SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – THPT chuyên Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2012 x + 3x + = y − y − Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình y + y + = − z − z z + 3z + = x − x − ( x, y , z ∈ ℝ ) Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c, d số thực dương Chứng minh bc 3a 2b3d 25 + 3 + 4 ≤ a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) Câu (2,0 điểm) Giả sử n số nguyên dương cho 3n + 2n chia hết cho Tìm số dư 2n + 11n + 2012n chia cho Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi P điểm cho trung trực đoạn thẳng CP chia đôi đoạn AD trung trực đoạn AP chia đôi đoạn CD Gọi Q trung điểm đoạn thẳng BP a) Chứng minh đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC b) Chứng minh BP = 4.OE , E trung điểm AC O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC Câu (1,0 điểm) Cho m, n ( m > n > ) số nguyên dương A tập hợp có n phần tử c tập hợ p S = {1, 2,3, , m} Chứng minh n ếu m > ( n − 1) (1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 ) ta ln chọn n phần tử đôi phân biệt x1 , x2 , , xn ∈ S cho tập hợp Ai = {x + y + xi x ∈ A, y ∈ A}, i = 1, n thỏa mãn Aj ∩ Ak = ∅ với j ≠ k j , k = 1, n -Hết - - Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh…………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN – THPT chun HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý chấm bài: -Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm -Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm -Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau -Trong lời giải câu học sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng cho điểm -Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn Câu (2,5 điểm) Nội dung Điều kiện: x, y, z ≥ Xét hàm số f (t ) = t + 3t + 2, g (t ) = − 5t − Khi ta có t f ' (t ) = 2t + > 0, g ' (t ) = − − < 0, ∀t > t 5t − 1 Mà f (t ) , g (t ) hàm số liên tục ; + ∞ suy f (t ) đồng biến 5 1 ; + ∞ 1 g (t ) nghịch biến ; + ∞ Khơng tính tổng qt ta giả sử x = {x, y, z} 5 Khi ta có: Nếu x < y ⇒ g ( x ) > g ( y ) ⇒ f ( z ) > f ( x ) ⇒ z > x ⇒ g ( z ) < g ( x ) ⇒ f ( y ) < f ( z ) suy y < z ⇒ g ( y ) > g ( z ) ⇒ f ( x ) > f ( y ) ⇒ x > y , vơ lí x < y Do x = y , tương tự lí luận ta x = z suy x = y = z Thay trở lại hệ ta x + x + = 8 − x − ⇔ x + x + − + x − = (1) x x 1 Đặt h ( x ) = x + x + − + x − 1, x ∈ ; +∞ Dễ thấy hàm số đồng biến x 5 Nội dung 1 ; + ∞ h (1) = ⇒ x = nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm hệ phương trình cho x = y = z = Câu (1,5 điểm) Điểm Nội dung bc 3a 2b3 d + 33 + 44 Khi áp a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Đặt P = 2 3(a + b ) 3(a + b ) 2a 2a ≤ + a + b (a + b + c ) a + b (a + b + c ) 33 (a + b + c ) 3c bc b = 33 a + b (a + b + c ) (a + b + c + d ) ( a + b )( a + b + c + d ) ≤ (a + b + c ) 3c b + + a + b (a + b + c ) (a + b + c + d ) 2d b = 44 81( a + b ) ( a + b + c + d ) 3(a + b ) (a + b + c + d ) b 2d ≤ + 3(a + b) 3(a + b + c + d ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: ( a + b ) ( a + b + c ) ( a + b + c + d ) 25 P≤ + + = a+b (a + b + c ) 3(a + b + c + d ) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d 2b3 d Câu (2,0 điểm) Điểm Nội dung Đặt n = 3q + r ; q, r ∈ ℕ, ≤ r ≤ Khi 3n + n = 27 q.3r + 8q.2r ≡ ( −1) 3r + 2r ( mod ) q Do để 3n + n ≡ ( mod ) ⇔ ( −1) 3r + 2r ≡ ( mod ) ⇔ q = 2k + 1, r = q Suy n có dạng n = 6k + , ý ( a, ) = ⇒ a ≡ 1( mod ) Do ta có: +) 2n = 26 k +3 = ( 2k ) ≡ 1( mod ) (1) +) 11n = 116 k +3 = (11k ) 113 ≡ 43 ≡ 1( mod ) (2) 6 +) 2012 n = 2012( k + 3) ( = 20126 k +6k ) 2012 ≡ 39 ≡ 273 ≡ ( mod ) Từ (1), (2) (3) ta (3) Điểm Nội dung 2n + 11n + 2012n ≡ + + ≡ 1( mod ) Vậy số dư cần tìm Câu (3,0 điểm) A B Q I O M P E J D C N Điểm Nội dung a) (2,0 điểm) Gọi M, N, I, J theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AD, CD, AP, CP Khi NI ⊥ AP, MJ ⊥ CP Do I trung điểm AP, Q trung điểm BP nên IQ AB IQ = AB từ suy IQ CN IQ = CN Suy tứ giác CNIQ hình bình hành Suy CQ NI Từ đó, NI ⊥ AP nên CQ ⊥ AP (1) Chứng minh tương tự, AQ ⊥ CP (2) Từ (1) (2) suy P trực tâm tam giác ACQ suy PQ ⊥ AC hay BP ⊥ AC Do P trực tâm tam giác AQC nên OA + OC + OQ = OP ⇔ OA + OC + ( ) ( ) OP + OB = OP ⇔ OA + OC + OB = OP ⇔ 4OE = OP − OB ⇔ 4OE = BP ⇒ BP = 4.OE Vậy BP = 4.OE Câu (1,0 điểm) Nội dung { } Xét tập hợp B = x + y − z − t x, y, z , t ∈ A Ta bất đẳng thức sau: B ≤ + Cn2 + Cn3 + Cn4 (1) Điểm Nội dung Thật vậy, ta xét trường hợp sau: +) Nếu số x, y, z , t số số dạng x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có số nhau, giả sử x = y = z ≠ t Khi x + y − z − t = x − t suy có tối đa Cn2 số x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có số Khi x = y có tối đa Cn3 số dạng này, x = z x + y − z − t = y − t có tối đa Cn2 số dạng xét +) Nếu số x, y, z , t đơi khác có tối đa Cn4 số x + y − z − t Do có nhiều + Cn2 + Cn3 + Cn4 số dạng x + y − z − t Từ suy bất đẳng thức (1) Gọi x1 = ∈ S Đặt C1 = S \ {x + x1 x ∈ B} suy C1 ≥ S − B > ( n − ) B > ⇒ ∃x2 = C1 ⇒ x2 > x1 Dễ thấy A1 ∩ A2 = ∅ Tiếp theo đặt C2 = C1 \ {x + x2 x ∈ B} suy C2 ≥ C1 − B > ( n − 3) B > ⇒ ∃x3 = C2 ⇒ x3 > x2 Kiểm tra A2 ∩ A3 = ∅ , A1 ∩ A3 = ∅ Cứ tiếp tục đến bước thứ n , ta đặt Cn −1 = Cn − \ {x + xn − x ∈ B} Cn −1 ≥ Cn − − B > ( n − n ) B = ⇒ ∃xn ∈ Cn −1 ⇒ xn > xn −1 Khi ta kiểm tra Ai ∩ A j = ∅ với i ≠ j Vậy tồn phần tử x1 , x2 , , xn ∈ S thỏa mãn yêu cầu toán -Hết - Điểm ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN – THPT chun HƯỚNG