trình tham số ( )
0
0 :
x x at
y y bt t
z z ct
= +
∆ = + ∈ = +
phương trình tắc 0 ( )
: x x y y z z abc
a b c
− − −
∆ = = ≠
Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B ∆ có vectơ phương AB BA Nếu u vectơ phương ∆ ku k ( ≠0) vectơ phương ∆ , đường thẳng có vơ số vectơ phương
3 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính MN=(2; 2; 2− ) suy MN =2u, với u =(1;1; 1− )
B2: Chọn u =(1;1; 1− ) một vectơ phương đường thẳng qua hai điểm M N
B3: Viết phương trình đường thẳng MN qua M(1; 0;1) có vectơ phương u =(1;1; 1− )
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải Chọn D
Ta có: MN=(2; 2; 2− ⇒) MN =2u, với u =(1;1; 1− )
(5)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng MN qua M(1; 0;1) có vectơ phương u =(1;1; 1− ) có phương trình tham số
1
1
x t y t z t
= + = = −
Bài tập tương tự phát triển 1:
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua E(1; 2;3) va có vectơ phương
3
a = −i j+ k có phương trình tham số
A
3
5
x t
y t
z t
= +
= − +
= +
B
2
3
x t
y t
z t
= + = + = +
C
2
3
x t
y t
z t
= − = − = +
D
2
3
x t
y t
z t
= + = − = +
Lời giải Chọn D
Ta có a = −i 3j+5k⇔ =a (1; 3;5− )
Suy vectơ phương ∆ a =(1; 3;5− )
Đường thẳng ∆ qua E(1; 2;3) có VTCP a =(1; 3;5− ) có PTTS:
2
3
x t
y t
z t
= + = − = +
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−3; 2; ,) (B 0; 1; ,− ) (C 4; 0; 2− , đường thẳng qua )
C song song với AB có phương trình tham số
A
2
x t
y t
z
= + = − = −
B
4
2
x t
y t
z
= + = − =
C
1
1
2
x t
y
z t
= + = − = −
D
2
x t
y t
z
= + = = −
Lời giải Chọn A
Gọi ∆ đường thẳng song song với AB, nên AB vectơ phương ∆ Ta có: AB=(3; 3; 0− )⇒AB=3u với u=(1; 1; 0− )
Ta chọn u=(1; 1; 0− ) vectơ phương đường thẳng ∆
Đường thẳng ∆ qua C(4; 0; 2− có VTCP ) u=(1; 1; 0− ) có PTTS:
2
x t
y t
z
= + = − = −
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm A(1; ; 4− vng góc với mặt phẳng ) ( )α :x+2y+5z− = có phương trình tắc là4
A
1
x− = y− = z−
− B
1
1
x− = y− = z+
(6)C
1
x+ y+ z−
= = D
1
x+ y− z−
= =
Lời giải Chọn B
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến nα =(1; 2;3− )
Vì ∆ ⊥( )α ⇒ vectơ phương ∆: u ∆ =nα =(1; 2;3− )
Đường thẳng ∆ qua A(1; ; 4− có VTCP ) u =(1; 2;5) có PTCT:
1
x− y− z+
= =
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x− y+ z−
∆ = =
− − Đường thẳng d qua
(3; 0; 5)
N − song song với đường thẳng∆ có phương trình tham số
A
1
2
3
x t
y
z t
= − +
=
= − −
B
2
5
x t
y t
z t
= − =
= − −
C
2
5
x t
y t
z t
= − =
= − +
D
2
5
x t
y t
z t
= − = −
= − −
Lời giải Chọn B
Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ = −( 1; 2; 3− )
Vì d song song với ∆ nên vectơ phương d u d =u∆ = −( 1; 2; 3− )
Đường thẳng d qua N(3; 5; 0− ) có VTCP u = −( 1; 2; 3− ) có PTTS:
2
5
x t
y t
z t
= − =
= − −
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2;3 ,) (B 3; 2;3 ,− ) (C −1; 0; ,− ) (D 1;1; 0), đường thẳng ∆ qua trung điểm đoạn thẳng AB song song với CD có phương trình tham số
là
A
2
3
x t
y t
z t
= + = = +
B
2
1
3
x t
y
z t
= + = = +
C
2
3
x t
y t
z t
= − = = +
D
2
3
x t
y t
z t
= + = = −
Lời giải Chọn A
Gọi I trung điểm
1 2 2
0 3
3
I
I
I x
AB I y
z
+
= =
−
⇒ = =
+
= =
Vậy I(2; 0;3)
Vì∆ song song với CD, nên CD vectơ phương ∆ Ta có: CD=(2;1;3)
(7)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng ∆ qua I(2; 0;3) có VTCP u =(2;1;3) có PTTS:
2 3 x t y t z t = + = = +
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 3; 4− − song song đường thẳng ) chứa trục Oycó phương trình tham số
A 2020 x t y z = + = − = −
B 2020 x y z t = = − = − +
C 2020 x y t z = = − + = −
D x t y z t = − = − = − −
Lời giải Chọn C
Ta có, vectơ phương đường thẳng chứa trục Oy j=(0;1; 0)
Chọn u =2020j=(0; 2020; 0) làm vectơ phương đường thẳng chứa trục Oy Vì đường thẳng ∆ song song đường thẳng chứa trục Oy⇒ VTCP đường thẳng ∆
( )
2020 0; 2020;
u= j=
Đường thẳng ∆ qua M(2; 3; 4− − có VTCP ) u=(0; 2020; 0) có PTTS: 2020 x y t z = = − + = −
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 2 x t y t z t = ∆ = − = −
Đường thẳng d qua B(1; 0; 2− )
song song với đường thẳng∆ có phương trình tắc
A
1
x− = =y z+
− B
1
1
x− = y+ = z+
C
1
x− y z+
= = D
1
x− y z+
= =
− − Lời giải
Chọn D
Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ =(1; 2; 3− − )
Vì d song song với ∆ nên vectơ phương d u d =u∆ =(1; 2; 3− − )
Đường thẳng d qua B(1; 0; 2− có VTCP ) u=(1; 2; 3− − ) có PTCT:
1
x− = y = z+
− −
Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1 ,) (B −1;1; ,) (C 1;3; 2) Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình tham số là
A 1 x t y t z = + = + =
B
1 1 x y t z = = + =
C 1 x t y t z = − = + =
D
1 x t y t z t = − + = + =
(8)Gọi M là trung điểm BC ( )
1
2 0; 2;1
0 2
M
M
M x
M y M
z
− +
= =
+
= = ⇒
+
= =
, suy AM = −( 1;1; 0)
Ta có đường thẳng AM nhận u = AM = −( 1;1; 0) làm vectơ phương
Ta có đường thẳng AM qua A(1;1;1) nhận u =AM = −( 1;1; 0) làm vectơ
phương có PTTS:
1
1
x t
y t
z
= − = + =
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 3; 2− ) song song đường thẳng chứa trục Oxcó phương trình tham số
A
3
2
x
y t
z
=
= − +
=
B
3
2
x
y
z t
= = − = +
C
3
2
x t
y
z
= + = − =
D
3
2
x
y t
z t
=
= − +
= +
Lời giải Chọn C
Ta có, vectơ phương đường thẳng chứa trục Ox i=(1; 0; 0)
Vì đường thẳng ∆ song song đường thẳng chứa trục Ox⇒ VTCP đường thẳng ∆ (1; 0; 0)
u = =i
Đường thẳng ∆ qua A(1; 3; 2− ) có VTCP i=(1; 0; 0) có PTTS:
3
2
x t
y
z
= + = − =
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; ,− ) (B 2; 3; ,− − ) (C 3; 0; 3− Gọi G ) trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng OG có phương trình tắc là
A
2
x− y− z
= = B
2
x y z
= =
− − C
2
2
x− y+ z−
= =
− D 2
x y z
= =
Lời giải Chọn B
Vì G trọng tam tam giác
1 3
0 3
2 3
G
G
G
x
ABC G y
z
+ +
= =
− +
⇒ = = −
− − −
= = −
Vậy G(2; 1; 3− − )
(9)Website: tailieumontoan.com
Ta có đường thẳng OG qua O(0; 0; 0) nhận u =OG=(2; 1; 3− − ) làm vectơ
phương có PTCT:
2
x y z
= = − −
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm A(3; 4; 7− song song với mặt ) phẳng ( )α :x− + − = y z ( )β : 2x+ + − = có phương trình tắc lày z
A
2
x− y− z+
= =
− B
3
2
x− y− z+
= =
− −
C
3
x+ y− z−
= =
− D
3
2
x− y− z+
= =
− −
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n1=(1; 1;1− )
Mặt phẳng ( )β có vectơ pháp tuyến n2 =(2;1;1)
Vì 1 1
2 1 n
−
≠ ≠ ⇒ n2 không phương
Vì ∆ song song với mặt phẳng ( )α ( )β nên ∆ có VTCP u = n n1, 2= −( 2;1;3)
Đường thẳng ∆ qua A(3; 4; 7− có VTCP ) u= −( 2;1;3) có PTCT:
2
x− = y− = z+
−
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm B(0; 4; 5− vng góc với đường ) thẳng có vectơ phương u1=(1; 2; 0− )
u2 = −( 1;1; 2− )
có phương trình tham số
A
4
4
5
x t
y t
z t
= − = −
= − +
B
4
4
5
x t
y t
z t
= − = −
= − +
C
4
2
1
x
y t
z t
= −
= − +
= −
D
5
4
4
x t
y t
z t
= − +
= − = −
Lời giải Chọn B
Vì ∆ vng góc với đường thẳng có vectơ phương u1=(1; 2; 0− )
( )
2 1;1;
u= − − , suy VTCP ∆ u=u u1, 2= − −( 4; 2;1)
Đường thẳng ∆ qua B(0; 4; 5− có VTCP ) u= − −( 4; 2;1) có PTTS:
2
x− = y− = z+
−
Câu Trong không gian Oxyz, gọi P P l1, 2 ần lượt hình chiếu vng góc điểm P(6; ;8) lên trục Oy mặt phẳng (Oxz) Đường thẳng ∆ qua C(7 ; 2; 1− song song với đường )
thẳng P P 1 2 có phương trình tắc
A
7
x− y+ z−
= =
− B
7
6
x− y− z+
(10)C
6
x− y− z+
= =
− D
7
6
x− y− z+
= =
− − Lời giải
Chọn C Ta có:
1
P hình chiếu vng góc điểm P(6; ;8) lên trục Oy⇒P1(0; ; )
2
P hình chiếu vng góc điểm P(6; ;8) lên mặt phẳng (Oxz)⇒P2(6; 0;8 )
Chọn vectơ phương đường thẳng P P 1 2 P P1 =(6; ;8 − )
Vì ∆ song song với đường thẳng P P , suy 1 ∆ có VTCP u=P P1 =(6; ;8 − )
Đường thẳng ∆ qua C(7 ; 2; 1− có VTCP ) u=(6; ;8− ) có PTCT:
6
x− y− z+
= =
−
Câu Trong không gian Oxyz, gọi T T l1, 2 ần lượt hình chiếu vng góc điểm T(4;5; 6) lên trục Oy trục Oz Đường thẳng ∆ qua D(−4;3; 8− song song với đường thẳng )
1
T T có phương trình tham số
A
4
5
6
x t
y t
z t
= −
= − −
= −
B
4
3
8
x
y t
z t
= − = −
= − +
C
4
3
8
x
y t
z t
= − = −
= − +
D
4
3
8
x
y t
z t
= − = −
= − +
Lời giải Chọn D
Ta có:
1
T hình chiếu vng góc điểm T(4;5; 6) lên trục Oy⇒T1(0;5; )
2
T hình chiếu vng góc điểm T(4;5; 6) lên trục Oz⇒T2(0; 0; )
Chọn vectơ phương đường thẳng T T 1 T T1 =(0; 5; − )
Vì ∆ song song với đường thẳng T T , suy 1 2 ∆ có VTCP u =T T1 2 =(0; 5; − )
Đường thẳng ∆ qua D(−4;3; 8− có VTCP ) u =(0; 5; 6− ) có PTTS:
4
3
8
x
y t
z t
= − = −
= − +
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3; ,) (B 2; 1;5 ,− ) (C 3; 2; 1− Đường thẳng ) ∆ qua trọng tâm G của tam giác ABC vng góc với mặt phẳng qua ba điểm , ,A B C có
phương trình
A 14
2
3
x− y− z−
= = B
15
x− y− z−
= =
C
4
2 3
15
y
x− = + = z−
D
4
2 3
15
y
x− = − = z−
(11)Website: tailieumontoan.com
Vì G trọng tam tam giác
1 3
3
3
2 G G G x
ABC G y
z + + = = − + ⇒ = = + − = =
Vậy 2; ; 24
G
Ta có AB=(1; 4;3 ,− ) AC=(2; 1; 3− − ⇒) AB AC, =(15;9; )
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng qua ba điểm , ,A B C , nên ta chọn môt vectơ
chỉ phương u∆ =(15;9; 7)
Vậy đường thẳng ∆ qua 2; ; 24
G
nhận u∆ =(15;9; 7)
làm vectơ phương có
phương trình tắc là:
4
2 3
15
y
x− − z−
= =
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm E(1; 2;1), song song với mặt phẳng
( )α :x+ − − = vng góc với đường thẳng y z
2
:
2
x t
d y t
z t = = − − = +
có phương trình tham số
A x t y t z t = + = − − = − +
B
1 x t y t z t = − = − = −
C
1 x t y t z t = + = − = −
D
1 x t y t z t = + = + = +
Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n1=(1;1; 1− ) Đường thẳng d có vectơ phương ud =(2; 1;5− )
Vì ∆ song song với mặt phẳng( )α vng góc với đường thẳng d nên ∆ có VTCP
( )
1, d 4; ;3 u=n u = −
Đường thẳng ∆ qua E(1; 2;1) có VTCP u = −( 4; ;3) có PTTS:
1 x t y t z t = + = − = −
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ giao tuyến mặt phẳng ( )α :x+2y+ − = z ( )β :x− − + = có phương trình tham số lày z
A x t y t z = + = − + =
B
1 x t y t z t = − + = − =
C
1 x t y t z t = − − = − =
D
1 x t y t z t = − + = + =
(12)Mặt phẳng ( )α có VTPT nα =(1; 2;1)
Mặt phẳng ( )β có VTPT nβ =(1; 1; 1− − ) Khi n n α, β = − ( 1; 2; 3− )
Vì đường thẳng ∆ giao tuyến mặt phẳng ( )α :x+2y+ − = z
( )β :x− − + = nên y z ∆ có một vectơ phương u∆ phương với n nα, β
Chọn VTCP ∆ u∆ =(1; 2;3− )
Tọa độ M x y z( ; ; )∈ ∆ nghiệm hệ phương trình 2
x y z
x y z
+ + − =
− − + =
Trong hệ trên, cho x= − ta 2 ( 1;1; 0)
1
y z y
M
y z z
+ = =
⇔ ⇒ −
+ = =
Đường thẳng ∆ qua M(−1;1; 0) có VTCP u∆ =(1; 2;3− )
có PTTS:
1
1
3
x t
y t
z t
= − +
= − =
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(− −1; 4; ,) (B 3; 0; 0) Viết phương trình đường trung trực ∆ đoạn thẳng AB, biết ∆ nằm mặt phẳng ( )α :x+ + + = y z
A
4
4
0
x t
y t
z
= − +
= − =
B
2
0
x t
y t
z
= + = − =
C
2
0
x t
y t
z
= +
= − −
=
D
2
0
x t
y t
z
= +
= − +
=
Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n =(1;1;1) AB=(4; 4; 0)
Gọi u VTCP ∆, theo đề ∆ ⊥ AB ∆ ⊥( )α
nên u AB u n AB, ( 4; 4; 0) 1; 1; 0( )
u n
⊥
⇒ = = − = − −
⊥
Gọi I trung điểm AB Khi
1
2 0
0
I
I
I
x
I y
z
− +
= =
− = = −
+
= =
Vậy I(1; 2; 0− )
Đường thẳng ∆ qua I(1; 2; 0− ) có VTCP u =(1; 1; 0− ) có PTTS:
2
0
x t
y t
z
= +
= − −
=
(13)Website: tailieumontoan.com
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
2 1
x y z d − = + =
− Đường thẳng ∆ qua
(2;1; 0)
M cắt vuông góc với đường thẳng d có phương trình tắc là
A
2 1
x− y+ z+
= =
− B
2
1
x+ y+ z
= =
− −
C
1
x− y− z
= =
− − D
2
1
x− y− z
= =
Lời giải Chọn C
Đường thẳng d có PTTS:
1
1
x t
y t
z t
= +
= − +
= −
Đường thẳng d có VTCP u=(2;1; 1− )
Gọi N = ∩ ∆ ⇒d N(1 ; 1+ t − + − t; t)
Ta có MN=(2 ;t t− −2; t) VTCP ∆
Vì ∆ ⊥ ⇔d MN ⊥ ⇔u MN u = ⇔0 2( + t)− + + =2 t t 1; 4;
3 3
t MN
⇔ = ⇒ = − −
Chọn VTCP ∆ u∆ =(1; 4; 2− − )
Đường thẳng ∆ qua M(2;1; 0) có VTCP u∆ =(1; 4; 2− − ) có PTCT:
1
x− y− z
= =
− −
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1; 0; ,− ) (B 2;3; ,− ) (C −2;1;1) Đường thẳng ∆ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng
(ABC ) có phương trình tham số
A
1
5
x
y t
z
=
= − +
=
B
2
5
x t
y t
z t
= = + =
C
2
5
x t
y t
z t
= = − =
D
2
5
x t
y t
z t
= = − =
Lời giải Chọn D
Ta có AB=(1;3; ,) BC= − −( 4; 2; ,) AC= −( 3;1; )
Suy AB= 10 ,BC= 24 ,AC = 14 Nhận xét BC2 =AB2+AC2 ⇒ ∆ABC vng A TâmI của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm BC⇒I(0; 2; 0)
Ta có AB AC, = (6; 2;10− ) Vì ∆ vng góc với mặt phẳng (ABC nên ch) ọn VTCP
của ∆ 1(6; 2;10) (3; 1;5)
u= − = −
Đường thẳng ∆ qua I(0; 2; 0) có VTCP u =(3; 1;5− ) có PTTS:
2
5
x t
y t
z t
= = − =
(14) Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
2
x y z
d + = − = − mặt phẳng ( )P :x− − − = Đường thẳng y z ∆ qua A(1;1; 2− ), song song với mặt phẳng ( )P cắt
đường thẳng d có phương trình tắc là
A 1
8
x− = y− = z+
B 1
8
x+ = y+ = z−
C
1
x− y− z−
= =
− D
1
8
x− y− z+
= =
− Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d có PTTS:
1
1
2
x t
y t
z t
= − +
= + = +
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(1; 1; 1− − )
Gọi B= ∩ ∆ ⇒d B(− +1 ;1t +t; 3+ t)
Ta có AB=(2t−2; ;3t t+4) VTCP ∆
Vì ∆//( )P ⇔ AB⊥nP ⇔ AB n P = ⇔0 2t− − − − = ⇔ = − ⇒2 t 3t t AB= − − −( 8; 3; 5)
Chọn VTCP ∆ u=(8;3;5)
Đường thẳng ∆ qua A(1;1; 2− có VTCP ) u =(8;3;5) có PTCT: 1
8
x− = y− = z+
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
2
:
3
x y z
d − = + = − 2:
1
x y z d + = =
−
Đường thẳng ∆ qua A(−1;1; 2) cắt d vng góc v1 ới d 2 có phương trình tham số
A
1
2
x t
y t
z t
= +
= − +
=
B
1
1
2
x t
y t
z
= − +
= − =
C
1
1
2
x t
y t
z
= − +
= + =
D
1
1
2
x t
y t
z
= − −
= − =
Lời giải Chọn B
Đường thẳng d có PTTS: 1
2
3
1
x t
y t
z t
= +
= − +
= +
Đường thẳng d có m2 ột VTCP u2 =(1;3; 2− )
Gọi B= ∩ ∆ ⇒d1 B(2 ; ;1+ t − + t + t)
Ta có AB= +(3 ; ; 1t − + t − +t) VTCP ∆
(15)Website: tailieumontoan.com
( )
1 6; 2;
t AB
⇔ = ⇒= −
Chọn VTCP ∆ u =(3; 1; 0− )
Đường thẳng ∆ qua A(−1;1; 2) có VTCP u =(3; 1; 0− ) có PTTS:
1
1
2
x t
y t
z
= − +
= − =
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 12
4
x y z
d − = − = − mặt phẳng ( )P : 3x+5y− − = Gọi d′ hình chiếu vng góc d lên z ( )P Phương trình tham số
của d′ là
A
62
25
61
x
y
z t
= = −
= −
B
62
25
2 61
x t
y t
z t
= =
= − +
C
62
25
2 61
x t
y t
z t
= = − = +
D
62
25
2 61
x t
y t
z t
= = −
= − +
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(3;5; 1− )
Đường thẳng d có PTTS:
12
9
1
x t
y t
z t
= +
= + = +
Gọi A= ∩d ( )P ⇒A(12 ;9 ;1+ t + t + t)
Vì A∈( )P ⇒3 12 4( + t) (+5 3+ t) (− + − = ⇔ = − ⇒1 t) t A(0; 0; 2− )
Đường thẳng d qua điểm B(12;9;1) Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng ( )P
Đường thẳng BH qua B(12;9;1) có vectơ phương u BH =nP =(3;5; 1− )
có PTTS
12
9
1
x t
y t
z t
= +
= + = −
H∈BH ⇒H(12 ;9 ;1+ t + t − t)
Vì ( ) 12 3( ) (5 ) (1 ) 78 186; 15 113;
35 35 35
H∈ P ⇒ + t + + t − − − = ⇔ = −t t ⇒H −
Ta có 186; 15 183;
35 35
AH = −
Chọn VTCP đường thẳng d′ u′=(62; 25; 61− )
Đường thẳng d′ qua A(0; 0; 2− có VTCP ) u′=(62; 25; 61− ) có PTTS:
62
25
2 61
x t
y t
z t
= = −
= − +
Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là:
6
:
1
x y z d = − = −
− − Biết điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB điểm N(1;1; 0)
(16)A
3
x t
y t
z
= = + =
B
1
1
3
x
y t
z t
= = − =
C
1
3
x
y t
z t
= = + = −
D
1
3
x
y t
z t
= = + =
Lời giải Chọn D
Phương trình tham số đường phân giác góc ,( ): 6
x t
A d y t
z t
= = − = −
Gọi D điểm đối xứng với M qua ( )d Khi D AC∈ ⇒ đường thẳng AC có vectơ
chỉ phương ND
* Ta xác định điểm D Gọi K giao điểm MD với ( )d
Ta có K t( ; ; 3− t − t);MK =(t;1 ;3 − t − t)
Vì MK ⊥ud , với ud =(1; 4; 3− − ) nên 4( ) (3 3 )
t− − t − − t = ⇔ =t
1
; 4;
2
K
⇒ , mà K trung điểm MD nên
2
2
2
D K M D
D K M D
D K M D
x x x x
y y y y
z z z z
= − =
= − ⇔ =
= − =
hay D(1;3; 6)
Một vectơ phương AC ND=(0; 2; 6) (=2 0;1;3)=2u, với u =(0;1;3 )
Đường thẳng AC qua N(1;1; 0) có VTCP u =(0;1;3 ) có PTTS:
1
3
x
y t
z t
= = + =
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−5y− = đường thẳng z 1
1
:
3
x t
d y t
z t
= +
= − +
= −
; 2:
2 1
x y z d = − =
− − Đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( )P cho ∆ cắt hai đường thẳng
1
d d 2 có phương trình tắc
A 1
4
x− = y− = z−
B
3 1
x− = y− = z−
C 1
4
x+ y+ z+
= = D 1
4
x− y− z−
= =
−
Lời giải Chọn A
Đường thẳng d có PTTS: 2
1
x s
y s
z s
= = − = −
(17)Website: tailieumontoan.com
Suy A(3;1;1)
Gọi B=d2∩ ∆ ⇒B s2 1( +t;1− − mà s; s) ( ) 2( ) (5 ) ( )
B∈ P ⇒ s − − − − = ⇔ =s s s
Suy 1; ;1 2; ;1 1(4;1;3)
2 2 2
B − ⇒AB= = = u∆
Chọn VTCP ∆ u∆ =(4;1;3)
Đường thẳng ∆ qua A(3;1;1) có VTCP u∆ =(4;1;3)
có PTCT: 1
4
x− y− z−
= =
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1 2
x y z d − = = +
− mặt phẳng
( )P : 3x+ + = Đường thẳng y z ∆ nằm mặt phẳng ( )P , cắt vng góc với đường
thẳng d có phương trình tham số là
A
5
7
x t
y t
z t
= + = −
= − −
B
1
5
3
x t
y t
z t
= + =
= − −
C
1
5
3
x t
y t
z t
= + = −
= − −
D
1
5
3
x t
y t
z t
= − = −
= − −
Lời giải Chọn C
Đường thẳng d có PTTS:
2
3
x t
y t
z t
= + = −
= − +
Đường thẳng d có VTCP: ud =(1; 2; 2− )
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(3;1;1)
Gọi M = ∩d ( )α ⇒M(1+ −t; ; 2t − + t), mà
( ) 1( ) 0 (1; 0; 3) M∈ P ⇒ + − − + = ⇔ = ⇒t t t t M −
Gọi u VTCP ∆, theo đề ∆ ⊥ d ∆ ⊥( )α
nên u ud u n u, d (4; 5; )
u n
⊥
⇒ = = − −
⊥
Chọn VTCP ∆ u=(4; 5; 7− − )
Đường thẳng ∆ qua M(1; 0; 3− có VTCP ) u =(4; 5; 7− − ) có PTTS:
1
5
3
x t
y t
z t
= + = − = −
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )P : 7x+ −y 4z= , cắt
hai đường thẳng
1
:
2 1
x y z d = − = +
−
1
:
3
x t
d y t
z
= − +
= + =
(18)A :
7
x− y z+
∆ = =
− − B
2
:
1
x t
y t
z t
= − ∆ = −
= − +
C :
7
x+ y− z+
∆ = =
− − D
7
:
5
x+ y+ z−
∆ = =
− −
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng ( )P có một vectơ pháp tuyến n=(7 ;1; 4)
1
d có phương trình tham số:
2
:
2
x m
d y m
z m
= = −
= − +
Giả sử ∆ cắt d t1 ại A⇒A(2 ;1 ; 2m − m − +m) Giả sử ∆ cắt d t2 ại B⇒B(− +1 ;1t +t;3)
Suy AB=(2t− −1 ;m t+m;5−m)
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )P ⇒AB cùng phương với n
Tức
2
2
1
7
5
t m k t
t m t m m
k t m k m
m k k
− − = = −
− − = + = − = ⇔ + = ⇔ =
−
− = − = −
Suy A(2; 0; ,− ) (B − −5; 1;3)⇒AB= − −( ; 1; )
Vậy đường thẳng ∆ qua A(2; 0; 1− ) nhận u = AB= − −( ; 1; 4) làm vectơ phương có phương trình tắc :
7
x− y z+
∆ = =
− −
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x− + −y z 10= , điểm A(1;3; 2) đường
thẳng
2
:
1
x t
d y t
z t
= − +
= + = −
Đường thẳng ∆ cắt ( )P d lần lượt hai điểm M N cho
A là trung điểm MN có phương trình tham số là
A
6
:
3
x t
y t
z t
= − −
∆ = − + = +
B
6
:
3
x t
y t
z t
= − −
∆ = − − = +
C :
7
x− y− z+
∆ = =
− D
6
:
7
x+ y+ z−
∆ = =
− −
Lời giải Chọn B
(19)Website: tailieumontoan.com
Vì A là trung điểm MN nên
2
:
2
N A M
N A M
N A M
x x x t
N y y y t
z z z t
= − = −
= − = −
= − = +
hay N(4 ;5− t −t t; + 3)
Vì ∆ cắt ( )P tại N⇒ ∈N ( )P ⇒2 2( − t) (− − + + −5 t) (3 t) 10= ⇔ = − t Do M(− −6; 1;3) AM = − −( ; 4;1)
Vậy đường thẳng ∆ qua M(− −6; 1;3) nhận u =AM = − −( ; 4;1) làm vectơ
phương có phương trình tham số
6
:
3
x t
y t
z t
= − −
∆ = − − = +
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ qua điểm M(0; 1; 2− ) đồng thời cắt hai đường
thẳng 1:
1
x y z d − = + = −
−
1
:
2
x t
d y t
z t
= − +
= − = +
có phương trình tham số
A
5
7
x t
y t
z t
= + = −
= − −
B
1
5
3
x t
y t
z t
= + =
= − −
C
1
2 16
x t
y t
z t
=
= − −
= −
D
1
5
3
x t
y t
z t
= − = −
= − −
Lời giải Chọn C
Đường thẳng d có PTTS: 1
2
3
x s
y s
z s
= +
= − −
= +
Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A(1+ − −s; s;3 2+ s) B=d2∩ ∆ ⇒B(− +1 ; 4t −t; 4+ t)
( 1; 1; ;) (2 1; 5; )
MA= + − −s s s+ MB= t− − +t t
Ta có ∆ đi qua điểm M cắt d t1 ại A cắt d t2 ại B nên điểm M A B, , thẳng hàng
( )
( ) ( )
7 2
1
1 9;9; 16
2
2 4
s
s k t
MA k MB s k t k MB
s kt t
=
+ = −
= ⇔ − − = − + ⇔ = − ⇒ = − −
+ =
= −
Chọn VTCP ∆ u =(9; 9;16− )
Đường thẳng ∆ qua M(0; 1; 2− ) có VTCP u =(9; 9;16− ) có PTTS:
1
2 16
x t
y t
z t
=
= − −
= −
(20)Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1
4
:
5
x t
d y t
z t
= + = −
= − −
2:
1
x y z
d − = + = Đường
vng góc chung ∆ đường thẳng d 1 d 2 có phương trình tắc
A 1
1
x− y+ z−
= =
− B
1
1
x+ y+ z−
= =
−
C
1
x− y− z+
= =
− D
1
1
x− y− z+
= =
Lời giải Chọn C
Đường thẳng d có PTTS: 2
3
x s
y s
z s
= +
= − +
=
Gọi M = ∩ ∆ ⇒d1 M(4 ;1+ t − − −t; 2t) N =d2∩ ∆ ⇒N(2+ − +s; 3 ;s s)
Ta có MN = − − +( 3t s t; +3s−4; 2t+ +s 5), suy MN VTCP ∆ Vì ∆ đường vng góc chung đường thẳng d 1 d nên 2
1
2
8
MN u s t s
s t t
MN u
= − − = =
⇔ ⇔
− − = = −
=
Suy M(1; 2; ,− ) (N 3; 0;1)⇒MN =(2; 2; 4− ) (=2 1; 1; 2− )=2u∆
Chọn VTCP ∆ u∆ =(1; 1; 2− )
Đường thẳng ∆ qua M(1; 2; 3− có VTCP ) u∆ =(1; 1; 2− )
có PTCT:
1
x− y− z+
= =
−
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
2 1
x y z d − = = +
−
1
:
1
x y z d + = − = −
−
Đường vng góc chung ∆ đường thẳng d 1 d c2 d 1 d l2 ần lượt A B Diện tích S tam giác OAB bằng
A
S= B S = C
4
S= D
2
S =
Lời giải Chọn D
Đường thẳng d có PTTS: 1
1
2
x t
y t
z t
= + = −
= − +
u1 =(2; 1;1− ) VTCP d 1
Đường thẳng d có PTTS: 2
1
1
3
x s
y s
z s
= − +
= + = −
(21)Website: tailieumontoan.com
Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A(1 ;+ t − − + t; t) B=d2∩ ∆ ⇒B(− +1 s;1 ;3+ s − s)
Ta có AB= − − +( 2t s;1+ +t ;5s − −t s), suy AB VTCP ∆ Vì ∆ đường vng góc chung đường thẳng d 1 d nên 2
( )
( )
1
2
1; 0;
6 0
6 52 0 1;1;3
A
AB u t s t
t s s B
AB u
= − − = = −
⇔ ⇔ ⇒
+ = =
−
=
Ta có OA=(1; 0; ;− ) OB= −( 1;1;3)⇒OA OB , =(2; 1;1− )
Vậy 1 ( )2
, 1
2 2
OAB
S = OA OB = + − + =
Câu Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3; 0; ,) (B 0; 2; ,) (C 0; 0; 6) D(1;1;1) Gọi ∆ đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A B C, , đến đường thẳng ∆ lớn Hỏi điểm sau nằm ∆?
A E(− −1; 2; 0) B F(1; 1; 0− ) C G(− − − 1; 1; 1) D H(5; ;3− )
Lời giải Chọn A
Ta có phương trình tổng quát mặt phẳng qua ba điểm A B C, ,
( ):
3
x y z
ABC + + = ⇔ x+ y+ − =z
Nhận xét D(1;1;1) (∈ ABC) Gọi A B C′ ′ ′, , hình chiếu vng góc A B C, ,
∆
Suy d A( ,∆ +) (d B,∆ +) (d C,∆ =) AA′+BB′+CC′≤AD+BD CD+ Dấu xảy
A′≡B′≡C′≡ Hay tổng khoảng cách từ điểm D A B C, , đến ∆ lớn ∆ đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABC )
Phương trình tham số đường thẳng d
1
:
1
x t
d y t
z t
= + = + = +
Nhận thấy E(− −1; 2; 0)∈ ∆
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1
1
:
2
x t
d y t
z t
= + =
= − −
2: 2
1
x y z d − = + = −
−
Đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( )P :x+ + − = cắt y z d1,d l2 ần lượt
điểm A B, cho AB ngắn có phương trình tham số
A
1
5
9
2
x t
y
t z
= − +
= = −
B
5
x t
y
z t
= + =
= − +
C
5
x t
y
z t
= − =
= − +
D
5
x t
y
z t
= − =
= − −
(22)Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(1;1;1)
Đường thẳng d có PTTS: 2
2
2
x s
y s
z s
= +
= − +
= −
Gọi A= ∩ ∆ ⇒d1 A(1 ; ; 2+ t t − − t) B=d2∩ ∆ ⇒B(1+ − +s; ; 2s − s)
Ta có AB= −(s ;3t s t− − − + +2; 2s t 4), suy AB VTCP ∆
Vì ∆//( )P ⇒ AB⊥nP ⇔ AB n P = ⇔ = −0 s t Khi AB= − −( t 1; 2t−5; 6−t)
( ) (2 ) ( )2 2 49
1 6 30 62 ,
2 2
AB= − −t + t− + −t = t − t+ = t− + ≥ ∀ ∈t
Dấu đẳng thức xảy 6; ;5 , 7; 0;7
2 2 2
t= ⇒ A − AB= −
Chọn VTCP ∆ u∆ = −( 1; 0;1)
Đường thẳng ∆ qua 6; ;5
2
A −
có VTCP u∆ = −( 1; 0;1)
có PTTS:
5
x t
y
z t
= − =
= − +
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−3;3; 3− thuộc mặt phẳng ) ( )α : 2x−2y+ +z 15= mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =100 Đường thẳng ∆ qua A nằm mặt phẳng
( )α cắt mặt cầu ( )S tại điểm A B, Để AB có độ dài lớn phương trình ∆
A
3 3
x− y− z−
= =
− − B
3 3
4
x+ y− z+
= =
C 3
1
x+ = y− = z+
D 3
1
x+ = y− = z+
Lời giải Chọn C
Mặt phẳng ( )α có VTPT n =(2; 2;1− ) Mặt cầu ( )S có tâm I(2;3;5) bán kính R= 10
Do ( ( ))
( )2
2
2.2 2.3 15
,
2
d I α = − + + = <R
+ − + nên ∆ cắt ( )S tại điểm A B,
Khi 2 ( )
2 ,
AB= R −d I ∆ Do đó, AB lớn d I( ),∆ nhỏ
( ),
(23)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng IH qua I(2;3;5) vng góc với ( )α có PTTS:
2
3
5
x t
y t
z t
= + = − = +
Vì H∈( )α ⇒2 2( + t) (−2 2− t)+ + +5 t 15= ⇔ = − ⇒0 t H(−2; ;3)
Ta có AH =(1; 4; 6) Chọn VTCP đường thẳng ∆ u∆ =(1; 4; 6)
Đường thẳng ∆ qua A(−3;3; 3− có VTCP ) u∆ =(1; 4; 6) có PTCT: 3
1
x+ = y− = z+
Câu Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng : 1
1
x y z
d − = = − , điểm A(2; 2; 4) mặt phẳng ( )P :x+ + − = Đường thẳng y z ∆ nằm mặt phẳng ( )P , cắt d cho khoảng cách
từ A đến ∆ lớn có phương trình tắc
A
3
x− y+ z−
= =
− B
3
1
x− y+ z−
= =
−
C
1
x− y+ z−
= = D
1
x− y+ z−
= =
− −
Lời giải Chọn B
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(1;1;1)
Tọa độ giao điểm B của d ( )P nghiệm hệ phương trình
( )
1
1
0 1; 0;1
1
2 1
x
x y z
y B
x y z z
=
− −
= =
⇔ = ⇒
+ + − = =
Ta có ∆ qua B
Gọi H hình chiếu vng góc A lên ∆ Ta có d A( ,∆ =) AH ≤AB nên d A( ,∆ đạt giá ) trị lớn AB
Khi đường thẳng ∆ qua B có VTCP u=n P,AB= −( 1; 2; 1− )
Chọn VTCP đường thẳng ∆ u∆ =(1; 2;1− )
Đường thẳng ∆ qua B(1; 0;1) có VTCP u∆ =(1; 2;1− ) có PTCT:
1
x− = y+ = z−
−
Thay tọa độ B(1; 0;1) vào phương án, ta thấy phương án B thỏa mãn
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 0; 0) mặt phẳng ( )P :x−2y−2z+ = đường
thẳng
2
:
1
x
d y t
z t
= = = +
Gọi d′ đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng ( )P , M
hình chiếu vng góc I mặt phẳng ( )P , N điểm thuộc d cho diện tích tam
(24)A 2; 3; 2
N − −
B
5 2; ;
2
N −
C
5 2; ;
2
N − −
D
5 2; ;
2
N
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng d′ có PTTS
1
:
2
x s
d y s
z s
= + ′ = −
= −
Tọa độ M là giao điểm d′ ( )P
( ) ( ) ( ) 4
1 2 2 ; ;
9 9
s s s s M
⇒ + − − − − + = ⇔ = − ⇒
Vậy
2 2
7 4
1 0
9 9
IM = − + − + − =
Gọi H hình chiếu N lên d′
2
MNI
S = IM NH = NH
Do đó, diện tích tam giác MNI nhỏ độ dài NH nhỏ
N điểm thuộc d nên tọa độ N có dạng N(2; ;1t + ⇒t) IN=(1; ;t t+1)
Đường thẳng d′ có VTCP u′=(1; 2; 2− − ) Ta có IN u , ′ = (2;t+ − −3; t 2)
Mà ( ) ( ) ( )
2
2 2
, 2 3 2 2 10 17
,
3
IN u t t t t
NH d N d
u
′ + + + − − + +
′
= = = =
′
2
5
2
2 2
3
t
+ +
= ≥
Vậy NH nhỏ
2
5
2; ;
2 2
t= − ⇒N − −
Câu Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng d qua A(−1; 0; 1− cắt)
1
1 2
:
2 1
x y z d − = − = +
− cho góc giữa d
3
:
1 2
x y z d − = − = +
− nhỏ Phương
trình tắc đường thẳng d là
A 2
1 1
x− = y− = z+
− − B
1
2
x+ = =y z+
−
C 1
2
x+ y z+
= = D 1
2
x+ y z+
= =
− −
Lời giải Chọn B
Đường thẳng d có PTTS: 1
1
2
2
x t
y t
z t
= + = +
(25)Website: tailieumontoan.com
Gọi M = ∩ ⇒d1 d M(1 ; 2+ t + − − t; t)
Ta có AM =(2t+2;t+ − −2; t 1), suy AB VTCP d
2
d có một VTCP u2 = −( 1; 2; 2)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 2
cos ,
3 14 14
1 2 2
t t t t t
d d
t t
t t
t t t
− + + + + − −
= = =
+ + + +
− + + + + + + − −
Xét hàm số ( )
2
2 ,
6 14
t
f t t
t t
= ∀ ∈
+ +
Ta có ( )
( )
2
2
2
9 14 18
0 14 18
6 14 0
t t t
f t t t
t t t
= −
+
′ = = ⇔ + = ⇔
+ + =
Bảng biến thiên:
ta suy f t( )= f ( )0 = ⇔ =0 t
Do cos (d d, 2) = ⇔ = ⇒ t AM =(2; 2; 1− )
Chọn VTCP d ud =(2; 2; 1− )
Đường thẳng d qua A(−1; 0; 1− có VTCP ) ud =(2; 2; 1− )
có PTCT: 1
2
x+ = =y z+
−
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 2
M
mặt cầu ( )
2 2
:
S x +y +z − = Đường
thẳng d thay đổi qua M , cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A B, Tính diện tích lớn Smax của tam giác OAB
A Smax =2 B Smax =3 C Smax =2 D Smax = Lời giải
Chọn D
Mặt cầu ( )S có tâm O(0; 0; 0) bán kính R=2
Vì OM = < ⇒1 R M nằm bên mặt cầu
Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống AB Đặt OH x= với 0< ≤ x Suy HA= R2−OH2 = 8−x2
Ta có 12 8
2 2
OAB
(26)Xét hàm số f x( )=x 8−x2 (0;1 ]
Ta có ( ) ( ]
( ] ( ) ( )
2
2
2 0;1
8
8 , 0;1 max
8
x x
f x x x f x f
x x
−
′ = − − = > ∀ ∈ ⇒ = =
− −
Vậy Smax =
Câu Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng d qua A(1; 1; 2− ), song song với mặt phẳng ( )P : 2x− − + = cho góc d y z :
1 2
x− y− z+
∆ = =
− lớn Phương
trình tắc đường thẳng d là
A 1
1
x− y+ z−
= =
− B
1
1
x− y+ z−
= =
−
C 1
1
x− y+ z−
= = D 1
4
x− y+ z−
= =
−
Lời giải Chọn A
∆ có VTCP u∆ =(1; 2; 2− )
d có một VTCP ud =(a b c; ; )
( )P có một VTPT nP =(2; 1; 1− − )
Vì d//( )P ⇒ud ⊥nP ⇔u nd P = ⇔0 2a b c− − = ⇔ =0 c 2a b−
( )
( )
( )2
2
2 2
2 2 2
5
2
cos ,
3
3 2
a b
a b c a b
d
a ab b
a ab b
a b c
−
− + −
∆ = = =
− +
− +
+ − + + +
Đặt t a b
= , ta có ( ) ( )
2
cos ,
3
t d
t t
− ∆ =
− +
Xét hàm số ( ) ( )
2 2
2
5 25 40 16 ,
5
t t t
f t t
t t t t
− − +
= = ∀ ∈
− + − +
Ta có ( )
( )
2
2
2
1
100 60 16
0 100 60 16
4
5
t
t t
f t t t
t t t
= − − −
′ = = ⇔ − − = ⇔
− + =
(27)
Website: tailieumontoan.com
ta suy max ( )
5
f t = f − =
Do max cos( , ) 1
3 5
a
d t
b
∆ = ⇔ = − ⇒ = −
Chọn a= ⇒ = −1 b 5,c=7
Đường thẳng d qua A(1; 1; 2− ) có VTCP ud =(1; 5; 7− ) có PTCT: 1
1
x− y+ z−
= =
−
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3− mặt phẳng ) ( )P : 2x+2y− + = Đường z thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ( )Q : 3x+4y−4z+ = cắt mặt phẳng ( )P
tại B Điểm M nằm mặt phẳng ( )P cho M ln nhìn AB góc vng MB có độ dài lớn Tính độ dài MB
A MB= B MB= 51 C
MB= D MB= 41
Lời giải Chọn A
Đường thẳng d qua A(1; 2; 3− có VTCP ) u =nQ =(3; 4− ) có PTTS
1
:
3
x t
d y t
z t
= + = +
= − −
Ta có MB2 =AB2−MA2 Do MNmax ⇔MAmin
Gọi E hình chiếu A lên ( )P Ta có AM ≥ AE Dấu xảy M ≡E Khi MAmin =AE MB qua B nhận BE
làm VTCP
Ta có B∈ ⇒d B(1 ; ; 4+ t + t − − t)
mà B∈( )P ⇒2 3( + t) (+2 4+ t) (− − −3 4t)+ = ⇔ = − ⇒9 t B(− −2; 2;1)
Đường thẳng AE qua A(1; 2; 3− nhận ) nP =(2; 2; 1− ) làm VTCP có PTTS
1
: 2
3
x t
d y t
z t
= + = +
= − −
Suy E(1 ; 2 ; 3+ t + t − − t)
mà E∈( )P ⇒2 2( + t) (+2 2+ t) (− − − + = ⇔ = − ⇒3 t) t E(− − − 3; 2; 1)
Khi ( ( ))2 ( ( ))2 ( )2
3 2 1
(28)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1 Phương trình đường thẳng:
• Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0(x y z0; 0; 0) nhận vectơ a =(a a a1; 2; 3)
với a12+a22 +a32 ≠
làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tham số : ( )
0
0
;
x x a t y y a t t z z a t
= +
= + ∈
= +
• Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0(x y z0; 0; 0) nhận vectơ a =(a a a1; 2; 3)
cho a a a1 2 3 ≠ làm
vectơ phương Khi ∆ có phương trình tắc : 0
1
x x y y z z
a a a
− = − = −
2 Góc:
a Góc hai đường thẳng:
1
∆ có vectơ phương a1
2
∆ có vectơ phương a2
Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ ∆ Ta có:
1
1 cos
a a
a a
= ϕ
b Góc đường thẳng mặt phẳng: ∆ có vectơ phương a∆
( )α có vectơ phương nα
Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ ( )α Ta có:
sin
a n
a n
∆
∆ =
α
α ϕ
3 Khoảng cách:
a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : ∆ qua điểm M 0 và có vectơ phương a∆
( ) ,
,
a M M d M
a
∆
∆
∆ =
b Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:
1
∆ đi qua điểm M có vectơ phương a1
2
∆ đi qua điểm N có vectơ phương a2
( )
1
1 , , =
,
a a MN
d
a a
∆ ∆
(29)Website: tailieumontoan.com
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
PT đường thẳng Oxyz (Lập PTĐT qua hai điểm)
PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (khơng dùng t.c.h) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho mp) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt) PTĐT qua điểm, VTCP tìm t.c.h (cho đt+mp) PTĐT qua điểm, cắt d1, có liên hệ với d2
PTĐT qua điểm, cắt d, có liên hệ với mp (P) PTĐT qua điểm, cắt d1 lẫn d2
PTĐT qua điểm, vừa cắt – vừa vng góc với d
PTĐT qua điểm, vng góc với d, thỏa ĐK khoảng cách PTĐT qua điểm, thỏa ĐK khác
PTĐT cắt đường thẳng d1,d2, thỏa ĐK khác PTĐT nằm (P), vừa cắt vừa vng góc với d PTĐT thỏa ĐK đối xứng
PT giao tuyến mặt phẳng
PT đường vng góc chung hai đường thẳng chéo
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gianOxyz, cho hai điểm M(1; 0;1) (3; 2; 1)
N − Đường thẳng MN có phương trình tham số
A
1 2
x t y t z t
= + = = +
B
1
1
x t y t z t
= + = = +
C
1
1
x t y t z t
= − = = +
D
1
1
x t y t z t
= + = = −
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình đường thẳng hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết điểm qua vectơ phương
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tính MN=(2; 2; 2− ) suy MN =2u, với u =(1;1; 1− )
B2: Chọn u =(1;1; 1− ) một vectơ phương đường thẳng qua hai điểm M N
B3: Viết phương trình đường thẳng MN qua M(1; 0;1) có vectơ phương u =(1;1; 1− )
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải
(30)Ta có: MN=(2; 2; 2− ⇒) MN =2u, với u =(1;1; 1− )
Ta chọn u =(1;1; 1− ) một vectơ phương đường thẳng qua hai điểm M N
Đường thẳng MN qua M(1; 0;1) có vectơ phương u=(1;1; 1− )có phương trình tham số
1
1
x t y t z t
= + = = −
Bài tập tương tự phát triển 2:
Mức độ
Câu Trong không gianOxyz, cho hai điểm A(1; 2;3) B(1, 4− Đường thẳng AB có phương 2) trình tham số
A
1 2
x
y t z t
=
= −
= +
B
1 2
x
y t z t
=
= +
= −
C
x t y t z t
=
= +
= −
D
1 2
x
y t z t
=
= +
= −
Lời giải
Chọn B
Ta có AB=(0;2; 5− ⇒ =) u (0;2 5− )
Đường thẳng AB qua A(1; 2;3) có véctơ phương u=(0;2 5− ) là:
1 2
x
y t z t
=
= +
= −
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d qua A(2;3; 4− có véctơ phương ) (1;3; 4)
u= có phương trình tắc ?
A
1
x− y− z+
= = B
1
x+ y+ z−
= =
C
1
x− = y− = z+
− D
1
2
x− = y− = z+
Lời giải Chọn A
(31)Website: tailieumontoan.com
2
1
x− y− z+
= =
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng ∆ qua M(−1;3; 4) vng góc với mặt phẳng ( )P :x+2y+3z+ = có phương trình tham số ?
A
1
x t y t z t
= − +
= + = +
B
1
x t y t z t
= − +
= − = +
C
1 3
x t y t z t
= −
= +
= +
D
1
x t y t z t
= − −
= + = −
Lời giải
Chọn A
Ta có d ⊥( )P ⇒ud =nP =(1;2;3)
Phương trình tham số đường thẳng d qua M(−1;3; 4) có véctơ phương u =(1;2;3) là:
1
x t y t z t
= − +
= + = +
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d qua điểm A(−1;2;3) song song với
1
:
2
x− y+ z−
∆ = = có phương trình tham số
A
1 2
x t y t z t
= − +
= +
= +
B
1 2
x t y t z t
= +
= − +
= − +
C
1 2
x t y t z t
= − +
= + = +
D
2
x t y t z t
= − = + = +
Lời giải
Chọn A
( )
/ / d 2;4;5
d ∆ ⇒u =u∆ =
Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(−1;2;3) có véctơ phương u=(2; 4;5)
1 2
x t y t z t
= − +
= +
= +
(32)A
2
x y− z−
= =
− B
1
2
x+ y− z−
= =
−
C
2
x = y− = z−
D
2
x = y+ = z+
−
Lời giải:
Chọn A
Gọi M trung điểm BC , M(2; 1;3− )
Đường thẳng AM có véctơ phương AM =(2; 2;1− )=u
Phương trình tắc đường thẳng AM qua A(0;1; 2) có véctơ phương u=(2; 2;1− )
là:
2
x= y− = z−
−
Câu Trong khơng gianOxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d qua A(1; 2;3) có véctơ phương u=(3;3;3)
A
1
x t y t z t
= − +
= − +
= +
B
1
x t y t z t
= −
= +
= +
C
2
x t y t z t
= +
= +
= +
D
3 3
x t y t z t
= + = + = +
Lời giải:
Chọn C
Véctơ (1;1;1 ) phương với u=(3;3;3) nên véctơ phương đường thẳng
d suy phương trình tham số đường thẳng qua A(1; 2;3) có véctơ phương u1 =(1;1;1)
1
x t y t z t
= +
= +
= +
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng d có phương trình tắc
2
x y
z
− = − =
Phương trình tham số đường thẳng d là?
A
1
3
x t
y t
z t
= + = + =
B
2
1
x t
y t
z
= +
= +
=
C
1
3
x t
y t
z t
= − = − =
D
1
3
x t
y t
z t
= − +
= − +
= −
Lời giải:
(33)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng :
2
x y
d − = − =z có véctơ phương u=(2; 2;1) qua điểm M(1;3; 0)
Phương trình tham số đường thẳng d là:
1
3
x t
y t
z t
= + = + =
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số :
1
3
x t y t z t
= − +
= − = +
Phương
trình tắc đường thẳng ∆ ?
A
2
x− = y+ = z+
− B
2
5
x+ = y− = z+
−
C
5
x+ = y− = z+
− − D
1
2
x+ = y = z−
−
Lời giải:
Chọn D
Đường thẳng ∆ có véctơ phương u=(2; 1;3− ) qua điểm M(−1; 0;3) Phương trình tắc đường thẳng ∆ là:
2
x+ = y = z−
−
Câu Trong không gian$Oxyz$, viết phương trình tắc đường thẳng PQ với P(1; 2;3) (2; 4; 6)
Q
A
1
x− y− z−
= =
− − B
1
1
x+ y− z+
= =
C
1
x− = y− = z−
D
1
x+ = y+ = z+
Lời giải:
Chọn C
Đường thẳng PQ có véctơ phương PQ=(1; 2;3)=u
Phương trình tắc đường thẳng PQ qua Q(2; 4; 6) có véctơ phương u =(1; 2;3)
2
1
x− = y− = z−
(34)A
3
1
x t y t z t
= +
= + −
=
B
3 1
x t y t z t
= − +
= − +
= − +
C
1
x t y t z
= +
= − +
=
D
1
x t y t z t
= +
= − +
=
Lời giải:
Chọn D
ABCD hình bình hành ⇒uCD =CD =BA= − − −( 3; 1; 1)
(3;1;1) CD
u= = −u nên véctơ phương CD
Phương trình tham số đường thẳng CD qua C(1; 2; 0− ) có véctơ chỉnh phương u=(3;1;1)
là:
1
x t y t z t
= +
= − +
=
Mức độ
Câu Trong không gianOxyz, viết phương trình tham số đường thẳng d qua M(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng ( )P :x+2y+3z= ( )Q :− +x 2y− =
A
1 3
x t y t z t
= −
= −
= +
B
1 3
x t y t z t
= −
= −
= +
C
3 3
x t y t z t
= − −
= − = +
D
1 3
x t y t z t
= −
= −
= −
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng ( )P có VTPT nP =(1; 2;3)
Mặt phẳng ( )Q có VTPT nQ = −( 1; 2; 0)
( )
( ) ( )
/ /
; 6; 3; / /
d P
d P Q
d Q
d P u n
u n n
u n
d Q
⊥
⇒ ⇒ = = − −
⊥
Phương trình tham số đường thẳng d qua M(1; 2;3) có VTCP u= − −( 6; 3; 4) là:
1 3
x t y t z t
= −
= −
= +
(35)Website: tailieumontoan.com A 6 3 x t y t z t = − − = − =
B 6 3 x t y t z t = − = − − =
C
6 5 x t y t z t = − − = − =
D
6 3 x t y t z t = − − = − = Lời giải: Chọn D
Gọi ( ) ( )P ∩ Q = d
Mặt phẳng ( )P có VTPT nP =(1; 2;3)
Mặt phẳng ( )Q có VTPT n( )Q = −( 1; 2; 0)
( )
( ) ( )
/ /
; 6; 3; / /
d P
d P Q
d Q
d P u n
u n n
u n d Q ⊂ ⇒ ⇒ = = − − ⊂
Xét hệ phương trình
2
x y z
x y
+ + =
− + − =
Chọn z= , hệ trở thành :0
6
2 5
3 3
5 x x y x y y = − + = ⇔ − + − = =
Suy 3; ; 5
A−
thuộc hai mặt phẳng ( )P ( )Q hay A∈ d
Phương trình tham số đường thẳng d là:
6 3 x t y t z t = − − = − =
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng :
2
y z x −
∆ − = = mặt phẳng
( )P :x−2y+ = Phương trình tham số đường thẳng d qua 3 A(1; 2;3) đồng thời vng góc
với đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( )P là?
A 2 3 x t y t z t = + = + = −
B
1 3 x t y t z t = + = + = −
C
1 3 x t y t z t = − = + = −
D
1 3 x t y t z t = + = + = −
Lời giải Chọn B
(36)Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(1; 2; 0− )
Ta có:
( ) [ ; ] (6;3; 4) / /
d
d P
d P
d u u
u u n
d P u n
∆
∆
⊥ ∆ ⊥
⇒ ⇒ = = −
⊥
Phương trình tham số đường thẳng d qua A(1; 2;3) có VTCP u=(6;3; 4− ) là:
1 3
x t y t z t
= +
= +
= −
Câu Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−3y+5z− = Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(−2;1; 3− , song song với ) ( )P vng góc với trục tung
A
2
1
3
x t
y
y t
= − +
=
= − +
B
2
1
3
x t
y
y t
= − +
=
= − −
C
2
1
3
x t
y t
y t
= − −
= −
= − +
D
2
1
3
x t
y
y t
= − +
=
= − +
Lời giải
Chọn B
Oycó vectơ phương j=(0;1;0) ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(2; 3;5− )
∆ qua điểm A(−2;1; ,− ) có vectơ phương a∆ =j n, P=(5;0; 2− )
Vậy phương trình đường thẳng ∆
2
1
3
x t
y
y t
= − +
=
= − −
Câu Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng 1 2
1
: , :
3
x t x t y t y t z t z t
= + = − +
∆ = ∆ = −
= = +
Viết phương trình
tham số đường thẳng d qua gốc toạ độ O đồng thời vng góc hai đường thẳng ∆ 1 ∆ 2
A
2
x t y t z t
= = = −
B
2
x t y t z t
= = =
C
2 1
x y z
= = − = −
D
2
x t y t z t
= = − = −
Lời giải
Chọn D
(37)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng ∆ có VTCP u2 =(1; 1;3− )
[ ] ( )
1
1
2
; 6; 3;
d
d d
u u d
u u u d u u
⊥
⊥ ∆
⇒ ⇒ = = − −
⊥ ∆ ⊥
Véctơ (2; 1; 1) d
u= u = − − cũng VTCP d
Phương trình tham số đường thẳng d qua O(0; 0; 0) có VTCP u=(2; 1; 1− − ) là:
2
x t y t z t
= = − = −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1
1
x y z d − = − = −
−
2
1
:
1
x t d y t
z t
= −
= − +
= − −
Phương trình đường thẳng nằm ( )α :x+2y− − =3z cắt hai đường
thẳng d d1, 2 là:
A
5 1
x− y+ z+
= =
− − B
3
5 1
x+ y− z−
= =
− −
C
5 1
x+ = y− = z−
− D
8
1
x+ = y− = z
−
Lời giải
Chọn A
Gọi d đường thẳng cần tìm
Gọi A= ∩d1 ( )α
( )
( ) ( )
1 ;1 ;1
1 3; 2;
A d A a a a
A α a A
∈ ⇒ − + +
∈ ⇒ = − ⇒ − − Gọi B=d2∩( )α
( )
( ) ( )
2 ; ;
1 2; 1;
B d B b b b
B α b B
∈ ⇒ − − + − − ∈ ⇒ = ⇒ − − −
d đi qua điểm A(3; 2; 1− − có vectơ phương ) AB= −( 5;1; 1− )
Vậy phương trình tắc d
5 1
x− = y+ = z+
(38)Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12
4
x y z
d − = − = − mặt thẳng
( )P : 3x+4y z− − =2 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( )P đồng thời cắt
vng góc đường thẳng d
A
1
y x− = = +z
− B
2
1
y z x= = +
− −
C
1
z x= − =y +
− D
2
1
y z x− = = +
− −
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(3; 4; 1− )
Đường thẳng d có VTCP ud =(4;3;1)
Ta có: ( ) P [ P; d] (7; 7; 7)
d
u n
P
u n u
u u
d
∆
∆ ∆
⊥ ∆ ⊃
⇒ ⇒ = = − −
⊥
∆ ⊥
Ta chọn u∆ =(1; 1; 1− − )
Theo hình vẽ, đường thẳng ∆ qua M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )P
(12 ;9 ;1 )
M∈ ⇒d M + t + t + t
( ) 12 4( ) (4 ) (1 )
M∈ P ⇒ + t + + t − + − = t
3
t
⇔ = −
Do M(0; 0; 2− )
Phương trình đường thẳng ∆ qua M(0; 0; 2− có VTCP ) u∆ =(1; 1; 1− − ) là:
2
1 1
x= y = z+
− −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2
1 1
x+ y− z
∆ = =
− mặt phẳng
(39)Website: tailieumontoan.com
A
3
x t y t z t
= − +
= − = −
B
3
x t y t z t
= − −
= + = +
C
3
1
1
x t y t z t
= − +
= − = +
D
1 3
x t y t z t
= −
= − +
= − +
Lời giải
Chọn A
Gọi M = ∆ ∩( )P
( ; ; )
M∈∆ ⇒M − +t + −t t
( ) ( 3;1;1) M∈ P ⇒ = − ⇒t M −
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(1; 2; 3− )
∆ có vectơ phương a∆ =(1;1; 1− )
Có ( )
( )
, 1; 2;
d P
d P
d
d P a n
a n a
d a a∆ ∆
⊂ ⇒ ⊥
⇒ = = − −
⊥ ∆ ⇒ ⊥
d đi qua điểm M(−3;1;1) có vectơ phương ad
Vậy phương trình tham số d
3
x t y t z t
= − +
= − = −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
3
:
1
x t d y t
z t
= − +
= −
= − +
Phương trình
tắc đường thẳng qua điểm A(− −4; 2; 4), cắt vng góc với d là:
A
4
x− y− z+
= =
− − B
4
3
x− y− z+
= =
−
C 4
3
x+ = y+ = z−
− D
4
3
x− = y− = z+
− −
Lời giải:
Chọn C
Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B= ∆ ∩ d
( )
( )
3 ;1 ;
1 ;3 ;
B d B t t t
AB t t t
∈ ⇒ − + − − + = + − − +
d có vectơ phương ad =(2; 1; 4− )
d d
d AB a AB a t
∆ ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
⇔ =
(40)Vậy phương trình ∆ 4
3
x+ y+ z−
= =
−
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2
2 1
x y z d − = + = −
−
2
1 1
:
1
x y z d − = − = +
− Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 2;3) vng góc với d1 cắt d2 là:
A
1
x− = y− = z−
− − B
1
1
x− = y+ = z+
− −
C
1
x+ y+ z+
= =
− D
1
1
x− y+ z+
= =
− −
Lời giải:
Chọn A
Gọi B= ∆ ∩d2
( )
( )
2 ;1 ;
; 1;
B d B t t t
AB t t t
∈ ⇒ − + − +
= − − −
1
d có vectơ phương a1=(2; 1;1− )
1
d AB a AB a t
∆ ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ =
⇔ = −
∆ qua điểm A(1; 2;3) có vectơ phương AB=(1; 3; 5− − ) Vậy phương trình ∆
1
x− y− z−
= =
− −
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z t
= +
= − +
= +
Hình chiếu song song
của d lên mặt phẳng ( )Oxz theo phương :
1 1
x+ y− z−
∆ = =
− − có phương trình là:
A
3
0
1
x t
y
z t
= + = = −
B.
1
0
5
x t
y
z t
= − −
= = −
C
0
1
x t
y
z t
= + = = +
D
3
0
1
x t
y
z t
= − = = +
Lời giải:
Chọn C
(41)Website: tailieumontoan.com
Trên
1
:
3
x t
d y t
z t
= +
= − +
= +
chọn M khơng trùng với M0(5;0;5); ví dụ: (1; 2;3)M − Gọi A
hình chiếu song song M lên mặt phẳng ( )Oxz theo phương :
1 1
x+ y− z−
∆ = =
− −
+/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với :
1 1
x+ y− z−
∆ = =
− −
+/ Điểm A giao điểm d’ ( )Oxz
+/ Ta tìm (3;0;1)A
Hình chiếu song song
1
:
3
x t
d y t
z t
= +
= − +
= +
lên mặt phẳng ( )Oxz theo phương
1
:
1 1
x+ y− z−
∆ = =
− − đường thẳng qua M0(5;0;5) A(3;0;1)
Vậy phương trình là:
0
1
x t
y
z t
= + = = +
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 1,
4
x y z
d − = − = − mặt thẳng
( )P : 3x+5y− − =z Gọi 'd hình chiếu d lên ( )P Phương trình tham số 'd
A
62 25 61
x t y t z t
= = −
= − +
B
62 25 61
x t y t z t
= = − = +
C
62 25 61
x t y t z t
= − = = −
D
62 25 61
x t y t z t
= = − = +
Lời giải
Chọn A
Gọi A d= ∩( )P
( )
( ) ( )
12 ;9 ;1
3 0; 0;
A d A a a a
A P a A
∈ ⇒ + + +
∈ ⇒ = − ⇒ −
d đi qua điểm B(12;9;1)
Gọi H hình chiếu B lên ( )P
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )
(42)( ) ( )
12
:
1
12 ;9 ;1
78 186 15 113
; ;
35 35 35
186 15 183
; ;
35 35
x t BH y t
z t
H BH H t t t H P t H
AH
= +
= +
= −
∈ ⇒ + + −
∈ ⇒ = − ⇒ −
= −
'
d đi qua A(0;0; 2− ) có vectơ phương ad'=(62; 25;61− )
Vậy phương trình tham số 'd
62 25 61
x t y t z t
= = −
= − +
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
3
x+ y− z−
∆ = =
2
1
:
1
x− y z+
∆ = = Phương trình đường thẳng song song với
3
:
4
x
d y t z t
=
= − +
= +
cắt hai
đường thẳng ∆ ∆1; là:
A
2
x
y t z t
= −
= − −
= − −
B
2
x y t z t
= = − = −
C
2
x
y t z t
= −
= − +
= − +
D
2
x
y t z t
=
= − +
= +
Lời giải
Chọn B
Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi A= ∆ ∩ ∆1,B= ∆ ∩ ∆2
( )
( )
( )
1
2
1 ;2 ;1
1 ;2 ;
3 2; 2;
A A a a a
B B b b b
AB a b a b a b
∈ ∆ ⇒ − + + + ∈ ∆ ⇒ + − +
= − + + − + − − + −
d có vectơ phương ad =(0;1;1)
/ /d AB a, d
∆ ⇔ cùng phương
⇔ có một số k thỏa AB=k ad
3
2 2
2 2
a b a b a a b k a b k b a b k a b k k
− + + = − + = − =
⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇔ =
− + − = − + − = = −
(43)Website: tailieumontoan.com
∆ qua điểm A(2;3;3) có vectơ phương AB=(0; 1; 1− − )
Vậy phương trình ∆
2 3
x y t z t
= = − = −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1:
2 1
x y z d = − = +
−
2
1
:
3
x t d y t
z
= − +
= + =
Phương trình đường thẳng vng góc với ( )P : 7x+ −y 4z=0 cắt hai
đường thẳng d d1, là:
A
7
x− y z+
= =
− B
7
2 1
x− y z+
= =
C
7
x+ = y = z−
− − D
2
7
x− = =y z+
Lời giải
Chọn A
Gọi d đường thẳng cần tìm
Gọi A d= ∩d B1, = ∩d d2
( )
( )
( )
1
2
2 ;1 ;
1 ;1 ;3
2 1; ;
A d A a a a
B d B b b
AB a b a b a
∈ ⇒ − − +
∈ ⇒ − + +
= − + − + − +
( )P có vectơ pháp tuyến nP =(7;1; 4− )
( ) , p
d ⊥ P ⇔ AB n phương
⇔ có một số k thỏa AB=k np
2 2 1
0
5 4
a b k a b k a
a b k a b k b
a k a k k
− + − = − + − = =
⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = − − + = − − + = − = −
d đi qua điểm A(2;0; 1− ) có vectơ phương a d =nP =(7;1 4− ) Vậy phương trình d
7
x− = =y z+
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm ( 2; 2;1)
A − cắt trục tung B cho OB=2OA
A
2
x = y+ = z
− − B
6
2
x = y− = z
(44)C
2
x y− z
= =
−
6
2
x y+ z
= =
− − D
3
5
x+ y+ z−
= =
− −
Lời giải:
Chọn C
( )
( ) ( )
( ) ( )
0; ;0
0;6;0 , 2;4;
2
6 0; 6;0 , 2; 8; 1
B Oy B b
B AB
b
OB OA
b B AB
∈ ⇒
= −
=
= ⇔ = − ⇒
− = − −
∆ đi qua điểm B có vectơ phương AB
Vậy phương trình ∆
2
x = y− = z
−
6
2
x = y+ = z
− −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua điểm B(1;1;2)
cắt đường thẳng :
1
x y z d − = − = +
− tại C cho tam giác OBC có diện tích 83
A 1
3
x− = y− = z−
− −
1
31 78 109
x− = y− = z−
− B
6
2
x = y− = z
−
C 1
3
x− y− z−
= =
− − D
1
31 78 109
x− y− z−
= =
−
Lời giải:
Chọn A
( )
( )
( )
( )
( )
2 ;3 ;
2 ;3 ;
1;1;2
, 7; 5;1
2 3; 2; 1
, 4 31 78 109
2 ; ;
35 35 35 35
OBC
C d C t t t
OC t t t
OB
OB OC t t t
t BC
S OB OC
t BC
∆
∈ ⇒ + − − +
= + − − + =
= − + −
= ⇒ = − −
= ⇔ −
= ⇒ = −
∆ qua điểm B có vectơ phương BC
Vậy phương trình ∆ 1
3
x− y− z−
= =
− −
1
31 78 109
x− y− z−
= =
−
Câu Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2
1 1
x y z d − = − = −
− −
2:
2
x t d y
z t
= =
= − +
(45)Website: tailieumontoan.com
A
2
x t y t z t
= + = − = −
B
3
x t y t z t
= +
= −
= −
C
1
2
x t
y t
z t
= + = + = −
D
3
x t y z t
= + = = −
Lời giải:
Chọn C
Gọi d đường thẳng cần tìm
Gọi A= ∩d d B1, = ∩d d2
( )
( )
( )
1
2
2 ;1 ; ;3;
2; 2;
A d A a a a B d B b b AB a b a a b
∈ ⇒ + − −
∈ ⇒ − +
= − + − + + −
1
d có vectơ phương a1=(1; 1; 1− − )
2
d có vectơ phương a2 =(1;0;1)
( ) ( )
1 1
2 2 2
0
2;1;2 ; 3;3;1
d d AB a AB a a
A B
d d AB a AB a b
⊥ ⊥ = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
⊥ =
⊥ =
d đi qua điểm A(2;1; 2) có vectơ phương a d = AB=(1;2; 1− )
Vậy phương trình d
1
2
x t
y t
z t
= + = + = −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1,
1
x y z d − = − = −
− mặt cầu
( ) ( ) (2 ) (2 )2
: 29
S x− + y+ + +z = A(1; 2;1− ) Đường thẳng ∆ cắt d ( )S lần lượt
M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆
A
2
x− = y+ = z−
− và
1
7 11 10
x+ = y− = z+
−
B
2
x+ y− z+
= =
− và
1
7 11 10
x− = y+ = z−
−
C
2
x+ = y− = z+
− và
1
7 11 10
x+ = y− = z+
−
D
2
x− y+ z−
= =
−
1
7 11 10
x− = y+ = z−
−
Lời giải:
Chọn D
(2 ;1 ;1 )
(46)A trung điểm MN ⇒N(− − −t; ;1t + t)
( ) ( ) ( )
( )
2
1 4; 10;2 2;5;
6 14 20 10 14 22 20 2
; ; 7;11; 10
3 3 3
t MN
N S t t
t MN
= ⇒ = − − = − −
∈ ⇒ + − = ⇒ = − ⇒
= − = −
∆ qua điểm A(1; 2;1− ) và có vectơ phương a ∆=MN
Vậy phương trình ∆
2
x− = y+ = z−
−
1
7 11 10
x− = y+ = z−
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− = hai điểm ( 3;0;1 , 1; 1;3 ) ( )
A − B − Trong đường thẳng qua A song song với ( )P , đường thẳng
mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình
A
26 11
x− y+ z−
= =
− B
3
26 11
x+ y z−
= =
−
C
26 11
x− = y = z+
− D
2
26 11
x+ = y− = z+
−
Lời giải:
Chọn B
Gọi ∆ đường thẳng cần tìm
Gọi mặt phẳng ( )Q qua A(−3;0;1) song song với ( )P Khi đó: ( )Q :x−2y+2z+ =
Gọi ,K H lần lượt hình chiếu B lên ∆, Q( ) Ta có d B( ,∆ =) BK≥BH Do AH đường thẳng cần tìm
( )Q có vectơ pháp tuyến nQ =(1; 2; 2− )
BH qua B có vectơ phương a BH =nQ=(1; 2; 2− )
( )
( )
1
:
3
1 ; ;3
10 11
; ;
9 9
x t BH y t
z t
H BH H t t t H P t H
= +
= − −
= +
∈ ⇒ + − − +
∈ ⇒ = − ⇒ −
∆ qua điểm A(−3;0;1) có vectơ phương 26 11; ; 1(26;11; 2) 9 9
a∆ = AH = − = −
Vậy phương trình ∆ :
26 11
x+ y z−
∆ = =
(47)Website: tailieumontoan.com
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
2 1
x y z d − = + = +
− , mặt phẳng
( )P :x+ + + = Gọi M giao điểm d y z ( )P Gọi ∆ đường thẳng nằm
( )P vng góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng ∆
A
2
x+ = y+ = z−
và
2
x+ = y+ = z−
B 5
2
x− = y+ = z+
−
C
2
x+ = y+ = z−
−
D 5
2
x− = y+ = z+
−
3
2
x+ = y+ = z−
−
Lời giải:
Chọn D
Gọi M = ∩d ( )P
( )
( ) ( )
3 ; ;
1 1; 3;0
M d M t t t
M P t M
∈ ⇒ + − + − −
∈ ⇒ = − ⇒ −
( )P có vecttơ pháp tuyến nP =(1;1;1)
d có vecttơ phương ad =(2;1; 1− )
∆có vecttơ phương a∆ =a n d, P=(2; 3;1− )
Gọi N x y z hình chi( ; ; ) ếu vng góc M ∆, MN=(x−1;y+3;z)
Ta có: ( )
( ) (2 )2
2 11
2
1 42
42
MN a x y z N P x y z
x y z MN
∆
⊥ − + − =
∈ ⇔ + + + =
− + + + =
=
Giải hệ ta tìm hai điểm N(5; 2; 5− − ) N(− −3; 4;5)
Với N(5; 2; 5− − , ta có ) : 5
2
x− y+ z+
∆ = =
−
Với N(− −3; 4;5), ta có :
2
x+ y+ z−
∆ = =
−
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua điểm A(1; 1;2− ), song song với ( )P : 2x− − + = , đồng thời tạo với đường thẳng y z : 1
1 2
x+ y− z
∆ = =
(48)A 1
4
x− y+ z+
= =
− B
1
1
x− y+ z−
= =
−
C 1
4
x− y+ z−
= = D 1
1
x− y+ z−
= =
− −
Lời giải:
Chọn B
∆ có vectơ phương a∆ =(1; 2; 2− )
d có vectơ phương ad =(a b c; ; ) ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(2; 1; 1− − )
Vì d / /( )P nên a d ⊥nP ⇔a n d P = ⇔0 2a b c− − = ⇔ =0 c 2a b−
( ) (2 )2 2
2
5
cos ,
3
3
a b a b
d
a ab b
a ab b
− −
∆ = =
− +
− +
Đặt t a b
= , ta có: ( ) ( )
2
cos ,
3
t d
t t
− ∆ =
− +
Xét hàm số ( ) ( )
2
5
t f t
t t
− =
− + , ta suy được: ( )
1 max
5
f t = f − =
Do đó: max cos( , ) 1
27 5
a
d t
b
∆ = ⇔ = − ⇒ = −
Chọn a= ⇒ = −1 b 5,c=
Vậy phương trình đường thẳng d 1
1
x− = y+ = z−
−
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A(3; 1;1− ), nằm mặt phẳng ( )P :x− + − = , đồng thời tạo với y z :
1 2
x y− z
∆ = = góc 450 Phương trình đường
thẳng d
A
3 15
x t y t z t
= +
= − −
= − −
B
3
x t y t z
= +
= − −
=
C
3 15
x t y t z t
= +
= − −
= −
D
3 1
x t y t z
= +
= − −
=
3 15
x t y t z t
= +
= − −
= −
Lời giải:
(49)Website: tailieumontoan.com
∆ có vectơ phương a∆ =(1; 2; 2)
d có vectơ phương ad =(a b c; ; ) ( )P có vectơ pháp tuyến nP =(1; 1;1− )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
2 2
2 2 2 2
;
, 45 cos , cos 45
2 2
2
2 ;
d P
d P a n b a c
d d
a b c a b c
a b c a b c
⊂ ⇒ ⊥ ⇔ = +
∆ = ⇔ ∆ =
+ +
⇔ =
+ +
⇔ + + = + +
Từ ( )1 ( )2 , ta có:14 30 0
15
c
c ac
a c
= + = ⇔
+ =
Với c=0, chọn a= =b 1, phương trình đường thẳng d
3 1
x t y t z
= +
= − −
=
Với 15a+7c=0, chọn a= ⇒ = −7 c 15;b= −8, phương trình đường thẳng d
3 15
x t y t z t
= +
= − −
= −
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2,
2 1
x y z
d − = = + mặt phẳng
( )P : 2x− − + = y z M(1; 1;0− ) Đường thẳng ∆ qua điểm M, cắt d tạo với ( )P
một góc
30 Phương trình đường thẳng ∆
A 2
1
x+ y z−
= =
−
4
5
x+ = y+ = z+
B 1
1
x− = y+ = z
−
1
23 14
x− y+ z
= =
−
C 2
1
x− y z+
= =
−
4
5
x− = y− = z−
D 2
1
x+ = =y z−
−
4
5
x− = y− = z−
Lời giải:
Chọn B
Gọi N = ∆ ∩d
(2 ; ; ) N∈ ⇒d N + t t − + t
(50)( )P có vectơ pháp tuyến nP =(2; 1; 1− − )
( ) (1;1 2)
sin , 9 23 14 1
; ;
5 5
P
P
t MN MN n
d P
MN n t MN
= ⇒ = −
= ⇔
= ⇒ = −
∆ qua điểm M(1; 1;0− ) có vectơ phương a d =MN
Vậy phương trình ∆ 1
1
x− = y+ = z
−
1
23 14
x− = y+ = z
−
Mức độ
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1
1 2
x+ y− z+
∆ = =
− hai điểm
(1;1; ,) (3; 1; 4)
A B − Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho MA+MB đạt giá trị nhỏ
A M(−1;1; 2− ) B M(1; 1; 2− ) C 3; ; 2
M− −
D
1 ; ;1 2
M −
Lời giải
Chọn B
Ta có: phương với u=(1; 1; 2− ) A(1;1; 0)∉ ∆ (do 1 1
1
+ −
≠ − )
/ /
AB AB
⇒ ∆ ⇒ ∆ đồng phẳng
Xét mặt phằng chứa AB ∆ :
Gọi A′ điểm đối xứng A qua ∆ ; ( )α mặt phẳng qua A , vng góc với ∆ Khi đó, giao điểm H ∆ với ( )α là trung điểm AA′
( )α có phương trình x− +y 2z=0
Giả sử H(− +1 t;1− − +t; 2 ,t) H∈( )α ⇔ = ⇒t H(0; 0; 0) (2; 2; 4)
AB −
(51)Website: tailieumontoan.com
H là trung điểm AA′⇒A′(− −1; 1; 0)
Ta có ( )
min
MA MB+ =MA′+MB≥ A B′ ⇒ MA MB+ =A B′ M ≡Mo giao
điểm A B′ ∆
Đường thẳng A B′ qua A′(− −1; 1; 0), có phương trình
1
x t y
z t
′ = − +
= − = ′
Mà
1
:
2
x t y t z t
= − +
∆ = −
= − +
Giải hệ phương trình
1
2
1
2 2
t t t t
t t t
′ − + = − +
′ =
− = − ⇔
=
− + = ′
(1; 1; 2)
o M
⇒ −
Vậy, để MA MB+ đạt giá trị nhỏ M(1; 1; 2− )
Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu ( ) ( )S1 , S2 có phương trình
( ) 2 2 2
1 : 25; ( 2) : ( 1)
S x +y +z = S x +y + −z = Một đường thẳng d vng góc với véc tơ
(1; 1; 0)
u= − tiếp xúc với mặt cầu ( )S2 cắt mặt cầu ( )S theo m1 ột đoạn thẳng có độ dài
8 Hỏi véc tơ sau véc tơ phương ?d
A u1=(1;1; 3) B u3 =(1;1; 0) C u2 =(1;1; 6) D u4 =(1;1;− 3)
Lời giải
Chọn B
Hai mặt cầu (S1),(S2) có tâm là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) bán kính
1 5; 2
R = R =
Gọi A tiếp điểm d (S2), ta có IA = R2 =
Vì d cắt ( )S theo m1 ột đoạn thẳng có độ dài nên
2
1
8
(O; d) 25 16
2
d = R − = − =
(52)Vì d ⊥ ⇒u ud =(1;1; ),x
ta có:
( , ) OA , ,
OI+IA≥OA≥d O d → + ≥ ≥ ⇒O I A thẳng hàng
3 (0; 0;3) (0; 0;3)
OA
OA OI OI A OI
= = = ⇒
Do
2
, 3 2
( ; ) (1;1; 0)
2
d
d
d OA u
d O d x u
u x
= = = ⇔ = ⇒ =
+
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(−3;3; 3− thuộc mặt phẳng ) ( )α : 2x−2y+ + = mặt cầu z 15 ( ) (S : x−2) (2+ y−3) (2+ z−5)2 =100 Đường thẳng ∆
qua M, nằm mặt phẳng ( )α cắt ( )S tại A B, cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng ∆
A 3
1
x+ y− z+
= = B 3
1
x+ y− z+
= =
C 3
16 11 10
x+ y− z+
= =
− D
3 3
5
x+ y− z+
= =
Lời giải
Chọn A
Ta có: Mặt cầu ( )S có tâm I(2;3;5), bán kính R= 10
( )
( )
( )2
2
2.2 2.3 15
,
2
d I α = − + + = <R
+ − + ⇒( ) ( )α ∩ S =C H r( ; ),H hình chiếu I lên ( )α
Gọi ∆ 1 đường thẳng qua I vng góc với ( )α ⇒ ∆ có VTCP 1 ( ) 2; 2;1
u∆ = −
⇒PTTS 1
2
:
5
x t
y t
z t
= + ∆ = −
= +
Tọa độ H nghiệm hệ:
2
3
5
2 15
x t
y t
z t
x y z
= +
= −
= +
− + + =
2
x y z
= − ⇒ =
=
( 2; ;3) H
⇒ −
(53)Website: tailieumontoan.com
Đường thẳng MH qua M(−3;3; 3− có VTCP ) MH=(1; 4; 6) Suy phương trình : 3
1
x+ y− z+
∆ = =
Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3 ,) (B 1; 2; 0) M(−1;3; 4) Gọi d đường
thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M khoảng nhỏ Một véc tơ
phương d có dạng u(2; ;a b) Tính tổng a b+
A B 2 C − D −
Lời giải
Chọn D
* Cách
(0; 0; 3)
AB= −
(2; ; )
d
u= a b
* d ⊥ AB⇒ AB u d = ⇔ =0 b
(2; ; 0)
d
u a
⇒=
* BM= −( 2;1; 4)
( )
, d ;8; 2
BM u a a
⇒ = − − −
( , ) , d
d BM u
d d M d
u
⇒ = =
( )2
2
2
16 64 2 20 68
4
a a a a
a a
+ + + + +
= =
+ +
( )
2
5 17
2
4
a a
f a a
+ +
= =
+
Xét ( )
2
5 17
a a
f a
a
+ + =
+
( )
( )
2
2
1
2
0
4
a
a a
f a
a a
= −
− + +
′ = = ⇔
= +
Vì hàm f a liên t( ) ục nên f a có GTNN ( ) ={f ( ) ( )−1 ,f } ( )1 4, ( )4 5, 25
(54)Vậy dmin ⇔ f a( ) đạt GTNN ⇔ = − a
1
a b C
⇒ + = − ⇒
* Cách
d ⊥ AB nên d nằm mặt phẳng (P) qua B vng góc AB=(0; 0; 3− )
Có phương trình: 0(x− +1) (0 y− −2) (3 z− = 0)
hay ( )P :z= ⇒0 ( )P trùng (xOy )
Khoảng cách từ M(−1;3; 4) đến ( )P nhỏ ( )d qua H hình chiếu ( 1;3; 4)
M − xuống (xOy ) ⇒H(−1;3; 0)
Vậy ( )d có vtcp BH= −( 2;1; 0)
Gt cho ( )d có vtcp dạng u(2; ;a b) (//− 2; 1; 0− )
1,
a b a b C
⇒ = − = ⇒ + = − ⇒ .
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(2; 2; 3− ) N(−4; 2;1) Gọi ∆ đường thẳng qua M, nhận vecto u=(a b c; ; ) làm vectơ phương song song với mặt
phẳng ( )P : 2x+ + = cho khoảng cách từ N đến y z ∆ đạt giá trị nhỏ Biết a , b
hai số nguyên tố Khi a b c+ + bằng:
A 15 B 13 C 16 D 14
Lời giải:
Chọn A
Gọi ( )Q mặt phẳng qua M(2; 2; 3− song song với mặt phẳng ) ( )P
Suy ( )Q : 2x+ + − = y z
Do ∆ // P( ) nên ∆ ⊂( )Q
( , )
d N ∆ đạt giá trị nhỏ ⇔ ∆ qua N′ , với N′ hình chiếu N lên ( )Q
Gọi d đường thẳng qua N vng góc ( )P ,
4
:
1
x t
d y t
z t
= − +
= + = +
Ta có N′∈ ⇒d N′ − +( ; 2t +t;1+ ; t) ( )
3
N′∈ Q ⇒ =t 10 7; ; 3
N′
⇒ −
( ; ; )
u = a b c phương 10 16; ;
3 3
MN′ = −
Do a , b nguyên tố nên chọn u= −( 5; 2;8)
(55)Website: tailieumontoan.com
Câu Trong không gianOxyz, cho đường thẳng 1
2
:
1
x t
d y t
z t
= +
= +
= − −
2: 2
4
x y z d − = − = −
− − Gọi d
là đường thẳng vng góc chung d 1 d , 2 M a b c thu( ; ; ) ộc d, N(4; 4;1) Khi độ dài MN ngắn a+ +b c bằng?
A 5 B 9 C 4 D 6
Lời giải:
Chọn B
Gọi P(2+t; 2+ − −t; 2t)∈ d1 Q(2 ; ; 2+ t′ − t′ − t′)
Ta có: a=(1;1; 2− ), b=(4; 3; 1− − ) PQ=(4t′− − − − + +t; 3t′ t; t′ 2t 3)
Khi đó: 4( 3) ( 2( ) (2 3) )
4 3
t t t t t t
a PQ
t t t t t t
b PQ
′ ′ ′
= − − − − − + + =
⇔
′ ′ ′
− − − − − − + + =
=
3 6
26 3
t t t
t t t
′− = ′=
⇔ ⇔
′ − = = −
Suy P(1;1;1) Q(2; 2; 2)⇒PQ=(1;1;1)
Nên
1
:
1
x t
d y t
z t
= + = + = +
Gọi M(1+t;1+t;1+ nên t) NM = −(t 3;t−3;t)
Do đó: ( ) (2 )2 2 ( )2
3 3 12 18 6
NM = t− + −t + =t t − t+ = t− + ≥
Đoạn thẳng MN ngắn t =2
Suy M(3;3;3)⇒ + + = a b c
Câu Trong không gianOxyz, cho điểm A(0;1;9) mặt cầu ( ) (S : x−3) (2+ y−4) (2+ −z 4)2 =25
Gọi ( )C giao tuyến ( )S với mặt phẳng (Oxy L) hai điểm M N, ( )C cho
2
MN = Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm
trong số điểm đây?
A (5;5; ) B 1; 4;
−
C (4; 6; ) D 12
; 3;
−
Lời giải:
(56)Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 4; 4), bán kính R= Gọi r C bán kính đường trịn ( )C
Gọi H tâm đường tròn ( )C ⇒H(3; 4; ,) IH ⊥(Oxy), d I Oxy( ,( ))=
2
5
C
r = − = , OH =5⇒ nằm ngồi đường trịn O ( )C , d A Oxy( ,( ))=
( )
( )
1
,
3
OAMN OMN
V = d A Oxy S = 3.1 ( , ) ( , )
OMN
S = d O MN MN= d O MN
Suy Vmax ⇔d O MN( , )max
Mà d O MN( , ) ( )2
5
OH HK
≤ + = + − = (Với K là trung điểm MN )
Dấu xảy OH MN⊥ Khi MN có véc tơ phương
( ) ( ( ) ( ))
; 4; 3; , 3; 4; , 0; 0;1
OH k OH k
= − = =
qua trung điểm K của MN
7 21 28
; ;
5 5
OK = OH ⇒ K
Phương trình đường thẳng
21 28
:
5
x t
MN y t
z
= +
= −
=
( )
1
5 5;5; 0
t=
→
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−3; 0;1), B(1; 1;3− ) mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− = Đường thẳng ( )d đi qua A, song song với mặt phẳng ( )P cho
khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ Đường thẳng d có vectơ phương
(1; ; )
u= b c Khi b
c
A b =11 B b =3 C b = −3 D b = −11 K
M
N H
O M'
(57)Website: tailieumontoan.com
Lời giải:
Chọn D
Gọi ( )Q mặt phẳng qua A(−3; 0;1) song song với ( )P ⇒n Q =nP =(1; 2; 2− ) Phương trình mặt phẳng ( )Q :x−2y+2z+ =
Vì đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng ( )P nên d ⊂( )Q Gọi H K, hình chiếu B lên đường thẳng d mặt phẳng ( )Q
Khi d B d( ,( ))=BH ≥BK Suy ( ) ,
d B d =BK ⇔H ≡ K
Gọi ∆ đường thẳng qua B vng góc với mặt phẳng ( )Q ⇒u ∆ =nP =(1; 2; 2− )
Phương trình tham số
1
:
3
x t y t z t
= +
∆ = − − = +
Lấy H(1+ − −t; ;3 2t + t)∈ ∆
Vì H∈( )Q nên (1 ) (2 ) (2 ) 10
t t t t
+ − − − + + + = ⇔ = −
Suy 11 7; ; 9
H−
Khi
26 11 26 11
; ; 1; ;
9 9 26 26
AH = − = −
Suy một vec tơ phương d 1;11; 26 26
d
u = −
11
,
26 26
b c
⇒ = = −
Vậy 11
2
b
c = −
Câu Trong không gianOxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;3) , phương trình đường trung tuyến kẻ
từ B 3
1
x− y− z−
= =
− − , phương trình đường phân giac góc C
2
2 1
x− y− z−
= =
− − Đường thẳng AB có véc-tơ phương
A u=(2;1; 1− ) B u=(1; 2;1) C u=(0;1; 1− ) D u=(1; 1; 0− )
Lời giải:
Chọn C
Gọi d 1 d l2 ần lượt phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B đường phân giác
trong góc C
d
B
K
Q)
(58)1
3
:
2
x t
d y t
z t
= −
⇒ = +
= −
2
2
:
2
x t
d y t
z t
′ = +
= − ′
= − ′
Gọi M là trung điểm AC ⇒M∈ ⇒d1 M(3−t;3 ; 2+ t − t)
Vì C∈ ⇒d2 C(2 ; 4+ t′ −t′; 2− Mà t′) M là trung điểm AC
2 2(3 ) 2
0 2(3 ) 4
1
2 2(2 ) 2
t t t t
t
t t t t
t
t t t t
′ ′
+ = − − + = −
=
′ ′
⇒ − = + − ⇔ − = + ⇔ ′ = − =′ − − − = −′
(3;3; 2) M
⇒ C(4;3;1)
Gọi ( )P mặt phẳng qua A vng góc với d 2
( ) ( )
2 2; 1; : 2.( 2) ( 3) (z 3) 2
P d
n u P x y x y z
⇒ = = − − ⇒ − − − − − = ⇔ − − + =
Gọi N điểm đối xứng với A qua d 2 ⇒ ∈N ( )BC N∈( )P
Gọi I trung điểm AN⇒ =I d2∩( )P ⇒ =I (2; 4; 2)⇒N(2;5;1)
Dễ thấy N∈ d2 t = ⇒N ≡ Vậy B (2;3;3) (0;1; ) (2;5;1)
A
AB B
⇒ = −
Câu 10 Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng 1: 1,
1
x y z d = − = −
−
1
:
2
x y z d − = = −
− − Viết
phương trình đường phân giác góc tù tạo d d 1,
A
3
x− y z−
= =
− − B
1
1 1
x− y z−
= =
− C
1
2 1
x y− z−
= = D
2 1
x− y z−
= =
Lời giải:
Chọn D
Ta viết phương trình tham số 1 ( ) 2 ( )
: , :
1
x t x s
d y t t d y s s
z t z s
= = −
= − ∈ = − ∈
= + = +
Tìm giao điểm hai đường thẳng d 1 d 2
Ta có
1
1
1
0
t s
t
t s
s
t s
= −
= − = − ⇔
=
+ = +
suy I(1; 0;3) giao điểm hai đường thẳng d 1 d 2
Lấy A(0;1;1)∈ ⇒d1 IA= Gọi B(1 ; ;3 2− s − s + s)∈ cho d2 IB=
Ta có 16 1
4
(59)Website: tailieumontoan.com
Vậy có điểm thỏa mãn ( )
( )
0; 2;
2; 2;
B
B
−
Với B(0; 2; 4− )ta có IA(−1;1; ,− ) (IB − −1; 2;1)⇒ IA IB = − < ⇒3 AIB góc tù
Theo yêu cầu tốn ta viết phương trình đường phân giác góc AIBvới B(0; 2; 4− ) (khơng cần xét trường hợp kia)
Gọi Mlà trung điểm AB suy 0; 5; 2
M −
, phương trình đường phân giác cần
tìm phương trình đường thẳng qua hai điêm I(1; 0;3) 0; 5; 2
M −
Ta có 1; 1;
2
IM = − − −
, chọn u = −2IM⇒ =u (2;1;1) làm vectơ phương đường
phân giác Vậy đường phân giác qua điểm I(1; 0;3) nhận u=(2;1;1) làm vectơ
phương có phương trình tắc là:
2 1
x− y z−
= =
Nhận xét: Có thể tìm vectơ phương đường phân giác sau:
Ta có u1=(1; 1; ;− ) u2=(2; 4; 2− )lần lượt véctơ phương hai đường thẳng d 1 d 2
Vì u u 1 2= − <6 nên góc hai vectơ góc tù
Xét u1=(1; 1; ;− ) u2=(2; 4; 2− )
Ta có u1 = 6, u2 =2
Đặt
1 1
; ;
6 6
a= u = −
;
1
; ;
2 6 6
b= u = −
Ta có ; ; 6
a+ = b
nên chọn u=(2;1;1)là vectơ phương đường phân