BỒI DƯỠNG đại số 8

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp BỒI DƯỠNG TOÁN Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2020 BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com MỤC LỤC Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 NHÂN ĐA THỨC §2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ §3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ §4 CHIA ĐA THỨC 16 §5 TÍNH CHIA HẾT 20 §6 MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT 23 Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 27 §1 TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC 27 §2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC 28 §3 DÃY CÁC PHÂN THỨC VIẾT THEO QUY LUẬT 32 §4 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC 33 Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 36 §1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 36 §2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 37 §3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 41 §4 TỐN BẬC NHẤT MỘT ẨN 42 Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 45 §1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN 45 §2 TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC 52 §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 58 §4 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 60 §5 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 62 §6 BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG 63 Phần đề thi 65 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC 65 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 67 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 68 BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 69 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 70 -1- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 NHÂN ĐA THỨC Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức thực sau: A ( B + C ) = A.B + A.C ( A + B ) ( C + D ) = A.B + A.D + B.C + B.D Ví dụ Cho biểu thức: M=   432  + − − 229  433  229 433 229.433 1 = b , rút gọn biểu thức M theo a b = a; 433 229 b) Tính giá trị biểu thức M a) Bằng cách đặt Giải: a) M= 3a ( + b ) − a (1 − b ) − 4ab= 5a b) M = 5= a 5 = 229 229 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A =x5 − x + x3 − x + x − x = Giải Cách Thay x = 4, ta có A =45 − 5.44 + 5.43 − 5.42 + 5.4 − = 45 − ( + 1) 44 + ( + 1) 43 − ( + 1) 42 + ( + 1) − = 45 − 45 − 4 + 4 + 43 − 43 − + + − =3 Cách Thay = x + 1, ta có A = x5 − ( x + 1) x + ( x + 1) x3 − ( x + 1) x + ( x + 1) x − = x5 − x5 − x + x + x3 − x3 − x + x + x − -2- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com = x − =3 Nhận xét: Khi tính giá trị biểu thức, ta thường thay chữ số Nhưng ví 1 dụ cách ví dụ 2, ta lại thay số chữ Ở ví dụ 1, số lặp lại 229 433 nhiều lần biểu thức M thay a b Ở ví dụ 2, số lặp lại nhiều lần biểu thức A thay x + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = ab + bc + ca − x Biết 2x = a + b + c Giải: Biến đổi vế trái, ta x − bx − ax + ab + x − bx − cx + bc + x − ax − cx + ca = x − x ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) Thay a + b + c = x , vế trái − x + ab + bc + ca , vế phải Hằng đẳng thức chứng minh BÀI TẬP Rút gon biểu thức: } { y − x − x − y −  y + x − ( y − x )  Với x =a + 2ab + b ; y =a − 2ab + b 2 Thực phép tính: x n ( x n−1 − 1) − x n+1 ( x n−2 − 1) Rút gọn biểu thức: a) 10n +1 − 6.10n ; b) 90.10k − 10k + + 10k +1 ; c) 2,5.5n −3.10 + 5n − 6.5n −1 a) Chứng minh rằng: 210 + 211 + 212 chia hết cho b) Viết 32 thành tổng ba lũy thừa số với số mũ ba số tự nhiên liên tiếp Tính 1 118 − − + 117 119 117 119 117.119 39 -3- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Tính giá trị x15 − x14 + x13 − x12 + − x + x − với x = ( Rút gọn: ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca ) Chứng minh đẳng thức: (a + b + c − ab − bc − ca ) ( a + b + c= ) a ( a − bc ) + b ( b − ca ) + c ( c − ab ) Chứng minh đẳnt thức: (100 + a )(100 + b=) (100 + a + b ) 100 + ab Từ suy quy tắc nhân nhẩm hai số lớn 100 chút 10 Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ 100 chút dựa vào đẳng thức (100 − a )(100 − b=) (100 + a + b ) 100 + ab 11 Rút gọn biểu thức: ( x + a )( x + b )( x + c ) Biết rằng: a + b + c = ab + bc + ca = −7 abc = −60 §2 CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bảy đẳng thức đáng nhớ học chương trình cho ta kết cuối phép nhân đa thức với đa thức ( a + b ) =a + 2ab + b 2 ( a − b ) =a − 2ab + b ( a + b )( a − b ) = a − b2 (1) (2) (3) ( a + b ) =a3 + 3a 2b + 3ab + b3 ( a − b ) =a3 − 3a 2b + 3ab − b3 ( a + b ) ( a − ab + b ) = a3 + b3 (4) (5) (6) ( a − b ) ( a + ab + b ) = a3 − b3 (7) Các cơng thức (4) (5) cịn viết dạng: ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) ( a − b ) = a3 − b3 − 3ab ( a − b ) Từ công thức (1) suy cơng thức bình phương đa thức: (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca -4- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Ví dụ Cho đa thức: x − x + Viết đa thức dạng đa thức biến y, y = x + Giải: Thay x y – 1, ta x − x + 3= ( y − 1) − ( y − 1) + = ( y − y + 1) − y + + = y − y + 10 Ví dụ Số lớn hai số A B? A= ( + 1) ( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1) B = 232 Giải: Nhân hai vế A với – 1, ta được: A= ( − 1)( + 1) ( 22 + 1)( 24 + 1)( 28 + 1)( 216 + 1) Áp dụng đẳng thức ( a + b )( a − b ) = a − b nhiều lần, ta = A 232 − Vậy A < B Ví dụ Rút gọn biểu thức: A= (a + b + c) + (a − b − c) 3 − 6a ( b + c ) Giải: A = a + ( b + c )  +  a − ( b + c )  − 6a ( b + c ) 3 = a + 3a ( b + c ) + 3a ( b + c ) + ( b + c ) + a − 3a ( b + c ) + +3a ( b + c ) − ( b + c ) − 6a ( b + c ) 3 = 2a BÀI TẬP A – CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (1), (2), (3) 12 Tính nhanh kết biểu thức sau: a) 127 + 146.127 + 732 ; -5- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com ( )( ) b) 98.28 − 184 + 184 − ; c) 1002 − 992 + 982 − 97 + + 22 − 12 ; d) ( 20 + 182 + 162 + + 42 + 22 ) − (192 + 17 + 152 + + 32 + 12 ) ; 7802 − 2202 ; 1252 + 150.125 + 752 13 So sánh hai số sau, số lớn hơn? a) A = 1989.1991 B = 19902 ; e) x− y x2 − y B = với x > y > 0; x+ y x + y2 b) A= c) A =+ B 332 − 1; ( 1) ( 32 + 1)( 34 + 1)( 38 + 1)( 316 + 1) = 14 Rút gọn biểu thức: a) ( x − 1) + ( x − 1)( x + 3) − ( − x ) ; b) ( 2a c) ( x − 1) d) (x 2 + 2a + 1) ( 2a − 2a + 1) − ( 2a + 1) ; 2 + (1 − x ) + ( x − 1)(1 − x ) ; 2 − x + 1) + ( x − 1) ( x − x + 1) + ( x − 1) ; 2 15 Rút gọn biểu thức: a) b) c) (a + b2 − c2 ) − ( a − b2 + c2 ) ; 2 (a + b + c) + (a + b − c) − 2(a + b) ; 2 2 ( a + b + c ) + ( a − b + c ) + ( a + b − c ) + (b + c − a ) ; 2 16 Chứng minh đẳng thức: b) (a (a c) ( ax + b ) − ( a − bx ) a) − b ) + ( 2ab ) =( a + b ) ; + b )( c + d ) = ( ac + bd ) − ( ad − bc ) ; 2 2 2 + c2 x2 + c2 = (a + b + c )( x + 1) ; 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  = a3 + b3 + c3 − 3abc; e) 10003 + 10032 + 10052 + 10062 = 10012 + 10022 + 10042 + 1007 ; d) 17 Cho 10= a 10b + c Chứng minh rằng: ( 7a − 3b + 2c )( 7a − 3b − 2c ) = ( 3a − 7b ) 18 Cho a + b + c = p Chứng minh rằng: a) 2bc + b + c − a= p ( p − a) b) ( p − a) + ( p − b ) + ( p − c ) = a + b2 + c2 − p 2 19 Viết đa thức x + x + dạng đa thức x − -6- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com 20 Hiệu bình phương hai số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 Tìm hai số 21 Hiệu bình phương hai số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Tìm hai số 22 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tổng tích cặp hai số ba số 74 23 Tổng ba số a, b, c 9, tổng bình phương chúng 54 Tính ab + bc + ca 24 Tìm x y, biết rằng: x + x + y − y + = 25 Cho a + b + c − ab − bc − ca = Chứng minh: a= b= c 26 Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = ( a + b + c − ab − bc − ca ) 2 Chứng minh: a= b= c 27 Tính giá trị biểu thức: a) x − 10 x + 26 với x = 105; b) x − 0, x + 0,01 với x = 0,9; c) ( a − )( a + 1) − ( a − ) + 36 với a = 99; 28 Chứng minh rằng: a) a ( a − ) + 10 > 0; b) ( x − 3)( x − 5) + > 0; c) a + a + > 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) x − x + 1; b) x + x + 11; c) x − x − 30 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) − x − x ; b) x − x + 31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) ( x − 1)( x + )( x + 3)( x + ) b) x − x + y − y + B – CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (4), (5), (6), (7) 32 Tính giá trị biểu thức: a) a + + 3a + 3a với a = 9; b) x3 + x + x với x = 19; c) a + 3a + 3a + với a = 29; d) a − 3a + 3a + với a = 101 33 Rút gọn biểu thức: -7- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ a) Website: tailieumontoan.com x ( x − 1)( x + 1) − ( x + 1) ( x − x + 1) ; ( )( ) ( ) b) x ( x − 1)( x + 1) − x − x + x + − x − ; c) ( a + b + c ) + ( a − b − c ) + (b − c − a ) + (c − a − b ) 3 3 34 Tìm x, biết: ( x + 1) − ( x + 1) + ( x − 1) ( x + x + 1) = 35 Chứng minh đẳng thức: a) b) ( a + b ) = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) ( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) 36 Cho a + b + c = 3abc Chứng minh rằng: a + b3 + c3 = 3 ( ab − cd )( c + d ) 37* Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: a + b3 + c3 + d = ( ) ( ) 38 Cho a + b = Tính giá trị M = a + b3 − a − b §3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử: − Đặt nhân tử chung − Nhóm hạng tử − Dùng đẳng thức Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta dùng phương pháp khác, như: tách hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến, hệ số bất định Ví dụ Phân tích thành nhân tử: a) x − x + 8; b) x + x − 8; Giải: Ba hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung, khơng lập thành bình phương nhị thức Do ta nghĩ đến việc tách hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn năm hạng tử a) Cách 1: x − x + = x − x − x + = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − )( x − ) -8- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Cách 2: x − x + = x − x + − = ( x − 3) − = ( x − )( x − ) Cách 3: x − + x + 12 = ( x + )( x − ) + ( x + ) = ( x − )( x − ) Cách 4: x − 16 − x + 24 = ( x + )( x − ) − ( x − ) = ( x − )( x − ) Cách 5: x − x + − 2x + = ( x − 2) − ( x − 2) = ( x − )( x − ) b) Có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác, hai cách sau thông dụng nhất: Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung x + x − 8= x − x + 12 x − = 3x ( 3x − ) + ( 3x − ) = ( 3x − )( 3x + ) Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương x + x + − 9= ( 3x + 1) − 32= ( 3x + )( 3x − ) Chú ý: Cách tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào đẳng thức: mpx + ( np + mq ) x + nq = ( mx + n )( mp + q ) Như tam thức: ax + bx + c , hệ số b tách thành b1 + b2 cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Tìm tích ac Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách Chọn hai thừa số có tổng b Trong đa thức: x + x − a = 9, b = 6, c = −8 ( −8 ) = −72 Bước 1: Tích ac = -9- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com 246 Vì n + (n + 1) 2= 2n + 2n + > 2n + 2n nên: n + (n + 1)2 < 1  1 = = −  :2 2n + 2n 2n(n + 1)  n n +  Do ta có: 1  1 1 1 1 <  −  : 2; <  −  : 2; <  −  : 2; 1  13   25    1 < −  : n + (n + 1)2  n n +  Cộng vế tương ứng bất đẳng thức ta được: 1 1   + + + + < − : <   13 25 n + (n + 1)  n +  247 Vì < x1 < nên x = x1 (1 − x1 ) > Mặt khác x , x , , x n +1 > 0, x1 − x k +1 < x1 < Theo giả thiết có x= x k − x k +1 Với k = 1, 2,3, thì: k x1= x1 − x 2 x= x − x3 x= x n − x n +1 n Do x12 + x 22 + + x 2n = x1 − x n +1 < x1 < 248 Gọi số theo thứ tự giảm dần: a > b > c > d > e > f > g (1) Ta chứng tỏ a + b + c ≥ 50 (2) Nếu c > 15 a + b + c ≥ (c + 2) + (c + 1) + c ≥ 51 Nếu c ≤ 15 d + e + f + g ≤ (c − 1) + (c − 2) + (c − 3) + (c − 4) ≤ 50 Vậy trường hợp (2) tổng số 100 249 Biết tam giác, đối diện với góc lớn cạnh lớn nên (a − b)(A − B),(b − c)(B − C),(c − a)(C − A) khơng âm có -131- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com (a − b)(A − B) + (b − c)(B − C) + (c − a)(C − A) ≥ ⇒ aA − aB − bA + 2bB − bC − cB + 2cC − cA − aC + aA ≥ ⇒ 2aA + 2bB + 2cC − aB − aC − bC − bA − cA − cB ≥ Cộng hai vế với aA + bB + cC chuyển vế ta được: 3(aA + bB + cC) ≥ aA + bB + cC + aB + aC + bC + bA + cA + cB = = A(a + b + c) + B(a + b + c) + C(a + b + c)= = (a + b + c)(A + B+ B) = (a + b + c).180o Suy aA + bB + cC ≥ 60o a+b+c (1) Mặt khác tam giác ta có: a < b + c hay 2a < a + b + c, b < c + a hay 2b < a + b + c, c < a + b hay 2c < a + b + c Nhân hai vế với A, B, C ta được: 2aA < A(a + b + c), 2bB < B(a + b + c), 2cC < C(a + b + c) Do 2(aA + bB + cC) < (A + B + C)(a + b = + c) 180o.(a + b + c) Suy aA + bB + cC < 90o a+b+c (2) Kết hợp (1) (2) ta có điều phải chứng minh 250 Từ 15x − 7y = suy y = 15 − Ta thấy 15x tận hay nên 15x − tận hay Do y2 tận hay (vì 7=56 7=21) Nhưng số phương không tận 8, -132- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Vậy khơng có số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 251 Số phải ó năm chữ số có bốn chữ số mà bỏ ba chữ số số lại lớn mà 93 =729, ó chữ số Giải thích tương tự số có chữ số Gọi số cần tìm z = abcde Đặt x3 = ab x,cde = y z = x , 1000x + y = Suy 1000x ≤ x nên 1000 ≤ x , x > 31 (1) Vì y < 1000 nên x − 1000x < 1000 hay x(x − 1000) < 1000 Với x ≥ 33 x(x − 1000) ≥ 33.89 = 2937 > 1000 nên ta có x < 33 (2) 3 Từ (1) (2) ta có x = 32 Vậy số = z x= 32= 32768 252 Vì n ≤ 1982 nên n có nhiều bốn chữ số Gọi bốn chữ số x, y, z, t với ≤ x ≤ 9; ≤ y ≤ 9; ≤ z ≤ 9; ≤ t ≤ Ta có xyzt + x + y + z + t = 1982 (1) x 1,= y Do ≤ x + y + z + t ≤ 36 nên từ (1) suy 1982 − 36 ≤ xyzt ≤ 1982, suy = Thay vào (1) có 19zt + + + z + t = 1982, hay zt + z + t = 72 72 hay 11z + 2t = (2) Do ≤ t ≤ nên ≤ 2t ≤ 18 suy 72 − 18 ≤ 11z + 2t ≤ 72 hay 54 ≤ 11z ≤ 72 hay 10 ≤ z ≤ , suy z = z = 11 11 Thay vào (2) với z = t = 8,5 (loại) với z = t = Vậy n = 1963 253 Nếu sáu số cho có số tích Như tổng số nên số Gọi sáu số tự nhiên tăng dần ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ g -133- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com Theo đề ta có abc deg = a + b + c + d + e + g ≤ 6g (1) Suy abcde ≤ (vì g > 0) Khơng thể có ba số lớn hay 2 = >6, a= b= c= Thay vào (1) ta có deg = + d + e + g de ≤ (2) (3) Nếu d = (2) eg = + e + g ⇔ eg − e − g + = ⇔ (e − 1)(g − 1) = e 2,g = Suy e − 1= 1,g − 1= 5, đó= Nếu d = (3) nên e = Nếu e = (2) 4g = + g ⇒ 3g = 7, loại Nếu e = (2) 6g = + g ⇒ 5g = 8, loại Nếu d ≥ e > d nên e ≥ 3, trái với (3) Kết luận: Các số (0, 0, 0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1, 2, 6) 254 Gọi hai số phải tìm A B Ta có: A + B= 10x + y, A − B= 10y + x với ≥ x ≥ y ≥ (1) Suy A = = B 11(x + y) x+y = 11a với a = 2 9(x − y) x−y = 9b với b = 2 (2) (3) Vì A, B có hai chữ số y ≠ nên ≥ a > b ≥ a + b, y = a − b Từ (2) (3) suy x = Do (4) suy a + b ≥ 5, (1) suy a + b ≤ a 7,= b 2,= A 77,= B 18 Nếu a + b = thì= = a 6,= b 3,= A 66,= B 27 = a 5,= b 4,= A 55,= B 36 -134- (4) BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com a 6,= b 2,= A 66,= B 18 Nếu a + b = thì= = a 5,= b 3,= A 55,= B 27 a 4,= b 2,= A 44,= B 18 Nếu a + b = thì= a 3,= b 2,= A 33,= B 18 Nếu a + b = thì= Vậy có cặp số (kể 44 18) 255 a) Phân tích: 4x − 12x + 5= (2x − 1)(2x − 5) 13x − 2x − 20 = (x − 4)(5 − 2x) 21 + 2x − 8x =(3 + 2x)(7 − 4x) 4x + 4x − 3= (2x − 1)(2x + 3) Điều kiện để P có nghĩa: x ≠ b) Kết rút gọn: P = , x ≠ , x ≠ 4, x ≠ − , x ≠ 2 2x − 2x − 256 Xem ví dụ 27 257 Nhận xét: 1992x 1992 1992 = = ; xy + 1992x + 1992 y + 1992 + 1992 y + 1992 + yz x z yz yz = = xz + z + xyz + yz + y 1992 + y + yz Vậy P = 1992 y yz + + = 1992 + y + yz 1992 + y + yz 1992 + y + yz 258 Ta có 1 1 + + = ⇒ 6y + 6x + = xy x y z ⇒ (x − 6)(y − 6) = 37 37 x − =  x − =−1  Giả sử x ≥ y thì:  y − =  y − =−37 = x 43, = y Trường hợp đầu loại, trường hợp sau cho -135- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com 259 Biến đổi vế trái: M = x − x + 2x + 2x = x (x + 1) (x − 1) + 1   Nếu x = (x − 1)2 + khơng số phương Nếu x = M = ⇒ y = Nếu x ≥ (x − 1)2 + khơng số phương  y  59 260 A=  x + xy +  + y + 8x + y + 1992    y  59  =  x +  + y + 8x + y + 1992 2  y   59 =  x + +  + y − 3y + 1992 − 16   y 12    59  =  x + +  +  y − y  + 1976 4 59    2 y    59  =  x + +  +  y −  + 1976 − 4 59  59   Vậy Min A = 1975 50 ⇔x= −4 59 59 261 Nếu A, B, C > A + B2 + C2 > AB + BC + CA (A + B + C) ⇒ 3(A + B + C ) ≥ (A + B + C) ⇒ A + B + C ≥ 2 2 2 1 Đặt A = a+ , B= b+ , C= c + , vế trái P a b c Ta có: 1 1 1 P > a + + b + + c +  3 a b c 1 a+b+c a+b+c a+b+c = + + a + b + c +  3 a b c  -136- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 1 b c a c a b  =  + + + + + + + + + 1 3 a a b b c c  Chú ý Website: tailieumontoan.com a b + ≥ (với a, b > 0) nên: b a 100 P ≥ (4 + 6) = > 33 3 262 Biến đổi thành 5x + > 1992 3x + Giải bất phương trình (giải tương tự ví dụ 60) được: − 3981 a m a m −1 a m a m −1 ⇒1≤ t am − t a m −1 ≤ n n − với m = 2,3, , k a m a m −1 -140- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Từ n ≥ a1 suy ≤ 1≤ n a1 1≤ n n − a a1 Website: tailieumontoan.com n Ta có: a1 1≤ n n − a m a m −1 Cộng vế tương ứng bất đẳng thức trên: m≤ n ⇒ m.a m ≤ n (m = 2,3, , k) am 274 trừ vào phân thức vế trái Đáp số x = 5958 275 Theo tính chất tỉ kệ thức tính chất dãy tỉ số nhau: a c a b a+b a−b a+b c+d = ⇒ = = = ⇒ = b d c d c+d c−d a −b c−d Áp dụng nhận xét ta có: (1985 − x)2 + (x − 1986)2  68  = 2(1985 − x)(x − 1986) −30 ⇒ (1985 − x)2 + (x − 1986)2 34 = 2(1985 − x)(x − 1986) −30 Lại áp dụng nhận xét trên: (−1)2 (3971 − 2x) = 64 Do đó: 1 = ± 2x − 3971 = = x 1983,5 Đáp số: x1 1987,5; -141- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 276 ⇒ Website: tailieumontoan.com c d + = a b ac + bd bc + ad = ab ac + bd ⇒ abc + b 2cd + a 2cd + abd − ab = ⇒ cd(a + b ) + ab(c2 + d − 1) = (1) Từ c + d = , bình phương hai vế ta được: c + d + 2cd = ⇒ c + d =− 2cd (2) Từ (1) (2) suy ra: cd(a + b ) − 2abcd = ⇒ cd(a − b)2 = Do c ≠ 0, d ≠ nên a = b 277 Xét hiệu: x12 + x 22 + x 32 + x 24 + x 52 − ( x1x + x1x + x1x + x1x ) Vì x12 x  =   nên hiệu bằng:  2 2 2  x1   x1   x1   x1   − x  +  − x  +  − x  +  − x  ≥         x1 Xảy dấu = x= x= x= x5 x 0,= P 278 Nếu a = thì= Nếu a ≠ P có nghĩa ( mẫu x − x + 1= (x − 1) + x > ) P ≠ Ta tính: 1 1 = + x + ⇒ x + = − a x x a 2 1 1 − 2a − 2a  1  Mặt khác: = x + − =  x +  − =  − 1 − = P x  a  x a2 -142- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Do P = a2 − 2a − 2a Website: tailieumontoan.com (1) Với biểu thức (1), a = ta có P = Vậy P = a2 − 2a − 2a với giá trị a = x x2 + x +1 279 Với n = n n − n + n − = 1, chia hết cho (n − 1) =(2 − 1) =1 Với n > , ta có: A = nn − n2 + n −1 = (n n − − 1)n + (n − 1) = (n − 1)(n n −3 + + 1)n + (n − 1) = (n − 1)(n n −1 + + n + 1) Xét tổng B= n n −1 + + n + 1, B có n − số hạng, viết: = B (n n −1 − 1) + (n n − − 1) + + (n − 1) + (1 − 1) + (n − 1) Mỗi hiệu ngoặc chia hết cho n − Vậy A chia hết cho (n − 1) 280 Với x ∈ Z có: P ( x) =x5 − x + x3 − x + x − Nếu x chia hết cho năm số hạng đầu P (x) chia hết cho 9, cịn khơng chia hết cho 9, P (x) khơng chia hết cho 9, nghĩa P (x) ≠ Nếu x không chia hết cho x khơng chia hết cho 3, ác số hạng khác P (x) chia hết cho 3, P (x) khơng chia hết cho 3, nghĩa P (x) ≠ 281 Nhân hai vế S với 2: 2S = 20 + 4 1991 1992 + + + + + 21 21 22 21989 21990    1991 2 1  = +  +  +  +  + +  1989 + 1990  2 2 2  2   1991 1992  1992 1 = +  + + + + 1990 + 1991  − 1991 + + + + 1990 2 2 2 2  -143- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com 1989 1 1−   1992 = + S − 1991 +   2 1− 1990 1992   = + S − 1991 + −   2 2 1990 1992   ⇒ S = − 1991 −   2 < 282 Nhân hai vế P với x, y, z được: x2 xy xz Px = + + y+z z+x x+y Py = yx y2 yz + + y+z z+x y+x Pz = xz zy z2 + + y+z z+x y+x x2 y2 z2 y(x + z) z(x + y) x(y + z) + + + + Suy ra: P(x + y + z) = + = Q + (x + y + z) y+z z+x y+x x+z x+y (y + z) Q Do đó: (P − 1)(x + y + z) = (1) a) Nếu P = từ (1) ta có Q = b) Nếu Q = P ≠ mà x + y + z = 0, chẳng hạn với x = 1, y = 2, z = −3, ta có: −3 P= + + =−3 ≠ −1 −2 Vậy Q = khơng thiết P = 283 Đặt 11 = A 11  = a  k c/ s k /s = a.10k + a 11  k /s k = B 4.11 =  4a Do 10 = 99  + 1= a + k /s k /s nên A − B += a (9a + 1) + a − 2.4a + = 9a − 6a + 1= (3a − 1) số phương -144- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com -145- ... 2= ,b b) Số 232 + có số nguyên tố không? 87 Chứng minh số 11  22  tích hai số nguyên liên tiếp với số n nguyên n chữ số n chữ số dương 88 Chứng minh số 11  − 22  số phương với số n nguyên... số n chữ số 89 Tìm số có ba chữ số cho chia cho 11 thương tổng chữ số số bị chia 90 Tìm số có bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn hàng trăm giống nhau, chữ số hàng chục hàng đơn vị giống nhau, số. .. -5- BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ Website: tailieumontoan.com ( )( ) b) 98. 28 − 184 + 184 − ; c) 1002 − 992 + 982 − 97 + + 22 − 12 ; d) ( 20 + 182 + 162 + + 42 + 22 ) − (192 + 17 + 152 + + 32 + 12 ) ; 780 2