MÔ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (QHTT)

CHƯƠNG III MƠ HÌNH TỐI ƯU TUYẾN TÍNH (QHTT) I Thí dụ mở đầu II Mơ hình tốn QHTT III Các tính chất chung tốn QHTT IV Phương pháp đơn hình V Bài tốn đối ngẫu I Thí dụ mở đầu • Thí dụ 1: Bài tốn lựa chọn danh mục đầu tư - Nội dung: Một công ty đầu tư dự định dùng khoản quỹ đầu tư 500 tỷ đồng để mua số cổ phiếu thị trường chứng khốn Để phịng ngừa rủi ro công ty đưa yêu cầu đa dạng hoá danh mục đầu sau: + Loại cổ phiếu giới hạn mua: Loại CK Lợi tức Giới hạn mua A 7%/năm 100 tỷ B 8,5%/năm 300 tỷ C 7,8%/năm 250 tỷ D 8,2%/năm 320 tỷ + Tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu A C phải chiếm 55% cổ phiếu B phải chiếm 15% tổng số vốn đầu tư thực - Bài toán: Với số tiền dự kiến đầu tư, xác định danh mục đầu tư cho đảm bảo đa dạng hoá danh mục đầu tư đem lại mức lợi tức lớn - Mô hình hố: + Gọi xA, xB, xC, xD khoản tiền đầu tư vào loại chứng khoán A, B, C, D + Các điều kiện đa dạng hoá danh mục đầu tư: ≤ xA ≤ 100; ≤ xB ≤ 300 (1) ≤ xC ≤ 250, ≤ xD ≤ 320 (2) xA + xC ≥ 0,55(xA + xB+ xC + xD) (3) xB ≥ 0,15(xA + xB+ xC + xD) (4) xA + xB+ xC + xD ≤ 500 (5) + Mức lợi tức ứng với danh mục đầu tư: Z = 0,07xA + 0,085xB+ 0,078xC + 0,082xD (tỷ đồng) - Xác định x = (xA, xB, xC, xD) cho: Z  Max; với điều kiện (1), (2), (3), (4), (5) - Bài tốn gọi tốn QHTT • Thí dụ 2: Bài toán vận tải - Nội dung: Một công ty kinh doanh xăng dầu khu vực Z hàng tuần cần cung ứng xăng cho trạm bán lẻ A, B C Cơng ty đưa xăng đến trạm từ tổng kho I II Lượng xăng dự trù cung ứng cho trạm kho I 20 tấn, kho II 40 Nhu cầu tiêu thu xăng hàng tuần trạm A, B, C 20, 15, 15 (tấn) Chi phí cho việc cung ứng xăng cho bảng sau: Đơn vị: nghìn đồng/tấn Kho\ Trạm A B C I 500 400 700 II 600 500 500 - Bài toán: Cần lập kế hoạch cung ứng xăng từ kho đến trạm để đảm bảo đáp ứng đủ nhu cầu trạm với tổng chi phí vận chuyển nhỏ - Mơ hình hoá: + Gọi x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C (tấn) lượng xăng vận chuyển từ kho I, kho II đến trạm A, B, C + Điều kiện để đáp ứng đầy đủ nhu cầu trạm: x1A + x2A = 20 (1) x1B + x2B = 15 (2) x1C + x2C = 15 (3) + Điều kiện lượng xăng dự trù cung ứng kho: x1A + x1B + x1C ≤ 20 (4) x2A + x2B + x2C ≤ 40 (5) + Tổng chi phí vận chuyển: Y = 500x1A+400x1B+700x1C+600x2A+500x2B+500x2C (nghìn đồng) - Xác định x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C ≥ cho: Y  Min; với điều kiện (1), (2), (3), (4), (5) Bài toán gọi tốn QHTT II Mơ hình tốn QHTT Bài toán dạng tổng quát Một số khái niệm định nghĩa Các dạng đặc biệt Bài tốn dạng tổng qt - Là tốn tìm cực trị (cực đại cực tiểu) hàm tuyến tính xác định tập hợp nghiệm hệ thống hỗn hợp phương (hoặc) bất phương trình tuyến tính - Xác định véc tơ x = (x1, x2, …, xn) cho: n f ( x) = ∑ c j x j → Min( Max) j =1 n ∑ aij x j = bi (i ∈ I1 )  j =1  n ∑ aij x j ≥ bi (i ∈ I ) (*) I1 ∩ I ∩ I = ∅, I = I1 ∪ I ∪ I  j =1 n ∑ aij x j ≤ bi (i ∈ I )  j =1 Một số khái niệm định nghĩa - Hàm f(x) cần tìm cực trị gọi hàm mục tiêu toán - Hệ (*) gọi hệ điều kiện toán - Mỗi phương trình bất phương trình hệ điều kiện gọi ràng buộc toán hệ điều kiện gọi hệ ràng buộc - Véc tơ x thoả mãn ràng buộc toán gọi phương án (PA) toán - Tập hợp PA có toán gọi tập PA toán, ký hiệu: D = {x: t/m (*)} - Xét toán QHTT có f(x)  Min hai PA xA, xB Khi đó: + Nếu f(xA) ≤ f(xB) PA xA gọi không xấu PA xB + Nếu f(xA) < f(xB) PA xA gọi tốt PA xB - Một PA mà hàm mục tiêu đạt cực trị gọi PA tối ưu (PATƯ), ký hiệu: x* f* = f(x*) gọi trị tối ưu, f(x*) ≤ f(x) với PA x toán - Một tốn có PATƯ gọi toán giải - Một toán khơng có PA TƯ gọi tốn khơng giải + Bài tốn khơng có PA  khơng có PATƯ + Bài tốn có PA hàm mục tiêu không bị chặn tập PA - Xét với PA x: + Nếu ràng buộc i (i∈I) thoả mãn với dấu “=“ PA x gọi thoả mãn “chặt” ràng buộc i hay ràng buộc i chặt PA x + Nếu ràng buộc i (i∈I) thoả mãn với dấu “>” “ ∑ aij yi = c j ∑ aij yi < c j xj = - Hệ quả: Nếu ràng buộc lỏng PATƯ tốn ràng buộc đối ngẫu với phải chặt PATƯ toán i =1 i =1 3.2 Các ứng dụng - Khảo sát tồn PA PA tối ưu: + Sử dụng tính chất định lý ta khảo sát tồn PA, PATƯ cặp toán đối ngẫu mà khơng cần thiết phải giải + Ví dụ 12: Cho toán QHTT f ( x) = x1 − x2 + x3 − x4 → Min  x1 − x2 = 15 (1)  x3 − x4 = (2)   x ≥ 0( j = ÷ 4) j  Hãy viết tốn đối ngẫu toán chứng tỏ toán đối ngẫu có PATƯ + Ví dụ 13: Cho toán QHTT f ( x) = x1 + x2 + px3 − x4 + x5 → Max + x4 − x5 ≥ p +  x1 − x2  x2 − x3 + x4 − x5 ≤ 32   + x5 = 18  x1 − x2 + x3   x3 , x4 ≥ (1) (2) (3) Trong đó: p tham số Hãy viết tốn đối ngẫu toán dựa vào toán để biện luận theo p tồn PATƯ tốn gốc - Phân tích tính chất véc tơ x toán: + Sử dụng hệ định lý để phân tích tính chất tối ưu PA Ví dụ: cần phân tích xem x có phải PATƯ tốn gốc hay khơng + Các phân tích sau: +> Giả sử x PATƯ toán gốc theo định lý PATƯ toán đối ngẫu phải thoả mãn chặt ràng buộc đối ngẫu với ràng buộc mà x thoả mãn lỏng Tập hợp ràng buộc chặt tạo thành hệ phương trình véc tơ y +> Giải hệ phương trình này: -> Nếu hệ vơ nghiệm x khơng phải PATƯ -> Nếu hệ có nghiệm ta thử nghiệm vào ràng buộc cịn lại tốn đối ngẫu TH1: Nếu nghiệm khơng thoả mãn x khơng phải PATƯ TH2: Nếu có nghiệm y thoả mãn y PATƯ tốn đối ngẫu vã PATƯ tốn gốc + Ví dụ 14: Cho toán QHTT (I) f ( x ) = x1 − x2 + px3 → Min  x1 + x2 + x3 ≤   x1 − x2 + x3 ≥ ( I )  x ≥ 0( j = 1, 2,3)  j Trong đó: p tham số +> Hãy viết toán đối ngẫu toán (I) cặp ràng buộc đối ngẫu +> Tìm P để véc tơ y = (0, ½) PATƯ ... − x3 → Min  x1 + x2 − x3 ≤ 16 −4 x + x3 ≤ 28    x1 + x2 − x3 ≤ 12  x j ≥ 0( j = ÷ 3)  - (1) (2) (3) Giải toán sau phương pháp đơn hình Ví dụ - Cho tốn QHTT: f ( x ) = −2 x1 − x2 + x3 →... Cho tốn QHTT: f ( x ) = −2 x1 − x2 + x3 → Min  −4 x1 − x2 + x3 ≥ 12   −2 x1 + x2 + x3 ≤    −2 x1 + x2 + x3 = 20   x ≥ 0( j = ÷ 3)  j - (1) (2) (3) Giải toán sau phương pháp đơn hình... QHTT: f ( x ) = −2 x1 − x2 + x3 → Min  −4 x1 − x2 + x3 ≥ 12   −2 x1 + x2 + x3 ≤    −2 x1 + x2 + x3 = 20   x ≥ 0( j = ÷ 3)  j - (1) (2) (3) Giải toán sau phương pháp đơn hình Áp dụng thuật