Nghiên cứu động lực học của dầm kép có vết nứt chịu tác dụng của tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ BÙI TUẤN ANH NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ BÙI TUẤN ANH NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT MÃ SỐ: 60520101 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN VIỆT KHOA Hà Nội - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn: “Nghiên cứu động lực học dầm kép có vết nứt chịu tác dụng tải trọng di động phục vụ cho việc giám sát kết cấu” cơng trình nghiên cứu riêng với hướng dẫn TS Nguyễn Việt Khoa Các số liệu nêu trích dẫn luận văn trung thực, chép tồn văn tài liệu, cơng trình nghiên cứu khác mà không rõ tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn Bùi Tuấn Anh LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Việt Khoa – cán hướng dẫn Thầy tận tình bảo giúp đỡ tơi nhiều suốt q trình làm luận văn Nhờ đó, tơi học tập nhiều kiến thức bổ ích Thầy truyền cho niềm say mê phương pháp nghiên cứu khoa học kinh nghiệm vô quý giá Tôi xin chân thành cảm ơn cán Khoa Cơ học kỹ thuật – Đại học Công Nghệ tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người thân động viên, khích lệ tinh thần suốt trình học tập thực đề tài Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn Bùi Tuấn Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN 1.1 Dao động hệ dầm kép tác động xe di chuyển, bỏ qua độ mấp mô mặt dầm 1.2 Dao động hệ dầm kép tác động xe di chuyển có xét đến độ mấp mô mặt dầm 10 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWMARK 12 2.1 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn 12 2.2 Rời rạc hóa kết cấu dầm xác định ma trận phần tử 13 2.3 Xác định ma trận khối lượng, độ cứng phần tử dầm có vết nứt 17 2.4 Ghép nối ma trận phần tử thành ma trận tổng thể dầm 19 2.5 Áp đặt điều kiện biên 23 2.6 Xác định ma trận cản Rayleigh 24 2.7 Phương pháp giải toán động lực học dầm Newmark 24 CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET 26 3.1 Biến đổi wavelet liên tục biến đổi ngược 26 3.2 Biến đổi wavelet rời rạc biến đổi ngược 27 3.3 Ví dụ áp dụng biến đổi wavelet phát thay đổi đột ngột tín hiệu ………………………………………………………………………….28 CHƯƠNG 4: MƠ PHỎNG SỐ VÀ BIỆN LUẬN 31 4.1 Ảnh hưởng độ cứng hệ số cản môi trường đàn hồi hai dầm ………………………………………………………………………….31 4.2 Ảnh hưởng đồng thời biên độ chiều dài mấp mô tới chuyển vị hệ dầm 32 4.3 Ảnh hưởng đồng thời biên độ mấp mô vận tốc xe tới chuyển vị hệ dầm 33 4.4 Ảnh hưởng đồng thời chiều dài mấp mô vận tốc xe tới chuyển vị hệ dầm 36 4.5 Ảnh hưởng đồng thời chiều dài mấp mơ vị trí vết nứt dầm tới chuyển vị hệ dầm 38 4.6 Xác định vị trí vết nứt 40 4.6.1 Mặt dầm phẳng 40 4.6.2 Mặt dầm mấp mô 42 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 48 PHỤ LỤC: CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH 55 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: Ảnh hưởng βm ζm tới chuyển vị lớn dầm (đơn vị: mm) 31 Bảng 2: Ảnh hưởng βm ζm tới chuyển vị lớn dầm phụ (đơn vị: mm) 32 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Mơ hình hệ dầm kép xe, bỏ qua độ mấp mô mặt dầm Hình 1.2 Mơ hình hệ dầm kép xe, có xét đến độ mấp mơ mặt dầm 11 Hình 2.1 Rời rạc hóa kết cấu 13 Hình 2.2 Chuyển vị nút phần tử dầm 13 Hình 2.3 Biến dạng phần tử dầm chịu uốn 14 Hình 2.5 Mơ hình dầm có vết nứt 17 Hình 3.1 Tín hiệu f(t) với xung nhỏ ẩn điểm 150 ms 29 Hình 3.2 Biến đổi wavelet liên tục tín hiệu f(t) 29 Hình 3.3 Biến đổi rời rạc tín hiệu f(t) 30 Hình 4.1 Chuyển vị điểm dầm v = 10 m/s 33 Hình 4.2 Chuyển vị điểm dầm phụ v = 10 m/s 33 Hình 4.3 Chuyển vị điểm dầm lm = 1,34m 34 Hình 4.4 Chuyển vị điểm dầm phụ lm = 1,34m 34 Hình 4.5 Chuyển vị điểm dầm lm = 10m 35 Hình 4.6 Chuyển vị điểm dầm phụ lm = 10m 35 Hình 4.7 Chuyển vị điểm dầm dm = 0,1m 36 Hình 4.8 Chuyển vị điểm dầm phụ dm = 0,1m 36 Hình 4.9 Chuyển vị điểm dầm dm = 0,3m 37 Hình 4.10 Chuyển vị điểm dầm phụ dm = 0,3m 37 Hình 4.11 Chuyển vị điểm dầm dm = 0,5m, α = 0,107, độ sâu vết nứt 30% 39 Hình 4.12 Chuyển vị điểm dầm phụ dm = 0,5m, α = 0,107, độ sâu vết nứt 30% 39 Hình 4.13 Chuyển vị hai dầm với v = 2m/s, mặt dầm phẳng 40 Hình 4.14 Biến đổi Wavelet chuyển vị dầm chính, với vận tốc v = 2m/s 41 Hình 4.15 Biến đổi Wavelet chuyển vị dầm phụ, với vận tốc v = 2m/s 42 Hình 4.16 Chuyển vị hai dầm với v=2m/s, mặt dầm mấp mô 43 Hình 4.17 Biến đổi Wavelet chuyển vị dầm chính, với vận tốc v = 2m/s 43 MỞ ĐẦU Kết cấu dầm có vai trị quan trọng kỹ thuật, đặc biệt ngành khí, xây dựng Kết cấu dầm đơn quan tâm nghiên cứu nhiều Tuy nhiên kết cấu dầm kép chưa nghiên cứu đầy đủ Các nghiên cứu trước kết cấu dầm kép cịn nhiều hạn chế Z.Oniszczuk có nhiều nghiên cứu hệ kép [4], dầm kép [1] dây kép [8, 9] Trong nghiên cứu dao động cưỡng hai mỏng hình chữ nhật [4], liên kết với môi trường đàn hồi, chịu tải trọng phân bố tùy ý, tác giả đưa nghiệm giải tích tổng quát chưa giải thay đổi điều kiện biên xét đến tải trọng động Tương tự vậy, nghiên cứu hệ dầm kép [1], tác giả nghiên cứu dao động tự hệ mà chưa xét đến tải trọng động loại tải trọng khác Còn nghiên cứu dao động hệ hai dây liên kết với môi trường đàn hồi [8, 9], chịu tải trọng phân bố, phương trình dao động dây khác với phương trình dao động dầm H Erol M Gürgöze [10] nghiên cứu dao động dọc trục hệ thống hai dầm conson liên kết với môi trường đàn hồi Nhưng để giải hệ phương trình dao động, tác giả giả thiết hai dầm có độ cứng giống Do làm cho nghiên cứu khơng cịn mang tính tổng quát H V Vu đồng nghiệp [3] nghiên cứu dao động cưỡng hệ dầm kép, tác giả phải giả thiết hai dầm có độ cứng giống để giải hệ phương trình dao động Như vậy, đa số nghiên cứu chủ yếu tập trung vào nghiên cứu hệ dầm kép bao gồm hai dầm giống hệt khó khăn việc giải phương trình dao động hệ dầm kép gồm hai dầm khác Trong đó, kết cấu cấu tạo từ hệ hai dầm kép với hai dầm khác chưa quan tâm nhiều Để giải toán phức tạp dầm kép cấu tạo từ hai dầm khác phương pháp phần tử hữu hạn giải pháp thay cho lời giải giải tích Ngồi nghiên cứu dầm kép hầu hết dừng lại dầm ngun vẹn, cịn dầm kép có vết nứt, theo hiểu biết tốt tác giả luận văn này, chưa có tác giả khác nghiên cứu Vì lý kể trên, tác giả luận văn đề xuất nghiên cứu động lực học kết cấu hệ dầm kép có vết nứt chịu tác động tải trọng di động Trong nghiên cứu hệ dầm kép cấu tạo hai dầm khác Bài toán động lực học hệ dầm kép mơ hình hóa phương pháp phần tử hữu hạn giải phương pháp Newmark Nghiên cứu xét đến ảnh hưởng vết nứt đến dao động hệ dầm kép sử dụng biến đổi wavelet để phân tích liệu dao động hệ dầm nhằm phát vị trí vết nứt CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN 1.1 Dao động hệ dầm kép tác động xe di chuyển, bỏ qua độ mấp mơ mặt dầm Mơ hình hệ dầm kép xe thể hình 1.1 Trong xe mơ hình hóa gồm lốp thân xe vật thể cứng tuyệt đối Xe di chuyển với vận tốc v Độ mấp mô mặt dầm bỏ qua giả thiết bánh xe tiếp xúc với mặt dầm Hệ dầm kép gồm dầm liên kết với môi trường đàn hồi m v k1 D E1, I1, c1 y1 m2 u0 x cm k m E2, I2, D2 X L Y Hình 1.1 Mơ hình hệ dầm kép xe, bỏ qua độ mấp mô mặt dầm Phương trình dao động xe: (1.1) m1 y1+c1(y1 -u0 )+k1(y1 -u0 )=0 Phương trình dao động dầm [14]: * * M1D1 C1D1 (1.2) T K1D1 Km D1 D2 Cm D1 D2 N f0= m1+m2 g-m1 y1-m2u0 f0 (1.3) Phương trình dao động dầm phụ [14]: * M2D2 C2D2 K 2D2 Km D1 D2 * Cm D1 D2 (1.4) n Trong m1, m2 khối lượng thân xe lốp; k1 c1 độ cứng cản nhớt liên kết thân xe lốp xe; y1 chuyển vị theo phương thẳng đứng thân xe; u0 chuyển vị theo phương thẳng đứng lốp xe chuyển vị theo phương thẳng đứng dầm vị trí tiếp xúc với lốp xe M1, C1, K1 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Z Oniszczuk, Free transverse vibrations of elastically connected simply supported double-beams complex system, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 387–403 [2] Y.H Chen, J.T Sheu, Beam on visco elastic foundation and layered beam, Journal of Engineering Mechanics 121(1995), 340–344 [3] H.V Vu, A.M Ordonez, B.H Karnopp, Vibration of a double-beam system, Journal of Sound and Vibration (229) (2000) 807–822 [4] Z Oniszczuk, Forced transverse vibrations of an elastically connected complex rectangular simply supported double-plate system, Journal of Sound and Vibration (270) (2004) 997–1011 [5] Seelig JM, Hoppmann II WH Impact on an elastically connected double-beam system ASME, Journal of Applied Mechanics 1964; 31: 621–6 [6] Rao SS Natural vibrations of systems of elastically connected Timoshenko beams Journal of the Acoustical Society of America 1974; 55:1232–7 [7] M Shamalta, A.V Metrikine, Analytical study of the dynamic response of an embedded railway track to a moving load, Archive of Applied Mechanics (73) (2003) 131–146 [8] Z Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system—part I: free vibrations, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 355–366 [9] Z Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system—part II: forced vibrations, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 367386 H Erol, M Guă rgoă ze, Longitudenal vibrations of a double-rod system coupled by springs and dampers, Journal of Sound and Vibration (276) (2004) 419–430 [10] [11]G R Liu and S S Quek, The Finite Element Method: A Practical Course Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, 2003, Elsevier Science Ltd Nguyen V.K., Assessment and online mornitoring of the integrity of structures using vibration data processing, Luận án tiến sĩ 2007, Đại học Birmingham, Anh [12] 47 [13] Daubechies I., Ten lectures on wavelets CBMS-NSF Conference series, 61 Philadelphia, PA: SISAM, 1992 Khoa Viet Nguyen, Hai Thanh Tran, Mai Van Cao, Dynamic analysis of a cracked double beam subjected to a moving load using finite element analysis Hội nghị quốc gia Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 11, năm 2013 [14] Qian G L., Gu S N and Jiang J S., The Dynamic Behaviour and Crack Detection of a Beam with a Crack Journal of Sound and Vibration 1990,Vol.138 (2), 233–243 [15] Verboven P., Parloo E., Guillaume P and Overmeire M V., Autonomous Structural Health Monitoring – Part I: Modal Parameter Estimation and Tracking Mechanical Systems and Signal Processing 2002, Vol 16(4), 637-657 [16] Verboven P., Parloo E., Guillaume P and Overmeire M V., Autonomous Structural Health Monitoring – Part II: Vibration-based In-operation Damage Assessement Mechanical Systems and Signal Processing 2002, Vol 16(4), 659675 [17] Newmark, N.M "A Method of Computation for Structural Dynamics" ASCE Journal of Engineering Mechanics Division, Vol 85 No EM3, pp 67-94, 1959 [18] 48 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ Khoa Viet Nguyen, Anh Tuan Bui, Simultaneous influences of surface irregular parameters and moving speed on dynamic response of a double beam subjected to moving vehicle – The 3rd International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3) Hanoi, October 15, 2014 Khoa Viet Nguyen, Oluremi A Olatunbosun, Anh Tuan Bui, Dynamic analysis of a cracked double beam subjected to moving vehicle and its application for crack detection – Báo cáo trình bày Hội nghị Cơ học toàn quốc Viện Cơ học ngày 9/4/2014 49 Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học Hà Nội, 09/04/2014 Dynamic analysis of a cracked double beam subjected to moving vehicle and its application for crack detection Khoa Viet Nguyen1, Anh Tuan Bui2 Institute of Mechanics Water Resources University Email: nvkhoa@imech.ac.vn Abstract This paper present a wavelet based method for crack detection of a double beam subjected to a moving vehicle The double beam consists of different main and auxiliary beams connected together through an elastic medium with the distributed stiffness km and damping cm The main beam is cracked and is subjected to a moving vehicle with different velocities The dynamic responses of the double beam are analyzed by applying finite element method The crack is detected by using wavelet transform since it can be used to analyze locally details in signals Vibration equations of vehicle-double beam system and the brief introduction of wavelet transform are presented Numerical results are also provided Keywords: double beam, crack, crack detection, wavelet, wavelet transform Introduction Beam components are very important elements in civil, mechanical, and aeronautical engineering The vibration problem of single beams is very good developed and explored in details in hundreds of contributions The vibration problem of a single beam has been analysed and presented in many publications While, only few studies for the vibration problem of double-beam systems have been carried out due to the difficulty in solving the governing coupled partial differential equations Oniszczuk [1] investigated the eigenfrequencies and mode shapes of two parallel simply supported beams continuously joined by a Winkler elastic layer In this study, the effect of physical parameters characterizing the vibrating system on the natural frequencies is also investigated Chen and Sheu [2] modelled a composite material by elastically connected beams to study the vibration of an axially loaded double Timoshenko beam Vu et al [3] proposed an exact method for analyzing the vibration of a double-beam system subjected to a harmonic excitation Oniszczuk [4] studied undamped forced transverse vibrations of an elastically connected simply supported double-beam system subjected to arbitrarily distributed continuous loads using the modal expansion method Hoppmann [5] developed a method to solve the differential equations of motion of an elastically connected double-beam system subjected to an impulsive load Rao [6] investigated the free response of Timoshenko beam systems in which the effects of rotary inertia and shear deformation were taken into account Shamalta and Matrikine [7] studied the steady-state dynamic response of an embedded railway track subjected to a moving train The track consists of two beams connected to a plate by continuous viscoelastic elements and an elastic foundation that supports the plate In some other works, double-string and double-rod systems are investigated [8–10] However, in these researches the intact double beams are investigated while the cracked double beams are not Therefore, in this paper the dynamic response of the cracked double beam subjected to a moving vehicle will be examined and its application for crack detection will be addressed Vibration equation of a double beam subjected to moving vehicle In this study, the double-beam system is considered as Euler–Bernoulli beams consisted of the main beam and auxiliary beam subjected to a moving vehicle as shown in Fig The double-beam system is modeled as Q double-beam elements in finite element analysis The elastic medium between a two double-beam elements is modeled as distributed spring and damper as presented in Fig The governing motion equation of the vehicle-double beam system can be written as follows [11] M1D1 C1D1 K1D1 Km D1 K M2D2 C2D2 2D2 f = m1 +m2 g m1 y1 * N T f0 (1) (2) Cm D1 D2 * m1 y1+c1( y1 * * D2 * Km D1 D2 * Cm D1 D2 u0 )+k1( y1 u0 )=0 m2 u0 Where K m , C m are global stiffness and damping matrices of the elastic medium: (3) (4) 50 * km T km * cm N Nd ; T cm N Nd (5) and M1, M2, K1, K2, are global structural mass, stiffness matrices respectively; D and D2 are column vectors which denotes the nodal displacements of the main and auxiliary beams, respectively The Rayleigh damping in the form of C M K is used for both beams f0 is the interaction force between the vehicle and the double beam y1 m1 v k E1, I1, D u0 m x Y D c cm .k m E2, I2, 2 X L Fig A double-beam subjected to a moving vehicle Rewritten Eqs (1) to (4) in the form of matrix we have: m1 mN T c y1 * c N C * 0 Cm M k1 D Cm 0y1 N * D C C * m D (7) T c1.x.Nx K y1 * * K K * * m K m K * Km where M* * C Cm M1M 0D1 k1 1 * K m2 NT N;C* D m D (m m ).g.N 2 2m2 xNT Nx ; K* m2 x2 NT Nxx Wavelet transform The continuous wavelet transform is defined as follows [12]: W (a,b) * f (t) a t b dt (8) a Where a is a real number called scale or dilation, b is a real number called position, W(a,b) are wavelet coefficients at scale a and position b, f(t) is input signal, complex conjugate of t b t b a is wavelet function and * a t b is a Numerical simulation Parameters of the beam are: mass density is 7860 kg/m 3; modulus of elasticity E=2,1x10 11 N/m2; length L=50 m; width of main beam b=0,5 m; height of main beam h=1 m; width of auxiliary beam b=0,25 m; height of auxiliary beam h=0,5m; modal damping ratios for all modes are equal to 0,01 Crack is located at position L/3 and 2L/3 51 4.1 Dynamic response of the double beam subjected to the moving vehicle Figs from to present the displacements of two beams with different vehicle speeds and different crack depths As can be seen from these figures, when the vehicle velocity is 2m/s the maximum displacement of the main beam is larger than the auxiliary beam When the velocity is 20m/s the maximum displacements of the two beams are quite similar When the crack depth increases, the maximum displacements of the two beams increase a) crack depth 0% b) crack depth 10% c) crack depth 20% d) crack depth 30% Fig Displacements of two beams with v=2m/s, solid line: main beam; dotted line: auxiliary beam a) crack depth 0% b) crack depth 10% 52 c) crack depth 20% d) crack depth 30% Fig Displacements of two beams with v=20m/s, solid line: main beam; dotted line: auxiliary beam 4.2 Crack detection using wavelet transform Fig Wavelet transform of the displacement of main beam, vehicle speed 2m/s: a) crack depth 10%; b) crack depth 20%; c) crack depth 30%; d) crack depth 40% 53 Fig Wavelet transform of the displacement of auxiliary beam, vehicle speed 2m/s: a) crack depth 10%; b) crack depth 20%; c) crack depth 30%; d) crack depth 40% Applying wavelet transform to analyse the displacements of the two beams when the vehicle speed is 2m/s, the crack position can be revealed As can be seen from Figs and when there are cracks, the wavelet transform of the displacements have significant peaks The positions of the vehicle corresponding to these peaks can be calculated from the vehicle speed and the positions of these peaks in the wavelet transforms It is interesting that these peaks correspond to the positions of the cracks Therefore, the position of the crack can be determined by the positions of the peaks in wavelet transform It is also observed from these figures that, when the crack depth increases, the peak values increase Conclusion In this study, the dynamic response of the double beam consisting of different main and auxiliary beams is investigated The displacement of the double beam depends on the vehicle speed When the speed is as small as 2m/s the maximum displacement of the main beam is larger than the auxiliary beam When the speed is 20m/s the maximum displacements of the two beams are quite similar The wavelet transform is also applied for crack detection There are significant peaks when the vehicle passes by the cracks The crack locations can be calculated from the speed and the location of the peaks in the wavelet transform When the crack depth increases, the peak values in the wavelet transform increase These results can be applied for crack detection Acknowledgement This paper was sponsored by the Vietnam National Foundation for Science and Technology Development (NAFOSTED) 2014-2016 References [1] Z Oniszczuk, Free transverse vibrations of elastically connected simply supported double-beams complex system, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 387–403 54 [2] Y.H Chen, J.T Sheu, Beam on visco elastic foundation and layered beam, Journal of Engineering Mechanics 121(1995), 340–344 [3] H.V Vu, A.M Ordonez, B.H Karnopp, Vibration of a double-beam system, Journal of Sound and Vibration (229) (2000) 807–822 [4] Z Oniszczuk, Forced transverse vibrations of an elastically connected complex simply supported double-beam system, Journal of Sound and Vibration (264) (2003) 273–286 [5] Seelig JM, Hoppmann II WH Impact on an elastically connected double-beam system ASME, Journal of Applied Mechanics 1964; 31: 621–6 [6] Rao SS Natural vibrations of systems of elastically connected Timoshenko beams Journal of the Acoustical Society of America 1974; 55:1232–7 [7] M Shamalta, A.V Metrikine, Analytical study of the dynamic response of an embedded railway track to a moving load, Archive of Applied Mechanics (73) (2003) 131–146 [8] Z Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system—part I: free vibrations, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 355–366 [9] Z Oniszczuk, Transverse vibrations of elastically connected double-string complex system—part II: forced vibrations, Journal of Sound and Vibration (232) (2000) 367–386 [10] H Erol, M Guă rgoă ze, Longitudenal vibrations of a double-rod system coupled by springs and dampers, Journal of Sound and Vibration (276) (2004) 419–430 [11]G R Liu and S S Quek, The Finite Element Method: A Practical Course Linacre House, Jordan Hill, Oxford OX2 8DP, 2003, Elsevier Science Ltd 55 PHỤ LỤC: CHƯƠNG TRÌNH MÁY TÍNH function damkep2=ff(x) global sdof D0 m1 m2 N0 M0 clc %1 Nhap thong so de bai (don vi kg N m) L = 50; ne = 50; Le = L/ne; sdof = 2*(ne+1); b1 = 0.5; h1 = 1; % kich thuoc dam tren b2 = 0.25; h2 = 0.5; % kich thuoc dam duoi A1=b1*h1; A2=b2*h2; % Dien tich mat cat ngang (m2) k3 = 5e4; c3 = 1e3; % moi truong giua dam E = 2.1e11; ro = 7860; Ci1 = 0.01; Ci2 = 0.01; % he so can modal tuong ung voi tan so thu nhat va thu I1 = b1*h1^3/12; I2 = b2*h2^3/12; m1 = 500; m2 = 500; k1 = 1e6; c1 = 7e3;% xe chay tren dam x = 0; v = 20; Lc=[L/3 2*L/3]; ncrack=size(Lc,2); gama = 0.5; beta = 0.25; sobuoc=512; buoctichphan=100; dt=L/v/sobuoc; aa=0.3; % crack depth % co vet nut nam o vi tri 1/3 va 2/3 chieu dai dam tren %2 Ghep noi ma tran cung, khoi luong cua dam don K1 = zeros(sdof,sdof); K2 = zeros(sdof,sdof); M1 = zeros(sdof,sdof); M2 = zeros(sdof,sdof); % Khoi tao ma tran index=zeros(4,1); % Khoi tao vector chi so ghep noi [Ke1,Me1] = bernoulli(Le,A1,E,ro,I1); [Ke2,Me2] = bernoulli(Le,A2,E,ro,I2); for iel=1:ne start = (iel-1)*2; for i=1:4 index(i)=start+i; end K1 = ghepnoimatran(K1,Ke1,index); M1 = ghepnoimatran(M1,Me1,index); K2 = ghepnoimatran(K2,Ke2,index); M2 = ghepnoimatran(M2,Me2,index); end %3 Tinh lai ma tran cung cua dam co vet nut - if(aa~=0) % if crack Tc = [-1 -Le -1 0 1]; C0 = [Le^3/3/E/I1,Le^2/2/E/I1;Le^2/2/E/I1,Le/E/I1]; dx=aa/buoctichphan; x=dx; xx=[0:buoctichphan]*aa/buoctichphan; for iii=1:buoctichphan+1 x=x+dx; f1(iii) = x*(2/(pi*x/h1)*tan(pi*x/h1/2))*(0.923+0.199*(1sin(pi*x/h1/2))^4)^2/(cos(pi*x/h1/2))^2; f2(iii) = x*(3*x/h1-2*x^2/h1^2)^2*(1.1220.561*x/h1+0.085*x^2/h1^2+0.18*x^3/h1^3)^2/(1-x/h1); end R1=trapz(xx,f1); R2=trapz(xx,f2); m = pi/E/b1/h1^2; n = 18*pi/E/b1/h1^4; 56 C11 = [n*Le^2*R1+2*m*R2,2*n*Le*R1;2*n*Le*R1,4*n*R1]; %E' = E, he so poatson bang Cc = C0+C11; Kce = Tc*inv(Cc)*Tc'-Ke1; Kc = zeros(sdof,sdof); index=zeros(4,1); % Khoi tao vector chi so ghep noi for iii=1:ncrack iel = round(Lc(iii)/L*ne)+1; start = (iel-1)*2; for i=1:4 index(i)=start+i; end for i=1:4 ii=index(i); for j=1:4 jj=index(j); Kc(ii,jj)= Kc(ii,jj)+Kce(i,j); end end end K1c = K1+Kc; elseif (aa==0) K1c = K1; end %4 Tinh ma tran C cua dam [K1c,K2,M1,M2]=dkb(K1c,K2,M1,M2,sdof); fre1=eig(K1c,M1); % Giai phuong trinh gia tri rieng fre1=sqrt(fre1)/(2*pi); %hz f1 = fre1(1); f2 = fre1(2); lamd = 2*f1*f2*(Ci1*f2-Ci2*f1)/(f2^2f1^2); muy = 2*(Ci2*f2-Ci1*f1)/(f2^2f1^2); C1 = lamd*M1+muy*K1c;% Dam tren fre2=eig(K2,M2); % Giai phuong trinh gia tri rieng fre2=sqrt(fre2)/(2*pi); %hz f1 = fre2(1); f2 = fre2(2); lamd = 2*f1*f2*(Ci1*f2-Ci2*f1)/(f2^2f1^2); muy = 2*(Ci2*f2-Ci1*f1)/(f2^2f1^2); C2 = lamd*M2+muy*K2; dx=Le/buoctichphan; x=dx; xx=[0:buoctichphan]*Le/buoctichphan; for iii=1:buoctichphan+1 x=x+dx; Nt = [1-3*(x/Le)^2+2*(x/Le)^3 x-2*(x^2/Le)+x^3/Le^2 3*(x/Le)^2-2*(x/Le)^3 -x^2/Le+x^3/Le^2]; Cm(iii,:,:) = c3*Nt*Nt'; Km(iii,:,:) = k3*Nt*Nt'; end for i=1:4 for j=1:4 Y1=Cm(:,i,j); Y2=Km(:,i,j); Cmsao(i,j)=trapz(xx,Y1);% ma tran can cua moi truong Kmsao(i,j)=trapz(xx,Y2);% ma tran cung cua moi truong end end K3 = zeros(sdof,sdof); C3 = zeros(sdof,sdof); for iel=1:ne 57 start = (iel-1)*2; for i=1:4 index(i)=start+i; end C3 = ghepnoimatran(C3,Cmsao,index); K3 = ghepnoimatran(K3,Kmsao,index); end C3(1,:) = [];% ap dieu kien bien C3(:,1) = []; C3(:,(sdof-2)) = []; C3((sdof-2),:) = []; K3(1,:) = [];% ap dieu kien bien K3(:,1) = []; K3(:,(sdof-2)) = []; K3((sdof-2),:) = []; %5 Tinh toan dong theo Newmark - dx=L/sobuoc; dt=dx/v; di=zeros(sobuoc,1); di1=zeros(sobuoc,1); time=zeros(sobuoc,1); count=2; U0=zeros((sdof-2)*2+1,1);% gia tri ban dau Ud0=zeros((sdof-2)*2+1,1); Udd0=zeros((sdof-2)*2+1,1); t=0; N0=zeros(1,sdof-2); D0=zeros(sdof-2,1); M0=zeros(sdof-2,sdof-2); % Tai moi buoc tinh -for i=1:sobuoc1 t=t+dt; Nc = tinhNc(t,v,sdof,Le); Nx=tinhNx(t,v,sdof,Le); Nxx=tinhNxx(t,v,Le,sdof); M=tinhMtongthe(m1,m2,N0,M0,D0,Nc,M1,M2); C=tinhCtongthe(c1,m2,v,N0,D0,Nc,Nx,C1,C2,C3); K=tinhKtongthe(m2,v,Nc,Nxx,k1,c1,Nx,N0,D0,K1c,K3,K2); P=tinhPtongthe(m1,m2,Nc); Khh = K*beta*dt^2+M+C*gama*dt;% ma tran K huu hieu Phh = P-K*(U0+dt*Ud0+dt^2*(0.5-beta)*Udd0)-C*(Ud0+dt*(1-gama)*Udd0); % ma tran P huu hieu % Tinh chuyen vi, van toc tai thoi diem t+dt U_t=U0+dt*Ud0+dt^2*((0.5beta)*Udd0+beta*Udd); Ud_t=Ud0+dt*((1gama)*Udd0+gama*Udd); U0=U_t; Ud0=Ud_t; Udd0=Udd; di(count)=U_t(sdof/2); di1(count)=U_t(1.5*sdof2); time(count)=t; count=count+1; end %-End of calculation save -ASCII 'E:/luanvan/ketquamatlab/van toc 20m/chuyen vi dam chinh(a=0).txt' di; save -ASCII 'E:/luanvan/ketquamatlab/van toc 20m/chuyen vi dam phu(a=0).txt' di1; figure;plot(time*v,di,'-r',time*v,di1,' b');xlabel('x [m]'); ylabel('U[m]'); % 58 function [Ke1,Me1] = bernoulli(Le,A1,E,ro,I1) Ke1 = (E*I1/Le^3)*[ 12 6*Le -12 6*Le 6*Le 4*Le^2 -6*Le 2*Le^2 -12 -6*Le 12 -6*Le 6*Le 2*Le^2 -6*Le 4*Le^2]; Me1 = (A1*ro*Le/420)*[ 156 22*Le 54 -13*Le 22*Le 4*Le^2 13*Le -3*Le^2 54 13*Le 156 -22*Le -13*Le -3*Le^2 -22*Le 4*Le^2]; function K1 = ghepnoimatran(K1,Ke1,index) for i=1:4 ii=index(i); for j=1:4 jj=index(j); K1(ii,jj)= K1(ii,jj)+Ke1(i,j); end end function [K1c,K2,M1,M2] = dkb(K1c,K2,M1,M2,sdof) K1c(1,:) = []; K1c(:,1) = []; M1(1,:) = []; M1(:,1) = []; K1c(:,(sdof-2)) = []; K1c((sdof-2),:) = []; M1(:,(sdof-2)) = []; M1((sdof-2),:) = []; K2(1,:) = []; K2(:,1) = []; M2(1,:) = []; M2(:,1) = []; K2(:,(sdof-2)) = []; K2((sdof-2),:) = []; M2(:,(sdof-2)) = []; M2((sdof-2),:) = []; function Nc = tinhNc(t,v,sdof,Le) ne1=fix(t*v/Le); ax=t*v-ne1*Le; Nc=zeros(sdof,1); Ne = [1-3*(ax/Le)^2+2*(ax/Le)^3 ax-2*(ax^2/Le)+ax^3/Le^2 3*(ax/Le)^2-2*(ax/Le)^3 -ax^2/Le+ax^3/Le^2]; for l=1:4 Nc(ne1*2+l)=Ne(l); end Nc(1) = []; % ap dieu kien bien Nc(sdof-2) = []; function Nx=tinhNx(t,v,sdof,Le) ne1=fix(t*v/Le); ax=t*v-ne1*Le; Nx = zeros(1,sdof); Nx1 = -6*ax/Le^2+6*ax^2/Le^3; Nx2 = 1-4*ax/Le+3*ax^2/Le^2; Nx3 = 6*ax/Le^2-6*ax^2/Le^3; Nx4 = -2*ax/Le+3*ax^2/Le^2; Nxe = [Nx1,Nx2,Nx3,Nx4]; 59 for l=1:4 Nx(ne1*2+l)=Nxe(l); end Nx(1) = []; % ap dieu kien bien Nx(sdof-2) = []; function Nxx=tinhNxx(t,v,Le,sdof) ne1=fix(t*v/Le); ax=t*v-ne1*Le; Nxx1 = -6/Le^2+12*ax/Le^3; Nxx2 = -4/Le+6*ax/Le^2; Nxx3 = 6/Le^2-12*ax/Le^3; Nxx4 = -2/Le+6*ax/Le^2; Nxxe = [Nxx1,Nxx2,Nxx3,Nxx4]; Nxx = zeros(1,sdof); for l=1:4 Nxx(ne1*2+l)=Nxxe(l); end Nxx(1) = []; % ap dieu kien bien Nxx(sdof-2) = []; function M=tinhMtongthe(m1,m2,N0,M0,D0,Nc,M1,M2) global D0 m1 m2 N0 M0 Msao = m2*Nc*Nc'; N0 M = [m1 N0 m1*Nc M1+Msao M0 D0 M0 M2]; function C=tinhCtongthe(c1,m2,v,N0,D0,Nc,Nx,C1,C2,C3) Csao = 2*m2*v*Nc*Nx; C = [c1,-c1*Nc',N0;D0,C1+Csao+C3,-C3;D0,-C3,C2+C3]; function K=tinhKtongthe(m2,v,Nc,Nxx,k1,c1,Nx,N0,D0,K1c,K3,K2) Ksao = m2*v^2*Nc*Nxx; K = [k1,-c1*v*Nx-k1*Nc',N0;D0,K1c+Ksao+K3,-K3;D0,-K3,K2+K3]; function P=tinhPtongthe(m1,m2,Nc) global D0 Pe = -(m1+m2)*10*Nc;% g = 10 P = [0;Pe;D0]; ... trên, tác giả luận văn đề xuất nghiên cứu động lực học kết cấu hệ dầm kép có vết nứt chịu tác động tải trọng di động Trong nghiên cứu hệ dầm kép cấu tạo hai dầm khác Bài toán động lực học hệ dầm kép. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ BÙI TUẤN ANH NGHIÊN CỨU ĐỘNG LỰC HỌC CỦA DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG PHỤC VỤ CHO VIỆC GIÁM SÁT KẾT CẤU NGÀNH: CƠ HỌC... DAO ĐỘNG CỦA HỆ DẦM KÉP CÓ VẾT NỨT DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA XE DI CHUYỂN 1.1 Dao động hệ dầm kép tác động xe di chuyển, bỏ qua độ mấp mô mặt dầm 1.2 Dao động hệ dầm kép tác động xe di