0

Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

148 57 0
  • Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 29/10/2020, 20:44

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐẶNG THỊ PHƢƠNG THẢO DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu HÀ NỘI – 2020 LỜI CẢM ƠN Từ thực tiễn thấy, để có thành cơng lĩnh vực nào, ngồi nỗ lực, cố gắng thân cần giúp đỡ, hỗ trợ người xung quanh Trước hết, tác giả xin phép gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ban Giám hiệu nhà trường thầy giáo, cô giáo trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội dành nhiều thời gian, tâm huyết để giúp tác giả mở rộng kiến thức suốt trình đào tạo nhà trường Thời gian qua, GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu ln nhiệt tình, tận tâm hướng dẫn bảo để tác giả hồn thành luận văn Qua trao đổi hay làm việc, thầy chi tiết cụ thể nội dung liên quan đến đề tài để giúp tác giả hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy mong muốn tiếp tục thầy giúp đỡ thời gian Trong trình học tập đặc biệt thời gian làm luận văn này, thân tác giả luôn nhận quan tâm, tạo điều kiện đồng nghiệp, bạn bè Đặc biệt phải kể đến chia sẻ bạn học viên lớp Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn QH-2017-S hay ủng hộ, khích lệ thầy cơng tác với tác giả trường THPT Giao Thủy tạo nguồn cổ vũ, động viên to lớn giúp tác giả hoàn thành luận văn Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020 Tác giả Đặng Thị Phương Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu .3 Khách thể đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu .6 1.2 Cơ sở thực tiễn 1.3 Năng lực phát triển lực cho học sinh trung học phổ thông 1.3.1 Khái niệm lực .8 1.3.2 Phân loại lực 1.3.3 Các lực cần phát triển cho học sinh trung học phổ thông 1.3.4 Năng lực toán học .10 1.4 Kỹ giải toán 11 1.4.1 Khái niệm kỹ .11 1.4.2 Các yếu tố ảnh hưởng đến kỹ 12 1.4.3 Kỹ giải toán 12 1.4.4 Căn để hình thành biện pháp phát triển kỹ giải tốn cho học sinh trung học phổ thơng 13 1.4.5 Các biện pháp nhằm phát triển kỹ giải tốn cho học sinh trung học phổ thông 14 1.4.6 Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 21 2.1 Hàm lồi, lõm 21 2.1.1 Hàm đơn điệu 21 2.1.2 Hàm lồi, lõm 21 2.1.3 Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1, 2) 23 2.2 Tính lồi, lõm hàm số lượng giác 25 2.2.1 Tính đơn điệu hàm số lượng giác 25 2.2.2 Tính lồi, lõm hàm số lượng giác 26 2.3 Bất đẳng thức lượng giác liên quan đến góc tam giác 26 2.3.1 Một số đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến góc tam giác 26 2.3.2 Độ gần thứ tự dãy tam giác 29 2.4 Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 31 2.4.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng đối xứng tam giác 31 2.4.2 Áp dụng bất đẳng thức Jensen 41 2.4.3 Áp dụng bất đẳng thức Karamata .49 2.4.4 Áp dụng tính đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) 53 KẾT LUẬN CHƢƠNG 60 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 61 3.1 Đối tượng thực nghiệm 61 3.2 Mục đích thực nghiệm 61 3.3 Nhiệm vụ thực nghiệm .61 3.4 Nội dung kế hoạch thực nghiệm 62 3.4.1 Nội dung kế hoạch thực nghiệm theo thời gian 62 3.4.2 Triển khai dạy theo chuyên đề thực nghiệm 63 3.4.3 Đề kiểm tra, đánh giá học sinh 63 3.5 Triển khai thực nghiệm 64 3.6 Đánh giá kết thực nghiệm 64 3.6.1 Kết kiểm tra, đánh giá 64 3.6.2 Kết sử dụng bảng quan sát, phiếu đánh giá 68 3.6.3 Kết phiếu điều tra ý kiến học sinh 70 3.6.4 Tổng hợp, phân tích số liệu kết luận 71 KẾT LUẬN CHƢƠNG 74 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ .75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT 10 11 12 13 14 15 16 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Mô tả nội dung kế hoạch thực nghiệm theo thời gian .62 Bảng 3.2 Mô tả kết kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 64 Bảng 3.3 Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 64 Bảng 3.4 Tỷ lệ phân loại học sinh lần .65 Bảng 3.5 Mô tả kết kiểm tra sau tiến hành thực nghiệm lần 66 Bảng 3.6 Thống kê tỷ lệ học sinh đạt điểm xi trở xuống lần 66 Bảng 3.7 Thống kê tỷ lệ phân loại học sinh đạt lần 68 Bảng 3.8 Thống kê kết đánh giá kỹ giải tốn học sinh thơng qua giáo viên lần .70 Bảng 3.9 Thống kê kết đánh giá kỹ giải toán học sinh thông qua giáo viên lần .70 Bảng 3.10 Thống kê kết đánh giá kỹ giải tốn học sinh thơng qua giáo viên lần 70 Bảng 3.11 Thống kê kết đánh giá kỹ giải toán học sinh qua .70 điều tra 70 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Đường lũy tích ứng với kiểm tra số Biểu đồ 3.2 Thống kê phân loại kết học tập học sinh kiểm tra số Biểu đồ 3.3 Đường lũy tích ứng với kiểm tra số Biểu đồ 3.4 Kết phân loại, đánh giá kết học tập học sinh qua kiểm tra số MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giáo dục, dạy học theo định hướng phát triển lực trở thành xu hướng chung phổ biến Để đạt mục tiêu phát triển lực người học việc ý dạy học vận dụng tình học tập góp phần tạo tiền đề cho mục tiêu Do đó, q trình học tập nhà trường phổ thơng, học sinh (HS) cần hình thành phát triển kỹ vận dụng giải vấn đề Tốn học mơn khoa học tự nhiên gắn liền với thực tiễn đời sống, vậy, cần tạo cho học sinh hứng thú, hăng say học tập, thấy thiết thực học tập, đồng thời cịn giúp kích thích tính sáng tạo, phát triển tư logic cho học sinh Qua đó, bên cạnh hình thành phát triển lực, cần trọng tới trình vận dụng để rèn kỹ cho học sinh Bản thân công tác trường phổ thông, tác giả nhận thấy thân việc phân loại dạng tập Toán đơi cịn có ranh giới khơng rõ ràng Có phân chia theo đơn vị kiến thức bị trùng lặp phương pháp, có phân chia theo thuật giải khó khăn có toán đa dạng cách giải Đối với tốn có nhiều phương pháp giải, việc chọn lựa phương án tối ưu để trình bày cần thiết Song bên cạnh đó, có nhiều tốn mà thuật giải chưa rõ ràng khó định hướng q trình lựa chọn thuật giải Riêng với tốn chứng minh (CM) bất đẳng thức (BĐT) nói chung hay chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nói riêng thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp trung học phổ thông (THPT) thi Olympic sinh viên, việc chắt lọc, lựa chọn phương pháp giải phù hợp để áp dụng cần thiết Như biết, toán hệ thức lượng tam giác thường biểu diễn dạng đẳng thức bất đẳng thức thể mối liên hệ yếu tố tam giác Đặc biệt toán bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng (các hệ số m, n, p biểu thức mf (A)  nf (B)  pf (C) không nhau) tam giác tốn thú vị khó giải toán lượng giác THPT Trong phương pháp đề xuất, việc áp dụng tính chất hàm lồi, lõm hàm số lượng giác nói riêng hàm số nói chung để khảo sát tính chất tạo mối quan hệ yếu tố tam giác mang hướng tiếp cận phù hợp hiệu để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Đặc biệt phương pháp thể quan hệ logic tốt tư duy, phù hợp với học sinh khá, giỏi; đó, sử dụng để phục vụ cho giáo viên (GV) bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THPT hay phục vụ cho kỳ thi Olympic sinh viên Đã có nhiều đề tài nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức nói chung bao gồm bất đẳng thức lượng giác tam giác hay có đề tài nghiên cứu vấn đề sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chủ yếu tập trung vào bất đẳng thức đại số Tuy nhiên, vấn đề riêng: sử dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác chưa trình bày chuyên biệt đề tài nghiên cứu cụ thể Đồng thời, đề tài túy kiến thức tốn nói chung mà rõ mục tiêu hướng đến rèn luyện kỹ (KN) hay lực (NL) cụ thể cho học sinh Từ lý chọn đề tài “Dạy học vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải tốn cho học sinh” để nghiên cứu thơng qua dạy học lượng kiến thức, dạng toán cụ thể hình thành phát triển kỹ giải tốn hay kỹ vận dụng tính chất cho học sinh Đồng thời, đề tài - Bên cạnh đó, phương pháp truyền thống sử dụng song song hình thức thuyết trình xây dựng vấn đề mới, hình thức vấn đáp hoạt động giáo viên học sinh nhiên khắc phục tối đa lối truyền thụ chiều để học sinh tiếp nhận xử lý vấn đề cách hiệu IV – TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định tổ chức lớp: sĩ số, sách vở, trật tự nội vụ, … Kiểm tra cũ: Kết hợp với trình dạy Bài mới: (45’) Đặt vấn đề: Dựa vào thực tế toán xuất đề thi thuộc dạng tốn chứng minh bất đẳng thức tam giác nói chung để thấy cần phải chứng minh bất đẳng thức thuộc đối tượng bất đẳng thức lượng giác (2’) Hoạt động 1: Hệ thống phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết (15’) Hoạt động giáo viên Yêu cầu học sinh nhóm cử đại diện báo cáo sản phẩm nhóm Học sinh lại theo dõi, cho nhận xét b Phương pháp đại số Ví dụ 1.2 Với tam giác ABC không vuông, đặt Điều hành phản biện tan A tan A tan A - Học sinh  tan2 A tan A tan B nhóm phản biện tan 2B  tan2 B  tan B  tan B  tan2 B tan 2B Giáo viên bổ sung tan C chốt nội dung phương pháp  tan2 A  tan A F  tan 2C - Học sinh ý nghe bổ sung  tan2 C  tan C  tan C  tan2 C tan 2C chứng minh  F  c Phương pháp sử dụng tính chất hàm số lượng giác Ví dụ 1.3 Với tam giác ABC không vuông, đặt F  sin A  sin B  sin C  cos A  cos B  cosC  tan A  tan B  tan2 C  cot A  cot B  cot2 C Chứng minh F   Nhận xét, so sánh hai nhóm chấm điểm - Học sinh ý nghe nhận xét ghi nhớ phương pháp chốt Hoạt động 2: Nhắc lại tính lồi lõm hàm số (24’) Hoạt động giáo viên Yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất hàm lồi Yêu cầu học sinh lại theo dõi, cho nhận xét bổ sung - Điều hành bổ sung xk , yk  I (a , b), k  1, 2, , n thỏa mãn điều kiện x1  x2   xn , y1  y2   yn x1  y1 x    x  x  Khi đó, ứng với m f(x) với Yêu cầu học sinh nêu - Học sinh trả lời tính đơn điệu từ câu hỏi tính lồi (lõm) Hồn thiện mục b I (a , b) ta có f ( x1 )  f ( x2 )   f ( xn )  f ( y1 )  f ( y2 )   f ( yn ) b Tính đơn điệu hàm hàm lượng giác Tính đơn điệu lượng giác hàm lượng giác c Tính lồi lõm hàm lượng giác Sau tính Hàm số lồi lõm khoảng 0 ,   hàm số Hàm số Giáo viên kết luận chốt nội dung khoảng Hàm số khoảng Hàm số khoảng - Củng cố (1’): Yêu cầu HS nhắc lại: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết - Tính chất hàm lồi, tính đơn điệu, tính lồi (lõm) hàm lượng giác Hướng dẫn nhà (1’): - Nhớ phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác biết - Hiểu tính chất hàm lồi, tính đơn điệu, tính lồi (lõm) hàm lượng giác bản; Vận dụng làm tập: Bài toán Chứng minh với tam giác ABC , ta có sin A  sin B  sin C  3 Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn, ta có cos A  cos B  cosC  Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có tan A  tan B  tan C  3 V – RÚT KINH NGHIỆM: Tiết Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác I – MỤC TIÊU: Như tiết II – CHUẨN BỊ: Giáo viên: - Nghiên cứu kỹ chương trình, soạn giáo án đầy đủ chi tiết, thiết kế dạy khoa học, hợp lí, chuẩn bị học liệu phục vụ cho tiết dạy cho hiệu -Giao nhiệm vụ học tập cho học sinh trải nghiệm từ tiết học trước để phục vụ cho tiết dạy, chọn sản phẩm tốt nhóm phục vụ cho dạy Học sinh: - Học cũ, đọc trước mới, chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập - Làm nhà đầy đủ III – PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC: - Sử dụng phương pháp dạy học gợi mở giúp học sinh tự giải vấn đề; - Sử dụng phương pháp thuyết trình xây dựng vấn đề mới, hình thức vấn đáp hoạt động giáo viên học sinh nhiên khắc phục tối đa lối truyền thụ chiều để học sinh tiếp nhận xử lý vấn đề cách hiệu IV – TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: Ổn định tổ chức lớp: sĩ số, sách vở, trật tự nội vụ, … Kiểm tra cũ: Kết hợp với trình dạy Bài mới: (43’) Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Hoạt động 1: Áp dụng bất đẳng thức Jensen (15’) Hoạt động viên u cầu ba học sinh trình bày tốn 1, 2, nhà Yêu cầu học sinh khác Học sinh nhận xét biết theo dõi, cho nhận xét rút phương a Áp dụng bất đẳng thức pháp Áp dụng Jensen bất đẳng thức Bài toán Chứng minh với Jensen Giáo viên yêu cầu học sinh nêu dấu hiệu Học sinh trả lời câu chốt hỏi tam giác ABC , ta có sin A  sin B  sin C  3 Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn, ta có cos A  cos B  cosC  Bài toán Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có tan A  tan B  tan C  3 Hoạt động 2: Áp dụng bất đẳng thức Karamata (15’) Hoạt động giáo viên Yêu cầu học sinh suy nghĩ giải toán 4, Yêu cầu học sinh khác theo dõi, cho nhận xét Hoạt động 3: Áp dụng tính đơn điệu hàm liên tiếp bậc (1,2)(13’) Hoạt động giáo viên Yêu cầu học sinh suy nghĩ giải toán 6, Yêu cầu học sinh khác theo dõi, cho nhận xét Củng cố (1’): - Yêu cầu học sinh nhắc lại dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức trung gian nói để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Hướng dẫn nhà (1’): - Ghi nhớ dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức trung gian nói để chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác; Vận dụng làm tập: Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có tan A tan A  Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có cot A cot A  Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có A sin A cos Bài toán Cho tam giác nhọn A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta có sin Bài tốn Cho tam giác A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác có A tan A tan Bài toán Cho tam giác A0 B0 C0 Chứng minh với tam giác có A cot A cot 1 V – RÚT KINH NGHIỆM: PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA ĐỀ KIỂM TRA SỐ Thời gian: 45 phút Bài Chứng minh với tam giác ABC ta ln có cos2 A  cos 2C   cos2B  Bài Cho m, n, p số nguyên dương lớn Chứng minh với tam giác ABC số thực  1, ta có  m  cot  ĐỀ KIỂM TRA SỐ Thời gian: 60 phút Bài Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh với n số ngun dương, ta ln có tan n A  tan n B  tan n C  3n Bài Chứng minh với tam giác ABC ta ln có a ) cos2 A  cos2 B  k cos 2C  b) cos2 A  cos2 B  k cos 2C  2k 1  0; 2k ,k 2k 1 ,k 0; 2k Bài Cho số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z Chứng minh với tam giác ABC ta ln có A x sin   B  ... đích nhằm phát triển KNGT cho HS trình bày cụ thể chương 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO. .. ) 1 2 2.4 Vận dụng tính chất hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác tam giác nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 2.4.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng... cực nhằm phát triển kỹ giải toán cho học sinh 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 20 CHƢƠNG DẠY HỌC VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC NHẰM PHÁT
- Xem thêm -

Xem thêm: Dạy học vận dụng tính chất của hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhằm phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh ,

Từ khóa liên quan