D49 - Câu 49-TÍNH-THỂ-TÍCH-KHỐI-ĐA-DIỆN - Muc do 1

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với cạnh huyền BC = 2a Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt đáy ABC nằm tam giác ABC Biết mặt bên ( SAB), Câu ( SBC ) ( SCA) tạo với đáy góc 600 , 600 , 450 Thể tích khối chóp S ABC tính theo a tương ứng bằng: 2a 3 3a 2a 6a A 3+ 2+ B + + C + + Lời giải D + Chọn C Ta có ∆ABC vng cân A BC = 2a ⇒ AB = AC = a ; 1 ⇒ S ∆ABC = BC = a.2a = a 2 Mặt khác S ∆ABC = S∆HAB + S ∆HBC + S ∆HCA ( = BC = a ) HI a + HM 2a + HK a = a ⇔ HI + HM + HK = 2a ( *) Từ suy 0 Từ giả thiết mặt bên ( SAB ), ( SBC ), ( SCA) tạo với đáy góc 60 , 60 , 45 suy SH = HI tan 600 = HM tan 600 = HK tan 450 ⇔ SH = HI = HM = HK ⇔ HI = HM ; HK = 3HI Vậy thể tích vào ( *) 2a 2a ⇔ + + HI = 2a ⇔ HI = + + ⇒ SH = + + ( Thay ta HI + HI + HI = 2a ( *) ) VS ABC 2a 2a a = = SH S ∆ABC = 2+ + 3+3 + Cho lăng trụ ABC A′B ′C ′ có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M, N P tâm mặt bên ABB ′A′, ACC ′A′ BCC ′B ′ Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh Câu điểm A, B, C, M, N, P A 12 B 16 28 C Lời giải Chọn A 40 D Gọi h chiều cao hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Vì ∆ABC có độ dài cạnh nên SΔABC = 42 =4 V = h.SΔABC = 8.4 = 32 Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ Câu Gọi E trung điểm cạnh AA’ Thể tích khối chópA.EMN là: 1 1 VA EMN = d ( A, ( EMN ) ) SΔEMN = h S ΔABC = V 3 24 Thể tích khối đa diện ABCMNP là: VABCMNP = Câu 1 V − 3VA.EMN = V − V = V = 12 2 24 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh a Gọi M , N trung ( A′MN ) cắt cạnh BC P Thể tích khối đa diện điểm cạnh AB B′C ′ Mặt phẳng MBP A′B′N a3 A 32 Chọn B 7a3 B 96 7a3 C 32 Lời giải 7a3 D 68 Gọi Q trung điểm BC Suy AQ P A′N ⇒ MP P AQ ⇒ P trung điểm BQ Ta có BB′, A′M , NP đồng quy S B trung điểm B′S ⇒ SB′ = 2a a2 a3 ⇒ VS A′B ′N = 12 7 3a = VSA′B′N ⇒ VMBPA′B′N = VSA′B′N = 8 96 S A′B ′N = VSMNP Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , BA = BC = a Khoảng o · · SBC ) cách từ A đến mặt phẳng ( a SAB = SCB = 90 Tính thể tích khối chóp cho B a A a a3 C Lời giải Chọn D Giả sử SD ⊥ ( ABC ) Ta chứng minh: ABCD hình vng AB ⊥ SD   ⇒ AB ⊥ ( SDA ) ⇒ AB ⊥ DA · AB ⊥ SA  ⇒ BAD = 90o Ta có: a3 D BC ⊥ SD   ⇒ BC ⊥ ( SDC ) ⇒ BC ⊥ DC · BC ⊥ SC  ⇒ BCD = 90o Ta có: o · · · Tứ giác ABCD có: DAB = ABC = BCD = 90 ⇒ ABCD hình chữ nhật Mà BA = BC ⇒ ABCD hình vng cạnh a AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = a Vì DH ⊥ SC H Kẻ BC ⊥ ( SDC ) ⇒ BC ⊥ DH Ta có: ⇒ DH ⊥ SBC ( ) Mà DH ⊥ SC ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = DH = a SDC Xét tam giác vng D có: 1 = + 2 DH SD DC ⇒ SD = a ⇒ VS ABC Câu ( 1 a = S ABC SD = 3 ) a = a3 · · Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông B , AB = 1, AC = , SAB = SCB = 90 , 10 SB > 10 với ϕ góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) Tính thể tích khối chóp S ABC cos ϕ = A V= B V= C V= D V= Lời giải Chọn B Hạ SD ⊥ ( ABC ) D có BA ⊥ SA   ⇒ BA ⊥ ( SAD ) ⇒ BA ⊥ AD BA ⊥ SD  Chứng minh tương tự BC ⊥ CD Suy tứ giác ABCD hình chữ nhật Hạ BH ⊥ ( SAC ) H suy 10 · = ϕ ⇒ cosϕ = ⇒ sin ϕ = ( SB, ( SAC ) ) = BSH 10 10 10 sin ϕ = BH = BS BH BD + SD = d + x2 ⇒ sin ϕ = d2 + x với d = d ( B, ( SAC ) ) = BH , SD = x 2 2 ( điều kiện x > SB > ⇔ SB > ⇔ SD + BD > ⇔ x + > ⇔ x > ⇔ x > ) Mặt d = d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) khác 1 1 = + + = 2+ 2 2 d DC DA DS Suy ( 2) + 3x2 + 2 x2 = ⇒ d = x2 2x2 3x + suy ra:  x = 1( l ) x2 = ⇔ x − x + = ⇔ ⇔ x = ⇒ SD =  10 ( x + ) ( + x )  x = 11 2  VS ABC = S ∆ABC SD =  AB.BC ÷SD = = 3  Vậy Câu · · Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB = 2a; SAB = SCB = 90 ( SBC ) 300 Tính thể tích V khối chóp cho góc đường thẳng AB mặt phẳng A V= 3a 3 B V= 3a V= C Lời giải 3a 3 D V= 3a 3 Chọn B Gọi H , K , M trung điểm AC , BC , SB tam giác ABC vng B suy HK ⊥ BC (1) ( SBC ) ⇒ HE ⊥ BC (2) Gọi E hình chiếu H mặt phẳng Từ (1), (2) suy EK ⊥ BC ⇒ EK ≡ MK ( MK ⊥ BC ) ( ) ( ) · , ( SBC )  =  HK · , ( SBC )  = HK · , KE = HK · , KM = HKM ·  AB = 300     Lại có HA = HB = HC , MA = MB = MC ( M tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC ) suy MH trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ∆MHK vuông H ⇒ MH = tan 30° HK = a 1 2a.2a 3a V = d  S , ( ABC )  S ABC = MH = 3 Vậy thể tích khối chóp Câu ( SBC ) ( SAB ) , ( SAC ) , Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt bên o o o tạo với đáy góc 30 , 45 , 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC ( ABC ) nằm bên tam giác ABC Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng V= A ( a3 4+ ) V= B ( a3 4+ ) V= C Lời giải ( a3 4+ ) D V= a3 4+ Chọn A Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh BC , AB , AC ; h chiều cao khối chóp S ABC o o · o · · Khi đó, SNH = 30 , SPH = 45 , SMH = 60 a2 a ⇔ = a ( HN + NM + HP ) ⇔ HN + NM + HP = 2 Mà S ∆ABC = S ∆HAB + S ∆HAC + S ∆HBC ⇔ ( tan 30o + tan 45o + tan 60o ) h = a a ⇔ ( tan 30o + tan 45o + tan 60o ) h = 2 3a 4+ a ⇔h= ⇔ h= 4+ 3 ( ) a2 3a a3 = = V = S ∆ABC h 4 + 4+ 3 Thể tích khối chóp S ABC ( Câu ( SBC ) ) ( ) ( SAB ) , ( SAC ) , Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác cạnh a Các mặt bên o o o tạo với đáy góc 30 , 45 , 60 Tính thể tích V khối chóp S ABC ( ABC ) nằm bên tam giác ABC Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng V= A ( a3 4+ ) V= B ( a3 4+ ) V= C Lời giải ( a3 4+ ) D V= a3 4+ Chọn A Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh BC , AB , AC ; h chiều cao khối chóp S ABC o o · o · · Khi đó, SNH = 30 , SPH = 45 , SMH = 60 a2 a ⇔ = a ( HN + NM + HP ) ⇔ HN + NM + HP = S = S + S + S ∆HAB ∆HAC ∆HBC 2 Mà ∆ABC ⇔ ( tan 30o + tan 45o + tan 60o ) h = a a ⇔ ( tan 30o + tan 45o + tan 60o ) h = 2 3a 4+ a ⇔h= ⇔ h= 4+ 3 ( ) a2 3a a3 = = V = S ∆ABC h 4 + 4+ 3 Thể tích khối chóp S ABC ( ) ( ) Câu 10 Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB = AC = 5a, BC = 6a mặt bên tạo với đáy góc 600 Hãy tính thể tích V khối chóp đó? A V = 2a 3 B V = 6a 3 C V = 12a Lời giải D V = 18a Chọn B SO ⊥ ( ABC ) Kẻ OD, OE , OF vng góc với BC , AC , AB Theo định lí ba đường vng góc ta có SD ⊥ BC , SE ⊥ AC , SF ⊥ AB (như hình vẽ) · · · Từ suy ABC = ABC = ABC = 60 Do tam giác vng SDO, SEO, SFO Từ suy OD = OE = OF Vậy O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên OA vừa đường phân giác, vừa đường cao, vừa đường trung tuyến Suy A, O, D thẳng hàng D trung điểm BC 2 Suy AD = AB − BD = 16a = 4a Gọi p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp S∆ABC = 6a.4a = 12a = pr = 8ar r= a 2 Khi Suy Do SO = OD.tan 600 = 3a Vậy VS ABC = 3a Câu 11 Cho hình chóp S ABC có SA = x, BC = y, AB = AC = SB = SC = Thể tích khối chóp S ABC đạt giá trị lớn tổng ( x + y ) A B C Lời giải: D Chọn C Gọi I , K trung điểm SA, BC H hình chiếu S lên ( ABC ) Ta có: BC ⊥ ( SAI ) H ∈ AI , ∆SAI cân I  y SI = AI = SC − IC = −  ÷ = 2 − y2 IK = , − x2 − y AI − AK = 2 S SAI 1 SA.IK x − x − y = SH AI = SA.IK ⇒ SH = = 2 AI − y2 y − y2 = BC AI = S ABC Theo bất đẳng thức tam giác ta có: < x, y < 1 VS ABC = S ABC SH = xy − ( x + y ) ≤ xy − xy 12 12 Thể tích khối chóp S ABC (vì x + y ≥ xy ) Suy VS ABC ≤ VS ABC lớn 1  xy + xy + − xy  32 xy − xy = xy.xy ( − xy ) ≤  ÷ = 12 12 12  3  ⇔ VS ABC = x = y 32 ⇔x= y= ⇒ x+ y =  3  xy = − xy Câu 12 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có tất cạnh a Gọi M , N ( A′MN ) cắt cạnh BC P Thể tích khối đa diện trung điểm cạnh AB B′C ′ Mặt phẳng MBP A′B′N A 3a 32 3a B 96 3a C 32 Hướng dẫn giải 3a D 68 Chọn B Gọi Q trung điểm BC Suy AQ P A′N ⇒ MP P AQ ⇒ P trung điểm BQ Ta có BB′, A′M , NP đồng quy S B trung điểm B′S ⇒ SB′ = 2a S A′B ′N = VSMNP a2 a3 ⇒ VS A′B ′N = 12 7 3a = VSA′B′N ⇒ VMBPA′B′N = VSA′B′N = 8 96 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a , tam giác SBA vuông B , tam ( SAB ) ( ABC ) 60° Tính thể tích khối giác SAC vng C Biết góc hai mặt phẳng chóp S ABC theo a A 3a 3a B 12 C Lời giải 3a D 3a Chọn B S D C B A ( ABC ) , suy SD ⊥ ( ABC ) Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( gt ) , suy AB ⊥ ( SBD ) ⇒ BA ⊥ BD Ta có SD ⊥ AB SB ⊥ AB Tương tự có AC ⊥ DC hay tam giác ACD vuông C Dễ thấy ∆SBA = ∆SCA (cạnh huyền cạnh góc vng), suy SB = SC Từ ta chứng minh ∆SBD = ∆SCD nên có DB = DC · Vậy DA đường trung trực BC , nên đường phân giác góc BAC a DC = ·DAC = 30° Ngoài góc hai mặt phẳng ( SAB ) Ta có , suy SD a · · tan SBD = ⇒ SD = BD tan SBD = 3=a ·SBD = 60° BD , suy ( ABC ) 1 a2 a3 VS ABC = S∆ABC SD = a = 3 12 Vậy Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ a điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theoa 3a A Chọn A a3 B 7a3 C Lời giải D 3a Cho tam giác Câu 86 lấy điểm S thỏa mãn SA = a góc hai mặt phẳng A 30° có ABC ( ABC ) , Trên đường thẳng vng góc với BC = a · ( ABC ) A BAC = 135° Hình chiếu vng góc B , , Số đo SB SC M N ( AMN ) 45° A C 60° D 75° Lời giải Chọn B Gọi AD đường kính đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó, ta có: (1) DC ⊥ AN  ⇒ AN ⊥ ( SDC ) ⇒ AN ⊥ SD  SA ⊥ DC ⇒ DC ⊥ ( SAC ) ⇒   SC ⊥ AN   AC ⊥ DC Tương tự: (2) DB ⊥ AM  ⇒ AM ⊥ ( SBD ) ⇒ AM ⊥ SD  SA ⊥ DB ⇒ DB ⊥ ( SAB ) ⇒   SB ⊥ AM   AB ⊥ DB Từ (1) (2) suy Mà , suy SD ⊥ ( AMN ) có: BC AD = R = =a sin A Câu 87 Cho hình chóp trung điểm 600 AC S ABC BC Tính thể tích khối chóp A a3 Trong SA ⊥ ( ABC ) ∆ASD AD tan ·ASD = =1 SA có đáy tam giác vng Biết S ABC B có: a3 SA ⊥ ( ABC ) theo a ⇒ ·ASD = 45° , Gọi M,N , 3 a ( SBM ) ( ABC ) C Ta B AB = a, BC = a góc hai mặt phẳng Lời giải Chọn A (( ABC ) ; ( AMN ) ) = (·SA; SD ) = ·ASD D a 12 Đặt uuu r r uuur u r Ta có BA = x, BC = y uuur uuuu r  r 1u r r u r 11u r2 r2    AN BM =  − x + y ÷ x + y =  y − x ÷ =  2a − a ÷ =  2   2  ( Suy AN ⊥ BM ) Kết hợp với giả thiết SA ⊥ ( ABC ) suy BM ⊥ ( SAN ) Do ( SBM ) ⊥ ( SAN ) Gọi H giao điểm AN BM Theo chứng minh ta có AH ⊥ BM nên · = 60 ( (·SBM ) , ( ABC ) ) = SHA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AH AN = AB ⇔ AH = Trong tam giác vuông Từ suy VSABC Câu 88 với đáy góc SAH a2 a2 + a2 = với đường cao BH ta có a ta có SA = AH tan 600 = a = a 3 1  a = a  a.a ÷ = 2  Cho hình chóp xuống mặt phẳng AB = AN ABN ( ABC ) S ABC có , , Hình chiếu vng góc AB = cm BC = cm CA = cm S nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng , , ( SAB ) ( SBC ) ( SCA) tạo Gọi , , đường phân giác tam giác với , AD BE CF 60° ABC D ∈ BC , Thể tích gần với số sau đây? E ∈ AC F ∈ AB S DEF A B C D 2,9 cm 4,1 cm 3,7 cm3 3,4 cm3 Lời giải Chọn D Vì mặt phẳng S xuống mặt phẳng , , ( SAB ) ( SBC ) ( SCA) ( ABC ) nằm bên tam giác đường tròn nội tiếp tam giác Gọi p nửa chu vi tam giác Ta có : S ABC = ABC ABC BE phân giác góc Tương tự : Khi : , AB + BC + CA p= =9 S p − AC ) = 6 r= = p h = r.tan 60° = 2 nên ta có : DB AB = DC AC EA BA = EC BC hình chiếu vng góc nên ta có hình chiếu AB AC S AEF AE AF = = S ABC AC AB AB + BC AC + BC Tương tự : Do đó, FA CA = FB CB B ABC 60° p ( p − AB ) ( p − BC ) ( Suy chiều cao hình chóp : Vì tạo với đáy góc , SCED S BFD CA CB BC BA = = S ABC CA + AB CB + AB S ABC BC + CA BA + CA S tâm I  ab bc ac S DEF = S ABC 1 − − −  ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a) ( a + b) ( c + b) 2abc 210 = S ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ABC = 143 Suy 210 280 VS DEF = 2 = cm3 ) ≈ 3, ( cm3 ) ( 143 143 Câu 89 Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông B, trung điểm AC BC Biết SA ⊥ ( ABC ) , với  ÷ ÷  , , BC = a AC = b AB = c AB = a, BC = a Gọi M, N góc hai mặt phẳng (SBM), (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC theoa A B a3 a3 C 3 a D 600 a 12 Lời giải Chọn A Đặt uuu r r uuur u r Ta có BA = x, BC = y uuur uuuu r  r 1u r r u r 11u r2 r2    AN BM =  − x + y ÷ x + y =  y − x ÷ =  2a − a ÷ =  2   2  Suy Kết hợp với giả thiết suy AN ⊥ BM SA ⊥ ( ABC ) ( ) BM ⊥ ( SAN ) Do ( SBM ) ⊥ ( SAN ) Gọi H giao điểm AN BM Theo chứng minh ta có · = 60 ( (·SBM ) , ( ABC ) ) = SHA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABN với đường cao BH ta có AH AN = AB ⇔ AH = AB = AN a2 a2 + a2 = a AH ⊥ BM nên Trong tam giác vng SAH ta có SA = AH tan 600 = Từ suy 1  a VSABC = a  a.a ÷ = 2  Câu 90 Cho hình chóp SB > a = a S ABC với 10 cos ϕ = 10 khối chóp S ABC A V= ϕ B có tam giác ABC vng B, · · AB = 1, AC = 3, SAB = SCB = 900 góc hợp đường thẳng V= C V= SB mặt phẳng ( SAC ) D V= Tính thể tích Lời giải Chọn B Hạ SD ⊥ ( ABC ) D, ta có BA ⊥ SA   ⇒ BA ⊥ (SAD ) ⇒ BA ⊥ AD BA ⊥ SD  Suy tứ giác Hạ ABCD BH ⊥ ( SAC ) BH sin ϕ = = BS Chứng minh tương tự suy · = ϕ ⇒ cos ϕ = ( SB, ( SAC ) ) = BSH d2 = ⇒ sin ϕ = + x2 BD + SD + x2 BH BC ⊥ CD hình chữ nhật H d với , 10 10 ⇒ sin ϕ = 10 10 d = d ( B, ( SAC ) ) = BH ; x = SD (điều kiện Mặt khác x >1 SB > ⇔ SB > ⇔ SD + BD > ⇔ x + > ⇔ x > ⇔ x > 1) d = d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) 1 1 = + + = 2+ 2 2 d DC DA DS Suy Vậy ( 2) + suy 3x2 + 2 x2 = ⇔ d = x2 2x2 3x +  x = 1( L) 2x2 = ⇔ 3x − x + = ⇔  ⇔ x = ⇒ SD = 10 ( x + ) ( + x ) x = 1 1  VS ABC = S ∆ABC SD =  AB.BC ÷SD = 3  Câu 91 Cho hình chóp giác cạnh S ABC A a 3 S ABC có mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) SAB tam , , đường thẳng tạo với mặt phẳng góc Thể tích khối chóp SC 600 a BC = a ( ABC ) B C a a 6 D 2a Lời giải: Chọn C Ta có cân ⇒ ∆ ABC B BA = BC = a Gọi trung điểm Mà AC BH ⊥ AC H ( BAC ) ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ ( SAC ) Lại có vng S BA = BS = BC = a ⇒ HA = HS = HC ⇒ ∆SAC Gọi hình chiếu S AC K SK ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Khi , · · = SCA = 600 ( SC , ( ABC ) ) = ( SC , SK ) = SCK ∆ABC vuông S nên 2 SC = SA.cot 600 = a = a ⇒ AC = SA + SC = 2a Suy 2 1 a AC S∆SAC = SA.SC = a 3.a = BH = AB − =a 2 2 Vậy 1 a a VS ABC = BH S ∆SAC = a = 3 Câu 92 Cho tứ diện diện ABCD ABCD có cạnh ; ; Thể tích tứ AD = BC = AC = BD = AB = CD = bằng: A B 2047 12 C 2470 12 D 2474 12 2740 12 Lời giải Chọn B Từ đỉnh tam giác ta kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành BCD tam giác có diện tích gấp lần diện tích tam giác EFG BCD Các tam giác , , tam giác vng nên ta có: AEF AFG AGE A ; AE + AF = EF = 64 ( 1) AF + AG = FG = 36 ( ) AE + AG = EG = 48 ( 3) ( 1) , ( ) , ( 3) Từ ( AE + AF + AG ) = 148 ⇒ AE + AF + AG = 74 ( ) ta có: Từ ( 1) , ( ) ta có: AG = 10 ⇒ AG = 10 Từ ( 2) , ( 4) ta có: AE = 38 Từ ( 3) , ( ) ta có: AF = 26 ⇒ AE = 38 ⇒ AF = 38 1 V ′ = AE AF AG = 9880 = 2470 6 Thể tích khối chóp A.EFG : 2470 V = V′ = 12 Do thể tích tứ diện ABCD : Câu 93 Cho hình chóp tứ giác SA BC Biết góc MN là: BC DM A 15 a 62 có cạnh đáy S ABCD mặt phẳng ( ABCD ) B a Gọi M;N Khoảng cách hai đường thẳng 60 C D 30 31 a trung điểm a 15 68 a 15 17 Lời giải Chọn B Gọi O = AC ∩ BD Gọi trung điểm mà hình chiếu OA ⇒ MH // SO H SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MH vng góc lên mặt phẳng MN ( ABCD ) Do đó, · ; ( ABCD ) = MNH ) · = 600 ( MN Ta có: BC // AD   ⇒ BC // ( ADM ) AD ⊂ ( ADM )  ⇒ d ( BC ; DM ) = d ( BC ; ( ADM ) ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( N ∈ BC ; ( SAD ) ) = 2d ( O; ( SAD ) ) Gọi I trung điểm AD, ta OK ⊥ SI ⇒ OK = d ( O; ( SAD ) ) có ( SAD ) ⊥ ( SOI ) theo giao tuyến SI Kẻ Tính a 10 a 30 a 30 ; MH = ⇒ SO = 4 1 62a 930 30 = + = ⇒ OK = d ( O; ( SAD ) ) = ⇒ d ( N ; ( SAD ) ) = 2OK = 2 15 62 31 OK OS OI NH = Câu 94 phẳng Cho hình chóp tứ giác ( SAB ), ( SAC ) trung điểm cạnh S AB′C ′D′ S ABCD đáy ABCD hình thoi có AC = a, BD = 2a vng góc với mặt đáy tam giác SAC cân tạiA Lấy điểm SB SD Mặt phẳng qua ( AB′D′) cắt cạnh SC C′ Biết hai mặt , B ′ D′ Khi thể tích khối chóp A B a 2a C D a a 18 Lời giải Chọn D Gọi O giao điểm hai đường chéo SO C ′ = AH ∩ SO Dễ thấy SA ⊥ ( ABCD), SA = a Trong mặt phẳng ( SAC ) AC BD SO ∩ B′D′ = H Gọi V thể tích khối chóp : Ta kẻ ( d ) //AC AC ′ cắt ( d) S ABCD K Khi H trung điểm a Khi áp dụng tính đồng dạng V= tam giác ta có: ; OH OA SK SK SC ′ SC ′ = = ⇒ SK = OA ⇒ = = = ⇔ = SH SK AC AC CC ′ SC Vì nên ta có V VS AB′D′ SA SB′ SD′ VS ABD = VS BCD = VS ABCD = = × × = ⇔ VS AB′D′ = V 2 VS ABD SA SB SD VS B′C ′D′ SB′ SC ′ SD′ SC ′ SC ′ V × = × × = × ⇔ VS B′C ′D′ = SC VS BCD SB SC SD SC Suy SC ′ V V  SC ′  V a VS AB′C ′D′ = VS AB′D′ + VS B′C ′D′ = V + × = 1 + ÷= = SC 8  SC  18 Câu 95 Cho hình lập phương P điểm cạnh tích BB′ V1 , V2 ABCD A′B′C ′D′ cho BP = 3PB′ Gọi M,N Mặt phẳng Biết khối tích V1 trung điểm cạnh ( MNP ) AD, CD chia khối lập phương thành hai khối chứa điểmA Tính tỉ số V1 V2 A B V1 = V2 C V1 25 = V2 71 D V1 = V2 V1 25 = V2 96 Lời giải Chọn B Thiết diện tạo mặt phẳng Khi ta có: Ta có: Suy ra: Đặt ( MNP ) hình lập phương ngũ giác V1 = VP.BIJ − ( VK AMJ + VH CIN ) DMN MNHPK (như hình vẽ) (*) tam giác vng cân ∆AMJ, ∆CIN , đó: AB = 2a D tam giác vuông cân AJ = AM = CN = CI = a 3a PB = KA JA a 1 a = = = ⇒ KA = PB = PB JB 3a 3 Khi a HC = KA = Suy ra:  1 a a3 V + V = V = AK AJ AM = a a = H CIN K AMJ  K AMJ 6 ( **)  1 3a 9a V = BP.BI BJ = 3a.3a =  P.BIJ 6 Thay (**) vào (*) ta được: 9a a 25a V1 = − = 12 25a 71a V1 25 ⇒ V2 = VABCD A′B′C ′D′ − V1 = 8a − = ⇒ = 12 12 V2 71 Câu 96 Cho hình chóp SA Khoảng cách từ A S ABC A có đáy tam giác cạnh đến mặt phẳng B 3a V= 12 ( MBC ) 6a Gọi trung điểm a · M · SAB = SCB = 90 Tính thể tích C 3a V= V khối chóp S ABC D 3a V= V= 3a3 12 Lời giải Chọn B Vì thuộc mặt cầu đường kính ⇒ S , A, B , C ·SAB = SCB · SB = 90 Gọi trung điểm , trung điểm tâm đường tròn ngoại tiếp D BC I SB O ∆ABC Ta có OI ⊥ ( ABC ) Gọi H điểm đối xứng với B qua O ⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì đường trung bình OI ∆SHB ) Gọi , ta có trọng tâm BM ∩ AI = J J ∆SAB Trong , kẻ Khi đó, nên ∆AID JN / / IO BC ⊥ ( JND ) ( JND ) ⊥ ( MBC ) Kẻ NE ⊥ JD , ta có NE ⊥ ( MBC ) Do d ( N ; ( MBC ) ) = NE Ta có AD AD d ( A, ( MBC ) ) AD AD = = = = = ND AD − AN d ( N , ( MBC ) ) AD − AO AD − AD Suy ra, 10a d ( N , ( MBC ) ) = d ( A, ( MBC ) ) = 21 Xét có nên 1 10a ∆JND ⇒ SH = 10a = + NJ = ⇒ OI = NJ = 5a NE ND NJ Vậy VSABC 1 a 3a = SH S ABC = 10a = 3 Câu 97 Cho hình chóp AC Hình chiếu vng góc mặt phẳng ( SAB ) có tam giác S ABC ( SBC ) S ABC lên mặt phẳng 60o vuông cân ( ABC ) điểm Thể tích khối chóp , B AB = a H S ABC thỏa mãn Gọi I trung điểm uur uuu r BI = 3IH Góc hai A V= B a V= C a D a 18 V= V= a Lời giải Chọn A Dễ thấy hai tam giác A tam giác Trường hợp 1: SAB SAB suy ·AKC = 60° Ta có ( cạnh chung SAC ( ( SAB ) , ( SBC ) ) kết hợp I = ·AKC trung điểm , IB = IC = SB ), gọi K chân đường cao hạ từ AC suy · = 30° IKC AC a 2a = BH = BI = 2 3 Từ giả thiết tam giác vuông cân ta ABC AC ⊥ BI ⇒ IC ⊥ IK B Trong tam giác vuông có ICK I IC IC a · tan IKC = ⇔ IK = = IK tan 30° Như ( vô lý) IK > IB Trường hợp 2: Do ·AKC = 120° SB ⊥ ( AKC ) ⇒ SB ⊥ IK Như tam giác BKI tương tự phần ta có · tan IKC = nên tam giác BIK đồng dạng với tam giác Vậy thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC = vuông BHS K suy ra: a 2a a = 3 IC IC a ⇔ IK = = IK tan 60° a BK = IB − IK = IK BH 2a SH = = BK Câu 98 Cho hình hộp ( ABCD ) ( BB′C ′C ) A 45° có ABCD A′B′C ′D′ Khoảng cách từ mặt phẳng ( CC ′D′D ) B A vng góc với mặt phẳng đáy A′B đến đường thẳng 60° BB′ DD′ ( ABCD ) , góc AA′ Góc mặt Thể tích khối hộp cho C D 3 Lời giải Gọi , hình chiếu vng góc đường thẳng H K A′ BB′ DD′ Ta có: , d ( A; BB′ ) = d ( A′; BB′ ) = A′H = d ( A; DD′ ) = d ( A′; DD′ ) = A′K = ·A′AB = 45o (·AA′, ( ABCD ) ) = 45° ⇒   A′B ⊥ ( ABCD ) A′B ⊥ ( ABCD ) ⇒ A′B ⊥ AB ( ) Từ ( 1) ( 2) ta suy ∆A′AB ( 1) tam giác vuông cân B ⇒ A′B = AB trung điểm BB′ ⇒ A′B = A′B′ ⇒ H Mặt khác, góc hai mặt phẳng góc hai mặt phẳng ( BB′C ′C ) ( CC ′D′D ) ( AA′D′D ) ( BB′A′A ) nên ta suy ⇒ ∆A′HK · ′K = 60° HA , mà A′H = A′K = tam giác A′H = ⇒ BB′ = ⇒ S A′HK = (chứng minh trên) Lại có:  A′H ⊥ BB′  ⇒ BB′ ⊥ ( A′HK )  A′K ⊥ BB′  A′H ∩ A′K = A′ { }  Do đó: VA′B′D′ ABD = BB′.S A′HK = 3 = Vậy VABCD A′B′C ′D′ = 2VA′B′D′ ABD = Câu 99 Cho Cho hàm số f ( 1) = −2 ln Giá trị A 27 f ( x) = liên tục thỏa mãn điều kiện: ¡ \ { −1;0} x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x ( 1) 2( a + b 2 ) Biết f ( ) = a + b.ln ( a, b Ô ) l: B C D Lời giải Chọn B Xét đoạn [ 1; 2] , chia hai vế phương trình ( 1) cho ( x + 1) , ta được: x x ×f ′ ( x ) + ×f ( x ) = x +1 x +1 ( x + 1) x  x ′ ⇒ ×f ( x )  =  x +1  x +1 x  x ′ ⇒ ∫ × f ( x )  dx = ∫ dx x +1  x +1  ⇒ x   ×f ( x ) + C1 = ∫ 1 − ÷dx x +1  x +1  x ⇒ ×f ( x ) = x − ln x + + C ( ) x +1 Theo giả thiết, f ( 1) = −2 ln nên thay x =1 vào phương trình f ( 1) = − ln + C ⇔ − ln = − ln + C ⇔ C = −1 Thay x=2 vào ( 2) , ta được: 3 f ( ) = − ln − ⇔ f ( ) = − ln 3 2 ( 2) , ta được: 3 ⇒a= , b=− 2 Vậy 2( a + b 2 ) =9 ... BHC ( ( ) ( ) ( ) a a 11 ⇔ x = a 11 + x a − − 2a ⇔ x = 12 − 11 a 2 ) ) S ABCD = a 11 + 12 − 11 a a = 12 2a 1 VS ABCD = SH S ABCD = a 3 .12 2a = 6a 3 Vậy · Câu 58 Cho hình chóp S ABC , đáy... có: S ABB′ ? ?1? ?? 1 1 = S ABB′A′ = S SCMN =  ÷ SCDC ′ = SCDD′C ′ = S  3 2 , 18 18 Ta có: V2 = VCMN BAB′ ( = d ( ( CMN ) , ( BAB′ ) ) SCMN + SCMN S BAB′ + S BAB′ ) ? ?1 1  13 V1 41 13 41 = h ... 3a x + 12 a Ta có d ( B; ( SAC ) ) = x x + 28a Vì ϕ = 60 nên x + 3a x + 12 a 2 2 = ⇔ x x + 28a = x + 3a x + 12 a 2 ⇔ x ( x + 28a ) = ( x + 3a ) ( x + 12 a ) ⇔ 13 x = 36a ⇔ x = 6a 13 1 1 6a 10 39a