I- Bài tập Phương trình hàm – Đa Thức 2012 Bài (Chuyên Sơn La) Tìm hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ( a khác ) biết ìï xf (x - 1) = (x - 3)f (x) ïí ïïỵ f (3) = Bài (Chuyên Sơn La) Chứng minh tồn đa thức f (x) cho (x2 - x + 1)f (x) đa thức có hệ số dương Bài (KHTN HN ngày 1) Tìm tất hàm số f : Z+ a R + cho : (f (a) + f (b))(f (x) + f (y)) = f (ax + by) Với a, b, x, y Î Z+ , thỏa mãn ay = bx Bài (LTV Đồng Nai) Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa: f (x) + f (x4 ) = 2012, " x Ỵ ¡ Bài (Lam Sơn Thanh Hóa) Giả sử hàm s f : Ơ * đ Ơ * tho điều kiện: f (mf (n)) = n2f (m) với m;n nguyên dương a.Chứng minh f (2011) số nguyên tố bình phương số nguyên tố b.Hãy xây dựng hàm f thoả mãn điều kiện Bài (Chuyên Bến Tre) Tìm tất hàm f :¡ ® ¡ thỏa mãn: ( ) f x + y2 + z3 = f ( x) + f ( y) + f ( z) " x, y, z Ỵ ¡ Bài (Chun SPHN1) Giả sử P (x) đa thức bậc n > có hệ số dẫn đầu có đủ n nghiệm thực âm (các nghiệm trùng nhau) Chứng minh P ¢(0)·P (1)…2n2·P(0) Ở P ¢(0) đạo hàm P (x) x = Bài (Nam Định) Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ cho f (x + f (y)) - f (x) = (x + f (y))4 - x4 với cặp số thực (x, y) Bài (Hà Tĩnh vòng 2) Cho đa thức f (x) với hệ số thực, có bậc khơng nhỏ đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau: a Phương trình f (x) = khơng có nghiệm bội b ỉx + y ÷ ÷ f (x)·f (y) Ê f ỗ , " x, y ẻ Ă ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Chng minh phương trình f (x) = có nghiệm thực LỜI GIẢI Bài (Chuyên Sơn La) Chứng minh tồn đa thức f (x) (x2 - x + 1)f (x) cho f (x) = (x + 1)(x2 + x + 1) Lời giải Chỉ cần chọn đa thức có hệ số dương Khi ( ) (x2 - x + 1)f (x) = (x2 - x + 1)(x + 1)(x2 + x + 1) = x3 + (x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + đa thức có tất hệ số dương Nhận xét: Đây dạng quen thuộc Trong trường hợp cụ thể ta thường chọn đa thức f(x) có dạng f (x) = (x + 1)n Sau tồn n để hệ số đa thức có tất hệ số dương (hoặc hệ số nguyên dương) Tuy nhiên với toán ta đa thức f (x) = (x + 1)(x2 + x + 1) cách tự nhiên Các tương tư: Bài 2.1: (VMO 1994) Chứng minh tồn đa thức P(x) cho hai đa thức (3x2 - 4x + 5)P(x); 60(x2 - 3x + 3)P (x) Bài 2.2: Cho thức 0 (α ≠ ±1) Bài 4.2: (TST Bắc Ninh 2012) Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ → ¡ thỏa mãn f ( x) = f ( x) f ( x + 1) = f ( x ) + x + Bài (Chuyên Bến Tre) Tìm tất hàm thỏa mãn: f :¡ ® ¡ ( ) f x + y2 + z3 = f ( x) + f ( y) + f ( z) " x, y, z Ỵ ¡ Lời giải Thay x=y=z=0 vào (1) ta được: éf (0) = ff2 ( 0) + ( 0) = Û ê êf (0) = - ë TH1: Nếu f(0)=-1: ( ) f z3 = f ( z) , + Trong (1) cho x=y=0: ( ) ( ) suy ( ) f x + y2 + z3 = f ( x) + f ( y) + f z3 Þ f x + y2 + z = f ( x) + f ( y) + f ( z) " x, y, z Ỵ ¡ Do f ( x + z) = f ( x) + f ( z) +1 " x, z Ỵ + Như ( ) ) ( ) ( ) f x + y2 + z3 = f x + y2 + f z3 + = f ( x) + f y2 + f ( z) + Từ (1) (2) suy + Từ (3) suy Suy ( ¡ ( ) f y2 = f ( y) - ( ) (2) (3) ( ) f y6 = f y3 - = f ( y) - é ù3 f ( y) - = f y6 = f y2 = êf ( y) - 2ú Û f ( y) - 2f ( y) + = Û f ( y) = ë û ( ) ( ) (1) Do f ( y) = f ( y) = - với y (*) + Như (1) viết lại dạng Trong (4) cho z=0: ( ) f x + y2 = f ( x) ( ) f x + y2 + z3 = f ( x) + f ( z) + (5) Từ (*) (5) suy f ( y) º (4) - "y Ỵ ¡ TH2: Nếu f(0)=0: ( ) + Trong (1) cho x=z=0 ta được: f y2 = f ( y) Þ f (y) ³ " y ³ + Trong (1) cho x=y=0 ta được: f z3 = f ( z) ( ( ) Do ) f x + z3 = f ( x) + f ( z) Þ f ( x + z) = f ( x) + f ( z) " x, z Ỵ ¡ + Từ (6) (7) suy f ( x) = ax Cùng với Vậy f ( x) º "x Ỵ ¡ ; f ( x) º x "x Ỵ ¡ ( ) , suy f(x) cộng tính (7) f z3 = f ( z) (6) suy a=0;a=1 Thử lại hàm thỏa mãn Kết luận: Có ba hàm thỏa mãn f ( x) º (6) - "x Ỵ ¡ ; f ( x) º "x Ỵ ¡ ; f ( x) º x "x Ỵ ¡