Các phương pháp giải toán hình học tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ LIÊN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chun ngành: PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2015 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Một số phƣơng pháp .4 1.1 Nguyên lí Đirichlê 1.2 Nguyên lí cực hạn 16 1.3 Phương pháp đồ thị, tô màu 20 1.4 Phương pháp tạo đa giác bao 26 1.5 Phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình 30 Chƣơng Một số dạng tốn hình học tổ hợp thƣờng gặp 33 2.1 Hệ điểm đường thẳng 33 2.2 Điểm nằm hình 36 2.3 Hình nằm hình 41 2.4 Phủ hình 44 2.5 Hình giao 47 2.6 Đếm yếu tố hình học 54 2.7 Đánh giá độ dài, góc, diện tích 64 Chƣơng Một số đề thi có nội dung hình học tổ hợp .67 3.1 Đề thi tuyển sinh chuyên 67 3.2 Đề thi học sinh giỏi 76 3.3 Đề thi đề nghị Olympic truyền thống 30/4 lần XX - năm 2014 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 82 Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những tốn liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều toán phát biểu đơn giản, thấy để giải cần trang bị kiến thức riêng hình học tổ hợp hình học Khi tốn trở nên dễ dàng Tuy nhiên có địi hỏi kiến thức chun sâu, chí có nhiều hình học tổ hợp tổng qt cho khơng gian chưa có lời giải Hình học tổ hợp coi nội dung dành cho học sinh khá, giỏi bậc Trung học sở thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic truyền thống 30/4,… Luận văn đưa số cách giải cho hình học tổ hợp xuất kì thi thời gian qua, tài liệu tham khảo cho học sinh khá, giỏi từ lớp Bố cục luận văn gồm ba chương Chương Một số phương pháp Chương trình bày phương pháp vận dụng để giải tốn hình học tổ hợp như: Nguyên lí Đirichlê; nguyên lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản chứng sử dụng nhiều đan xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa tốn hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình giao nhau; đếm yếu tố hình học; đánh giá độ dài, góc, diện tích Chương Một số hình học tổ hợp đề thi Chương đưa số hình học tổ hợp có đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh, đề thi tuyển sinh THPT chuyên, đề thi Olympic Toán học Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Vũ Đỗ Long dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo, tận tình giúp đỡ em trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập trường Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Thị Liên Chƣơng Một số phƣơng pháp Trước vào số phương pháp để giải tốn hình học tổ hợp, ta xét khái niệm sau + Một hình F gọi lồi với hai điểm A B thuộc F , đoạn thẳng nối hai điểm A , B thuộc F + Khoảng cách lớn hai điểm hình lồi đường kính hình lồi 1.1 Ngun lí Đirichlê Người đề xuất ngun lí cho nhà tốn học Đức Johann Đirichlê ông đề cập tới nguyên lí với tên gọi “nguyên lí ngăn kéo” (The Drawer Principle) Ngồi ngun lí cịn biết đến nguyên lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lí lồng nhốt thỏ Nguyên lí Đirichlê phát biểu năm 1834 “Nguyên lý Đirichlê dạng cổ điển thường dùng để chứng minh tồn theo kiểu không xây dựng (non-constructive), tức biết đối tượng tồn không cụ thể.” (Trích giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ toán học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1 31/1/2010.) a) Nguyên lí Đirichlê Nhốt n +1 thỏ vào n lồng tồn lồng có hai thỏ b) Ngun lí Đirichlê tổng quát Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp, N khơng chia hết cho k , tồn N hộp chứa   +1 đồ vật k (Ở đây, [x] số nguyên lớn có giá trị nhỏ x ) Chứng minh Giả sử hộp chứa N k   k Điều mâu thuẫn với giả thiết có N đồ vật đặt vào hộp c) Nguyên lí Đirichlê đối ngẫu Cho tập hữu S + S + + chung k +1 tập Si , i = Ở S số phần tử tập hợp S Si , i =1, n số phần tử tập hợp Si d) Nguyên lí Đirichlê cho diện tích Nếu K hình phẳng, K1 , K , , Kn hình phẳng cho K i ⊆ K với i =1, n , | K |1 Xét hình trịn ( B;1) Lấy C điểm số 43 điểm cho cho C ≠ A, C ≠ B Theo giả thiết dựa vào AB >1, ta có Min {CA, CB} 100 diện tích hình vng mở rộng Vậy có hai hình trịn có điểm chung khoảng cách tâm chúng nhỏ cm Bài 3.17 (THPT Nguyễn Huệ - Phú n) Cho hình vng ABCD có cạnh AB =14 cm , hình vng có đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn có bán kính cm chứa bốn điểm số điểm Hƣớng dẫn giải Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng có cạnh Khi có hình vng chứa bốn điểm Ta chứng minh bán kính hình trịn ngoại tiếp hình vng nhỏ nhỏ cm 14 cm 78 Bài 3.18 (THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Vĩnh Long) Trong hình chữ nhật kích thước × ta lấy 6n2 +1 điểm, với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn bán kính n chứa khơng bốn điểm số điểm cho Hƣớng dẫn giải Chia hình chữ nhật thành hai hình vng ×1 Khi tồn hình vng ×1 chứa 3n2 +1 điểm Xét hình vng chứa 3n2 +1 điểm, chia cạnh hình vng thành n đoạn nhau, đoạn có độ dài chia 3n2 +1 điểm vào n2 hình vng tồn hình vng cạnh bốn điểm Gọi hình vng có chứa bốn điểm ABCD , tâm O Đường trịn ngoại tiếp hình vng Do hình trịn tâm O bán kính điểm Ta có điều cần chứng minh Bài 3.19 (THPT chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận) Cho đa giác đơn 12 (không thiết lồi) có chu vi Chứng minh phủ kín đa giác hình trịn có bán kính Hƣớng dẫn giải Xem Bài 3.3 79 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau - Luận văn hệ thống phân loại số phương pháp số dạng toán thường gặp hình học tổ hợp - Luận văn sưu tập nhiều tốn hình học tổ hợp hay kì thi học sinh giỏi Trung học sở, Olympic 30/4 Dù có cố gắng trình làm luận văn, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận bảo quý thầy góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng Các phương pháp kỹ thuật chứng minh, trình bày chương trình Gặp gỡ tốn học 2010 ĐHQG Tp.HCM tổ chức từ ngày 25/1-31/1/2010 Vũ Hữu Bình, Các tốn hình học tổ hợp dùng cho bậc trung học sở, NXB Giáo Dục, tái lần thứ hai http://diendantoanhoc.net/ http://tailieu.vn/ Nguyễn Mạnh Hà - Đoàn Thanh Tùng - Vũ Hữu Khương, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Trung học phổ thông chuyên, Nhà xuất Hà Nội, 2011 Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2005 Vũ Đình Hịa, Một số kiến thức sở hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2001 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TH1: Trường hợp TH2: Trường hợp THPT: Trung học phổ thông PTTH : Phổ thông trung học KHTN: Khoa học tự nhiên 82 ... 81 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 82 Lời nói đầu Hình học tổ hợp – phận hình học nói chung nhánh tổ hợp Những tốn liên quan đến hình học tổ hợp đa dạng nội dung phương pháp giải Nhiều tốn... xen phương pháp khác Chương Một số dạng tốn hình học tổ hợp thường gặp Chương đưa tốn hình học tổ hợp cụ thể, xếp theo dạng: Hệ điểm đường thẳng; điểm nằm hình; hình nằm hình; phủ hình; hình. .. vận dụng để giải tốn hình học tổ hợp như: Ngun lí Đirichlê; nguyên lí cực hạn; phương pháp đồ thị, tô màu; phương pháp tạo đa giác bao; phương pháp mở rộng, thu nhỏ hình Ngồi phương pháp phản chứng