HÀM NHIỀU BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.Dãy điểm trong Rn. 2.Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact. 3.Hàm nhiều biến. 4.Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3.Sự khả vi và vi phân. 1.Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2.Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
CHƯƠNG 1: HÀM NHIỀU BIẾN BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA Bài tập: Tìm biểu diễn hình học miền xác định hàm sau: 𝑧 = √9 − 𝑥 − 𝑦 − √𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = √−𝑥 + 𝑦 + √−𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 𝑧 = arcsin + √𝑥𝑦 𝑦 = arcsin(𝑦 − 𝑥) + ln(1 − 𝑥 − 𝑦 ) BTVN: Tìm biểu diễn hình học miền xác định hàm sau: 𝑧 = √(𝑥 + 𝑦 − 4)(9 − 𝑥 − 𝑦 ) 𝑧 = arcsin 𝑧 = arccos 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥−1 𝑧 = ln(𝑥 − 2𝑦 ) + √4 − 𝑥 − 𝑦 BÀI 2: ĐẠO HÀM Bài tập: Tính đạo hàm cấp hàm sau: a 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 )𝑒 5𝑥 b 𝑧 = 𝑥𝑦𝑒 𝑥+𝑦 c 𝑧 = √3𝑦 + ln(2𝑥 + 1) d 𝑧 = ln cos(2𝑥 − 3𝑦) Tính đạo hàm cấp hàm sau: a 𝑧 = (𝑥 + 2𝑥 − 5) sin(𝑦 + 1) b 𝑧 = (𝑥 + 1) ln(5 − 3𝑦) c 𝑧 = 𝑒 𝑥 ln(2𝑦 + 1) d 𝑧 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 √𝑦 BÀI 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN Tìm cực trị hàm số sau: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 12𝑥𝑦 + 2019 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 5𝑥𝑦 + 3 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 27𝑦 + 𝑧 = (𝑥 − 1)2 + 2𝑦 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 − 3𝑥𝑦 BTVN Tìm cực trị hàm số sau: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 6𝑥𝑦 + 2019 𝑧 = 2𝑦 − 𝑥 + 6𝑥𝑦 − 4𝑥 − 10𝑦 + 2019 𝑧 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑦 − 1) BÀI 4: MIN, MAX CỦA HÀM HAI BIẾN Tìm Min, Max hàm số sau: 𝑧 = 𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 𝐷 = {𝑥 + 𝑦 ≤ 1} 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 𝐷 = {𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑥 + 𝑦 = 1} 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 6𝑦 + 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 2; ≤ 𝑦 ≤ 1} BTVN Tìm Min, Max hàm số sau: 2 z = x + 3x + y + miền D = ( x, y ) : x + y 1 2 z = x − 3x + 3x − y − y + miền D = ( x, y ) 2 z = x + y − xy + x + y miền D = ( x, y ) Tìm biểu diễn tập xác định hàm số Tính đạo hàm cấp 1, cấp Tính vi phân cấp 𝑑𝑧 = 𝑧′𝑥 𝑑𝑥 + 𝑧′𝑦 𝑑𝑦 Tìm cực trị hàm số Tìm Min, Max hàm số : x 1, y 2 : x 0, y 0, x + y + 0 BÀI 4: ƠN TẬP CHƯƠNG Nội dung ơn tập Bài tập: Tìm biểu diễn tập xác định hàm số 𝑧 = 2√𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 + 3√3 − 𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 𝑧 = ln(2𝑥 + 𝑦) + √16 − 𝑥 − 𝑦 𝑧 = arcsin(𝑦 − 𝑥) + ln(1 − 𝑥 − 𝑦 ) 𝑧 = arccos(𝑥 + 𝑦) − √2𝑥 − 𝑦 Tính đạo hàm cấp 1: 𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑦 √𝑥 + 𝑦 𝑧 = arctan 𝑥+𝑦 1−𝑥𝑦 Tính vi phân tồn phần cấp 1: 𝑧 = ln(𝑥 + √𝑥 + 𝑦 ) 𝑧 = arcsin 𝑥 √𝑥 +𝑦 Tính đạo hàm cấp 2: 𝑧 = sin(2𝑥 + 3) 𝑒 1−3𝑦 10 𝑧 = ln(4𝑥 − 7) cos(5 + 𝑦) Tìm cực trị hàm số 11 z = x + y + xy − x − y 12 z = y − x + xy − x − 10 y + 2020 Tìm Min, Max hàm số 13 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 𝐷 = {𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1} 14 𝑧 = 𝑥 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 8𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1; ≤ 𝑦 ≤ 2} CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI BÀI 1: TÍCH PHÂN KÉP Tính tích phân miền hình chữ nhật: 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1; ≤ 𝑦 ≤ 2} 𝐼 = ∬𝐷 (6𝑦 − 2𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1; ≤ 𝑦 ≤ 2} 𝜋 𝜋 4 𝐼 = ∬𝐷 cos 𝑥 sin 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ ; ≤ 𝑦 ≤ } Tính tích phân miền: 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = − 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0} 𝐼 = ∬𝐷 (6𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 𝑥; 𝑥 = 4} 𝐼 = ∬𝐷 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 tam giác 𝑂𝐴𝐵 với 𝑂(0; 0), 𝐴(1, −1), 𝐵(2,0) 𝐼 = ∬𝐷 (5𝑦 − 4𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 1, 𝑦 = 0} Tính diện tích hình phẳng: 𝐷 = {𝑥 = −𝑦 ; 𝑦 = 𝑥 + 2} 𝑥 𝐷 = {𝑦 = 𝑥; 𝑦 = ; 𝑦 = 2} 10 𝐷 = {𝑦 = 𝑥 ; 𝑥 + 𝑦 = 2} 11 𝐷 = {𝑥 = 𝑦 ; 𝑥 − 2𝑦 − = 0} Đổi thứ tự tích phân: 12 13 14 15 2x 1 4− x2 3x 6− x x2 I = dx f ( x, y )dy I = dx I = dx I= I= f ( x, y )dy f ( x, y )dy 2− x2 − 16 dx 9− x2 dx −3 f ( x, y )dy f ( x, y )dy x −9 Tính tích phân miền hình bình hành: 17 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑦 = 𝑥 − 1; 𝑦 = −2𝑥 + 1; 𝑦 = −2𝑥 + 4} Tích tích phân miền hình trịn: 18 Tính I = ( x + y + 1)dxdy, với miền D = (x, y) : x + y 9; y 0 D 19 Tính I = (3x + 1)dxdy, với miền D = (x, y) : x + y − y 0 D 20 Tính I = 3xdxdy, với miền D giới hạn bởi: D = x + y − x 0 D 21 Tính I = (1 − x + y )dxdy, với miền D giới hạn bởi: D D = ( x, y ) R : x + y − y 0 22 Tính I = ( x + 3)dxdy với miền D giới hạn bởi: D = x + y x; y 0 D sin 𝜑 𝜋 21, 𝐼 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ (1 − 𝑟)𝑟𝑑𝑟 0 𝜋 𝑟 𝑟 sin 𝜑 = ∫ ( − ) |0 𝑑𝜑 𝜋 64 sin3 𝜑 = ∫(8 sin 𝜑 − )𝑑𝜑 𝜋 = ∫ [4(1 − cos 2𝜑) − 64 sin 𝜑 − sin 3𝜑 ] 𝑑𝜑 16 cos 3𝜑 𝜋 (− 3cos 𝜑 + )] |0 3 16 256 = 4𝜋 − (6 − ) = 4𝜋 − 3 = [4𝜑 − sin 2𝜑 − sin2 𝑥 = − cos 2𝑥 ; sin3 𝑥 = sin 𝑥 − sin 3𝑥 Luyện tập 23 Tính ∬𝐷 (4𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {1 ≤ 𝑥 ≤ 2; ≤ 𝑦 ≤ 3} 24 Tính ∬𝐷 𝑥𝑦 cos 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {−1 ≤ 𝑥 ≤ 1; ≤ 𝑦 ≤ 𝜋} 25 Đổi thứ tự tích phân: ∫0 𝑑𝑥 ∫0 26 Đổi thứ tự tích phân: ∫0 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 27 Tính diện tích hình phẳng: 𝐷 = {𝑥 = 𝑦 ; 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦 } 28 Tính diện tích hình phẳng: 𝐷 = {𝑥 = 𝑦 − 1; 𝑥 = 2𝑦 − 2} 4−𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 √3 𝑦2 29 Tính 𝐼 = ∬𝐷 (9𝑦 − 3𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 = 1; 𝑥 = 30 Tính 𝐼 = ∬𝐷 (3𝑥 𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 2√𝑥} 31 Tính 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 2𝑥 − 2; 𝑦 = 0; 𝑦 = } 4} BTVN Tính 𝐼 = ∬𝐷 (8𝑦 − 2𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 = 4; 𝑥 = 𝑦 } Tính 𝐼 = ∬𝐷 (5𝑦 − 4𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ 2} Tính 𝐼 = ∬𝐷 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 miền tam giác 𝑂𝐴𝐵 với 𝑂(0; 0), 𝐴(1; −1), 𝐵(2; 0) Tính diện tích miền 𝐷 = {2√𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3√𝑥; 𝑥 ≤ 4} Tính diện tích miền D = { } Tính diện tích miền D = { } Đổi thứ tự tích phân: dy y Đổi thứ tự tích phân: dx f ( x, y )dx f ( x, y )dy 4x Tính: 𝐼 = ∬𝐷 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 − 2𝑦 − = 0; 𝑥 − 2𝑦 − = 0; 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3} 10 Tính I = ( x + 1)dxdy, với miền D giới hạn bởi: D = x + y − x 0 D 11 Tính I = (1 − x + y )dxdy, với miền D giới hạn bởi: D D = ( x, y ) R : x + y − 10 y 0 12 Tính I = (1 + y )dxdy, với miền D giới hạn bởi: D D = ( x, y ) R : x + y − x 0; x 0 BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI Tính 𝐼 = ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 = {𝑥 ≥ 0; ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥 − 𝑦 } Tính 𝐼 = ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 = {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 4; 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0} ( x, y, z ) R3 : x + y − y 0 V = Tính tích phân I = (2 z + 1)dxdydz , ,0 z V ( x, y, z ) R : x + y Tính tích phân I = 2dxdydz , V = 2 , z − x − y V 𝐷 = {𝑥 ≥ 0; 𝑥 + 𝑦 = 1} Tính thể tích miền giới hạn bởi: Các mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 Các mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 Các mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧, 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 Các mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4, 𝑥 = 3, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = BTVN Tính tích phân sau: Tính tích phân I = dxdydz , V = ( x, y, z ) R3 : x + y z 4 V Tính tích phân I = dxdydz , V = ( x, y, z ) R3 : z − x − y V ( x, y, z ) R3 : x + y 4 V = Tính tích phân I = dxdydz , ,0 z − x − y V Tính thể tích vật thể giới hạn Các mặt 2𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑧 = Các mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 27, 𝑥 + 𝑦 = 6𝑧 ÔN TẬP CHƯƠNG Các dạng bài: ▪ Tính TP kép miền D hình chữ nhật, hình thang hình trịn ▪ Đổi thứ tự TP ▪ Tính diện tích miền D ▪ Tính TP bội ▪ Tính thể tích vật V √1−𝑥 1 Đổi thứ tự tích phân: 𝐼 = ∫−1 𝑑𝑥 ∫−√1−𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 √4−𝑥 2 Đổi thứ tự tích phân: 𝐼 = ∫0 𝑑𝑥 ∫0 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 Tính diện tích 𝐷 = {𝑥 = −𝑦 ; 𝑦 = 𝑥 + 2} Tính diện tích 𝐷 = {𝑥 = 𝑦 − 𝑦 ; 𝑦 = −𝑥} Tính 𝐼 = ∬𝐷 (7𝑥 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑦2 } Tính 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2, 𝑥 = 3} Tính 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 − 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 + 𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0} Tính 𝐼 = ∬𝐷 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0} ( x, y, z ) R3 : x + y − x 0 Tính tích phân I = (3z + 1)dxdydz , V = ,0 z V 10 Tính 𝐼 = ∭𝑉 𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 = {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 9, 𝑧 ≥ 0} BTVN Tính 𝐼 = ∬𝐷 (3𝑥 𝑦 − 2𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑦 = 2𝑥 , 𝑦 = 2√𝑥} Tính 𝐼 = ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {𝑥 + 𝑦 ≤ 9, 𝑥 ≥ 0} Tính 𝐼 = ∭𝐷 𝑧 √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 = {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0} CHƯƠNG BÀI TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑥𝑑𝑠, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥2 với 𝐴(0,0), 𝐵(2,2) Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑥𝑦𝑑𝑠 với 𝐴𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑠 với 𝐴𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑦 ≥ BTVN Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑦𝑑𝑥 với 𝐴𝐵: 𝑥 = 𝑦 + với 𝐴(1,0), 𝐵(2,1) Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑥𝑦𝑑𝑥 với 𝐴𝐵: 𝑥2 + 𝑦2 16 = 𝑥 ≥ BÀI 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Tính TP sau: 𝑥 = − 𝑡3 𝐼 = ∫𝐴𝐵(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦, với 𝐴𝐵 { với 𝐴(2; 5) 𝐵(3; 4) 𝑦 =𝑡+4 HD: Thay 𝐴(2; 5) vào hệ ta có {2 = − 𝑡 → 𝑡𝐴 = 5=𝑡+4 Tương tự, tìm 𝑡𝐵 cận 𝑡 từ 𝑡𝐴 đến 𝑡𝐵 𝐼 = ∫𝐴𝐵(𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: 4𝑥 + 𝑦 = nối 𝐴(1,0) đến 𝐵(0,2) 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑥𝑦𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥 với 𝐴(0,0), 𝐵(2,8) 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑦𝑑𝑥 − (𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 nằm trục Ox 𝐼 = ∫𝐴𝐵(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: 𝑥2 16 + 𝑦2 = nằm phía Ox 𝐼 = ∫𝐿+ (𝑥𝑦 + cos 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦, với 𝐿 tam giác 𝑂𝐴𝐵 với 𝑂(0,0), 𝐴(1,0), 𝐵(0,1) 7 𝐼 = ∮𝐿+(𝑦 + √𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑦, với 𝐿 hcn 𝐴𝐵𝐶𝐷 với 𝐴(0,0), 𝐵(0,2), 𝐶(−2,2), 𝐷(−2,0) 𝐼 = ∮𝐿− (𝑥𝑦 + √𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 − 𝑦 )𝑑𝑦, với 𝐿 hình trịn 𝑥 + 𝑦 = 𝐼 = ∮𝐿+(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, với 𝐿 hình trịn 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 10 𝐼 = ∮𝐿+(𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦 + 2(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥, với 𝐿 tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴(1,1), 𝐵(3,1), 𝐶(1,3) (Chú ý thứ tự dx,dy) 11 𝐼 = ∮𝐿− (𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 + (𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥, với 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 16 = Định lý mệnh đề tương đương 12 Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑦𝑑𝑥−𝑥𝑑𝑦 13 Tính 𝐼 = ∫𝐴𝐵 𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥 𝑥2 (𝑥−𝑦)2 với 𝐴𝐵 đường cong nối 𝐴(2,1), 𝐵(1,2) với 𝐴𝐵 đường cong nối 𝐴(0, −1), 𝐵(1,0) Chứng minh biểu thức sau VPTP hàm 𝑢(𝑥, 𝑦) Tìm 𝑢 14 (2𝑥 − 3𝑥𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 3𝑥 𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 15 (3𝑥 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 )𝑑𝑥 − (𝑥 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 )𝑑𝑦 BTVN 𝑥 =2−𝑡 𝐼 = ∫𝐴𝐵(𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: { nối 𝐴(0,6) đến 𝑦 = 𝑡2 + 𝐵(2,2) 𝐼 = ∫𝐴𝐵(𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦𝑑𝑦, với 𝐴𝐵: 𝑦 = 𝑥 nối 𝐴(−1,1) đến 𝐵(1,1) 𝐼 = ∫𝐴𝐵 −2𝑥𝑦𝑑𝑥+(𝑥 −𝑦 )𝑑𝑦 𝑥 +𝑦 , với 𝐴𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 ≥ 4 𝐼 = ∮𝐿+(𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑥, với 𝐿 tam giác 𝐴𝐵𝐶 𝐴(1,1, ), 𝐵(2,1), 𝐶(1,2) 𝐼 = ∮𝐿− 𝑥𝑦 𝑑𝑦 − 𝑥 𝑦𝑑𝑥, với 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = 𝐼 = ∮𝐿+(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦, với 𝐿: 𝑥2 + 𝑦2 I = ( 3x − xy + y ) dx − ( x − xy + y ) dy Tính L = , L đường cong nối từ điểm O ( 0, ) đến điểm A ( 2, ) Chứng minh biểu thức sau VPTP hàm 𝑢(𝑥, 𝑦) Tìm 𝑢 𝑥(2 − 9𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + 𝑦(4𝑦 − 6𝑥 )𝑑𝑦 𝑥2 (1 − 𝑥 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 BTVN Tính I = (2 x + y)dx + ( y + x)dy , AB x = − t AB cung y = t + Tính I = xe x2 + y nối từ điểm A(2; 4) đến điểm B (0;12) ds , L L phần đường tròn x + y = nằm góc phần tư thứ hai Tính I = ( x + xy ) dx + ( x y − y ) dy , L L đường cong nối từ điểm A ( −2, −1) đến điểm B ( 3, ) BÀI TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 Tính 𝐼 = ∬𝑆 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑠 với 𝑆 mặt phẳng 𝑧 = giới hạn mặt trụ 𝑦 = 4𝑥, 𝑥 = Tính 𝐼 = ∬𝑆 𝑧 𝑑𝑠 với 𝑆 mặt 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 giới hạn mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑥 = 1, 𝑦 = Tính 𝐼 = ∬𝑆 𝑥 𝑑𝑠 với 𝑆 mặt phẳng 𝑧 = giới hạn mặt trụ 𝑦 = 1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑥 + Tính tích phân mặt loại sau: ∬Ω 𝑥𝑦 𝑑𝑠, với Ω mặt 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 giới hạn mặt phẳng 𝑧 = 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ Cơng thức: Diện tích mặt cong 𝑆 = ∬𝑆 𝑑𝑠 (hàm lấy TP=1) Tính diện tích mặt Ω với Ω mặt phẳng 𝑧 = giới hạn mặt trụ 𝑦 = 4𝑥, 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑦 ≤ Tính diện tích mặt Ω Ω phần mặt nón 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 bị cắt mặt phẳng 𝑧 = BTVN Tính tích phân mặt loại sau: ∬Ω (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑠, với Ω mặt 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 giới hạn mặt phẳng 𝑧 = Tính tích phân mặt loại sau: ∬Ω (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑠, với Ω mặt tồn phần hình trụ 𝑥 + 𝑦 = 4, ≤ 𝑧 ≤ Tính diện tích mặt cong Ω với Ω phần mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 bị cắt mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 ÔN TẬP CHƯƠNG I= Tính ( xy + cos x)dx + ( xy − y )dy , OABO OABO biên tam giác nối điểm: O(0;0), A(1;0), B(0;1) Tính ( x + y)dx + ( x − y)dy I= AB x = − t AB cung y = t + Tính I= L , nối từ điểm A(0; 6) đến điểm B (2; 2) x+ y ds x2 + y , L phần đường tròn x + y = nằm góc phần tư thứ hai Tính I = ( xy − 1)dx + x ydy L , L đường thẳng có phương trình x + y = nối từ điểm A (1, ) đến điểm B ( 0, ) Tính I = L ( ) x xy + y dx − dy , y y L đường cong nối từ điểm O ( 0, ) đến điểm A (1,1) Tính tích phân ( x x + y + y)dx + ( y x + y + x)dy , L đường L nối hai điểm A(0, −2), B(2, 0) Tính tích phân L+ dx + dy , L chu tuyến hình vng ABDC với x+ y A(1;0), B(0;1), C ( −1;0), D(0; −1) , tích phân lấy theo chiều dương y Chứng minh biểu thức − x dx + (1 + ln x ) dy vi phân toàn phần hàm x số u ( x, y ) Tìm hàm u Chứng minh biểu thức ( y + cos x ) dx + ( y x + cos y ) dy vi phân toàn phần hàm số u ( x, y ) Tìm hàm u 10 Tính tích phân mặt loại sau ∬Ω (1+𝑥+𝑦)2 𝑑𝑠, Ω mặt biên tứ diện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 11 Tính diện tích mặt Ω Ω mặt tồn phần hình trụ 𝑥 + 𝑦 = 4, 𝑧 = CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI PTVP CẤP PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY 𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦 = (𝑥𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥 𝑦)𝑑𝑦 = 𝑥(1 + 𝑦 )2 𝑑𝑥 + 𝑦(1 + 𝑥 )2 𝑑𝑦 = (1 + 𝑒 2𝑥 )𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥, 𝑦(0) = PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 𝑦 ′ = 𝑦2 𝑥2 −2 (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒 −𝑥 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 𝑥+1 =𝑥 (1 + 𝑥 )𝑦 ′ − 2𝑥𝑦 = (1 + 𝑥 )2 10 (1 + 𝑥 )𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = + 𝑥 11 𝑥𝑑𝑥 = ( 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦 ) 𝑑𝑦 (Gợi ý: Chia cho dy) BTVN sin 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦 ′ cos 2𝑦 − sin 𝑥 = 𝑥𝑦𝑦 ′ + 𝑥 − 2𝑦 = (𝑥 − 𝑦 )𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 𝑥+1 = −1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 𝑦 ′′ − 4𝑦 = 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 13𝑦 = 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 29𝑦 = 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 2𝑥 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 + 2𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 𝑦 = 2𝑥𝑒 𝑥 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 3𝑒 2𝑥 BTVN 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 𝑥 + 2𝑥 − 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 2𝑥 𝑦 ′′ − 7𝑦 ′ + 6𝑦 = 8𝑒 2𝑥 ... : x 1, y 2 : x 0, y 0, x + y + 0 BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG Nội dung ơn tập Bài tập: Tìm biểu diễn tập xác định hàm số