Về ước lượng metric Kobayashi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN QUANG VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN QUANG VỀ ƯỚC LƯỢNG METRIC KOBAYASHI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Ninh Văn Thu Hà Nội - Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Hàm điều hòa, đa điều hòa 1.3 Miền giả lồi, giả lồi chặt 11 1.4 Hàm Green, Green đa cực 12 1.5 Kiểu hữu hạn, vô hạn 13 1.6 Miền C-lồi, C-lồi hóa 14 1.7 Metric Kobayashi, khoảng cách Kobayashi 14 Chương So sánh hàm Green thực với hàm Green phức ước lượng chặt khoảng cách Kobayashi 19 2.1 Ký hiệu đại lượng bổ trợ 19 2.2 Tỉ số hàm Green 20 2.3 Cận hàm Lempert 21 2.4 Ước lượng khoảng cách Kobayashi 24 2.5 Chứng minh Định lý 2.2.1, 2.2.2 2.2.3 27 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn TS Ninh Văn Thu Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy Thầy dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy khoa Tốn Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên kiến thức, điều tốt đẹp mà nhận suốt trình học tập khoa Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Phịng Sau Đại học nhà trường tạo điều kiện cho tơi hồn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối cùng, muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân bạn bè Những người bên cạnh động viên ủng hộ vật chất tinh thần sống học tập Mặc dù thân tơi có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Hà nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyên Văn Quang Danh mục ký hiệu GD (z, w) Hàm Green cực w ∈ D gD (z, w) Hàm Green đa cực cực w ∈ D SH− (D) Tập hàm điều hòa D P SH− (D) Tập hàm đa điều hòa D δD (z) Khoảng cách từ z tới biên D lD (z, w) Hàm Lempert κD (z; X) Metric Kobayashi-Royden kD (z, w) Khoảng cách Kobayashi O(E, G) Tập ánh xạ song chỉnh hình từ E vào G Lời nói đầu Trong tốn học đặc biệt hình học phức, metric Kobayashi giả metric liên quan tới đa tạp phức Nó giới thiệu Shoshichi Kobayashi vào năm 1967 Đa tạp hyperbolíc lớp quan trọng đa tạp phức, xác định tính chất giả metric Kobayashi metric Các khái niệm ban đầu metric Kobayashi nằm bổ đề Schwarz giải tích phức Cụ thể, f hàm chỉnh hình đĩa đơn vị mở D tập số phức C cho f (0) = |f (z)| < với z thuộc D đạo hàm f (0) có giá trị tuyệt đối lớn Tổng quát hơn, với ánh xạ chỉnh hình f từ D vào (khơng thiết gửi vào 0), tồn cận phức tạp đạo hàm f điểm D Tuy nhiên, cận có cơng thức đơn giản metric Poincare, metric Riemann đầy đủ D với độ cong −1 Điều khởi đầu cho liên hệ giải tích phức hình học với độ cong âm Với khơng gian phức X, giả metric Kobayashi kX định nghĩa giả metric lớn X cho kX (f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y), với ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa đơn vị D lên X, ρ(x, y) ký hiệu khoảng cách metric Poincare D Theo nghĩa đó, cơng thức tổng quát hóa bổ đề Schwarz cho tất các không gian phức Một không gian phức X gọi hyperbolíc giả metric Kobayashi kX metric, có nghĩa kX (x, y) > với x = y X Lý thuyết khoảng cách Kobayashi ngày trở nên thú vị có nhiều ví dụ đa tạp hyperbolíc tìm với tính chất giải tích, tính chất tôpô, ước lượng đánh giá giả khoảng cách Kobayashi ánh xạ chỉnh hình Các kết trường hợp ngoại lệ đa tạp Banach giải tích, khối cầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, ánh xạ song chỉnh hình vài dạng miền không giả lồi với biên giải tích thực Trong luận văn chúng tơi trình bày khái niệm giả khoảng cách Kobayashi trình bày số kết ước lượng chặt khoảng cách Kobayashi dựa báo “Comparison of the real and the complex Green functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance” N Nikolov P.J Thomas đăng arXiv: 1608.06615v1 năm 2016 Cụ thể, ngồi phần Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” Trong chương ta trình bày số kiến thức hàm chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa dưới, hàm Green, hàm Green đa cực, miền C-lồi, C-lồi hóa được, giả khoảng cách Kobayashi, metric Kobayashi Chương 2: “So sánh hàm Green thực với hàm Green phức ước lượng chặt khoảng cách Kobayashi” Trong chương chúng tơi trình bày tỉ số so sánh hàm Green thực với hàm Green phức, sau chúng tơi trình bày ước lượng cận hàm Lempert ước lượng khoảng cách Kobayashi Vì trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, tơi hy vọng nhận nhiều ý kiến đóng góp từ thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa số ví dụ hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green, hàm Green đa cực, miền C-lồi, C-lồi hóa được, giả khoảng cách Kobayashi, metric Kobayashi 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử D miền mặt phẳng phức C f hàm biến phức z = x + iy xác định D Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Hàm f gọi C-khả vi điểm z0 ∈ D tồn giới hạn lim h→0 h=0 f (z0 + h) − f (z0 ) h Trong trường hợp này, ta nói f có đạo hàm theo biến phức điểm z0 df ký hiệu f (z0 ) hay (z0 ): dz f (z0 ) = df f (z0 + h) − f (z0 ) (z0 ) = lim dz h h→0 Xét vi phân df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y Đối với hàm z = x + iy z = x − iy, ta có dz = dx + idy, dz = dx − idy (1.1) đó, thu dx = (dz + dz), dy = (dz − dz) 2i (1.2) Thế (1.2) vào (1.1), ta thu hệ thức df = ∂f ∂f ∂f ∂f −i dz + +i dz ∂x ∂y ∂x ∂y Bằng cách đặt ∂f ∂f ∂f = −i , ∂z ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = +i ∂z ∂x ∂y (1.3) ta thu ∂f ∂f ∂f = + , ∂x ∂z ∂z ∂f ∂f ∂f =i − ∂y ∂z ∂z (1.4) ta viết biểu thức vi phân (1.1) dạng df = ∂f ∂f dz + dz ∂z ∂z (1.5) Định lý 1.1.2 ([1]) Hàm f C-khả vi điểm R2 -khả vi điểm ∂f = ∂z Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Giả sử D miền mặt phẳng phức C (i) Hàm f : D → C gọi hàm chỉnh hình điểm z0 C-khả vi lân cận điểm z0 (ii) Hàm f : D → C gọi hàm chỉnh hình miền D chỉnh hình điểm miền Tập hợp hàm chỉnh hình miền D ký hiệu O(D) (iii) Hàm f (z) chỉnh hình điểm vơ hàm ϕ(z) = f z chỉnh hình điểm z = Định nghĩa 1.1.4 Giả sử D, E miền mặt phẳng phức Hàm f : E → D gọi song chỉnh hình song ánh chỉnh hình từ E vào D Tập hợp hàm song chỉnh hình từ E vào D ký hiệu O(E, D) Ví dụ 1.1.5 Một số hàm chỉnh hình sơ cấp • hàm đa thức P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an , • hàm w = z n z = √ n w, n ∈ N, • hàm ez , • hàm lơgarit, • hàm lũy thừa z α , α ∈ R, • hàm lượng giác sin z, cos z, tan z, cot z Định lý 1.1.6 ([1]) Nếu f g chỉnh hình D thì: (i) f + g chỉnh hình D (f + g) = f + g (ii) f g chỉnh hình D (f g) = f g + f g (iii) Nếu g(z0 ) = f /g chỉnh hình z0 f g (z0 ) = f (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g (z0 ) g (z0 ) Định lý 1.1.7 ([1]) Nếu f (w) hàm chỉnh hình miền E ⊂ C g : D → E hàm chỉnh hình miền D ⊂ C hàm hợp f [g(z)] chỉnh hình D Chứng minh Thật vậy, dễ thấy ∂f ∂g ∂f ∂g ∂[f (g)] = · + · ∂z ∂w ∂z ∂w ∂z Theo giả thiết D 1.2 ∂f ∂g = 0, = 0, ta suy f [g(z)] hàm chỉnh hình ∂w ∂z Hàm điều hịa, đa điều hịa Lớp hàm thực liên quan cách chặt chẽ với hàm chỉnh hình lớp hàm điều hòa 21 Định lý 2.2.2 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, C 2m -trơn, C-lồi hóa địa phương kiểu 2m Khi đó, tồn C > cho với z, w ∈ D, g˜D (z, w) ≥ m log + C |z − w| δD (z)1/2m 1+C |z − w| δD (w)1/2m (2.2) Chứng minh Định lý 2.2.2 dựa ước lượng địa phương tương ứng, bao gồm trường hợp cực điểm argument dần tới điểm biên Định lý 2.2.3 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, C 2m -trơn C-lồi hóa địa phương gần điểm a ∈ ∂D kiểu 2m Khi đó, tồn lân cận U a C > cho |z − w| , z ∈ D, w ∈ D ∩ U, δD (w)1/2m |z − w| g˜D (z, w) ≥ m log + C , z ∈ D ∩ U, w ∈ D δD (z)1/2m g˜D (z, w) ≥ m log + C 2.3 (2.3) (2.4) Cận hàm Lempert Ta sử dụng hàm giảm chỉnh hình địa phương khác, với ký hiệu khác với ký hiệu thông thường [8], thống với ký hiệu bên quy ước bên Cho D ⊂ Cn , z, w ∈ D Hàm Lempert định nghĩa ˜lD (z, w) := inf{p(ζ, ω) : ζ, ω ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(ζ) = z, ϕ(ω) = w} Theo quy ước bên trên, điều có nghĩa ∗ (z, w) := inf lD ζ −ω : ζ, ω ∈ D, ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(ζ) = z, ϕ(ω) = w , − ζω ∗ (z, w) ∈ (−∞, 0), đại lượng dễ so sáng với hàm lD (z, w) = log lD Green (Giả ) metric Kobayashi-Royden áp dụng cho véctơ X ∈ Cn κD (z; X) := inf{λ > : ∃ϕ ∈ O(D, D) : ϕ(0) = z, λϕ (0) = X} 22 (Giả ) khoảng cách Kobayashi giả khoảng cách lớn làm trội hàm Lempert Nó xác định k˜D (z, w) := inf γ κD (γ(t); y (t))dt, cận lấy tất đường cong C -trơn γ : [0, 1] → D với γ(0) = z γ(1) = w Khi đó, kD (z, w) = log k˜D (z, w) Ta có kD ≤ lD , gD ≤ lD (2.5) Trong trường hợp lồi, định lý Lempert khẳng định chúng dấu Điều mở rộng cho miền bị chặn, C -trơn C-lồi Khơng có bất đẳng thức tổng quát k˜D g˜D , k˜D đối xứng theo đối số nó, g˜D khơng phải lúc vậy, ta thấy giả thiết chúng ta, chúng có dáng điệu tương tự Mệnh đề (2.5) số mũ tất định lý tối ưu Mệnh đề 2.3.1 Cho D ⊂ Cn miền mà C -trơn C-lồi gần điểm a ∈ ∂D có kiểu 2m Ký hiệu na nửa đường pháp tuyến (inner normal half-line) ∂D a Khi đó, tồn hàm τ : na → R+ , véctơ X ∈ TaC ∂D, C > cho |z − w| w−z = X} ≤ C lim sup{˜lD (z, w) : |w − z| < τ (z), |w − z| δD (z)1/2m na z→a Chứng minh Theo [14, Hệ Mệnh đề 8], tồn véctơ X ∈ TaC ∂D cho κD (z; X) ≈ δD (z)−1/2m với z ∈ na gần a Áp dụng [11, Mệnh đề 2], ta có κD (z; X) ≥ lim sup λ ˜lD (z, z + λX) |λ| Nên ta có kết sau đặc trưng kiểu điểm Hệ 2.3.2 Cho D ⊂ Cn miền thỏa mãn C -trơn C-lồi hóa địa phương gần điểm a ∈ ∂D Gọi hD (z, w) hàm lD (z, w), kD (z, w), gD (z, w 23 gD (w, z) Khi đó, a có kiểu nhiều 2m tồn lân cận U a C > cho ˜ D (z, w) ≥ C log + C |z − w| h δD (z)1/2m , z ∈ D ∩ U, w ∈ D (2.6) Một câu hỏi tự nhiên tìm cận hàm gD kD không, thật ra, nhiều kết cho kD đưa theo hướng này, xem [10] Ví dụ, để thu ước lượng trên, sử dụng (2.5), ta cần tìm cận ˜lD (z, w) Mệnh đề 2.3.3 Cho D ⊂ Cn bị chặn, C -trơn, C-lồi hóa địa phương Khi đó, tồn C > cho ˜lD (z, w) ≤ log + C |z − w| δD (z)1/2m δD (w)1/2m , z, w ∈ D (2.7) Chứng minh Theo (2.9) (chứng minh bên dưới), với ε0 > cho trước, (2.7) với |z−w| ≥ ε0 Nếu min(δD (w), δD (z)) ≥ ε0 ta suy (2.7) Theo tính đối xứng hàm số, ta giả sử δD (z) ≤ δD (w) ≤ 2ε0 Với a ∈ ∂D, ta chọn lân cận bị chặn U0 a cho D ∩ U0 C- lồi hóa C -trơn (xem [13, Mệnh đề 3.3]), phép chiếu π lên ∂D hoàn toàn xác định U0 Chọn lân cận a, U2 cho D ∩ U1 U1 , D ∩ U0 , ε1 > cho z ∈ D ∩ U1 δD (z) ≤ ε1 kéo theo δD∩U0 (z) = δD (z) Ta phủ ∂D họ hữu hạn U2 , chọn ε0 > cho với z, w thỏa mãn δD (z) ≤ δD (w) ≤ 2ε0 |z − w| ≤ ε0 Khi đó, z ∈ U2 , w ∈ U1 (với a ∈ ∂D) δD∩U0 (z) = δD (z), δD∩U0 (w) = δD (w) Cho z, w trên, ˜lD (z, w) ≤ ˜lD∩U0 (z, w) Khi đó, theo định lý Lempert, ˜lD∩U = k˜D∩U , theo [10, Hệ 8], ta có 0 |z − w| δD∩U0 (z)1/2 δD∩U0 (w)1/2 |z − w| = log + C δD (z)1/2 δD (w)1/2 k˜D∩U0 (z, w) ≤ log + C Mệnh đề kéo theo thừa số m Định lý 2.2.2-2.4.2 tốt Mặt khác, định lý số mũ 1/2 Mệnh đề 2.3.3 tốt Theo (2.1), ta có: 24 Hệ 2.3.4 Cho D ⊂ Cn bị chặn, C -trơn, C-lồi hóa địa phương Khi đó, tồn C > cho gD (z, w) ≥ C|z − w|2n−2 , z, w ∈ D, z = w GD (z, w) (2.8) Chứng minh Từ (2.1), ta suy (2.8) tương đương với gD (z, w) − 1, δD (z)δD (w) |z − w|2 Sử dụng Mệnh đề 2.3.3 Bổ đề 2.1.1, ta suy lD ≥ gD Ta biết từ [12, Định lý 2] D miền bị chặn, C 1+ε Cn ước lượng yếu (2.7) đúng: ˜lD (z, w) ≤ log C δD (z)1/2 δD (w)1/2 (2.9) Ta ý tới việc (2.7) (2.8) có cịn trường hợp tổng qt khơng hay khơng 2.4 Ước lượng khoảng cách Kobayashi Định lý 2.4.1 Cho D ⊂ Cn miền bị chặn, C 2m -trơn, C-lồi hóa địa phương kiểu 2m Khi đó, tồn C > cho với z, w ∈ D, |z − w| k˜D (z, w) ≥ m log + C δD (z)1/2m 1+C |z − w| δD (w)1/2m (2.10) Điều suy từ kết chặt địa phương tương ứng Định lý 2.4.2 Cho D ⊂ Cn miền mà C -trơn C-lồi hóa địa phương gần điểm a ∈ ∂D có kiểu 2m Khi đó, tồn lân cận U a C > cho với z ∈ D ∩ U , w ∈ D, |z − w| k˜D (z, w) ≥ m log + C δD (z)1/2m (2.11) Chứng minh Định lý 2.4.1 Dưới giả thiết Định lý 2.4.1, Định lý 2.4.2 lập luận tính compact tồn δ0 > cho (2.11) xảy cách đồng với z, w ∈ D δD (z) < 2δ0 Do tính đối xứng, ta cần xét ba trường sau 25 Trường hợp δD (z) ≥ δ0 , δD (w) ≥ δ0 Khi đó, (2.10) rút từ bất đẳng thức k˜D (z, w) |z − w|, miền bị chặn Trường hợp δD (z) < δ0 , δD (w) ≥ 2δ0 |z − w| |z − w| Khi đó, theo (2.11), ta suy (2.10) (với C δD (z)1/2m δD (w)1/2m lớn hơn) Trường hợp δD (z) < δ0 , δD (w) < 2δ0 Với ε > 0, chọn đường cong γ cho chiều dài Kobayashi-Royden bị chặn (1+ε)k˜D (z, w) Chọn điểm u ∈ γ cho |z −u| = |u −w| ≥ |z −w| Khi đó, theo định nghĩa khoảng cách Kobayashi áp dụng (2.11) cho (z, u) (w, u) ta (1 + ε)k˜D (z, w) ≥ k˜D (z, u) + k˜D (u, w) ≥ m log + C z−w 2δD (z)1/2m + m log + C z−w 2δD (w)1/2m thay C C/2, ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 2.4.2 Tồn lân cận U0 a phép nhúng chỉnh hình Φ : U → Cn cho Φ(D ∩ U0 ) miền C-lồi Gọi U1 U2 hai lân cận a cho U1 U2 U0 Cho z ∈ D ∩ U1 Trường hợp |z − w|2m ≤ δD (z) Do log(1 + x) ≤ x, ta cần chứng minh k˜D (z, w) |z − w| δD (z)1/2m Đặt k˜D (D ∩ U1 , D\U2 ) =: C2 > Ta giả sử k˜D (z, w) < C1 Khi đó, đường cong nối z w có độ dài Kobayashi-Royden < C1 phải nằm bên U2 Do κD (u, X) κD∩U0 (u, X), (xem [8, Mệnh đề 7.2.9]), nên k˜D (z, w) u ∈ U2 , X ∈ Cn k˜D∩U0 (z, w) Từ bây giờ, ta đánh giá k˜D∩U0 (z, w) Gọi L đường thẳng phức qua z := Φ(z) w := Φ(w) Lấy z0 ∈ L ∩ ∂Ω cho |z − z0 | = δL∩Ω (z ) Cho P phép chiếu tuyến tính từ Cn vào L, song song với siêu phẳng tiếp xúc phức 26 ∂Ω z0 Khi đó, P (Ω) miền liền đơn liên (xem [1, Định lý 2.3.6]), z0 ∈ ∂P (Ω) Do đó, k˜D∩U0 (z, w) = k˜Ω (z , w ) ≥ k˜P (Ω) (z , w ) ≥ |z − w | log + δP (Ω) (z ) = |z − w | log + δL∩Ω (z ) , δΩ (z )1/2m ; (với bất đẳng thức thứ hai xem [15]) Theo [14], δL∩Ω (z ) Φ song chỉnh hình lân cận D ∩ U2 , ta có |z − w | ≈ |z − w| δΩ (z ) ≈ δD∩U0 (z) ≤ δD (z), nên cuối ta thu (i) Trường hợp |z − w|2m ≥ δD (z) Ta giả sử D ∩ U0 C -trơn, phép chiếu π lên ∂D hoàn toàn xác định U0 Ta cần chặn độ dài Kobayashi-Royden đường γ cho γ(0) = z γ(1) = w Nếu γ([0, 1]) ⊂ U1 (cụ thể w ∈ / U1 ), đặt t∗ := min{t ∈ [0, 1] : γ(t) ∈ / U1 } Ta cần chặn độ dài γ([0, t∗ ]), nên ta rút gọn trường hợp w ∈ U1 Cho Ψ phép nhúng chỉnh hình cho Ψ(D ∩ U0 ) =: Ω C-lồi Áp dụng kết K Diederich J.E Fornaess hàm tựa Ω, cần thiết thu nhỏ U1 , ta tìm lân cận a, U1 U2 U0 cho với a ∈ U1 , tồn Sa chỉnh hình Cn , C, C > cho − C |ξ − Φ(a )| ≤ Re SΦ(a ) (ξ) ≤ −C|ξ − Φ(a )|2m , (2.12) ξ ∈ Φ(U2 ), SΦ(a ) (Φ(a )) = Ta định nghĩa hàm Pz chỉnh hình U0 Pz (ζ) := eSΦ(π(z)) (Φ(ζ)) (2.13) Vì Φ vi đồng phôi song lipschitz U2 nên với ζ ∈ U2 , ta có |1 − Pz (ζ)| |ζ − π(z)| − |Pz (ζ)| |ζ − π(z)|2m (2.14) Điều có nghĩa ta áp dụng [6, Bổ đề 2.2] Từ [6, Định lý 2.1], ta suy tồn C1 > cho với z ∈ D ∩ U1 X ∈ Cn , κD∩U0 (z; X) ≥ κD (z; X) ≥ (1 − C1 δD (z))κD∩U0 (z; X) 27 Do đó, ta có 1 κD (γ(t), γ (t))dt ≥ (1 − C1 δD (γ(t)))κD∩U0 (γ(t), γ (t))dt (2.15) Đặt λ := Pz ◦ γ Khi đó, κD∩U0 (γ(t), γ (t)) ≥ κD (λ(t), λ (t)) ≥ |λ (t)| 2(1 − |λ(t)|) Mặt khác, theo (2.14), ta có − C1 δD (γ(t)) ≥ − C1 |γ(t) − π(z)| ≥ − C1 (1 − |Pz (γ(t))|)1/2m = − C1 (1 − |λ(t)|)1/2m Kết hợp đánh giá này, hai lần phải (2.15) bị chặn 1 − C1 (1 − |λ(t)|)1/2m |λ (t)|dt ≥ − |λ(t)| 1 d |λ(t)|dt + O(1) − |λ(t)| dt − |λ(1)| = log + O(1) − |λ(0)| − |Pz (w)| = log + O(1) − |Pz (z)| Theo (2.14), ta có − |Pz (z)| − |Pz (w)| |z − π(z)| = δD (z), |w − π(z)|2m ≥ (|w − z| − |z − π(z)|)2m Do δD (z) ≤ (C0−1 |w − z|)2m < 21 |w − z| với C0 đủ lớn nên ta có − |Pz (w)| |w − z|2m điều phải chứng minh 2.5 Chứng minh Định lý 2.2.1, 2.2.2 2.2.3 Chứng minh công thức (2.3) Định lý 2.2.3 Chọn lân cận U0 a cho D ∩ U0 C-lồi hóa C -trơn Trường hợp |z − w| ≤ δD (w)1/2m Ta chọn lân cận U U0 cho với w ∈ D∩U , z ∈ D∩U0 δD∩U0 (w) = δD (w) Theo Bổ đề 2.1.1(ii), ta phải chứng minh gD (z, w) ≥ log Đầu tiên ta rút gọn gD∩U0 |z − w| + O(1) δD (w)1/2m 28 Bổ đề 2.5.1 Thu nhỏ U cần, tồn C > cho gD (z, w) ≥ gD∩U0 (z, w) − C, z ∈ D ∩ U0 , w ∈ D ∩ U (2.16) Chấp nhận bổ đề này, ta áp dụng định lý Lempert cho D ∩ U0 thu gD (z, w) ≥ kD∩U0 (z, w) − Ca Theo Định lý 2.4.2, k˜D∩U0 (z, w) xác nhận (2.3) (nếu cần thiết thu nhỏ U lần nữa), kD∩U0 (z, w) ≥ |z − w| + O(1), δD (w)1/2m ta hoàn thành Chứng minh Bổ đề 2.5.1 Chứng minh tương tự với chứng minh [4, |z − a| Định lý 1] Đặt ψ(z) = log U1 U0 D lân cận a thỏa diam D mãn D\U0 ψ > c := + supD ∩∂U1 ψ Cố định w ∈ D ∩ U1 đặt d(w) = inf z∈D∩∂U1 gD∩U0 (z, w), u(z, w) = (c − ψ(z))d(w), z ∈ D Vì u(z, w) ≤ gD∩U0 (z, w) với z ∈ D ∩ ∂U1 , u(z, w) > > gD∩U0 (z, w) với z ∈ N ∩ (D ∩ U0 ), N lân cận ∂U0 , nên hàm v(z, w) =   gD∩U0 (z, w), w ∈ D ∩ U1   w ∈ D\U0 max{gD∩U0 (z, w), u(z, w)}, D ∩ U0 \U1 u(z, w), hàm đa điều hòa theo z với cực điểm logarit w Ngoài ra, v(z, w) < cd(w) nên gD (z, w) ≥ v(z, w) − cd(w) Bây giờ, (2.16) suy cách lấy U U1 C := inf w∈D∩U d(w) Trường hợp |z − w| ≥ δD (w)1/2m Theo Bổ đề 2.1.1(i), ta phải chứng minh gD (z, w) − δD (w) |z − w|2m (2.17) Theo Định lý 2.4.2 định lý Lempert, gD∩U0 (z, w) − δD (w) , z ∈ D ∩ U0 , w ∈ D ∩ U |z − w|2m (2.18) Ta dựa theo phần chứng minh [3, Bổ đề 3] Bất đẳng thức tương tự với [3, trang 29, bất đẳng thức (5)] 29 Ký hiệu B(w, r) hình cầu tâm w với bán kính r Đặt r0 := dist(U, D\U0 ) λ := min{r0 , |z − w|} Khi đó, ta có D ∩ B(w, λ) ⊂ D ∩ B(w, 2r0 ) ⊂ D ∪ U0 Chú ý diam D λ r0 λ ≤ |z − w| ≤ (2.19) đặt b := − inf{gD∩U0 (ζ, w) : |ζ − w| = λ, ζ ∈ D} Khi đó, từ (2.18) (2.19), ta có b δD (w) λ2m δD (w) |z − w|2m (2.20) Đặt v(ζ) := b |ζ−w| 2r0 log 2rλ0 log Theo cách xây dựng, v(ζ) = > gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D ∩ ∂B(w, 2r0 ) v(ζ) = −b ≤ gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D ∩ ∂B(w, λ) Do đó, ta xây dựng hàm đa điều hòa u với điểm kỳ dị logarit w cách đặt u(ζ) :=   gD∩U0 (ζ, w), ζ ∈ B(w, λ)   ζ ∈ D\B(w, 2r0 ) max{v(ζ), gD∩U0 (ζ, w)}, z ∈ B(w, 2r0 )\B(w, λ) v(ζ), Theo định nghĩa gD , ta có gD ≥ u − supD u Theo (2.20), ta thu sup u ≤ sup v ≤ b D D D log diam 2r0 log 2r0 λ D log diam 2r0 ≤b log δD (w) |z − w|2m Mặt khác, theo (2.18) λ = |z − w| − u(z) = gD∩U0 (z, w) δD (w) , |z − w|2m λ = r0 < |z − w| u(z) ≥ v(z) = b log |z−w| 2r0 log Kết hợp đánh giá, ta kết luận gD (z, w) − ≥ −b δD (w) |z − w|2m 30 Chứng minh công thức (2.4) Định lý 2.2.3 Ta chọn U1 đủ nhỏ cho π(z) hoàn toàn xác định miễn z ∈ U1 Trường hợp Giả sử z ∈ U |z − w| ≥ δD (z)1/2m Thu nhỏ U1 , ta giả sử |z − w| ≥ 8δD (z) Ta sử dụng hàm tựa Diederich-Fornaess [5] lần Ta lấy U1 U2 U0 trước Nếu cần thiết thu nhỏ U1 , với a ∈ U1 ∩ ∂D, tồn Sa chỉnh hỉnh Ω, C, C > cho (2.12) Đặt ϕ˜z (ζ) := Re SΦ(π(z)) (Φ(ζ)) ∈ P SH− (D ∩ U0 ) Do Φ vi đồng phôi song lipschitz U2 nên ta có với ζ ∈ U2 , −C |ζ − a | ≤ ϕ˜z (ζ) ≤ −C|ζ − a |2m ϕ˜z (π(z)) = (2.21) Ta cần mở rộng ϕ˜z thành hàm đa điều hịa tồn cục D Ta tiến hành [3, trang 31] Đặt η := supζ∈∂U2 ϕ˜z (ζ) < Đặt ϕz := max(ϕ˜z , η/2) mở rộng η/2 tồn D Khi đó, ϕz ∈ P SH− (D) xác thực tương tự (verifies the analogue) (2.21) Bằng lập luận tương tự đầu Trường hợp chứng minh (2.3), bất đẳng thức ta cần phải chứng minh dạng tương tự sau (2.17): gD (z, w) − δD (z) |z − w|2m w−z Bổ đề 2.5.2 Đặt w := w + |w−z| , B1 := B(w , + |w − z|/2), B2 := B(w , + 3|w − z|/4) Tồn c0 > cho với w, tồn ρw ∈ C ∞ (C2 \{w}, R− ) có điểm kỳ dị logarit w, có giá B cho ¯ w (ζ) ≥ − ∂ ∂ρ c0 ¯ ) χB \B1 (ζ)∂ ∂(|ζ| |w − z| Nói riêng, ρw ∈ P SH(B1 ∪ (Cn \B )) Bổ đề chứng minh [3, trang 31] Ta xây dựng hàm Φ với cực điểm logarit w cách đặt Φ(ζ) := c1 (ϕz (ζ) + c2 |ζ − π(z)|2m ) + ρw (ζ) 2m |z − w| Theo (2.21) vị D bị chặn, ta chọn c2 > cho Φ < D 31 Ta muốn chọn c1 > cho Φ ∈ P SH(D) Ta cần kiểm tra trường hợp ζ ∈ B \B1 Khi đó, 1 |ζ − π(z)| ≥ |ζ − z| − δD (z) ≥ |z − w| − δD (z) ≥ |z − w| ¯ w , từ Bổ đề 2.5.2, từ kết ϕz ∈ P SH(D), Theo đánh giá ∂ ∂ρ tính tốn thơng thường, ta có ¯ ∂ ∂Φ(ζ) ≥ ≥ c1 c0 c2 c3 |ζ − π(z)|2m−2 − 2m |z − w| |w − z|2 c1 c2 c3 ¯ 2, − c ∂ ∂|ζ| 2m−2 |w − z| ¯ ∂ ∂|ζ| c3 > số Nên ta chọn c1 > để dạng dương Với cách chọn này, ta có Φ(ζ) ≤ gD (ζ, w) Do ρw (z) = nên sử dụng (2.12) lần nữa, ta thu Φ(z) = c1 δD (z) 2m (ϕ (z) + c δ (z) ) ≥ −c C z D |z − w|2m |z − w|2m Trường hợp Giả sử z ∈ B(a, r1 ) |z − w| ≤ δD (z)1/2m 1/2m Khi đó, |w −a| ≤ r1 +r1 =: r2 Nếu cần thiết rút gọn r1 , ta có B(a, r2 ) U0 , U0 lân cận bị chặn a cho D ∩ D0 C-lồi hóa C -trơn Theo định lý Lempert (2.3), điều kéo theo g˜U0 ∩D (z, w) = g˜U0 ∩D (w, z) ≥ m log + C Do log |z − w| δD (z)1/2m |z−w| ≤ nên theo Bổ đề 2.1.1(ii) điều tương đương với gU0 ∩D (z, w) ≥ δD (z)1/2m |z−w| +O(1) Theo Bổ đề 2.5.1, đánh giá tương tự với GD (z, w), δD (z)1/2m ta hoàn thành việc chứng minh Chứng minh Định lý 2.2.1 Đặt |z − w|2 ∆D (z, w) := δD (z)1/2m δD (w)1/2m Sử dụng (2.1), ta cần gD (z, w) −∆D (z, w)−2m Định lý 2.2.2 kéo theo g˜D (z, w) ≥ log(1 + C ∆D (z, w))m 32 Nếu ∆D (z, w) ≥ theo Bổ đề 2.1.1(i), ta có gD (z, w) −∆D (z, w) Nếu ∆D (z, w) ≥ theo Bổ đề 2.1.1(ii), ta có gD (z, w) ≥ log ∆D (z, w) + O(1) −∆D (z, w)−2m Chứng minh Định lý 2.2.2 Ta dựa theo lập luận [3] Giả thiết Định lý 2.2.3 thỏa mãn với a ∈ ∂D Bằng lập luận tính compact, điều kéo theo tồn K g˜D (z, w) ≥ m log + C D cho với z ∈ D\K, w ∈ D, |z − w| 1/2m (z) δD (2.22) Nhưng z ∈ K, vế phải (2.22) bị chặn C mC|z − w|, g˜D (z, w) ≥ C |z − w|, nên ta chọn C cho (2.22) với z, w ∈ D Theo cách tương tự, lại thay đổi C cần thiết, với z, w ∈ D, ta có g˜D (z, w) ≥ m log + C Nếu |z − w|2m |z − w| (w)1/2m δD (2.23) max{δD (z), δD (w)} ta suy (2.2) từ (2.22) (2.23) cách chỉnh sửa số C Nếu ngược lại, theo Bổ đề 2.1.1(i), (2.2) tương đương với gD (z, w) − δD (z)δD (w) |z − w|4m Ta giả sử max{δD (z), δD (w)} ≤ |z − w| Nếu 2|ζ − π(z)| = |z − w| |ζ − w| ≥ |z − w| − |ζ − π(z)| − |z − π(z)| ≥ Do đó, theo (2.23), với giá trị ζ, gD (ζ, w) |z − w| δ (w) D − |z−w| 2m Với ζ, hàm peak đa điều hòa ϕz chứng minh Định lý 2.2.3, (2.4), Trường hợp 1, thỏa mãn ϕz (ζ) ≤ −C|ζ − π(z)|2m = −C2−2m |z − w|2m , nên gD (ζ, w) − δD (w) ϕz (ζ), ζ ∈ D ∩ ∂B(π(z), |z − w|/2) |z − w|4m 33 Bất đẳng thức hiển nhiên ∂D, gD (ζ, w) = 0, gD (·, w) hàm đa điều hòa dưới cực đại D\{w}, phải D ∩ B(π(z), |z − w|/2), nói riêng điểm z, nên gD (z, w) − δD (w) ϕz (z) |z − w|4m − δD (w)δD (z) |z − w|4m 34 Kết luận Luận văn với đề tài “Về ước lượng metric Kobayashi” giải vấn đề sau • Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bao gồm định nghĩa số ví dụ hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hòa dưới, hàm Green, hàm Green đa cực, miền C-lồi, C-lồi hóa được, giả khoảng cách Kobayashi, metric Kobayashi • Trong chương chúng tơi trình bày tỉ số so sánh hàm Green thực với hàm Green phức, sau chúng tơi trình bày kết ước lượng cận hàm Lempert với số kết ước lượng khoảng cách Kobayashi 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Marek Jarnicki and Perter Pflug (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter [3] Piotr Jakóbczak and Marek Jarnicki (2016), Lecture on holomorphic functions of several complex variables, Jagiellonian University [4] N Nikolov and P.J Thomas (2016), “Comparison of the real and the complex Green functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance”, arXiv: 1608.06615v1 ... 14 1.7 Metric Kobayashi, khoảng cách Kobayashi 14 Chương So sánh hàm Green thực với hàm Green phức ước lượng chặt khoảng cách Kobayashi 19 2.1 Ký hiệu đại lượng bổ trợ ... cách Kobayashi, metric Kobayashi • Trong chương chúng tơi trình bày tỉ số so sánh hàm Green thực với hàm Green phức, sau chúng tơi trình bày kết ước lượng cận hàm Lempert với số kết ước lượng. .. Nó giới thiệu Shoshichi Kobayashi vào năm 1967 Đa tạp hyperbolíc lớp quan trọng đa tạp phức, xác định tính chất giả metric Kobayashi metric Các khái niệm ban đầu metric Kobayashi nằm bổ đề Schwarz