Functional caculus cho các toán tử không bị chặn và các toán tử quạt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TỐN TỬ QUẠT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l lu“n v«n tŁt nghi»p ch‰nh tỉi thüc hi»n dữợi sỹ hữợng dÔn khoa hồc ca TS Trn Tr Dơng C¡c nºi dung nghi¶n cøu v k‚t qu£ tham khÊo lun vôn ữổc trch dÔn v liằt kả ƒy ı möc T i li»u tham kh£o Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 30 thĂng 09 n«m 2019 PH MHÚUHI P L˝IC MÌN Hai n«m qua th“t sü l kho£ng thíi gian khỉng h• d„ d ng i cĂc bn sinh viản mợi trữớng ph£i cŁ g›ng ho n th nh tŁt c¡c nhi»m vư ð cì quan v cỉng vi»c håc t“p, k” c£ tỉi Câ thíi i”m cỉng vi»c nhi•u ‚n nØi t÷ðng chłng s‡ khỉng th” ti‚p tưc ÷íng håc vĐn Những, "Khõ khôn rỗi s qua i Ging nhữ cỡn mữa ngo i còa s, cõ tm t cù n o rỗi cui cụng s trới quang mƠy tnh" vữổt qua nhng khõ khôn Đy, trản ữớng tổi i luổn cõ sỹ ỗng h nh ca gia …nh, Thƒy Cỉ v b⁄n b– T⁄i tr÷íng ⁄i hồc Sữ Phm TP HCM, tổi ữổc hồc rĐt nhiãu iãu b ch vã chuyản mổn, v ổi lúc ữổc m mang thảm vã nhng kin thức x hi Trản ht, tổi cÊm nhn ữổc sỹ nhiằt tnh, tn tƠm ca cĂc Thy Cổ giÊng viản, cĂc Thy Cổ phặng sau i hồc, i ngụ nhƠn viản ca tr÷íng nâi chung v c¡c Thƒy Cỉ khoa To¡n - Tin hồc nõi riảng Tổi xin gòi lới cÊm ỡn ch¥n th nh ‚n c¡c Thƒy Cỉ v… sü nhi»t t…nh, t“n t¥m n y Thíi gian thüc hi»n lu“n v«n câ l‡ l thíi gian khâ kh«n v ƒy Ăp lỹc i vợi riảng tổi Những may mn thay, b¶n tỉi ln câ sü ıng hº, ºng vi¶n cıa gia nh, ngữới thƠn v bn b CÊm ỡn Cha, Mµ, Anh em trai l chØ düa tinh thƒn vœng chc, luổn tổi nhng lúc khõ khôn, b tc nh§t cıa cuºc íi C£m ìn c¡c b⁄n cıa tỉi  ngỗi nghe nhng tƠm sỹ nh m chĂn,  ” tỉi gi£i täa nhœng c«ng thflng m khỉng ph£i m…nh g¥y C£m ìn c¡c anh chà, b⁄n b ỗng mổn  tổi bữợc qua hai nôm hồc y gian nan v nhiãu thò thĂch Tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn n quỵ Thy Cổ trữớng THPT Chuyản Tiãn Giang  luổn to iãu kiằn tt nhĐt tổi tip tửc ữớng hồc vĐn CÊm ỡn Thy Nguyn Trồng Nghắa vợi nhng lới dy, kinh nghiằm vổ quỵ bĂu vã cĂch vit v b£o v» lu“n v«n °c bi»t, tỉi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc v chƠn th nh nhĐt n Thy hữợng dÔn khoa hồc, TS Trn Tr Dụng, giÊng viản khoa ToĂn - Tin hồc, trữớng i hồc Sữ Phm TP HCM  tn tnh hữợng dÔn, cõ nhng nh hữợng, gõp ỵ vổ quỵ bĂu tổi cõ th iãu chnh lun vôn kp thới NhƠn Ơy, tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn n t¡c gi£ cıa nhœng t i li»u ¢ tham kh£o Trong quĂ trnh thỹc hiằn ã t i, tổi  d nh nhiãu nỉ lỹc, tƠm huyt v ht sức nghiảm túc nghiản cứu Tuy nhiản, ã t i n y th“t sü mỵi m· v nhœng h⁄n ch vã mt kin thức, thới gian cụng nhữ khÊ nông tip cn nguỗn tữ liằu, lun vôn khõ trĂnh khọi nhng thiu sõt, rĐt mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca quỵ Thy Cổ v cĂc bn ỗng mổn Mt ln na, xin cÊm ỡn tĐt cÊ mồi ngữới, chúc mồi ngữới tht nhiãu sức khọe v th nh cổng cuc sng! Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 30 th¡ng 09 n«m 2019 PH MHÚUHI P Möc löc Mð ƒu Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 TŒng trüc ti‚p cıa c¡c khæng gian 1.2 ⁄i sŁ Banach To¡n tß khỉng bà ch°n 2.1 To¡n tß âng 2.2 Functional calculus cho to¡n tß ân Functional calculus cho to¡n tß qu⁄t 3.1 To¡n tß qu⁄t 3.2 Khæng gian c¡c h m ch¿nh h…nh 3.3 The natural functional calculus 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 Sü mð rºng thỉng qua i•u ki»n ph 3.4.1 3.4.2 3.5 T‰nh bà ch°n v x§p x¿ 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 T‰nh bà ch°n cıa H -Calculus 3.6.1 3.6.2 K‚t lu“n v T i li»u tham kh£o R( ;A) S ! I S!0 (0; R) A S!0 (" ; 1) A A O () Oc (S’) n C1 A (S’) D(A) A [S!] B (S’) R(A) N (A) C(X; Y ) C(X) L(X; Y ) L(X) (A) (A) ~(A) Miãn giĂ tr ca toĂn tò A DANH MệCC CK HI U Ht nhƠn ca toĂn tò A Khổng gian c¡c to¡n tß âng tł X v o Y Khỉng gian c¡c to¡n tß âng tł X v o X Khỉng gi¡c c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n tł X v o To¡n tß Y Khỉng gian c¡c toĂn tò tuyn tnh b chn trản ỗng nhĐt khổng gian Banach X Bao T“p gi£i thøc cıa to¡n tß A âng cıa to¡n tß A PhŒ cıa to¡n tß A PhŒ mð rºng cıa to¡n tß A To¡n tß kh£ nghàch cıa to¡n tß A nh x⁄ gi£i thøc ca toĂn tò A Hnh qut vợi gõc 2! i xøng qua trưc thüc T“p hỉp S!0 \ B(0; R) Lụy tha tỹ nhiản ca toĂn tò A Tp hổp S!0nB (0; " ) Khæng gian c¡c h m ch¿nh h¿nh tr¶n t“p mð M°t phflng phøc mð rºng ch°n trản S \ fr jzj Rg vợi < r < R < Lỵp c¡c h m The natural functional calculus cho c¡c to¡n tß qu⁄t [ Khỉng gian c¡c h m ch¿nh h…nh tr¶n S’ v b A Miãn xĂc (S) >! Lợp cĂc h m The natural functional calculus cho to¡n tß qu⁄t ành cıa to¡n tß A ìn ¡nh B S!] [ R 0() H () z (1 + z) C(S’) C[S!] (A) C0 ( ) R () C A(K) C () !A A [ B (S’) ’>! " DR(S’) DR[S’] Lỵp c¡c h m The natural functional calculus cho c¡c to¡n tß qu⁄t kh£ nghàch [ C (S’) DR0 (S’) ’>! DRext (S’) Khæng gian c¡c h m hœu t bà ch°n tr¶n DRext [S’] Khỉng gian c¡c h m hœu t bà ch°n tr¶n v tri»t ti¶u t⁄i Khæng gian c¡c h m ch¿nh h…nh bà ch°n tr¶n t“p mð t C1 Khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n khỉng gian a;b Sect (!) compact àa phữỡng Khổng gian cĂc h m liản tửc triằt tiảu ti trản khổng gian compact a phữỡng A Khổng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n K C1 v chnh hnh trản K Gõc ph ca toĂn tò qut A ’ ’; C (f; ! ) X§p x¿ qut ca toĂn tò A Lợp Dunford-Riesz trản gõc qut S’ [ ’>! DR(S’) Khæng gian c¡c h m ch¿nh trản S \ f0g v tt dn ãu ti Lợp Dunford-Riesz m rng trản gõc qut S [ >! DRext (S) Php dÂn ca h m vợi hằ s t dữỡng H m s ữổc sò dửng kắ thut xĐp x McIntosh Lợp cĂc toĂn tò qut vợi gâc ! tr¶n khỉng gian Banach X H m To¡n tß 1 = (1 + A)A (1 + A) B i ả n nh hữợng dữỡng ca gõc qut S Biản nh hữợng dữỡng ca ca S [ B (0) H‹ng sŁ °c tr÷ng, x¡c ành bði f DRext (S’) v ! < ’ 56 vỵi måi t > 0, z S’ Khỉng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta câ th” gi£ sß Chån ! < ! DR (S’) Z0 k (tA) (rA)k r 1 Z Z0 Hng s 'n i kỵ hiằu "." l BŒ • 3.5.9 (Tr‰ch [10], Trang 44) Cho supa;b Chøng minh Ta vi‚t Zb az (tz) (1 + bA) aA(1 + aA) Hai sŁ h⁄ng cuŁi bà ch°n khỉng phư thuºc v o a v b, A l toĂn tò qut Khflng nh Tỗn ti mºt h‹ng sŁ D cho óng vỵi måi a > 0, z Chøng minh Ta câ C Khi â Ta câ th” ¡nh gi¡ jga(z)j C Z 57 N‚u jazj th… jha(z)j 2s N‚u jazj 1, + x 2x s+1 vỵi måi s 1; x nản ta thu ữổc =T1+T2: S hng u T1 câ th” = [0; jazj] e ÷ỉc ¡nh gi¡ theo i arg z Vỵi sŁ h⁄ng thø Z1 T2 = jazj , = jazje dt (t) t Cs Z i[0;arg z] nh lỵ Cauchy Tht vy, v = [0; jazj], ta thu ÷ỉc jazjs arctan jazj s °t n‚u jazj ( ¥y l bĐt flng thức x v cõ th ữổc ki”m tra b‹ng c¡c l“p lu“n cì b£n) Ta ho n th nh chøng minh Khflng ành Khflng nh Tỗn ti hng s D cho Z vỵi måi b > 0, z S’ 58 ~ â ta ¢ ¡p dưng Khflng ành cho h m vỵi a = b Khflng ành v ch¿ r‹ng BŒ • 3.5.3 ¡p dưng ữổc Kt hổp B ã 3.5.9 vợi B ã hºi tö 3.5.6 v 3.5.8 (c) ta thu v z thay cho z ữổc kt quÊ sau nh lỵ 3.5.10 (X§p x¿ McIntosh) (Tr‰ch [10], Trang 46) Cho a Sect(!) v DR [S!] Za b vỵi måi x D(A) \ R(A) 3.6 T‰nh bà ch°n cıa H -Calculus Cho A Sect(!) l mºt toĂn tò qut trản khổng gian Banach X v sò ’ > ! Gi£ câ mºt ⁄i sŁ F H (S) cho f(A) ữổc nh nghắa vợi mØi f bði NFCSO F Ta nâi r‹ng natural F calculus vỵi A bà ch°n n‚u vỵi måi f F v f(A) L(X) vỵi h‹ng sŁ C Ơy, kfk ữổc nh nghắa l Nu l Ta gåi inf F C khæng gian â th õng v B ã hi tử 3.5.6 (a), tỗn ti hng s C thọa mÂn (3.6.1) nu nhữ f(A) L(X) vỵi måi f F 59 3.6.1 nh lỵ vã tnh b chn ca Functional calculus nh lỵ 3.6.1 (Trch [10], Trang 46) Cho A Sect(!) vỵi t“p x¡c ành v t“p gi¡ trà trị m“t Cho ! < ’ < v C C¡c khflng ành sau l t÷ìng ÷ìng (i) The natural DR (S’) calculus cho A l bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C (ii) The natural H (S’) calculus cho A l bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C 1 (iii) The natural H (S’) \ C0 S’ (S’) (iv) The natural R (v) calculus cho A l bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C calculus cho A l bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C The natural R (S’) calculus cho A l bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C Chøng minh u tiản ta thĐy rng (ii) ) (i) v (ii) ) (v) ) (iv) l tƒm th÷íng Theo (S’) M»nh • 1.2.11 khỉng gian R l trị m“t •u H (S’)\C0 S’ p dưng BŒ • hºi tö 3.5.6 (a) ta câ (iv) ) (iii) ” chøng minh (iii) ) (i), l§y 1 f DR (S’) ành ngh¾a fn(z) = f z + n Dắ nhiản, fn H (S) \ C0 S’ , kfk’ v fn ! f tłng i”m Khi â, (i) suy tł BŒ • hºi tư kfnk’ CuŁi còng, ta chøng minh (i) ) (ii) °t f H (S’) ành ngh¾a s(z) = zs â ; f DR (S ) Hìn vỵi s > Khi s s ’ (1 + z)2s nœa s kf sk’ kfk’ K s â K = k 1k Sò dửng (i) ta ữổc k(f s)(A)k C kfk1 K BƠy giớ ta Ăp dửng B ã hi tư 3.5.6 v k‚t lu“n r‹ng f(A) L(X) vỵi (f s)(A) ! f(A) m⁄nh n‚u s & Do s lims!0 K = ta thu ÷ỉc kf(A)k C kfk1 CƠu họi tr nản khõ hỡn nu ta giÊm tnh trũ mt Nhc li rng vợi toĂn tò qut A ta ln câ bi”u di„n hå c¡c to¡n tß qut ãu A" =("+A)(1+"A) l xĐp x qut ca A v bao gỗm cĂc toĂn tò khÊ nghch b ch°n (xem M»nh • 3.1.7) 60 BŒ • 3.6.2 (Tr‰ch [10], Trang 47) Cho A Sect(!), ! ’ < v C C¡c khflng ành sau l t÷ìng ÷ìng (i) The natural R (S’) calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C (ii) The natural R (S’) calculus cho A" bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C, vỵi mØi " > Chøng minh °t r"(z) = (" + z)(1 + "z) 1 R (S’) Khi â A" = r"(A) N‚u r R (S’) th… r r" R (S’) vỵi kr r"k’ krk’0, r" l ¡nh x⁄ tł S’ v o S’ Lu“t hæp th nh cho ta r (A") = (r r") (A) Ta ¢ chøng minh (i) ) (ii) Chiãu ngữổc li suy t r (A") ! r(A) theo chu'n, theo Mằnh ã 3.5.1 (a) (lữu ỵ rng R (S) DRext (S)) nh lỵ 3.6.3 (Trch [10], Trang 47) Cho A Sect(!), ! < ’ < v C Ta ành ngh¾a K l bao âng cıa S’ C1 C¡c khflng ành sau l t÷ìng ÷ìng (i) The natural A (S’) \ C(K) calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C (ii) The natural R (S’) calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C N‚u A 1 ìn ¡nh, ta câ th” thay th‚ A (S’) bði H (S’) (i) Chøng minh Hi”n nhi¶n (i) ) (ii) ” chøng minh chiãu ngữổc li, lĐy f A (S) \ C(K) Theo Mằnh ã 1.2.11, tỗn ti mt dÂy (rn)n R (S’) cho krn fk’ ! Theo BŒ • 3.6.2, gi£ thi‚t (ii) suy r‹ng The natural R (S’) calculus cho A" bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C, vỵi mØi " > Do mØi A" bà ch°n v kh£ nghàch, ta câ th” ¡p dửng nh lỵ 3.6.1 kt lun rng The natural H (S’) calculus cho A" bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C vợi mỉi " > iãu n y nghắa l rn (A") ! f (A") ãu vợi " > T Mằnh ã 3.5.1 ta thĐy rng rn (A") ! rn(A) vỵi " & vỵi mØi n L“p lun t GiÊi t ch h m suy tỗn t⁄i T L(X) vỵi f (A") ! T Mºt øng dưng kh¡c cıa M»nh • 3.5.1 cho ta T = f(A) Tr÷íng hỉp A ìn ¡nh v f H (S’) \ C(K) ÷ỉc chøng minh t÷ìng tỹ nh lỵ 3.6.4 (Trch [10], Trang 47) Cho A Sect (!), ! ’ < v C Gi£ sß r‹ng (S’) The natural R calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C N‚u A 61 l trò m“t v ’ th… The natural R (S’) calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C n Chøng minh °t rn = n + z Khi â krnk’ = ’ Hìn nœa, rn(A)x ! x n ! theo Mằnh ã 3.1.4, D(A) trũ mt X Nhữ v“y, vỵi h m r R (S’) ta câ kr(A)xk = lim kr(A)rn(A)xk = lim k(rrn)(A)xk n n C krrnk’ kxk C krk’ kxk vỵi måi x X 3.6.2 T‰nh nh§t cıa Functional calculus Gi£ sò rng A l mt toĂn tò õng trản khổng gian Banach X, C mð v F H ( ) l mºt ⁄i sŁ chøa h m hœu t r (z) = ( z) vỵi 62 Ta nâi r‹ng ¡nh x⁄ : F ! L(X) l mºt F calculus b chn vợi A nu cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn (1) nh x l mt ỗng cĐu ⁄i sŁ (2) Ta câ (r ) = R ( ; A) vỵi måi 62 (3) N‚u F th (1) = I (4) Tỗn ti C cho k (f)k C kfk vỵi måi f F — ¥y, kfk k‰ hi»u l chu'n sup cıa f tr¶n ch°n v hºi tư tłng i”m tr¶n v supn kfk < Ta nâi r‹ng li¶n tưc Łi vỵi t‰nh bà ch°n v hºi tư tł i”m (nâi gồn l bp-liản tửc), nu nõ cõ tnh chĐt sau (5) N‚u fn, f F cho fn ! f (fn) ! (f) mnh trản X Lữu ỵ rng nu 62 Fta luổn cõ th m rng vÔn giœ c¡c t‰nh ch§t kh¡c ‚n F = F C1 thäa (3) v 62 BŒ • 3.6.5 (Tr‰ch [10], Trang 48) Cho A l mt toĂn tò õng trản khỉng gian Banach X Cho < ! < vỵi A vợi hng s C v giÊ sò rng Khi õAl LĐy mt hnh qut S vợi !A < ’ v C1 Khi l mºt H1 (S!) to¡n tò qut vợi !A ! v õ cĂc khflng nh sau l óng calculus bà ch°n ! k‰ hi»u K l bao âng cıa S’ (a) (f) = f(A) vỵi måi f A (S’) \ C(K) (b) N‚u A ìn ¡nh, â (f) = f(A) vỵi f H (S’) \ C(K) 1 (c) N‚u A câ mi•n x¡c ành v mi•n gi¡ trà trị m“t th… The natural H (S’) calculus cho A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C Chøng minh T‰nh qu⁄t cıa A suy b‹ng c¡ch ¡p dưng vỵi h m hœu t z Theo M»nh • 1.2.11 ta câ (f) = f(A) vỵi f R (S!) Khflng ành (a) v (b) suy t nh lỵ 3.6.3 Khflng nh (c) suy t nh lỵ 3.6.1 nh lỵ 3.6.6 (Tr‰ch [10], Trang 49) Cho A l mºt to¡n tß âng tr¶n khỉng gian Banach X v < ! < Khi õ tỗn ti ti a mt H (S) calculus b chn v bpliản tửc vợi A Nu tỗn ti, toĂn tò A l toĂn tò qut vợi !A !, cõ miãn xĂc nh v miãn gi¡ trà trị m“t Hìn nœa, n‚u trịng vỵi The natural functional calculus tr¶n H (S’), â ’ > !A vợi ! Chứng minh Tnh nhĐt suy t Mằnh ã 1.2.12 nh nghắa fn(z) = n(n + z) Khi â fn ! tłng i”m tr¶n S v supn kfnk! < Do l bp-li¶n tưc n¶n n(n + A) = (fn) ! (1) = I m⁄nh A trò m“t L“p lu“n tữỡng tỹ vợi fn(z) = z ! T BŒ • 3.6.5 suy the natural H (S’) calculus vợi A b chn Theo tnh nhĐt, The natural calculus ph£i trịng vỵi Nh“n x†t 3.6.1 Cho A Sect (!) vợi miãn xĂc nh v miãn giĂ tr trũ mt v > ! nh lỵ 3.6.1 suy r‹ng n‚u A câ H (S’) bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C, th… The natural H (S’) calculus vỵi A bà ch°n vỵi h‹ng sŁ C Kt lun v kin ngh Lun vôn  trnh b y kh¡ ƒy ı v chøng minh chi ti‚t cĂc kt quÊ vã Functional calculus cho cĂc toĂn tò khỉng bà ch°n v c¡c to¡n tß qu⁄t Hìn nœa, dữợi sỹ hữợng dÔn ca thy Trn Tr Dụng, tổi ¢ t…m mºt k‚t qu£ mỵi, â l M»nh • 3.1.3 Trong lu“n v«n n y, ð Mưc 3.4 Sü mð rºng thỉng qua i•u ki»n phŒ, tỉi nh“n thĐy "bức tranh" vã The natural functional calculus cho cĂc toĂn tò qut vÔn chữa ho n thiằn ch mợi dng li hai trữớng hổp  nảu lun vôn Tuy nhiản, hn ch vã thới gian cụng nhữ khÊ nông tip cn nguỗn tữ liằu nản tỉi ch÷a ho n thi»n "bøc tranh" n y Hi vång, nhœng nghi¶n cøu ti‚p theo, tỉi s‡ v‡ mºt c¡ch ƒy ı "bøc tranh" v• The natural functional calculus cho c¡c to¡n tß qu⁄t 63 T i li»u tham kh£o [1] Albrecht, D., Franks, E., and McIntosh, A Holomorphic functional calculi and sums of commuting operators Bull Austral Math Soc 58, (1998), 291 305 [2] David Albrecht, Xuan Duong, and Alan McIntosh Operator theory and har-monic analysis In Instructional Workshop on Analysis and Geometry, Part III (Canberra, 1995), pages 77 136 Austral Nat Univ., Canberra, 1996 [3] A V Balakrishnam Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J Math., 10:419-437, 1960 [4] K Boyadzhiev and R deLaubenfels Semigroups and resolvents of bounded variation, imaginary powers and functional calculus, Semigroup Forum, 45(3):372 384, 1992 [5] John B Conway A course in Functional Analysis, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics, 96, New York etc: Springer-Verlag, xvi, 399 p., 1990 [6] Michael Cowling, Ian Doust, Alan McIntosh, and Atsushi Yagi Banach space operators with a bounded functional calculus, J Austral Math Soc Ser A, 60(1):51 89, 1996 [7] Giovanni Dore and Alberto Venni On the closedness of the sum of two closed operators Math Z., 196(2):189 201, 1987 64 65 [8] Edwin Franks Modified Cauchy kernels and functional calculus for operators on Banach space J Austral Math Soc Ser A, 63(1):91 99, 1997 [9] Edwin Franks and Alan McIntosh Discrete quadratic estimates and holo-morphic functional calculi in Banach spaces Bull Austral, Math Soc., 58(2):271 290, 1998 [10] Markus Haase The Functional Calculus for Sectorial Operators and Simi-larity Methods Dissertation, Universitat Ulm, 2003 [11] Markus Haase The functional calculus for sectorial operators, Preliminary Version, 19th February 2005 [12] Markus Haase Lectures on functional calculus, 21st International Internet calculus, November 29, 2017 [13] Tosio Kato Note on fractional powers of linear operators, Proc Japan Acad., 36:94-96, 1960 [14] M A Krasnosel’ski and P E Sobolevski Fractional powers of operators acting in Banach spaces, Dokl, Akad, Nauk SSSR, 129:499-502, 1959 [15] S G Kre n Linear differential equations in Banach space American Math-ematical Society, Providence, R.I., 1971, Translated from the Russian by J M Danskin, Translations of Mathematical Mono-graphs, Vol 29 [16] Alan McIntosh Operators which have an H1 functional calculus, In Mini- conference on operator theory and partial differential equations (North Ryde, 1986), pages 210 231 Austral Nat Univ., Canberra, 1986 [17] Alan McIntosh Operator Theory - Spectra and Functional Calculi, Febru-ary 18, 2010 [18] Celso Mart‰nez Carracedo and Miguel Sanz Alix The theory of fractional powers of operators North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001 66 [19] A Pazy Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Dif-ferential Equations Applied Mathematical Sciences, 44, New York etc.: Springer-Verlag VIII, 279 p , 1983 [20] Hans Triebel Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, 2nd rev a enl ed Leipzig: Barth 532 p , 1995 [21] Atsushi Yagi Co ncidence entre des espaces d’interpolation et des domaines de puissances fractionnaires d’op†rateurs C R Acad, Sci Paris S†r I Math., 299(6):173 176, 1984 [22] Kæsaku Yosida Fractional powers of infinitesimal generators and the ana-lyticity of the semigroups generated by them, Proc, Japan Acad., 36:86-89, 1960 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TỐN TỬ QUẠT Chun ngành: Tốn giải... ã cn cho viằc xƠy dỹng lỵ thuyt vã Functional calculus cho cĂc toĂn tò qut Chữỡng Functional calculus cho cĂc toĂn tò khổng bà ch°n Trong ch÷ìng n y tỉi tr…nh b y vã Functional calculus cho cĂc... ch yu nhữ sau: ToĂn tò õng Functional calculus cho cĂc toĂn tò õng Chữỡng Functional calculus cho cĂc toĂn tò qut Trong chữỡng n y, tỉi tr…nh b y Functional calculus cho c¡c to¡n tß qu⁄t thỉng