500 BDT chon loc

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2 a + (1− b) + b + (1− c) + c + (1− a ) ≥ Komal [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) Chứng minh abc + (1− a )(1− b)(1− c) < Junior TST 2002, Romania [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh b+c c +a a +b + + ≥ a + b + c + a b c Gazeta Matematică Nếu phương trình x + ax3 + x + bx + = có nghiệm thực, a + b2 ≥ Tournament of the Towns, 1993 Cho số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức x3 + y + z − 3xyz Cho a, b, c, x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh ax + by + cz + ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c Ukraine, 2001 [ Darij Grinberg] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a (b + c) + b (c + a ) + c ( a + b) ≥ (a + b + c) [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ Chứng minh a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab Gazeta Matematică Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh a + b + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b JBMO 2002 Shortlist 10 [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xyz ≤ (1 + 3x)( x + y )( y + z )( z + 6) 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11 [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh (a + b + c ) ≤ (a + b + c3 ) +1 12 [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 , , xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > cho x1 + x2 + + xn = a, x12 + x22 + + xn2 ≤ a2 n −1 Chứng minh  2a  xi ∈ 0,  , i = 1, 2, , n  n  13 [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) Chứng minh b a c b a c + + ≥1 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c 14 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ Chứng minh a b c + + ≥ a +b+c b c a 15 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z Chứng minh ay + bx ≥ ac + xz 16 [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh 1+ ≥ a + b + c ab + bc + ca Junior TST 2003, Romania 17 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b3 c a b c + + ≥ + + b2 c2 a b c a JBMO 2002 Shortlist 18 Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 xn = Chứng minh 1 + + + >1 + x1 + x1 x2 + x2 x3 + xn + xn x1 Russia, 2004 19 [ Marian Tetiva ] Cho x, y, z số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z + xyz = Chứng minh a) xyz ≤ , b) x + y + z ≤ , 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang c) xy + yz + zx ≤ ≤ x + y + z , d) xy + yz + zx ≤ + xyz 20 [ Marius Olteanu ] Cho x1 , x2 , , x5 ∈ ℝ cho x1 + x2 + + x5 = Chứng minh cos x1 + cos x2 + + cos x5 ≥ Gazeta Matematică 21 [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz Chứng minh xy + yz + zx ≥ + x + + y + + z + 22 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho x, y, z số thực thỏa mãn ñiều kiện x, y , z > −1 Chứng minh 1+ x2 1+ y2 1+ z + + ≥2 1+ y + z 1+ z + x2 1+ x + y JBMO, 2003 23 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ b+c c+a a +b 24 Cho a, b, c ≥ thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≤ (a 2b + b c + c a ) Chứng minh a + b + c ≤ (ab + bc + ca ) Kvant, 1988 25 Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 + + + = x1 +1998 x2 +1998 xn +1998 1998 Chứng minh n x1 x2 xn ≥ 1998 n −1 Vietnam, 1998 26 [Marian Tetiva ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz Chứng minh a) xyz ≥ 27, b) xy + yz + zx ≥ 27 , c) x + y + z ≥ , d) xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) + 27 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh x + y + z ≥ xy + yz + zx 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Russia 2002 28 [ D Olteanu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a+b a b+c b c+a c + + ≥ b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b Gazeta Matematică 29 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c c +a a+b b+c + + ≥ + + b c a c +b a +c b+a India, 2002 30 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 3(ab + bc + ca) a3 b3 c3 + + ≥ 2 2 2 b − bc + c c − ac + a a − ab + b a +b +c Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31 [ Adrian Zahariuc ] Cho x1 , x2 , , xn số ngun đơi phân biệt Chứng minh x12 + x22 + + xn2 ≥ x1 x2 + x2 x3 + xn x1 + 2n − 32 [ Murray Klamkin ] Cho x1 , x2 , , xn ≥ 0, n > thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + + xn = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức x12 x2 + x22 x3 + + xn2−1 xn + xn2 x1 Crux Mathematicorum 33 Cho x1 , x2 , , xn > thỏa mãn ñiều kiện xk +1 ≥ x1 + x2 + + xk với k Hãy tìm giá trị lớn số c cho x1 + x2 + + xn ≤ c x1 + x2 + + xn IMO Shortlist, 1986 34 Cho số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn ñiều kiện a + x = b + y = c + z = Chứng minh 1 1 + +  ≥  ay bz cx  (abc + xyz ) Russia, 2002 35 [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ab bc ca + + ≤ (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Gazeta Matematică 36 Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + d = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a (b + c + d ) + b3 (c + d + a) + c (d + a + b) + d (a + b + c) 37 [ Walther Janous ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc x x + ( x + y )( x + z ) + Cao Minh Quang y y + ( y + z )( y + x ) + z z + ( z + x)( z + y ) ≤1 Crux Mathematicorum 38 Cho a1 , a2 , , an , n ≥ n số thực cho a1 < a2 < < an Chứng minh a1a24 + a2 a34 + + an a14 ≥ a2 a14 + a3a24 + + a1an4 39 [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  a b+c c +a a +b b c  + + ≥  + +    b + c c + a a + b  a b c 40 Cho a1 , a2 , , an số nguyên dương lớn Tồn số a1 a1 , a2 a3 , , an−1 an , an a1 nhỏ 3 Adapted after a well – known problem 41 [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx + xyz = Chứng minh a) xyz ≤ , b) x + y + z ≥ , c) 1 + + ≥ 4( x + y + z) , x y z (2 z −1) 1 , z = max { x, y, z } d) + + − 4( x + y + z) ≥ x y z z (2 z +1) 42 [ Manlio Marangelli ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh 3( x y + y z + z x )( xy + yz + zx ) ≥ xyz ( x + y + z ) 43 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện max {a, b, c} − {a, b, c} ≤ Chứng minh + a + b3 + c + 6abc ≥ 3a 2b + 3b c + 3c a 44 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh   1 1 a  b2  c2  27 + 2 + 2 + 2 +  ≥ (a + b + c ) + +      a b c bc  ca  ab   a2 45 Cho a0 = , a k+1 = ak + k Chứng minh n 1− < an < n TST Singapore 46 [ Călin Popa ] Cho a, b, c ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = Chứng minh 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c 1− a 1− b2 1− c   + + ≥ + +  b c  1− a 1− b 1− c  a 47 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x, y, z ≤ thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh 1 27 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 48 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x + y + z = Chứng minh 2 (1− x) (1− y ) (1− z ) ≥ 215 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 49 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = x + y + z +2 Chứng minh a) xy + yz + zx ≥ ( x + y + z ) , x+ y+ z≤ b) xyz 50 Cho x, y, z số thực thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh x + y + z ≤ xyz + IMO Shortlist, 1987 51 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn ∈ (0,1) σ hoán vị {1, 2, , n} Chứng minh n    xi   n ∑  n    1 i=1   ≥ +  ∑ 1− x   ∑ 1− x x  n  i=1 i i σ(i )    i=1    n 52 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn ñiều kiện i=1 n ∑ i=1 n xi ≥ (n −1) ∑ i=1 ∑ 1+ x = Chứng minh i xi Vojtech Jarnik 53 [ Titu Vàreescu ] Cho n > a1 , a2 , , an số thực thỏa mãn ñiều kiện n ∑a ≥ n i i=1 n ∑a i ≥ n Chứng minh i=1 max {a1 , a2 , , an } ≥ USAMO, 1999 54 [ Vasile Cirtoaje ] Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh a −b b−c c − d d −a + + + ≥0 b+c c +d d +a a +b 55 Cho x, y số thực dương Chứng minh x y + yx >1 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang France, 1996 56 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ (a + b + c −1) MOSP, 2001 57 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (a + b2 + c2 )(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) ≤ abc (ab + bc + ca) 58 [ D.P.Mavlo ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (a + 1)(b +1)(c +1) 1 a b c 3+ a +b + c + + + + + + ≥ + abc a b c b c a Kvant, 1988 59 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x1 x2 xn = Chứng minh n  n 1 n ∏( x + 1) ≥ ∑ xi + ∑  x   i=1 n n n n i i =1 i=1 i 60 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 1 d  a + b3 + c3 + abcd ≥   , +     27     Kvant, 1993 61 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ∑ (1+ a ) (1 + b ) (a − c) (b − c) ≥ (1 + a )(1 + b )(1 + c )(a − b) (b − c) (c − a) 2 2 2 2 2 2 AMM 62 [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz = α ≥ Chứng minh xα yα zα + + ≥ y+z z+x x+ y 63 Cho x1, x2 , , xn , y1, y2 , , yn ∈ ℝ thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + + xn2 = y12 + y22 + + yn2 =1 Chứng minh  n  ( x1 y2 − x2 y1 ) ≤ 1− ∑ xi yi   i=1  Korea, 2001 64 [ Laurentiu Panaitopol ] Cho a1 , a2 , , an số nguyên dương khác đơi Chứng minh a12 + a22 + + an2 ≥ 2n + (a1 + a2 + + an ) TST Romania 65 [ Călin Popa ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc a ( b c 3c + ab ) Cao Minh Quang + b ( c a 3a + bc ) + c ( a b 3b + ca ) ≥ 3 66 [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn ñiều kiện (1 + a )(1+ b2 )(1+ c )(1 + d ) = 16 Chứng minh −3 ≤ ab + bc + cd + da + ac + bd − abcd ≤ 67 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (a + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) APMO, 2004 68 [ Vasile Cirtoale ] Cho x, y, z số thực thỏa mãn ñiều kiện < x ≤ y ≤ z, x + y + z = xyz + Chứng minh a) (1− xy )(1− yz )(1− zx) ≥ , b) x y ≤ 1, x y ≤ 32 27 69 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c ≥ abc Chứng minh ba bất ñẳng thức sau ñây ñúng 6 + + ≥ 6, + + ≥ 6, + + ≥ a b c b c a c a b TST 2001, USA 70 [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = xyz Chứng minh ( x −1)( y −1)( z −1) ≤ −10 71 [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2 a3 − b3 b3 − c3 c − a3 (a − b) + (b − c ) + (c − a ) + + ≤ a +b b+c c+a Moldova TST, 2004 72 [ Titu Vàreescu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (a5 − a + 3)(b5 − b2 + 3)(c5 − c + 3) ≥ (a + b + c)3 USAMO, 2004 73 [ Gabriel Dospinescu ] Cho x1 , x2 , , xn > 0, n > thỏa mãn ñiều kiện  n  n   x   k  ∑  = n +1  ∑  x  k =1 k  k =1 Chứng minh  n   n   x   > n2 + + ∑ 2  k =1 k ∑  n (n −1) k =1 xk  74 [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 323 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh x y z + + ≥ y +z z +x x +y Serbia and Montenegro, 2006 324 Chứng minh 44 tan10 tan 20 t an440 < t an220 30 ' < ( tan10 + tan 20 + + t an440 ) 44 325 Cho a, b, c, d , e, f số thực dương Chứng minh (a + c + e)(b + d + f ) ab cd ef + + ≤ a +b c+d e+ f a +b+c+d +e+ f Yugolavia, 1985 326 Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh  a − b 2 ab a2 + b2  + 3 ≥ a +b   Yugolavia, 1991 327 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2 ( a − b) ( a − b) a + b2 ≤ − ab ≤ ( a + b) ab Yugolavia, 1993 328 Cho số thực x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Hãy xác ñịnh giá trị lớn số thực a ñể x12 + x22 + x32 + x42 + x52 ≥ a ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 ) Yugolavia, 1996 329 [ ð Dugosija ] Cho a, b, c số thực thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh 1 hai ba số 2a − , 2b − , 2c − ñều lớn b c a Serbia and Montenegro TST, 2004 330 Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh a b c d + + + ≥ b +c c + d d + a a +b Yugolavia TST, 1985 331 Cho a > b > Chứng minh ( a − b) 8a ( a − b) a +b − ab < 8b Sweden, 1985 <  1 332 Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ 0,  Chứng minh   x1 x2 x3 x4 x14 + x24 + x34 + x44 ≤ (1− x1 )(1− x2 )(1− x3 )(1− x4 ) (1− x1 )4 + (1− x2 )4 + (1− x3 )4 + (1− x4 )4 Taiwan, 2002 333 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x12 + x22 + + xn2 = Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức n xi5 ∑ x + x + + x − x i=1 n i Turkey TST, 1997 334 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 35 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 1 1 1 −1 −1 + −1 −1 + −1 −1 ≥ a b b c c a  π 335 Cho x ∈ 0,  , n ∈ ℕ Chứng minh  2n  s in (n+1) x s in2x s in3x cos x + + + 0, k > 2, a = x + ky + kz, b = kx + y + kz, c = kx + ky + z Chứng minh x y z + + ≥ a b c 2k + Greek TST, 1998 347 Cho x, y, z số thực Chứng minh x2 − y2 y − z z − x2 + + ≤0 x + y + z +1 Greek TST, 2005 348 Cho x, y số thực thỏa mãn ñiều kiện x + xy + y = Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K = x y + xy Greek , 2006 1− γ 349 Cho α, β , γ số thực thỏa mãn ñiều kiện βγ ≠ 0, ≥ Chứng minh βγ 10 (α + β + γ − βγ ) ≥ 2αβ + 5αγ Greek , 2002 350 Cho α, β , x, y số thực thỏa mãn ñiều kiện α + β = Chứng minh α β  (α x + β y ) +  ≥  x y ðẳng thức xảy nào? Greek , 2001 351 Cho x, y số thực dương Hãy xác ñịnh số k lớn ñể xy ≤ ( x + y )(3x2 + y ) k Greek , 2000 352 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ñiều kiện a < b < c, a + b + c = 6, ab + bc + ca = Chứng minh < a p ∏ p  k  p + k =2  380 [ Prymak ] Cho x1 , x2 , , xn , y1 , y2 , , yn số thực dương Chứng minh 39 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang xn3 ( x1 + x2 + + xn ) x13 x23 + + + ≥ y12 y22 yn2 ( y1 + y2 + + yn )2  π 381 [ D Mitin ] Cho x, y ∈ 0,  Chứng minh    cos x cos y − x+ y  ≤ + cos   cos x + cos y −  cos x + cos y − 382 [ D Mitin ] Cho x1 , x2 , , xn ≠ , ( x x1 x2 + + + n = Chứng minh x2 x3 x1 x1 x2 + x2 x3 + + xn x1 ≤ max xk − xk 1≤k ≤n 1≤k ≤n )( x + x + + xn ) 383 [ V Yasinskyy ] Cho a, b, c số thực thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = ab + bc + ca = Chứng minh max {a, b, c} − {a, b, c} ≤ 384 [ V Brayman ] Cho ≤ a, b, c, d ≤ Chứng minh a b c d ≤ + + + ≤2 b + cd c + da d + ab a + bc 385 [ O Makarchuk ] Cho a, b, c > thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc Chứng minh (a −1)(b2 −1)(c −1) ≤ 386 [ V Yasinskyy ] Cho x, y, z số thực thỏa ñiều kiện x + y + z ≤1, x − y + z ≤1, 4x + y + z ≤ 8, 4x − y + z ≤ Chứng minh x +3 y + z ≤ 387 [ O Rybak ] Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh b4 c c4 a4 a b4 4 a + + + b + + + c + + ≥ a + b c + b + c a + c + a 3b 2 2 2 388 [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c a + bc b + ca c + ab + + ≥ + + b + c c + a a + b (a + b)(a + c ) (b + a )(b + c ) (c + a )(c + b) 389 [ Daniel Campos Salas ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c + = 4abc Chứng minh 1 1 1 + + ≥3≥ + + a b c ab bc ca 390 [ Bogdan Enescu ] Cho x, y, z số thực thỏa mãn ñiều kiện cos x + cos y + cos z = 0, cos x + cos y + cos z = Chứng minh cos x.cos y.cos z ≤ 391 [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh b+c c+a a +b a +b +c + + ≥ a b c abc 392 [ Vasile Cartoaje ] Cho a, b, c, d số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 + d = Chứng minh 40 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang (4 − ab − bc − cd − da ) ≥ ( ) +1 (4 − a − b − c − d ) 393 [ Hồ Phú Thái ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c a +b+c + + ≤ 2 ab + bc + ca a + 2bc b + 2ca c + 2ab 394 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 , , a5 số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 a3a4 a5 = a1 (1 + a2 ) + a2 (1 + a3 ) + + a5 (1 + a1 ) + Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 + + + + a1 a2 a3 a4 a5 395 Cho x1 , x2 , x3 , x4 số thực thỏa mãn ñiều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x12 + x22 + x32 + x42 = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức x13 + x23 + x33 + x43 396 [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh a3 + abc b3 + abc c + abc + + ≥ a + b2 + c2 b+c c+a a +b 397 [ Titu Andresscu ] Cho ABC tam giác nhọn Chứng minh cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ 398 [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số ba số ñồng thời Chứng minh a + bc b + ca c + ab abc + + ≥ b2 + c c2 + a2 a2 + b2 a + b + c 399 [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c số thực Chứng minh 3(a − ab + b )(b − bc + c )(c − ca + a ) ≥ a 3b3 + b3c + c3 a 400 [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC Chứng minh A A B B C C  A B C cos cot + cos cot + cos cot ≥ cot + cot + cot   2 2 2 2 2 401 [ Marian Tetiva ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 1 1 1 a) Nếu a ≤ b ≤ ≤ c + + ≥ + + a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 1 1 1 b) Nếu a ≤ ≤ b ≤ c + + ≤ + + a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 402 [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z số thực không âm Chứng minh x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) ≤ ( x + y + z ) 12 403 [ Zdravko F Starc ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh ( ) ( ) ( ) a b2 − b + b c − c + c a − a ≥ 404 [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (ab + bc + ca) ≤ 3(a 2b + b 2c + c a )(ab + bc + ca ) 405 [ Nikolai Nikolov ] Cho < y < x < 1, < z < Chứng minh 41 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang x− y ( x z − y z )(1− x z y z ) > 1− xy 406 [ Bogdan Enescu ] Cho a, b hai số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện a −1 + b +1 = a + b = a −1 + b + Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức a + b 407 [ Iurie Boreico, Marcel Teleucă ] Cho x1 , x2 , , xn ≥ Chứng minh xi n n   4 2x  ∏1 + i  ≥   ( x1 + x2 )( x2 + x3 ) ( xn−1 + xn )( xn + x1 ) i=1 408 [ Iurie Boreico, Ivan Borsenco ] Cho a, b, c số thực dương phân biệt Chứng minh a 2b + a c + b a + b c + c a + c 2b 16abc ≥ 2 2 a + b + c − ab − bc − ca (a + b + c) 409 [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c số thực thỏa mãn ñiều kiện 3(a + b) ≥ ab +1 Chứng minh (a + b3 ) ≥ a 3b3 + 410 [ Titu Andreescu ] Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh 3(a − ab + b2 )(c − cd + d ) ≥ (a c − abcd + b d ) 411 [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a) (a + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c )(ab + bc + ca ) b) (a + b + c ) ≥ (a + b5 + c )(a + b + c ) 412 [Titu Andreescu ] Cho a, b số thực thỏa mãn ñiều kiện 9a + 8ab + 7b ≤ Chứng minh 7a + 5b + 12ab ≤ 413 [ Phạm Hữu ðức ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  1 1  1 + + +  ≥  a + b + c a + b b + c c + a  ab + bc + ca (a + b + c ) 414 [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh (ab + bc + ca) 1 + + + ≥ ab + bc + ca a (b + c ) b (c + a ) c (a + b) (a + b)(b + c)(c + a) 415 [ Bin Zhao ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 + + ≤1 4a + ab + 4b2 4b + bc + 4c 4c + ca + 4a 416 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ñiều kiện a ≥ 1, a + b + c = Chứng minh a + b + c − 3abc 417 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≤ Chứng minh 1 + + ≥1 a − a +1 b − b + c − c + n n 418 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn ñiều kiện S = ∑ xi = ∑ Chứng i=1 i=1 xi minh 42 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc n Cao Minh Quang n ∑ n −1 + x ≥ ∑ + S − x i=1 i i=1 i 1 1 419 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( x + y − z ) + −  = Hãy  x y z  tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 E ( x, y, z ) = ( x + y + z ) + +   x y z  420 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = Chứng minh + a 2b + b c + c a + + ≥ 2 (a + b) (b + c) (c + a) 421 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh a +b b+c c+a + + ≥ b +1 c +1 a +1 422 Cho a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác vng Hãy tìm giá trị lớn số thực k ñể a + b3 + c3 ≥ k ( a + b + c ) Iran, 2006 n 423 Cho x1 , x2 , , xn số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ∑ x = Chứng minh i i=1  n  n  n2    x ≤  i  ∑ ∑  i=1 + xi  n +1 i=1 China TST, 2006 424 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh xy yz zx + + ≤ xy + yz yz + zx zx + xy China TST, 2006 425 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + + ≥ a2 + b2 + c a b c Romania TST, 2006 426 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  a b c 2  a + b b + c c + a   + +  ≥  + +   b c a  a b   c Junior Balkan TST, 2006 427 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥ 3(a + b + c ) b c a Junior Balkan TST, 2006 428 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = Chứng minh 27 ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ x + y + y + z + z + x ≥ Turkey TST, 2006 429 Cho a1 , a2 , , an (n ≥ 3) số thực Giả sử ta có ( ) 43 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang (a1 + a2 + + an ) ≥ (a1a2 + a2 a + + an a1 ) a) Tìm tất giá trị n ñể bất ñẳng thức ñúng a1 , a2 , , an số thực dương b) Tìm tất giá trị n để bất ñẳng thức ñúng a1 , a2 , , an số thực Italy, 2006 430 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  3  3  3  a + 2b  +  b + 2c  +  c + 2a  ≥  a + 2c   b + 2a   c + 2b  MOP, 2004 + 431 Cho k ∈ ℤ , a1 , a2 , , an số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + + an = Chứng minh n n 1− aik ≥ (n k −1) ∏ k i=1 432 Cho a1 , a2 , , an số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a1 + a2 + + an = Chứng minh a1a2 + a2 a3 + + an−1an ≤ 433 Cho a1 , a2 , , an (n > 1) số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 an = Chứng minh a + a2 + + an + n 1 + + + ≤ 1 + a1 + a2 + an 434 [ Aaron Pixton ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh a b c + + + ≥ (1 + a )(1 + b)(1 + c) b c a 435 [ Mildorf ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 4a 4b 4c + + a +b b+c c +a 1 436 [ Po – Ru Loh ] Cho a, b, c > thỏa mãn ñiều kiện + + = Chứng a −1 b −1 c −1 minh 1 + + ≤1 a +1 b +1 c +1 437 [ Weighao Wu ] Cho x ∈ ℝ Chứng minh 4a + 4b3 + 4b3 + 4c + 4c3 + 4a ≤ sin x (sin x) cos x < (cos x ) 438 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1< a 2 + b 2 + c 2 ≤ a +b b +c c +a 439 [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 , , an (n > 1) số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a1a2 an = Chứng minh a12 + a +1 a +1 + + + n ≤ a1 + a2 + + an 2 440 [ Vascile Cartoaje ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh 44 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a b c + + ≥ ab +1 bc + ca + 441 Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện ∑ x −x i j = Hãy i< j tìm giá trị nhỏ biểu thức ∑x i i=1 442 Cho x1 , x2 , x3 , x4 ∈ [−1,1] Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức 4 i=1 i=1 F = ∑ xi −( x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) +( x1x2 x3 + x1x2 x4 + x1x3 x4 + x2 x3 x4 ) −∏xi 443 Cho a, b, c ∈ [0,1] Chứng minh a (1− b)(1− c ) + b (1− c )(1− a ) + c (1− a )(1− b) ≤ + abc 444 [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2 a b c 3( a + b + c ) + + ≥ b c a a+b+c 445 [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a +b +c =3 Chứng minh a (b +1) b (c + 1) c (a +1) + + ≥ a + b + ab b + c + ca c + a + ca 446 [ Cao Minh Quang ] Cho x1 , x2 , , xn (n ≥ 2) n số thực dương thỏa ñiều kiện n xi ∑ x + ≤1 i=1 i n Chứng minh ∑ x +1 ≥ n (n −1) n +1 447 [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + ≤ 3a + 2b + 3b + 2c + 3c + 2a + 12 448 Cho x1 , x2 , , x2 n số thực thỏa mãn ñiều kiện xi+1 − xi ≤ 1, i = 1, 2, , 2n −1 Chứng minh x1 + x2 + + x2 n + x1 + x2 + + x2 n ≤ n (n +1) Romania TST, 2000 449 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh i=1 ( i ) a + ab + abc ≤ (a + b + c ) 450 [ Rumen Kozarev ] Cho x ∈ ℝ Chứng minh  x + x +  ≥ x 2.3x −  x + x +1  451 Cho ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2, , n (n ≥ 2) Chứng minh  n   ( x1 + x2 + + xn )− ( x1 x2 + x2 x3 + + xn−1 xn + xn x1 ) ≤   Bulgaria, 1995 452 Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh 45 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang a + c + a + d + b4 + c + b + d ≥ 2 (ad + bc ) Turkey, 2006 453 [ Phan Thị Mùi ] Cho ≤ a, b ≤ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P= ( a + b) a + b3 454 [ Lê Quang Nẫm ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y )( y + z )( z + x ) ( ) x+ y + y+z + z+x 455 Cho a, b, c > Chứng minh a b c + + ≥ 12 b −1 c −1 a −1 456 [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b3 c + + ≥ a ac + b ba + c cb b c a 457 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x3 + y3 + z3 =1 Chứng minh x2 y2 + + z2 ≥2 1− x 1− y 1− z 458 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức S = ab + 2bc + 3ca 459 [ Thái Nhật Phượng ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xyz + xy + yz + zx ≤ Hãy tìm giá trị lớn biểu thức xyz n 460 [ Minh Trân ] Cho x1 , x2 , , xn số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện ∑ x = i i=1 Tìm giá trị lớn biểu thức x1 x2 + x2 x3 + + x n−1 xn 461 [ Trần Văn Tỏ ] Cho a, b, c ≥ Chứng minh  1  a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b) +  + + ≥ 2 1 + a 1+ b + c  462 [ Tạ Hồng Thơng ] Cho x, y, z ba số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3( xy + yz + zx)− xyz 463 [ Trương Ngọc ðắc ] Cho a1 , a2 , , an số thực dương thỏa mãn ñiều kiện k k i=1 i=1 ∑ ≤ ∑ i (i +1), k = 1, 2, , n Chứng minh n ∑a i=1 i ≥ n n +1 464 [ Tạ Hồng Thơng ] Cho a, b, c ba số thực dương thỏa ñiều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca M= (ab + bc + ca ) 46 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 465 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Hãy xác ñịnh giá trị lớn số thực k ñể ta ln có bất đẳng thức 1 + + + 3k ≥ (k +1)(a + b + c ) a b c Vietnam, 2006 466 Cho x, y, z ∈ [1, 2] Chứng minh 1 1  x z  + +  ( x + y + z ) + +  ≥  x y z  y + z z + x x + y  y Vietnam TST, 2006 467 [ ðỗ Văn Ta ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ Chứng minh a b c + + ≥ b + ac c + ab a + bc 468 Cho ≤ x, y, z ≤ Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x+ y y+z z+x P= + + 1+ z 1+ x 1+ y 469 [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z ba số thực không âm thỏa ñiều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + + y +1 + z +1 470 [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c số thực khơng âm thỏa điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 3 P = a (b − c ) + b (c − a ) + c (a − b) 471 [ Tạ ðức Hải ] Cho a, b, c số thực dương Chứng minh   1  + a +c + b +c + a +b ≥9 4abc  + + 2  b a c  (a + b) c (b + c) a (c + a) b  472 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc Chứng minh 3 bc ca ab a +b+c ≤ + + ≤ a (1 + bc ) b (1 + ca ) c (1 + ab) 4   473 [ Trần Tuấn Anh ] Cho x, y ∈ 0,  Tìm giá trị lớn biểu thức   x y P= + 1+ y 1+ x2 474 Cho x1 , x2 , , x2007 ∈ [−1,1] thỏa mãn ñiều kiện 2007 ∑x i = Chứng minh i=1 x1 + x2 + + x2007 ≤ 2007 ðẳng thức xảy nào? 475 [ Phạm Hoàng Hà ] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + y + z + z + x = 2006 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y2 z2 H= + + y+ z z+ x x+ y 476 [ Cao Xuân Nam ] Cho x, y, z số thực thỏa mãn ñiều kiện 47 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang − x4 8− y4 8− z4 + + ≥0 4 16 + x 16 + y 16 + z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức xyz 477 [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b2 + c2 = Chứng minh a2 b2 c2 + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c 478 [ Phan Tiến Thành ] Cho x, y, z ∈ (0,1) thỏa mãn ñiều kiện xyz = (1− x)(1− y )(1− z ) Chứng minh x2 + y + z ≥ 479 [ Trần Tuấn Anh ] Cho a, b, c ≥ −1, a + b + c = −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b3 + c 480 [ Bùi Tuấn Anh ] Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca (a + b + c) P= + a + b2 + c2 abc 481 [ Trần Việt Anh ] Cho n ∈ ℕ Kí hiệu (2n +1)!! tích số nguyên dương lẻ từ ñến 2n +1 Chứng minh n +1 (2n + 1) ≤ (2n + 1)!!π n 482 [ Ngô Trung Kiên ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca ≤ 3abc Chứng minh a 4b b 4c c4a + + ≥1 2a + b 2b + c 2c + a 483 [ Phạm Văn Thuận ] Cho a, b, c, d số thực phân biệt thỏa mãn ñiều kiện a b c d + + + = 4, ac = bd b c d a Tìm giá trị lớn biểu thức a b c d abcd + + + − c d a b (ad + cd )2 484 [ Phạm Kim Hùng ] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc ≥ Chứng minh 1+ a 1+ b 1+ c a +b+c ≥ + + 1+ b 1+ c 1+ a 485 [ Trần Nam Dũng ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xyz + ( x + y + z ) + ≥ 5( x + y + z ) ðẳng thức xảy nào? 486 [ Trần Nam Dũng ] Cho k ∈ (−1, 2) a, b, c ba số thực đơi khác Chứng minh  1  (2 − k )  a + b + c + k (ab + bc + ca )  + + ≥    2 2 (c − a )   (a − b ) (b − c) ðẳng thức xảy nào? 48 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 487 Cho x1 , x2 , , xn > −1 thỏa mãn ñiều kiện x13 + x23 + + xn3 = Chứng minh n x1 + x2 + + xn ≤ 488 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = Chứng minh ( ) ab bc ca +1 + +1 + +1 ≥ a + b + c c a b 489 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  bc + a   ca + b   ab + c  ≥ abc   + a  + b  + c  490 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh yz zx xy + + x ( x + y + z ) + y ( x + y + z ) + z ( x + y + z ) +1 ≥ x2 y2 z2 + + x ( x + y + z ) + y ( x + y + z ) + z ( x + y + z ) +1 491 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = Chứng minh a 3b + b3c + c 3a ≥ a + b + c 492 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Chứng minh 1 + + ≥ + xy + yz + zx 10 493 Cho −1 ≤ x, y ≤ Chứng minh  x + y  1− x + 1− y ≤ 1−    494 Cho n số nguyên dương Chứng minh n+ n n + n n− n n ≤ n n 495 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ab +bc +ca =1 Chứng minh a b c + + ≤ 2 a +1 b +1 c +1 496 Cho a, b, x, y số thực dương, a < b Chứng minh n ( x a + y a ) ≥ ( xb + y b ) b a 497 Cho < a, b, c ≤ Chứng minh      3   −1 −1 −1 ≥  −1  a  b  c   a + b + c  498 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a2 +b2 +c2 +d2 =1 Chứng minh (1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) ≥ abcd 499 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c + + ≥ 2 2 2 a + (b + c ) b + (c + a ) c + ( a + b) 500 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a +b + c (a + 2ab) (b2 + 2bc) (c + 2ca) ≥ (a + b2 + c ) a b c … tiếp tục cập nhật 49 .. .500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦... [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xyz ≤ (1 + 3x)( x + y )( y + z )( z + 6) 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang Gazeta Matematică 11 [ Mihai Piticari, Dan Popescu... x, y, z số thực dương thỏa ñiều kiện x + y + z + xyz = Chứng minh a) xyz ≤ , b) x + y + z ≤ , 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang c) xy + yz + zx ≤ ≤ x + y + z , d) xy + yz +