Giáo án Toán 7 phát triển năng lực. Giáo án soạn theo mẫu tập huấn mới nhất, theo định hướng phát triển năng lực phẩm chất người học. Cấu trúc giáo án soạn theo 5 hoạt động, phương phát kĩ thuật dạy học trong mỗi hoạt động đều bám sát định hướng phát triển năng lực người học. Nội dung mỗi hoạt động thể hiện được học sinh đã được làm việc độc lập với tài liệu (làm việc cá nhân riêng lẻ và làm việc cá nhân trước trao đổi nhóm), học sinh được phát huy năng lực sáng tạo qua việc phải tìm tòi, phải nhận biết, xác định các thành phần trong phép trừ cách tìm được số trừ qua việc “tổng quát” từ các phép tính cụ thể. Học sinh được thảo luận qua các hoạt động nhóm. Đặc biệt học sinh được tạo điều kiện để tự đánh giá bài của mình và đánh giá bài của bạn thông qua hoạt động đổi chéo bài làm. Giáo viên đã quan sát chính xác để hỗ trợ và đặc biệt là tạo dần cho các em thói quen làm cá nhân, nhóm; độc lập và hợp tác linh hoạt.
Mu Ngày soạn: soạn: / /8 Ngày Chơng I: sè h÷u tØ - sè thùc TiÕt 1: TËp hợp q số hữu tỉ I mục tiêu Kiến thức : - Học sinh hiểu đợc khái niệm số hữu tỉ trục số so sánh số hữu tỉ - Bớc đầu nhận biết đợc mối quan hệ tập hợp số : N Z Q Kĩ : - Học sinh biết biểu diễn số hữu tỉ trục số, biết so sánh hai số hữu tỉ Thái độ : - Rèn cho hs tính tự giác học tập yêu thích môn Năng lực, phẩm chất: * Năng lực Phỏt trin nng lc gii quyt , lực tự học, lực hợp tác * Phẩm chÊt: Tự lập, tự tin, tự chủ II chuÈn bÞ Gv: Bảng phụ, thớc thẳng có chia khoảng, phấn màu Hs: Ôn tập kiến thức : Phân số nhau, tính chất phân số, so sánh số nguyên, so sánh phân số, biểu diễn số nguyªn trªn trơc sè III PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT DY HC Phng phỏp Thuyết trình, vấn đáp, gi mở, hoạt động cá nhân,hđn, luyện tập Kĩ thuật : Kĩ thuật động não, đặt câu hỏi IV TỔ CHỨC CÁC HOAT ĐỘNG HỌC TẬP Hoạt động khởi động *Ổn định tổ chøc * KiÓm tra cũ : - Kiểm tra đồ dùng, sách, HS - GV nêu yêu cầu sách vở, dụng cụ học tập, ý thức phơng pháp học tập môn toán *Vo bi: GV giới thiệu chơng trình đại sè líp (gåm ch¬ng) GV giíi thiƯu s¬ lợc chơng : Số hữu tỉ - Số thùc Đây chương mở đầu chương trình Đại số lớp đồng thời phần tiếp nối chương Phân số lớp Hoạt động hình thnh kin thc: Mu Hoạt động GV HS Nội dung kiến thức Hoạt động 1, : Số hữu tỉ - Phơng pháp: Thuyt trỡnh, vấn đáp gợi mở, hoạt động cá nhân - Kĩ thuật: Động nÃo, đặt câu hỏi = - Gi¶ sư ta cã c¸c sè : ; - 0,5 ; 1 2 0,5 = 2 ; ; Em h·y viết phân số số trªn 0 = 1 2 3 19 19 38 7 14 - Có thể viết số thành - Có thể viết số thành phân số ? vô số phân số (Sau GV bổ sung vào cuối dòng dấu . ) - lớp 6, em đà biết: phân số cách viết khác số, số đợc gọi số hữu tỉ Vậy số ; - 0,5 ; ; ; - Sè hữu tỉ số viết đợc dới số hữu tỉ Vậy a dạng phân số với a, b Z , b số hữu tỉ ? b GV giới thiệu: Tập hợp số hữu tỉ đợc kí hiệu Q ?1: 125 GV yêu cầu hs làm ?1 : 0,6 = ; - 1,25 = ; 10 100 - Vì số 0,6 ; - 1,25 ; 1 số hữu tỉ ? GV yêu cầu hs làm ? : 3 Theo định nghĩa, số số hữu tỉ - Số nguyên a có phải số hữu ? : tỉ không? Vì sao? a - Số tự nhiên có phải số hữu tỉ - Với a Z a = a Q không? Vì sao? Mu a - VËy em cã nhËn xÐt g× vỊ mèi � a �Q - Víi a �N th× a quan hệ tập hợp số : N, Z, Q? GV giới thiệu sơ đồ biểu diễn N �Z �Q mèi quan hƯ gi÷a ba tËp hợp : Q Z N HS vẽ sơ đồ vào vở, sau trả lời miệng tập (sgk/7) Hoạt động : Biểu diễn số hữu tỉ trục số - Phơng pháp: Thuyt trỡnh, vấn đáp gợi mở, hoạt động cá nhân - Kĩ thuật: Động nÃo, đặt câu hỏi - GV vẽ trục số lên bảng, yêu cầu hs biểu diễn số nguyên - ; ; trªn trơc sè - HS vẽ trục số biểu diễn số nguyên trục số vào theo yêu cầu GV, hs làm bảng - Tơng tự số nguyên, ta biểu diễn số hữu tỉ trục số VD1: Biểu diễn số hữu tỉ VD1: -1 1M trơc sè GV yªu cầu hs đọc ví dụ (sgk/5) GV thực hành bảng hs làm theo VD2: Biểu diễn số hữu tØ trªn trơc sè 3 Mẫu - Viết dới dạng phân số có 2 = 3 mẫu số dơng - Chia đoạn thẳng đơn vị - Chia đoạn thẳng đơn vị thành phần? thành phần - Lấy bên trái điểm - Xác định điểm biểu diễn số đoạn đơn vị hữu tỉ ? GV gọi hs lên bảng biểu diễn GV: Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x Hoạt động : So sánh hai số hữu tỉ - Phơng pháp: Thuyt trỡnh, vấn đáp gợi mở, hoạt động cá nhân - Kĩ thuật: Động nÃo, đặt câu hỏi ?4 10 4 12 = ; = 15 5 15 GV yêu cầu hs đọc ? : - So sánh hai phân số 10 - Muốn so sánh hai phân số ta Vì - 10 > - 12, 15 > nên 15 > lµm thÕ nµo? 12 15 hay 2 > - Muốn so sánh hai số hữu tỉ ta làm nào? (HS trả lời GV ghi - Muốn so sánh hai số hữu tỉ ta viết chúng dới dạng phân số bảng) so sánh hai phân số VD1: So sánh hai số hữu tỉ : 6 5 ; VD1: 0,6 = 0,6 10 10 VD2: So sánh hai số hữu tỉ Vì - < - nªn 6 5 hay - 0,6 10 10 < GV yêu cầu hs tù lµm vÝ dơ vµo 7 ; vở, gọi hai hs lên bảng trình bày VD2: V× - < 7 � 3 2 0, nªn - Qua hai VD trªn, em hÃy cho biết muốn so sánh hai số hữu tỉ - Để so sánh hai số hữu tỉ ta làm nh sau : ta lµm thÕ nµo? Mẫu + Viết hai số hữu tỉ dới dạng hai phân số có mẫu dơng + So sánh hai tử số, số hữu tỉ có tử số lớn lớn GV giới thiệu vị trí hai số hữu tỉ x, y trục số x < y, Chú ý : số hữu tỉ dơng, số hữu tỉ - Nếu x < y điểm x bên âm, số trái điểm y trục số - Vậy tập hợp số hữu tỉ gồm - Nếu x > x số hữu tỉ dnhững loại số hữu tỉ ? ơng ; x < x số hữu tỉ âm ; x = x không số hữu tỉ dơng không số hữu tỉ âm - Tập hợp số hữu tỉ gồm số hữu GV cho hs làm ?5 tỉ dơng, số hữu tỉ âm số ?5 : - Số hữu tØ d¬ng : ; 3 - Số hữu tỉ âm : ; ; GV cho hs nhËn xÐt vỊ dÊu cđa a - Số hữu tỉ không dơng a b số hữu tỉ dơng, âm không âm: b NhËn xÐt: 2 a nÕu a, b cïng d¸u b a + < nÕu a, b khác dấu b + Hoạt động luyện tập: * GV yêu cầu hs nhắc lại : - Thế số hữu tỉ ? Cho ví dụ - Để so sánh hai số hữu tỉ ta làm ? * HS lần lợt đứng chỗ trả lời * GV cho hs hoạt động nhóm làm tập sau : Cho hai số hữu tỉ 0,75 a) So sánh hai số b) Biểu diễn hai số trục số Nhận xét vị trí hai số với điểm ? Mu * HS làm theo nhóm, sau phút đại diện nhóm lên bảng trình bày Hoạt động vận dụng: Cõu hỏi : Chọn câu trả lời đúng: 1/ Điền kí hiệu ( �, �, �) thích hợp vào vng A -7 N B 7 2/ Cho a,b �Z , b �0, x = A Z C -7 1� � � D �1;0; � Q Q a ; a,b dấu thì: b x=0 B x > C x < D Cả B, C sai 3/ Số hữu tỉ sau không nằm A 9 B C 4/ Chọn câu sai : Các số nguyên x, y mà A x = 1, y = 3 D x : y B x=2, y = -3 C x = - 6, y = - D x = 2, y=3 Đáp án : A � B C � � D � B C B Hoạt động tìm tòi, mở rộng * Tìm tòi, mở rộng: BT: Cỏc im A, B sau biểu diễn số hữu tỉ nào? B A 1 * Dặn dò: - Học đọc trớc cộng, trừ số hữu tỉ - Làm tập từ đến (sgk/7 + 8) tập từ đến (SBT/3 + 4) - Ôn tập quy tắc công, trừ phân số ; quy tắc dấu ngoặc ; quy tắc chuyển vế (toán 6) Mu Tuần 1: Ngày soạn: soạn: /8 Ngày /8 Tiết 2: Cộng, trừ số hữu tỉ A mục tiêu Kiến thức : - HS nắm vững quy tắc cộng, trừ số hữu tỉ, biết quy tắc chuyển vế tập hợp số hữu tỉ Kĩ : - HS có kĩ làm phép cộng, trừ số hữu tỉ nhanh Thái độ : - Rèn cho hs tính tự giác, kiên trì học tập yêu thích môn Năng lực, phẩm chất: * Năng lực Phỏt trin lực giải vấn đề, lực tự học, lực hợp tác * Phẩm chÊt: Tự lập, tự tin, t ch II chuẩn bị Gv: Bảng phụ, phấn mầu Hs: Bảng nhóm, bút Ôn tập : Cộng trừ phân số, quy tắc chuyển vế quy tắc dấu ngoặc III PHNG PHP V K THUT DY HC Phng phỏp Thuyt trỡnh, vấn đáp gợi mở, hoạt động cá nhân.luyn K thut : K thut ng nóo, đặt câu hỏi IV T CHC CÁC HOAT ĐỘNG HỌC TẬP Hoạt động khởi động *Ổn định tổ chøc * KiÓm tra cũ : * GV nêu yêu cầu kiểm tra : Câu Thế số hữu tỉ ? Lấy ví dụ số hữu tỉ (mỗi loại ví dụ) Chữa tập (sgk/8) : So sánh số h÷u tØ - a) x = - vµ y = 11 0,75 vµ y = b) x = 18 - 213 vµ y = - 25 300 c) x = - - Câu Chữa tập (sgk/8) * Hai hs lên bảng kiểm tra : HS1 trả lời câu hỏi chữa bµi 3/sgk : Mẫu - - 22 - - 21 - 22 - 21 = = = � x < y vµ y = ; < - 7 77 11 77 77 77 18 - 18 - 216 - 213 - 213 - 216 = = x > y b) x = vµ y = ; > - 25 25 300 300 300 300 - 75 - - x = y = c) x = - 0,75 = vµ y = 100 4 HS2 chữa 5/sgk : Với a, b, m Z ; m > vµ x < y a b a b a < b Do ®ã : Ta cã : x = ;y= ;x x > 0) x 0,8 vµ y - x = 20 y x x y � ¸p dơng tÝnh y 5 Ta cã : Tõ chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã : x y y x 20 20 54 � x = 20 = 80 (c©y) y = 20 = 100 (c©y) VËy Bài 61 (sgk/31) Bài 61 (sgk/31) Tìm ba số x, y, z biÕt : x y y z ; vµ x + y - z = 10 x y x y � 12 y z y z � 12 15 � � x y z � �� 12 15 � � HS đọc đề GV: Từ hai tỉ lệ thức làm để có dÃy tỉ số nhau? HS: Ta phải biến đổi cho áp dụng tính chÊt cđa d·y tØ sè hai tØ lƯ thøc cã c¸c tØ sè x y z b»ng nhau, cã : b»ng 12 15 x yz 10 Sau cã d·y tØ sè b»ng 12 15 råi, gọi hs lên bảng làm tiếp x Bài 62 (sgk/31) Tìm hai số x y biết : x y � x 16 ; z � z 30 15 y � y 24 12 Bµi 62 (sgk/31) vµ xy = 10 GV: Trong bµi nµy ta x + y x - y mà lại có xy Vậy có a c a ac có không? b d b bd GV gỵi ý b»ng mét vÝ dơ thĨ : Cã 1.2 th× 3.6 cã b»ng kh«ng? HS : 55 Mẫu 1.2 1 � = 3.6 a c ac � VËy b d bd GV híng dÉn hs cách làm : HS làm dới hớng dẫn GV Víi k = h·y t×m x, y ? Víi k = - h·y t×m x, y ? GV lu ý hs: Đặt x y = k � x = 2k ; y = 5k Do ®ã xy = 2k 5k = 10k2 = 10 � k2 = � k = �1 Víi k = � x = vµ y = Víi k = - � x = - vµ y = - a c ac a c ac � , nhng b d bd bd b d Ta sử dụng nhận xét để tìm cách giải khác Chẳng hạn : 2 xy 10 x y 1 2.5 10 2 5 x2 y2 � Từ tìm x, y 25 HS nghe ghi lại hớng dẫn GV Hot ng dng : : - Nhắc lại tính chất dÃy tỉ số * Gợi ý 63/sgk : Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc - d 0) ta cã a+ b a c = (a - b ; c b d c+ d thĨ suy tØ lƯ thøc : a- b = c- d a c a c a+ b c + d a+ b b = � + 1= + � = � = (1) b d b d b d c+d d a c a c a- b c- d a- b b vµ : b = d � b - = d - � b = d � c- d = d (2) a+ b a- b a+ b c+ d Tõ (1) vµ (2), suy c+ d = c- d � a- b = c- d (đpcm) Ta có : Hoạt động tìm tòi, mở rộng: * Tìm tòi, mở rộng: BT: T×m x, y, z biÕt: 6x = 4y = 3z x+y+z = 18 * Dặn dò: - Xem lại đà chữa - Làm tập 63 ; 64 (sgk/32) vµ bµi 76 ; 77 ; 79 ; 81 (sbt/14) - Đọc trớc : "Số thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuần hoàn" 56 Mu - Ôn lại định nghĩa số hữu tỉ - Tiết sau mang máy tính bỏ túi Tuần 7: Ngày soạn: 26/ 04/10 Ngày soạn: Tiết 13: Số Thập phân hữu hạn Số thập phân vô hạn tuần hoàn I mục tiêu Kiến thức : - HS hiểu đợc số hữu tỉ số có biểu diễn thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn - HS nắm đợc điều kiện để phân số tối giản biểu diễn đợc dới dạng số thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn tuần hoàn Kĩ : - Học sinh nhận biết đợc số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn Thái độ : - Rèn ý thøc tù gi¸c häc tËp, tÝch cùc tham gia xây dựng yêu thích môn Thái ®é : - RÌn ý thøc tù gi¸c häc tập, yêu thích môn Năng lực, phẩm chất: * Năng lực Phỏt trin nng lc gii quyt đề, lực tự học, lực hợp tác * Phẩm chÊt: Tự lập, tự tin, tự chủ 57 Mẫu II chuẩn bị Gv: Phơng tiện: Bảng phụ, phấn màu Hs: Chuẩn bị theo phần dặn dò tiÕt III PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT DẠY HỌC Phng phỏp : Thuyt trỡnh, vấn đáp gợi mở, hoat ng nhúm, hoạt động cá nhân, luyn K thut : K thut ng nóo, đặt câu hỏi, chia nhóm IV TỔ CHỨC CÁC HOAT ĐỘNG HỌC TẬP Hoạt động khởi động *Ổn định tổ chøc * Kiểm tra bi c : * GV nêu yêu cầu kiểm tra : - Thế số hữu tỉ ? - Viết số sau dới dạng số thập ph©n : 14 19 ; ; ; 10 100 20 25 * Một hs lên bảng kiểm tra : a víi a, b Z, b b 14 35 19 76 0,3 ; 0,14 ; 0,35 ; 0, 76 10 100 20 100 25 100 - Sè hữu tỉ số viết đợc dới dạng phân số - Lµm bµi tËp : * GV nhËn xÐt, cho ®iĨm * Vµo bµi: Ta ®· biÕt vµ qua bµi tập trên, ta thấy phân số thập phân viết đợc dới dạng số thập phân Các số thập phân số hữu tỉ Còn số thập phân 0,323232 có phải số hữu tỉ không? Chúng ta học Hoạt động hình thành kiến thức: Hoạt động GV HS Nội dung cần đạt Hoạt Số thập phân hữu hạn Số động 1: thập phân vô hạn tuần hoàn VD1: 37 GV cho hs lµm vÝ dơ = 0,15 ; = 1,48 - Viết phân số dạng số thập phân HS đọc đề 37 ; dới 20 25 20 25 GV: HÃy nêu cách làm HS: làm cách chia tử cho mẫu, biến đổi phân số thập phân (nh phần KTBC) (GV yêu cầu hs kiểm tra phép chia b»ng m¸y tÝnh) 58 Mẫu GV: C¸c sè thập phân nh 0,15 ; 1,48 đợc gọi số thập phân hữu hạn VD2: VD2 : Viết phân số = 0,41666 số thập phân 12 dới dạng số vô hạn tuần hoàn 12 thập phân GV: Em có nhận xét phép chia này? HS: Phép chia không chấm dứt, thơng chữ số đợc lặp lặp lại GV: Số 0,41666 đợc gọi số thập phân vô hạn tuần hoàn Cách viết gọn : 0,41666 = 0,41(6) Trong kí hiệu (6) chữ số đợc lặp lại vô hạn lần Số gọi chu kì số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6) HS nghe giảng ghi GV: HÃy viết phân số 1 17 ; ; dới dạng số thập phân, 99 11 Cách viết gọn : 0,41(6) 0,41666… = 0,111 0, (1) (chu kì 1) 0, 0101 0, (01) (chu kì 01) 99 17 1,5454 1, (54) (chu kì 11 54) chu kì (GV cho hs dùng máy tÝnh thùc hiƯn phÐp chia cho nhanh) Ho¹t NhËn xÐt động 2: GV: VD1 ta đà viết đợc phân số 37 ; dới dạng số thập phân 20 25 hữu hạn VD2 ta viết phân số 12 dới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Các phân số dạng tối giản HÃy xét xem mẫu phân số chứa thừa số nguyên tố ? HS: - Phân số có mẫu 20, chứa 20 thừa số nguyên tố 59 Mu - Phân số 37 có mẫu 25, chứa 25 thừa số nguyên tố - Phân số có mẫu 12, chứa 12 thừa số nguyên tố GV: Vậy phân số tối giản với mẫu dơng, phải có mẫu nh viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn? số thập phân vô hạn tuần hoàn? HS: - Phân số tối giản với mẫu dơng, mẫu ớc nguyên tố khác phân số viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn - Phân số tối giản với mẫu dơng, mẫu có ớc nguyên tố khác Nhận xét: (sgk/33) phân số viết đợc dới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn GV ®a nhËn xÐt (sgk/33) : “Ngêi ta chøng minh ®ỵc : Nếu vô hạn tuần hoàn GV: Cho ph©n sè 6 ; Hái 75 30 phân số viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn ? Vì ? HS : (là phân số tối giản) 75 25 có mẫu 25 = 52 nên ớc nguyên tố khác 75 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn có mẫu 30 = 2.3.5, nên có 30 ớc nguyên tố (khác 5) viết đợc dới dạng số thập 30 ?2 phân vô hạn tuần hoàn = 0,23333 = 0,2(3) 30 60 Mu GV yêu cầu hs làm ? : Trong phân số sau đây, phân số viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn, phân số viết đợc dới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Viết dạng thập phân phân số * ; 13 ; 17 ; = viết đợc d4 50 125 14 ới dạng số thập phân hữu hạn 13 17 11 ; ; ; ; ; 5 11 50 125 45 14 * ; viết đợc dới dạng số 45 GV: YCHS thảo luận nhóm - HS thảo luận nhóm Đại diện thập phân vô hạn tuần hoàn 13 17 nhóm lên bảng trình bày 0, 25 ; 0, 26 ; 0,136 ; 50 125 0,5 14 5 11 0,8(3) ; 0, (4) 45 GV: Nh phân số viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn Nhng số hữu tỉ viết đợc dới dạng phân số nên nói số hữu tỉ viết đợc dới dạng số thập phân hữu Kết luận (sgk/34) hạn vô hạn tuần hoàn Ngợc lại, ngời ta chứng minh đợc số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn số hữu tỉ Ví dô : 0,(4) = 0,(1) = 4 9 GV đa kết luận lên bảng phụ Hoạt động luyện tập: - Những phân số nh viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn? số thập phân vô hạn tuần hoàn? (HS đứng chỗ trả lời) 61 Mu - Vậy số 0,323232 có phải số hữu tỉ không? + Số 0,323232 số hữu tỉ 32 32 99 99 0,(32) = 0,(01) 32 = Hoạt động vËn dơng: - GV cho HS lµm bµi 67 (sgk/34) : Cho A = HÃy điền vào ô vuông số nguyên tố có chữ số để A viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn? Có thể điền số nh vây? + Có thể điền số : A 2 A hc A 5 Hoạt động tìm tòi, mở rộng: * Tìm tòi, mở rộng: BT: Viết số sau dạng phận số: a 0,(6) b 0,(21) * Dặn dò: - Nắm vững điều kiện để phân phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn - Học thuộc kết luận mối quan hệ phân - Làm tËp : 65 ; 66 ; 68 ; 69 ; 70 ; 0,1(63) số viết đợc dới dạng số thập số hữu tỉ số thập 71 (sgk/35) 62 Mẫu Trun g tâm GD Sao Khuê nhận cung cấp giáo án, soạn powerpoit, viết SKKN, chuyên đề, tham luận, thi e-Learing cấp… 63 Mẫu 64 Mẫu 65 Mẫu 66 ... 25 1 - (1 C = - (25 1 + 28 1) + 25 1 - (1 - 28 1) - 28 1) = - 25 1 - 28 1 + 25 1 - + 28 1 = (- 25 1 + 25 1 3) + (- 28 1 + 28 1) - Bµi 29 (SBT/8) = - - Tính giá trị biểu thức sau với a Bµi 28 (SBT/8) = 1,5... a/ 3 3 3 b/ 0, 25 : 0, 25 0, 25 Ho¹t ®éng : Luü thõa cña mét luü thõa GV yêu cầu hs làm ?3 ?3 : a/ b/ ? ?2 22 .22 .22 26 2 2 2 � �1 �� �1 � �1 � �1 � �1... sánh: � 2. 5 = 22 52 a, 2. 5 2. 52 ; 3 b, 4 2? ?? *HS: Thực 3 4 3 3� �3 � 27 b) � � � = � � ? ?2 � �8 � 5 12 3 27 27 �1 � �3 � � � � � = 64 5 12 ? ?2 � �4 � 3 3� �1