Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

Công thức Taylor cho phép ta khai triển một hàm khả vi vô hạn lần thành một chuỗi hàm lũy thừa. Ngược lại chính là bài toán tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa. Trước khi tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa ta phải đi tìm miền hội tụ của nó vì trên miền hội tụ ấy tổng của chuỗi hàm mới tồn tại. Từ đó, dẫn đến bài toán đi tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC MIỀN HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM LŨY THỪA VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ Nguyễn Thị Hà Phươnga*, Phan Đức Tuấnb Nhận bài: 19 – 07 – 2017 Chấp nhận đăng: 25 – 09 – 2017 http://jshe.ued.udn.vn/ Tóm tắt: Cơng thức Taylor cho phép ta khai triển hàm khả vi vô hạn lần thành chuỗi hàm lũy thừa Ngược lại tốn tính tổng chuỗi hàm lũy thừa Trước tính tổng chuỗi hàm lũy thừa ta phải tìm miền hội tụ miền hội tụ tổng chuỗi hàm tồn Từ đó, dẫn đến tốn tìm bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa Ta biết, un : avn n dần đến vơ hai chuỗi hàm lũy thừa với hệ số un , có bán kính hội tụ Điều cho phép ta xác định lớp chuỗi hàm lũy thừa có bán kính hội tụ thơng qua việc so sánh hệ số chúng n dần đến vô Trong [5], tác giả chọn hàm lũy thừa ax làm đại lượng trung gian việc so sánh đại lượng vô bé x dần đến Trong báo chọn hệ số un = n làm chuẩn để xác định lớp chuỗi hàm lũy thừa có bán kính hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận un làm hệ số Sau đó, chúng tơi lớp chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có miền hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận un làm hệ số Từ khóa: chuỗi hàm; chuỗi hàm lũy thừa; bán kính hội tụ; miền hội tụ; tiêu chuẩn so sánh; khai triển Taylor  n + (−1)n n n =1  Đặt vấn đề Ta biết, lim n → un =  ¡ Ta có (1) + lim n → bán kính hội tụ hai chuỗi hàm lũy thừa   u x ; v x n n n (2) n n =1 n =1 (xem [3]) Một câu hỏi đặt là: (1) thỏa mãn miền hội tụ hai chuỗi hàm lũy thừa (2) có trùng khơng? Để trả lời cho câu hỏi trên, ta xét hai chuỗi số   n =1 (−1) n n (4) n + (−1)n n = n (−1)n (5) đó, chuỗi số (3) hội tụ cịn chuỗi số (4) phân kì Điều chứng tỏ, miền hội tụ hai chuỗi hàm lũy thừa (2) không trùng Trên sở đó, chúng tơi khởi đầu báo việc tìm miền hội tụ  chuỗi hàm lũy thừa  xn  n (6) n =1 thu kết (xem [3]): ; (3) i.Nếu    = [−1,1] ii.Nếu     = [−1,1) iii.Nếu    = (−1,1) a,bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng * Liên hệ tác giả Nguyễn Thị Hà Phương Email: nthphuong_kt@ued.udn.vn Sau đó, chúng tơi tìm số chuỗi hàm lũy thừa Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 33-38 | 33 Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn   un x n (7) Để chứng minh Định lí 2.2, ta chứng minh số bổ đề sau: n =1 Bổ đề 2.3 Cho Pk ( x) đa thức bậc k có dạng thỏa mãn điều kiện un lim n→ n =  ¡ Pk ( x) = xk + p1xk −1 + + pk , (8) + chuỗi hàm có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy thừa (6) Trong báo chứng minh chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (9) thỏa mãn điều kiện (8) có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy thừa (6) đó, k  ¥ , pi  ¡ (i = 1, k ) Khi Pk ( x + 1) P ( x) = lim k k = x →+ Pk ( x) x →+ x lim k Pk ( x + 1) ( x + 1)k  x +1  = lim = lim   = k x →+ Pk ( x) x →+ x →+ x  x  lim Chúng chuỗi hàm lũy thừa có dạng p0 n k + p1n k −1 + + pk qn n = n0 m + q1n m −1 + + qm k , m  ¥ ; pi , q j  ¡ đó, xn Tương tự, ta thu đẳng thức thứ (12) (9) (i = 0, k; ) j = 0, m ; Bổ đề 2.4 Cho Pk ( x) đa thức có dạng (11) Khi đó, tồn số n0  ¥ cho: Pk ( x)  0, x  n0 p0  0, q0  q0 nm + q1nm−1 + + qm  0, n  n0 Chứng minh Nếu k = Do hội tụ, phân kì hai chuỗi số  P0 (x) = x0 =  0, x  ¡   u ;   u , (  0) n n =1 Nếu k  từ n n =1 nên khơng tính tổng qt ta giả sử p0 = q0 = Nghĩa là, chuỗi hàm lũy thừa (9) viết lim Pk ( x) = + x →+ suy tồn n0  ¥ cho Pk ( x)  0, x  n0 lại dạng  k −1 m m −1 n + p1n n n = n0 k + q1n + + pk + + qm  x n := Bổ đề 2.5 Cho Pk ( x), Q m ( x) đa thức có  Q (n) x (10) n = n0 (12) Chứng minh Sử dụng quy tắc bỏ vô lớn bậc thấp, ta có Chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ  (11) Pk (n) n m dạng (11) Khi đó, m  k tồn n0  ¥ cho hàm Pk ( x) Qm ( x) giảm với x  n0 Định nghĩa 2.1 Chuỗi hàm (10) gọi chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ số  = m − k gọi độ lệch bậc chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10) Định lí 2.2 Cho  độ lệch bậc chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10) Khi đó, miền hội tụ hai chuỗi hàm (10) (6) trùng Nghĩa là: i Nếu   miền hội tụ chuỗi hàm (10) [−1;1] Chứng minh Đặt ii Nếu    miền hội tụ chuỗi hàm (10) [ −1;1) Do Pk ( x), Q m ( x) đa thức nên A( x ) iii Nếu   miền hội tụ chuỗi hàm (10) ( −1;1) 34 f ( x) = Pk ( x) x k + p1 x k −1 + + pk = Qm ( x) xm + q1 x m−1 + + qm Ta có f ( x) = Pk ( x)Qm ( x) − Qm ( x) Pk ( x) Qm2 ( x) := A( x) Qm2 ( x) đa thức có hạng tử bậc cao (k − m) xm+k −1 Với m, k  ¥ m  k nên m + k −  Theo Bổ đề 2.4, tồn số n1  ¥ cho đa thức ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 33-38 (k − m)−1 A( x)  0, x  n1, suy ra, A( x)  0, x  n1 Chọn n0 = max S + 1, n1 , với S = x  ¡ : Qm ( x) = 0 Ta có f  ( x)  0, x  n0 Do đó, hàm f giảm với x  n0 Bổ đề 2.6 ([1]) Với n0  ¢ + , chuỗi số dương   n (13)    (−1) n = n = n0 v n n = n0 nên chuỗi số (17) hội tụ tuyệt đối Suy ra, chuỗi số (16) hội tụ Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (10) [−1;1] hội tụ   ii Nếu    Sử dụng tiêu chuẩn so sánh (i) ta thu chuỗi số (14) phân kỳ Chứng minh Định lí 2.2 Áp dụng Bổ đề 2.3, ta suy bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (10) R = Ta xét hội tụ chuỗi số (16) Từ Bổ đề 2.5, ta suy tồn n1  ¥ cho dãy {vn } giảm n  n1 n = n0 Khi x = R = 1, ta xét hội tụ chuỗi số   Pk (n) := Q ( n) n =1 m Mặt khác, sử dụng quy tắc bỏ vô lớn bậc thấp ta có  v (14) n n =1 Theo Bổ đề 2.4 tồn n0  ¥ cho chuỗi số  v (15) n n = n0 Khi x = − R = −1, ta xét hội tụ chuỗi số   (−1) n n =1 Pk (n) := Qm (n)  (−1) v n n (16) n =1   (−1) v n n (17) n = n0   (−1) v , n (n2 = max{n0 , n1}) n = n2 hội tụ Từ đó, suy chuỗi số (16) hội tụ Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (10) [ −1;1)  = 0, 1 lim (1)n =  +   n→ Do đó, (1)n →  n →  nên theo điều kiện cần ta suy chuỗi số (14), (16) phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (10) ( −1;1) Định lí 2.2 chứng minh chuỗi đan dấu Ví dụ 2.7 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa sau: i Nếu   Theo Bổ đề 2.3, ta có n → 1/ n Theo tiêu chuẩn Leibnitz, ta suy chuỗi đan dấu iii Nếu   Ta có  Từ (15), ta suy chuỗi số n → n chuỗi số dương Do đó, ta khảo sát hội tụ chuỗi số dương (15) cách so sánh với chuỗi số dương (13) lim Pk (n) nk = lim m = lim  = n → Qm (n) n → n n → n lim = lim Pk (n) nm = n → n k Qm (n) = lim  (18) Áp dụng tiêu chuẩn so sánh (tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương [4]) Bổ đề 2.6, ta thu chuỗi số dương (15) hội tụ Suy ra, chuỗi số (14) hội tụ Mặt khác, ta có n2 − 3n n n =1  +6 n+4 n n =1 +n xn ; xn (19) (20) Chuỗi hàm (19) chuỗi hàm với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = nên theo Định lí 2.2, ta suy miền hội [−1,1] Tương tự chuỗi hàm (20) có độ lệch bậc  = nên suy miền hội tụ [ −1,1) 35 Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn Nhận xét 2.8 Qua Ví dụ 2.7, ta nhận thấy việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ việc xác định độ lệch bậc Chuỗi hàm (25) viết lại dạng Quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Đặt X = −1 x , (27) chuỗi hàm lũy thừa với a Biến đổi sơ cấp Khơng có phương pháp chung để quy chuỗi hàm chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Tuy nhiên, số trường hợp cụ thể ta biến đổi sơ cấp để quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ nhờ suy miền hội tụ cách nhanh chóng Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ 3.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau:  3n (n + 2)  2n n =1  − 3n xn ; n2 + 5n −  (n n n =1 + 1) (21) xn (22)  − n n2  −1   x   n =1 n +   (27) hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = nên suy miền hội tụ chuỗi hàm (27) theo X [ −1,1) Do đó, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm (25) theo x (−, −1)  [1, +) Chuỗi hàm (26) viết lại dạng  (x ) −1 n6 − 7n + n n =1 + 9n n (28) Đặt X = x  0, (28) chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = −1 Kết hợp với điều kiện X  ta suy miền hội tụ chuỗi hàm (28) theo X [0,1) Do đó, ta có miền hội tụ chuỗi hàm (26) theo x ( −1,1) Chuỗi hàm (21) viết lại dạng  b Trường hợp riêng n+2  2n n =1 − 3n (3x)n (23) Đặt X = x, chuỗi hàm (23) chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = Áp dụng Định lý 2.2, ta thu miền hội tụ chuỗi hàm (23) theo X [ −1,1) Do đó, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm (21) theo x  −1 3,1 3) n2 + 5n −  x    n2 +   n =1 (24) Đặt X = x 5, ta thu chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc  = Theo Định lí 2.2, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm (24) theo X ( −1,1) Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm (22) theo x (−5,5) Ví dụ 3.2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau:  (−1)n +1 n2  (n n =1  36 + 3) x n ; n − 7n + + 9n − n n =1 3 hai điều kiện để suy chuỗi đan dấu (16) hội tụ Trong trường hợp tổng quát dãy {u n } thỏa mãn điều kiện (8) khơng suy dãy {| un |} dãy giảm    un = n=2 n  Bổ đề 2.5 ta dãy {vn } dãy giảm Đó Thật vậy, ta xét chuỗi số sau Tương tự, chuỗi hàm (22) viết lại dạng  Trong chứng minh Định lí 2.2,    1, nhờ (25)  (−1)n n=2 (−1)n + n n (29) Ta có lim n→ un n n + (−1)n n = n→ n = lim Tuy nhiên, dãy {| un |} khơng dãy giảm Vì ngược lại theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đan dấu (29) hội tụ, chuỗi (29) phân kì Trong trường hợp riêng   (0,1] mệnh đề sau cho ta kết tương tự Định lí 2.2 Mệnh đề 3.3 Giả sử dãy {u n } thỏa mãn điều kiện x 2n (26) (8) Khi ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số (2017), 33-38 i Nếu   miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (7) [−1,1] ii Nếu   miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (7) ( −1,1) Chứng minh Từ điều kiện (8), suy bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (7) với chuỗi hàm lũy thừa (6) Khi x =  R = 1, ta xét hội tụ chuỗi số sau:   (1) u n (30) n n =1 i Nếu   kết hợp (8) tiêu chuẩn so sánh (tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương [4]), ta suy chuỗi số dương    (1)n un = n =1 u n , n =1 hội tụ Do đó, chuỗi số (30) hội tụ tuyệt đối Vậy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (7) [−1,1] ii Nếu   từ (8), ta có un →  n →  Do đó, (1)n un →  n →  nên theo điều kiện cần suy chuỗi số (30) phân kì Vậy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (7) ( −1,1) Ví dụ 3.4 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau:  4n +  n2 + n n =1  n + ln n  2+ n n =1 xn ; (31) xn (32) Ta có lim n → 4n + n +n : n3 = Nhận xét 3.5 Trong Ví dụ 3.4, áp dụng quy tắc bỏ vơ lớn bậc thấp ta xem chuỗi hàm (31), (32) chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc tương ứng  = / 2,  = −1 / Kết luận Bài báo phát triển ý tưởng chọn hàm lũy thừa để làm đại lượng trung gian việc so sánh đại lượng vô bé [5] việc chọn chuỗi hàm lũy thừa (6) làm chuỗi hàm trung gian việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm Bài báo đưa cách tiếp cận tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa so sánh với chuỗi hàm trung gian (6) Nhờ đó, mà miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ xác định thông qua việc tìm độ lệch bậc  Bên cạnh báo đưa phương pháp quy chuỗi hàm lũy thừa chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Qua đó, tìm miền hội tụ cách nhanh chóng Trong báo chưa đưa kết cho chuỗi hàm thỏa mãn điều kiện (8) với   (0,1] Đây vấn đề mở mà tiếp tục nghiên cứu thời gian đến Tài liệu tham khảo B D Demidovic (1975) Bài tập giải tích tốn học Tập 1, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Đ C Khanh (2000) Giải tích biến NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh [3] N Đ Trí, T V Đĩnh N H Quỳnh (2008) Bài tập toán cao cấp Tập 2, NXB Giáo dục [4] V Tuấn (2011), Giáo trình giải tích tốn học Tập 2, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Phan Đức Tuấn Nguyễn Thị Thu Thủy (2017) Ứng dụng vơ bé tương đương tính giới hạn hàm số Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, 22(01), 26-30 [1] Theo Mệnh đề 3.3, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (31) [−1,1] Tương tự, từ lim n → n + ln n 2+ n n = 1, Ta suy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (32) ( −1,1) 37 Nguyễn Thị Hà Phương, Phan Đức Tuấn CONVERGENCE DOMAINS OF POWER SERIES WITH RATIONAL COEFFICIENTS Abstract: The Taylor’s expansion enables us to expand an infinitely differentiable function into a power series The opposite problem is the summation of a power series Before calculating the sum of a power series, we need to find its domain of convergence because only on that domain does the sum of the series exist This leads to the problem of finding the radius of convergence of the power series We know that if un : avn when n tends to infinity, two power series with coefficients un , will have the same radius of convergence This allows us to identify which types of power series have the same radius of convergence by comparing their coefficients as n tends to infinity In [5], the authors chose the power function ax as an intermediary in comparing the extremely small quantities when x tends to result in zero In this article, we choose the coefficient un = n as a standard to determine the types of power series that have the same radius of convergence with the series with factor un Then we go on to indicate that in this class, the power series with rational coefficients have the same domain of convergence with the power series with factor un Key words: series; power series; radius of convergence; domain of convergence; comparison tests; Taylor’s expansion 38 ... tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ việc xác định độ lệch bậc Chuỗi hàm (25) viết lại dạng Quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Đặt X = −1 x , (27) chuỗi hàm lũy thừa với a... hệ số hữu tỉ số  = m − k gọi độ lệch bậc chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10) Định lí 2.2 Cho  độ lệch bậc chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10) Khi đó, miền hội tụ hai chuỗi hàm (10)... để quy chuỗi hàm chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Tuy nhiên, số trường hợp cụ thể ta biến đổi sơ cấp để quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ nhờ suy miền hội tụ cách nhanh chóng Sau số ví