Chuyên đề: thế năng tương tác của hệ điện tích

PHẦN MỞ ĐẦU Trong q trình giảng dạy ơn tập cho đội tuyển học sinh giỏi, nhận thấy mảng kiến thức phần Tĩnh điện phần kiến thức khó, đặc biệt tốn liên quan đến bảo toàn lượng trường Tĩnh điện, lựa chọn viết chuyên đề hẹp : “THẾ NĂNG TƯƠNG TÁC CỦA HỆ ĐIỆN TÍCH BÀI TỐN VẬN DỤNG CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN” Cấu trúc chuyên đề gồm 03 nội dung chính: Phần A: Lý thuyết tổng quan Phần B: Bài tập vận dụng- có phân tích đề Phần C: Bài tập tự giải Chuyên đề : THẾ NĂNG TƯƠNG TÁC CỦA HỆ ĐIỆN TÍCH BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN A Lý thuyết Khái niệm về thế tương tác của hệ điện tích Giả sử có hệ hai điện tích cùng dấu q1, q2 Vì lý hệ phân rã cho hai điện tích ở cách nhâu xa, lực tương tác điện tích lực đẩy Vì phân rã hệ thực công dương, nghĩa ta thu lượng Như q1, q2 hợp thành hệ hệ có lượng dự trữ, phân rã lượng hệ giải phóng, lực tương tác điện tích hệ lực cơng mà hệ thực phân rã công lực Năng lượng dự trữ hệ gọi riêng hệ hay gọi tắt hệ Biểu thức tính thế tương tác của hệ - Lực tương tác điện tích điểm – Lực Culơng: F = qq q1 q = k 22 4πε εr εr - Cường độ điện trường điện tích Q gây điểm cách khoảng r: E=k Q ε r2 q M - Công lực điện trường tĩnh làm di chuyển điện tích q từ M 11đến M2 điện trường điện tích Q: dA = f dl = q E dl r2 dr 1 ⇒ A = q ∫ E dl = kqQ ∫ = kqQ( − ) r1 r2 r1 r r1 Q r2 dl M2 - Nếu điện trường hệ nhiều điện tích di chuyển điện tích q từ M1 đến M2: n A = qk ∑ Qi ( i =1 1 − ) r1i r2i - Điện thế: Điện điện tích điểm Q điểm cách khoảng r đại lượng đặc trưng cho điện trường phương diện dự trữ lượng V =k Q +C εr ( C = const.) Nếu có nhiều điện tích điện hệ điện tích gây điểm là: V = k∑ Q +C ε ri */ Đới với hệ điện tích phân bố liên tục: V = k dQ ∫ r +C - Hiệu điện thế: U12= V1- V2 - Khi cơng lực điện làm di chuyển điện tích: A12= q.U12 - Công lực điện làm di chuyển điện tích từ điểm điện trường xa vô cực: A = q.V với (V: Điện điểm đó.) - Cơng làm di chuyển hệ điện tích xa vơ cực bằng tương tác hệ điện tích : n A = W= (q1V1+ q2V2+ q3V3+ …) = ∑ qiVi i =1 */ Với hệ điện tích phân bớ liên tục: ¦ W = */ Xét hệ gồm hai điện tích: ¦ W = k Vdq 2∫ q1q ε r12 với r12: Khoảng cách hai điện tích B Bài tập I HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ PHÂN TÍCH ĐỀ: Bài Một cầu nhỏ khối lượng m mang điện tích –q chuyển động từ vị trí A mặt phẳng nghiêng góc α so với mặt ngang ở chân C đường thẳng đứng AC có cầu nhỏ mang điện tích q2= +q giữ cớ định Xác định vận tốc vB A -q; m ⊕ C α B cầu m x́ng đến chân dốc B Khảo sát phụ thuộc vB vào góc α trường hợp sau: a α= 450; b α > 450; c α< 450 Phân tích đề bài: Áp dụng bảo toàn lượng cho hai vị trí A B, (lưu ý tới tương tác tĩnh điện điện tích –q điện trường điện tích q) từ tìm vận tốc –q B Khảo sát phụ thuộc vB vào góc α bằng cách tìm điều kiện tồn vB Đ/s: vB= Bài Một hạt bụi nằm cố định điểm O thừa 1000 electron Từ xa O có electron bay tới với vận tốc ban đầu v0= 105m/s Xác định khoảng cách nhỏ mà electron tiến đến gần hạt bụi? Bỏ qua tác dụng trọng lực Phân tích đề : Khi ở xa hạt bụi e có động tiến lại gần hạt bụi lực đẩy tĩnh điện mà vận tớc giảm nên động giảm cịn tương tác tĩnh điện lại tăng, tới vị trí gần vận tớc = tĩnh điện đạt giá trị cực đại-> BTNL cho e trường hạt bụi ta tìm rmin Đ/s: rmin= 0,051mm Bài Ba cầu kim loại nhỏ, có cùng khới lượng m = 0,1g có cùng điện tích q = 10-7C, ban đầu giữ nằm yên ba đỉnh tam giác cạnh a = 1,5cm Cùng bng ba cầu chúng dịch chuyển xa cách đối xứng tác dụng lực đẩy tĩnh điện chúng Bỏ qua tác dụng trọng lực từ trường Hãy tính: a Vận tớc cầu chúng cách khoảng r = 4,5cm b Công lực điện trường để làm cho cầu dịch chuyển xa hai cầu Phân tích đề bài: Do tính đới xứng nên ba cầu trình chuyển động xa nằm ba đỉnh tam giác song song với tam giác ban đầu Mỗi cầu chuyển động điện trường hai cầu cịn lại Khi chúng chưa dịch chuyển tương tác tĩnh điện, ở cách khoảng r = 4,5cm vừa có động vừa tương tác tĩnh điện, chúng đã ở xa cơng làm dịch chuyển từ vị trí ban đầu vơ cùng bằng lượng điện trường mà dự trữ điện trường hai lại-> BTNL cho Đ/s: A = = 3,6.10-2J Bài Tại hai điểm A B cách đoạn AB = a = 5cm có hai cầu nhỏ mang điện tích q1= 9.10-7C; q2 = -10-7C giữ cớ định Một hạt có khới lượng m = 0,1g mang điện tích q3= 10-7C, chuyển động từ xa đến theo đường BA hình vẽ Hạt phải có vận tớc ban đầu v0 tới thiểu bằng để đến điểm B Bỏ qua tác dụng trường ⊕A B a x0 C Phân tích đề bài: Hạt chuyển động chậm dần từ vô cùng tới điểm C lưc đẩy q lớn lực hút q2 sau chuyển động nhanh dần Như vật tới B tới C.Giả sử C tổng hợp lực tác dụng lên q bằng Từ tìm x0 Khi q3 ở xa hai điện tích có động năng, tới C vận tớc bằng khơng, cịn tương tác tĩnh điện với điện tích A B-> BTNL cho q vô cùng C-> vận tốc C Đ/s: v0= = 12m/s Bài 5: Hai cầu giớng có cùng khới lượng m, bán kính R, tích điện phân bớ +Q –Q Ở trạng thái đầu hai cầu giữ mặt phẳng nằm ngang nhẵn, cách điện, tâm hai cầu nằm cách khoảng 10R Quả cầu thứ gắn với tường bằng sợi dây nhẹ, cách điện, chịu lực căng T Còn cầu thứ hai thả vào thời điểm Tìm vận tớc hai cầu sau va chạm va chạm tuyệt đối không đàn hồi điện tích khơng phân bớ lại +Q -Q 10R Phân tích đề : Tại thời điểm thả cầu Q thả chuyển hóa thành động thời điểm va chạm tồn chuyển hóa thành động năng-> TÌm vận tớc cầu Q trước va chạm Áp dụng BTDL cho hệ hai cầu ta tìm đươc vận tớc hai cầu sau va chạm Đ/s: v = Q v = Q q3 Bài 6: Ba cầu cùng khối lượng m , điện tích cùng dấu , bằng q , nối với bằng ba sợi dây dài l , không giãn , không khối lượng , không dẫn điện Hệ đặt mặt phẳng ngang , nhãn Người ta đớt ba sợi dây a) Xác định vận tốc cực đại vmax cầu q trình chuyển động b) Mơ tả chuyển động cầu sau đã đạt vmax Phân tích đề bài: Cách : a) Khi ba dây bị đứt , dưới tác dụng nội lực lại (lực đẩy tĩnh điện lực căng dây ) ba viên bi chuyển động khối tâm hệ vẫn đứng yên động lượng hệ vẫn bảo toàn : r r r r r r v1 + v + v3 = → v1 + v3 = − v Do tính chất đới xứng hệ , nên cầu chuyển động đường trung trực y ’y , r r hai cầu luôn nằm ngang , vận tốc v1 v3 đối xứng qua y’y để “tam giác điện tích ‘’ln có khới tâm G Ở vị trí , tĩnh điện hệ : Wt = (qv1 + qv + qv3 ) = q q q q(2k + 2k + 2k ) l x l  q kq  =  2k + ÷ l x   Theo định luật bảo toàn lượng động cực đại hệ ứng với cực tiểu hệ Wt(min) ⇔ x=2l: hệ ba cầu thẳng hàng r r → v1 = v3 vng góc với đường nới điện tích →v1m = v3m =1/3 v2m ∆Wđ = -∆Wt kq  kq kq  2 m(v1m + v 2m + v3m ) = −2 + ÷ l 2l   l kq 2 m6v1m = 2l → v1m = v3m= kq kq ; v2m = 6ml 6ml b) Sau đạt vận tốc cực đại chúng chuyển động chậm dần vận tớc bằng khơng khơi phục ban đầu tam giác điện tích trở thành tam giác có hình dạng đới xứng với tam giác ban đầu Sau hệ dao động tuần hồn quanh khối tâm G Cách : ( Dùng định luật bảo tồn lượng ) Vì hệ khơng chịu tác dụng ngoại lực nên lượng hệ bảo toàn Dê thấy rằng tĩnh điện cầu 1,3 2,3 không thay đổi nên viết định luật bảo tồn lượng hệ dưới dạng : kq kq mv mv = +2 + (1) l r 2 Áp dụng định luật bảo toàn động lượng với động lượng hệ cầu ( chưa đốt dây bằng 0) 0= 2mv – mv (2) Lấy (2): v → vmax ⇔ khoảng cách cầu cực đại ⇔ r12 = 2l Giải hệ phương trình (1),(2),(3) → vmax = q 3ml Bài 7: Ở cách xa vật thể khác khơng gian, có hai cầu nhỏ tích điện Điện tích khới lượng cầu q1 = q2 , m1 = 1g ; q1= q2 , m2 =2g Ban đầu , khoảng cách hai cầu a = 1m , vận tốc cầu m2 1m/s , hướng dọc theo đường nối hai cầu xa m1 vận tốc cầu m1 1m/s, hướng vuông góc với đường nới hai cầu Hỏi với giá trị điện tích q bằng chuyển động , cầu có hai lần cách khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tác điện hai cầu Phân tích đề bài: + Vận tốc khối tâm hệ hai hạt  Vcx = v0 r r r r  r  2mv02 + mv 01 2v02 + v01 V0 = = = const →  3m V = v  cy Do ngoại lực , khới tâm chuyển động Xét hệ quy chiếu khối tâm (C) Vận tốc hạt gồm thành phần : + Thành phần theo phương nối hạt ( dưới gọi thành phần song song) +Thành phần vng góc với đường thẳng nối hạt ( dưới gọi thành phần vng góc ) Tại thời điểm ban đầu vật tốc hệ quy chiếu C hạt :  Vmx = v0  r  vm  , V = − v  my v  V2mx = −  r  v 2m   V = v0  2my Để thỏa mãn điều kiện hai hạt lần qua vị trí cách 3m khoảng cách cực đại hai hạt lmax≥ 3m Khi đạt khoảng cách lmax thành phần vận tớc theo phương song song triệt tiêu, cịn thành phần vng góc Do động lượng hệ hệ quy chiếu C bằng nên vm = 2v v2m = v Theo định luật bảo tồn mơmen động lượng quanh C hạt 2m, ta có :  v   a  v a v.rmax =  ÷  ÷ = ( 1)   3 Mặt khác : rmax = lmax (2) Từ (1) (2) suy : v = v a v a v Vì lmax ≥ 3a  v ≤ hay v ≤ (3) 3lmax 3a Theo định luật bảo toàn lượng: 1 q2  1  1 2 2 2 m(v mx + v my ) + 2m(v 2mx + v 2my ) −  m(2v) + 2mv ÷ =  − ÷ 2 2  4πε0  a l max  q2  1  v2  m v 02 + 2m − 3mv =  − ÷ 4πε0  a l max  9 Theo giả thiết lmax ≥ 3a  q2  1  2 mv0 − 3mv2 ≥  − ÷ 4πε0  a 3a  q  mv 02 − 3mv ≥ 6πε 0a Từ (3) q≤ v 34πε0 ma =0,32C (4) Mặt khác , cũng theo định luật bảo toàn lượng , ứng với trạng thái hai hạt cách khoảng l , ta có : 2 q2  1  2   v0   2 m  v ÷ + 2m  ÷ −  m(2v) + m2v ÷=  − ÷ 3   4πε  a l    2 Vì hai hạt khơng thể xa lmax nên với l> lmax ta phải có : m q2  1  q2 4v 02 v2 − ≤ + 2m ≤  ÷ 9 4πε0  a l  4πε0 a q ≥ v 8πε0 ma =0,27C (5) Từ (4) (5)  v 8πε0 ma ≤ q ≤ v 34πε0 ma hay 0,27C ≤ q ≤ 0,32C II MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU THAM KHẢO Bài tốn 1: Điện tích Q phân bố mặt cầu kim loại rắn tuyệt bán kính R Hãy xác định lực F tác dụng lên đơn vị diện tích mặt từ phía điện tích cịn lại? Lời Giải: Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đới nên bán kính thực khơng thể thay đổi Tuy nhiên lực đẩy điện tích cùng dấu, bán kính mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể lượng vơ cùng nhỏ δR Mặt cầu tích điện có tính chất tụ điện : giữ ngun điện tích mà người ta truyền cho Điện mặt cầu : V = Q 4πεε R Mặt khác, theo định nghĩa điện dung ta có V = Q/C, suy C = 4πεε0R Năng lượng tụ điện W = Q 2/2C = Q2/(8πεε0R) Như tăng bán kính mặt cầu, lượng giảm lượng: ∆W = W – W’ = Q2 Q2 Q 2δR − = 8πεε R 8πεε ( R + δR) 8πεε R ( R + δR) */ Theo định luật bảo toàn lượng, độ biến thiên lượng bằng cơng tồn phần A lực đẩy tĩnh điện yếu tố riêng rẽ mặt cầu thực Gọi F lực tác dụng lên đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR2.δR Do đó: Q 2δR F.4πR δR = ( δR.