Bất đẳng thức berry esseen

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ NGỌC HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY – ESSEEN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội, Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ NGỌC HƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC BERRY – ESSEEN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN DUY TIẾN Hà Nội, Năm 2014 Líi c¡m ìn T¡c gi£ xin b y tä lỈng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c cıa m…nh tợi GS.TSKH Nguyn Duy Tin, ngữới  tn tnh giúp ï v ch¿ b£o tæi suŁt qu¡ tr…nh l m lun vôn tt nghiằp Qua Ơy tổi cụng xin ch¥n th nh c¡m ìn sü gióp ï cıa c¡c thƒy gi¡o, cỉ gi¡o Bº mỉn X¡c su§t ThŁng kả Trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i hồc Quc gia H Ni, nhng ngữới  giúp ù tỉi suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu ti trữớng TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn Trữớng ⁄i håc Sao ä, Khoa Khoa håc Cì b£n v cĂc ỗng nghiằp  to mồi iãu kiằn giúp ù ” t¡c gi£ an t¥m håc t“p v ho n th nh tt lun vôn Do mợi l m quen vợi cổng tĂc nghiản cứu khoa hồc v cặn hn ch vã thới gian thỹc hiằn nản lun vôn khổng th” tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât T¡c gi£ k‰nh mong nhn ữổc ỵ kin õng gõp ca cĂc thy cổ v cĂc bn lun vôn ữổc ho n thiằn hìn H Nºi, n«m 2014 Mưc lưc Mð ƒu CĂc kin thức chu'n b 1.1 Bin ngÔu nhiản 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Ph¥n bŁ chu'n 1.2.1 1.2.2 1.3 Kho£ng c¡ch bi‚n ph¥n to 1.4 Sü hºi tư cıa d¢y c¡c bi‚n n 1.5 Phữỡng phĂp Stein cho xĐ 1.5.1 1.5.2 1.5.3 BĐt flng thức Berry - Esseen mt chiãu 2.1 Giợi thi»u chung 2.2 B§t flng thøc Berry Esse 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 B§t flng thøc Berry Esse 2.3.1 2.3.2 2.3.3 BĐt flng thức Berry - Esseen nhiãu chiãu 3.1 Trữớng hổp phƠn b 3.2 Trữớng hổp khổng Kt lu“n T i li»u tham kh£o Mð ƒu X¡c suĐt l mt b phn ca toĂn hồc nghiản cứu vã cĂc hiằn tữổng ngÔu nhiản Lỵ thuyt xĂc suĐt nh‹m t…m nhœng quy lu“t nhœng hi»n t÷ỉng t÷ðng chłng khỉng câ quy lu“t n y; v nâ ữổc ới u tiản nữợc PhĂp v o nòa cui th k 17 Trong lỵ thuyt xĂc suĐt nh lỵ giợi hn trung tƠm l mt nhng nh lỵ cỡ bÊn v cõ nhiãu ứng dửng thỹc tin Nõ ữa mt php tnh xĐp x cho h m phƠn phi ca tng cĂc bin ngÔu nhiản c lp W so vợi h m phƠn phi chu'n hõa Tuy nhiản nh lỵ n y khổng Ănh giĂ ữổc tc hi tử ca giợi hn W! Trong thỹc t ta li quan tƠm nhiãu n kho£ng c¡ch giœa ph¥n bŁ cıa W v ph¥n bŁ chu'n hâa Kho£ng c¡ch n y c ng nhä th… x§p x¿ chóng ta cƒn c ng câ gi¡ trà Mºt nhœng cỉng cư ” ¡nh gi¡ kho£ng c¡ch giœa W v hay ¡nh gi¡ ÷ỉc tŁc º hºi tử ca nh lỵ giợi hn trung tƠm l bĐt flng thøc Berry Esseen Trong • t i n y tổi s trnh b y vã lch sò, quĂ trnh ho n thi»n, chøng minh, mð rºng, ph¡t tri”n v øng dưng cıa b§t flng thøc n y Nºi dung ã t i gỗm ba chữỡng: Chữỡng CĂc kin thøc chu'n bà Ch÷ìng n y ÷a mºt sŁ kin thức vã bin ngÔu nhiản, phƠn phi chu'n, khoÊng cĂch bin phƠn to n phn, phữỡng phĂp Stien Ơy l nhœng ki‚n thøc bŒ trỉ s‡ ÷ỉc nh›c ‚n nhng chữỡng sau Chữỡng BĐt flng Berry - Esseen mt chiãu Chữỡng n y tĂc giÊ phĂt biu nh lỵ Berry - Esseen ãu v khổng ãu Vợi mỉi dng tĂc giÊ phĂt biu nh lỵ trữớng hổp phƠn b v khổng phƠn b, cõ giợi thiằu sỡ lữổc vã lch sò ca nh lỵ, cui l chứng minh v ữa mt v i Ăp dửng ca nh lỵ Chữỡng BĐt flng Berry - Esseen nhiãu chiãu Chữỡng n y l sỹ m rng ca nh lỵ Berry - Esseen mt chiãu Sỹ m rng ữổc phĂt biu cho cÊ hai trữớng hổp phƠn b v khổng phƠn b Tuy nhi¶n, ” gi£m º phøc t⁄p t¡c gi£ ch¿ dng li viằc chứng minh nh lỵ trữớng hổp ỡn giÊn hỡn, õ l trữớng hổp phƠn bŁ Ch÷ìng C¡c ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y t¡c gi£ ÷a mºt v i ki‚n thức cỡ bÊn vã bin ngÔu nhiản, phƠn b chu'n, khoÊng cĂch bin phƠn to n phn, phữỡng phĂp Stein ¥y l nhœng ki‚n thøc cì b£n cıa x¡c su§t thng kả m ữổc sò dửng nhiãu cĂc chữỡng sau 1.1 Bin ngÔu nhiản 1.1.1 nh nghắa v phƠn loi Nõi mt cĂch chung chung th bin ngÔu nhiản l i lữổng lĐy giĂ tr thỹc tũy thuc v o kt quÊ ngÔu nhiản ca php thò nh nghắa chnh xĂc ca bin ngÔu nhiản nhữ sau: nh nghắa 1.1 : GiÊ sò ( ; A) l nhiản l ¡nh x⁄ X : (X Ho°c t÷ìng ! R cho: x) = f! jX(!) xg A; 8x R ữỡng: X (B) = f! vợi B l khổng gian o  cho Bin ngÔu jX(!) Bg A; 8B B - ⁄i sŁ c¡c t“p Borel cıa R ành ngh¾a 1.2 : Bi‚n ngÔu nhiản gồi l rới rc nu cĂc giĂ trà cıa nâ l hœu h⁄n hay ‚m ÷ỉc Bi‚n ngÔu nhiản rới rc ữổc xĂc nh bng bÊng phƠn phi xĂc suĐt: P X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn n â pi = 1; pi > ành i=1 ngh¾a 1.3 : Bin ngÔu nhiản gồi l liản tửc nu cĂc gi¡ trà câ th” câ cıa nâ l§p ƒy mºt khoÊng trản trửc s Bin ngÔu nhiản liản tửc X ành bði h m ÷ỉc x¡c +1 måi x v R 1.1.2 H m phƠn phi nh nghắa 1.4 : H m ph¥n phŁi (quy lu“t ph¥n phŁi) cıa bi‚n ngÔu nhiản X l h m F(x) ữổc xĂc nh nhữ sau F(x)= P(X x2 ! F (x1) F (x2) P(a X < b) = F(b) - F(a) MŁi quan h» giœa h m ph¥n phŁi v h m m“t º: F (x) = f(x) phŁi cıa nâ câ ⁄o h m 1.1.3 Hm c trững nh nghắa 1.5 : GiÊ sò h m phƠn phi ca bin ngÔu nhiản X Khi F l â h m °c tr÷ng cıa X l h m bi‚n thüc ’(t) = ’X (t) ÷ỉc ành ngh¾a (3.21) (3.22) (3.23) (3.24) (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) 41 z2R k " E jUj sup P fW1 A nA + zg " E jUj sup P fW1 A nAg A2A = " E jUj sup P fSn 1= A nAg A2A E jUj sup P fSn " A nAg A2A " " Chóng ta ¡nh gi¡ P fSn A nAg =P fSn A g g›n vỵi gi£ thit quy np Sò dửng kt hổp iãu kiằn 3.1 P fSn P fSn ” ¡nh gi¡ " A nAg, ta câ: " A nAg n K‚t hæp 3.29 v 3.20 ta thu " + P fY A nAg n + bk" (3.30) ÷ỉc: EI(U) E jUj (2 n + bk") E jV j (2 n + bk") Chøng minh t÷ìng tü ta câ: EI(V ) V“y 3.28 ÷ỉc chøng minh Tł 3.8 suy ra: p E jUj = n; E jV j = n Tł 3.27, 3.28 k†o theo 3.26 Sß dưng gi£ thi‚t quy n⁄p n M bk = n vỵi n th… 3.26 cho 3.22 vỵi c1 8; c2 16 Chøng minh 3.23 Tł k‰ hi»u 3.19 v 3.20 ta câ th” vi‚t: i Gåi ; l = jI Jj ; I := E’(Y1= +U + Z); J := E’(Y1= +V + Z) cĂc bin ngÔu nhiản c lp phƠn phi t: I0 = E(Y1= +Z) 42 ãu trản on [0,1] I1 = E hY1; Ui ’ (Y1= + J1 = E hY1; V i ’ (Y1= + 1U + Z)U 1V + Z)V Ta cƒn chøng minh: I=I0+I1; I=I0+J1 Th“t v“y, ta câ: I=E Trong â: p(x) = (2 ) k=2 Z Rk x2=2 :e k ;x2R Thay x 3.32 bði y = x= +U ta ÷æc: Z I = E ’(y+Z)p( y k U) dy (3.33) k R Giœ U, mð rºng h m m“t p( y º: U) = p( y) Ep ( y U)U = p( y) + E h y U; Ui p( y Thay bi‚n y t‰ch ph¥n 3.33 bði y = x v y U) U = x, h» thøc 3.32 cho: I = I0 + I1; I1 := E hY1; Ui ’(Y1= + U + Z) Sß dưng cỉng thøc khai tr”n Talor cho h m ’ vỵi s = v EU = ta câ: I1 = E hY1; Ui ’ (Y1= + 1U + Z)U (3.35) H» thøc 3.32 3.35 cho ta 3.31 Łi vỵi I Chøng minh vỵi J ho n to n t÷ìng tü thay U bði V V“y 3.31 ữổc chứng minh Tip theo vợi = n=(n i i); i = 2; :::; n 24 p " n i (2 43 n i ta cƒn chøng minh: + bk") (3.36) °t: I2 = E hY1; Ui ’ (Y1= +Z)U J2 = E hY1; V i (Y1= +Z)V v ỵ rng I2 = J2 CovU = CovV Do â 3.31 ko theo: t = ngÔu nhiản  cho ngoi tr Z, ta câ: jI1 I 2j E (P fY1= + 1U " " " + Z A nAg+P fY1= +Z A nAg " 2E supk P fx+Z A nAg x2R Chú ỵ rng Z l tng chu'n hâa cıa n i b£n ºc l“p cıa X Do â sß dưng gi£ thi‚t quy n⁄p v l“p lu“n t÷ìng tü tł 3.29 - 3.38 ta câ: " P fx+Z A nAg n i+bk " Ănh giĂ E ỵ rng ; 1 v [EjUj jhY1; Uij n ta câ: K‚t hổp biản ca 3.38 - 3.40 ta thu ữổc: jI1 Tữỡng tỹ chứng minh ca 3.41 ta cõ: jJ1 BƠy gií tł 3.37 k‚t hỉp 3.41, 3.42 cho ta 3.36 vợi Vy 3.36 ữổc chứng minh BĐt flng thức 3.36 k†o theo 3.23 Thüc v“y: Sß dưng gi£ thi‚t quy n⁄p ta câ n i 44 M bk 3=2 (theo 3.9), Hìn nœa: v… i n0 = [n=2] m iP p =2 i Chøng minh 3.24 Trữợc ht ta cn chứng minh rng: 3=2 i n i(i 3=2 (i i + (n + (n Theo bŒ • 3.3 ta câ: Z ’(x) = ( A(x)="); j (t)jdt = R LĐy tch phƠn tng phn v sò dửng tnh chĐt (iii) ca lợp A ta thu ữổc: i =R (t=")d(P f A(Wi + R j R R sup i(B) B2A vỵi i(B) = jPfWi + U Bg PfWi + V Bgj Do â ta câ th” thay i bði i 3.43, 3.44 Sß dưng k‰ hi»u 3.19, 3.20 ta câ: i(B) = jPfY= + U + Z Bg PfY= + V + Z Bgj Thay bi‚n y bði y= + U = u ta câ: R IfY= + U + Z Bgp(y)dy i(B) = E Rk E I k Z R (t=") 45 â: p dưng khai tri”n taylor vỵi s = cho h m m“t º p vỵi h = U v h = V, thay bi‚n u U = y; u V = y, sß dưng U v V câ cịng k… vång v covarian, ta thu ÷ỉc: vợi: I0 J0 Sò dửng 3.45 v 3.12 (b ã 3.5) ta câ: Z jI0j = E(1 ) p000 k R T÷ìng tü ta câ: jJ0j V“y: i(B) jI0j + jJ0j Tł °t â suy 3.44 = n=(n i) Gåi Z l tŒng chu'n hâa cıa n - i vectỡ ngÔu nhiản c lp phƠn phi vợi X p dửng 3.45 cho tĐt cÊ cĂc bin ngÔu nhiản c lp ngoi tr Z v theo gi£ thi‚t quy n⁄p ta câ: jI0j n kI2 + jI3j 46 = = â: 2= I I3 = := I4 R Rk Ta câ th biu din I4 dữợi dng: ZZ I4 = Ifx + U + z Bgp k 000 k k ( x)U p( z) dx dz k R R ” ¡nh gi¡ I4 ta dịng ph†p t‰ch ph¥n tłng phƒn Thay bi‚n x bði x + z = y v k‰ hi»u @h[z] l I4 = = Do â: jI4j Z k R Sü x¡c ành cıa t‰ch ph¥n cuŁi cịng 3.47 l k‚t hỉp cĂc biản 3.46 ta ữổc: 2( ni n 3=2 + n 3=2 ) = [ n i(i 1) 3=2 + (n i) 3=2 3=2 + (n i) 3=2 ] (3.48) Chøng minh t÷ìng tü ta câ: 3( ni n 3=2 + n 3=2 ) = [ n i(i 1) ] (3.49) K‚t hæp 3.45, 3.48, 3.49 ta thu ÷ỉc 3.43 Dịng 3.43 k‚t hæp gi£ thi‚t quy n⁄p n i 47 2M bk k n0 v i= P 3=2 m+1 (k 1) Ta câ: m+1 + ::: + 20M bk p n 10 + pn m V… bk n¶n bĐt flng thức trản suy 3.24 vợi c5 20; c6 10 Chøng minh 3.25 p dưng 3.44 vỵi k > n0 =[n/2] LĐy tng ca cĂc biản cĂc bĐt flng thức õ v sò dửng: X ta thu ữổc 3.25 vợi c7 20 CĂc biản 3.22 - 3.25 k†o theo bi¶n mong muŁn cho n Th“t v“y, tŒng cıa c¡c b§t flng thøc 3.22 - 3.25, dịng 3.16 v chån " = a vỵi a M Vỵi c8 = c8(c1; :::; c7); c9 = c9(c8), ta câ: n bk bk ” chøng minh n M bk ta cƒn ch¿ ra: Ta chån m - cho 2 m â h‹ng sŁ c10 Chån a = 2c10 v M = 10c10 th… 3.51 ln óng V“y n M bk Vỵi c¡c h‹ng sŁ ÷ỉc chån 3.21 th… c 10 10 nản M 100 nh lỵ 3.1 ữổc chứng minh 48 3.2 Trữớng hổp khổng phƠn b Sỹ phử thuºc cıa c“n Berry Esseen v o sŁ chi•u k  ữổc ã cp bi nhiãu tĂc giÊ nhữ : Nagaev (1976), Senatov (1980), Sazonov (1981), Gotze (1991) Sau ¥y l k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa Bentkus (2003): n P X(i) nh lỵ 3.2 Cho X(1); X(2); : : : ; X(n) l cĂc vectỡ ngÔu nhiản c lp nhn gi¡ trà Rk cho EX(i) = 0; 8i t S = i=1 GiÊ sò hiằp phữỡng sai cıa S, k‰ hi»u covS = C kh£ nghàch Z l vectỡ ngÔu nhiản cõ phƠn phi chu'n hõa k chi•u cho EZ = v covZ = covS, tøc l : 2 C x; x = EhS; xi = EhZ; xi ; 8x R k k A l lợp tĐt cÊ cĂc lỗi A R , k‰ hi»u: (A) = sup jP (S A) P (Z A)j A2A = + + ::: + n; i = E C Xi Khi õ tỗn ti hng s tuyằt i c cho : (A) c:k 1=4 Tuy nhi¶n sü phư thuºc v o k (3.52) l (3.52) ¢l ti ữu chữa, Ơy vÔn cƠu họi m Nagaev (1976) ¢ ch¿ ra: (A) ck vỵi ck c0; c0 l h‹ng sŁ tuy»t Łi Nh÷ v“y h‹ng sŁ (A) ck thọa mÂn c0 1=4 ck c:k nh lỵ 3.2 trản ch l trữớng hổp riảng ca nh lỵ 3.3 sau Ơy: 49 k nh lỵ 3.3 Cho A l lợp tĐt cÊ cĂc lỗi A R thọa mÂn iãu kiằn : i A bĐt bin vợi ph†p bi‚n k k Œi afin Łi xøng, tøc l : DA + a A , k vỵi a R ; D : R ! R l to¡n tò i xứng khÊ nghch ii A bĐt bin dữợi t¡c ºng cıa " - l¥n c“n, tøc l : n‚u A A , " " A H " > th… A ; A A â: " A = " x = f m ph¥n phŁi tiảu chu'n k chiãu vợi h m mt : (x) = (2 ) k=2 e xj2=2 ;x2R k thäa m¢n: 8A A; " > 0, tỗn ti hng s ak = ak(A) phö thuºc v o k v A cho: " (A nA) " ak"; (AnA ) ak" Khi õ tỗn ti hng s M cho: n M bk vỵi bk = max(1; ak) Do phƒn chøng minh tữỡng i phức nản ã t i n y t¡c gi£ ch¿ ìn gi£n ph¡t bi”u ành lỵ m khổng trnh b y chi tit chứng minh nh lỵ n y 50 Kt lun Sau mt giới gian nghiản cứu, vợi sỹ giúp ù ca thy cổ, ã t i  t ữổc nhng kt quÊ sau: Tâm l÷ỉc ÷ỉc mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n ca lỵ thuyt xĂc suĐt liản quan n ã t i, nh‹m mưc ‰ch bŒ trỉ ki‚n thøc ” ng÷íi åc d„ d ng hìn ti‚p c“n c¡c ch÷ìng sau Trnh b y ữổc cĂc vĐn ã cỡ bÊn ca bĐt flng thức Berry Esseen mt chiãu bao gỗm: phĂt biu, chứng minh nh lỵ cho cĂc trữớng hổp khĂc nhau, giợi thiằu khĂi quĂt vã lch sò v ÷a mºt v i øng dưng cıa b§t flng thøc Berry Esseen mºt chi•u Ti‚p ‚n t¡c gi£ khai thĂc, m rng bĐt flng thức Berry Esseen cho trữớng hỉp nhi•u chi•u V… ki‚n thøc l mºt kho t ng phong phú nản cõ th cặn nhiãu vĐn ã liản quan n bĐt flng thức Berry Esseen m chữa ÷ỉc t¡c gi£ • c“p • t i n y Knh mong quỵ th y cổ v bn ồc tip tửc b sung, gõp ỵ ã t i ho n thi»n hìn 51 T i li»u tham kh£o [1] Nguy„n Vi‚t Phó - Nguy„n Duy Ti‚n Cì sð lỵ thuyt xĂc suĐt, NXB i hồc Quc gia H Nºi, n«m 2002 [2] Yuan Shih Chow, Henry Teicher, Probability Theory, 1978 by Springer - Verlag New York Inc, p 290-299 [3] V Bentkus, 2003, On the dependence of the Berry-Esseen bound on dimention, Journal of Statistical Planning and Inference, 113 (2003), p 385-402 [4] d V Bentkus, 2003, A Lyapunov type bound in R , Institute of mathe-matics and nformatics, (2003), p 1-16 [5] L H Y Chen and Q M Shao, A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein’s method, Probab Theory Related Fields, 120 (2001), 236-254 52 ... Berry - Esseen" Chữỡng n y tĂc giÊ trnh b y vã bĐt flng thức Berry Esseen mt chiãu 2.2 BĐt 2.2.1 flng thức Berry Esseen ãu Trữớng hổp phƠn b nh lỵ sau Ơy ữổc ÷a ºc l“p bði Berry n«m 1941 v Esseen. .. flng thøc Berry - Esseen mt chiãu 2.1 Giợi thiằu chung 2.2 B§t flng thøc Berry Esse 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 B§t flng thøc Berry Esse 2.3.1 2.3.2 2.3.3 B§t flng thøc Berry - Esseen nhiãu... flng thức Berry - Esseen ta cõ th xĂc nh cù mÔu ti thiu n nhä hìn ¡ng k” so vỵi k‚t qu£ câ ữổc bng cĂc phữỡng phĂp khĂc Vợi ỵ nghắa thit thỹc nhữ vy, tĂc giÊ nghiản cứu ã t i "BĐt flng thức Berry