a SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THCS&THPT QUAN HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“ MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH BÀI TẬPTRẮC NGHIỆM PHẦN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONGKHÔNG GIAN OXYZ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ THI TỐT
NGHIỆP THPT Ở TRƯỜNG THCS&THPT QUAN HÓA”
Người thực hiện: Nguyễn Hữu Hùng Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2020
Trang 2MỤC LỤC TrangPHẦN 1 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài……… 2
1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2
1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu……….2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm……… 2
PHẦN 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lý luận……… 3
Trang 3PHẦN 1 MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn đề tài
Trong thực tiễn dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng, đòi hỏi ngườithầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi gợi trong học sinh niềmđam mê, hứng thú học tập để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và giải quyếtvấn đề
Những năm gần đây, do yêu cầu của thực tiễn, Bộ Giáo dục và Đào tạo đãđổi mới hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm.Chính vì lí do đó, người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạysao cho phù hợp Chương trình SGK Hình học lớp 12, phần phương trình mặtphẳng của chương III: “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” làmột trong những nội dung trọng tâm và quan trọng của chương trình Toán học bậcTHPT Chính vì lí do đó trong các đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây, BộGiáo dục và Đào tạo đưa nhiều câu hỏi về nội dung này Là một giáo viên dạy Toánbậc THPT, và nhất là trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công phụ tráchgiảng dạy ba lớp 12 của trường, để các em có thể đạt được kết quả tốt trong các kì
thi sắp tới, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số giải pháp giúp học sinh giải
nhanh bài tập trắc nghiệm phần phương trình mặt phẳng trong không gianOxyz, nhằm nâng cao hiệu quả thi Tốt nghiệp THPT ở Trường THCS và THPTQuan Hóa”
1.2 Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng toán về phươngtrình mặt phẳng nhằm phát huy năng lực của học sinh góp phần phát triển năng lựctư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết các vấn đề thực tế thi Tốt nghiệpTHPT.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học 2020 Cụ thể là lớp 12B, 12C,12D.
2019-1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi THPT, đề thithử THPT những năm gần đây
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11, 12.
1.4.2 Phương pháp trao đổi
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiếnlàm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
1.4.3 Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được saukhi tiến hành nghiên cứu.
1.4.4 Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập,
củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh giá).
Trang 41.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy cho học sinh trung bình,học sinh yếu kém cách làm bài tập trắc nghiệm dạng các bài toán về phương trìnhmặt phẳng Học sinh được dạy cách phân tích, tính toán để loại các đáp án sai, từđó chọn được đáp án đúng và nhanh nhất.
PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồidưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông, đặc biệt là
môn Toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong đời sống con người.Môn Toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời giantrong chương trình học của học sinh Môn Toán có tầm quan trọng to lớn, nó là bộmôn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiêncủa con người Môn Toán có khả năng giáo dục cho học sinh rèn luyện phươngpháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp cho ngườilao động trong thời đại mới.
Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hoàn thiện về nhân cách, có sứckhỏe dẻo dai, rất hiếu động và thích thể hiện mình Các em nghe giảng rất dễ hiểunhưng cũng sẽ quên ngay khi không tập trung cao độ Vì vậy, người giáo viên phảitạo ra hứng thú trong học tập cho học sinh và cho các em thường xuyên được tậpluyện Người dạy cần phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu chohọc sinh.
Sách giáo khoa Hình học lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung vào năm2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các kiến thức mới,các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại những chuyển biếnnhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng thú chú ý hơn vào nộidung bài học Nhất là trong thời đại ngày nay, thông tin bùng nổ với tốc độ nhanhchóng, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm thực sự cần thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúpcho học sinh THPT nói chung và học sinh trường THCS và THPT Quan Hóa nóiriêng vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài toán về phương trìnhmặt phẳng.
2.2 Thực trạng vấn đề
Từ năm học 2016-2017, Bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia củamôn Toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, đòi hỏi phương pháp dạy vàhọc cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi tham khảocũng như đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT và các đềthi thử của các trường THPT, học sinh thường gặp rất nhiều câu hỏi về phương trình
Trang 5mặt phẳng như: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm, phương trình mặt phẳng điqua điểm và song song (hay vuông góc) với đường thẳng cho trước, phương trìnhmặt phẳng trung trực…
Các dạng toán này gây nhiều khó khăn cho học sinh THPT nói chung và họcsinh trường THCS và THPT Quan Hóa nói riêng, bởi lí do các em còn lúng túngtrong cách biến đổi, như quy tắc dấu ngoặc, cộng trừ số nguyên âm
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trườngTHCS và THPT Quan Hóa nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, tưduy logic của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình còn rất nhiều khókhăn, tình trạng sinh viên học đại học ra trường khó xin được việc làm Vì vậy, khoảng75% số học sinh trong trường không có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọnhọc nghề vừa mất ít thời gian, xin việc lại dễ hơn, các em còn lại (25%) chỉ đăng kí vàocác trường có điểm đầu vào thấp hoặc xét học bạ, do đó, các em chỉ đặt cho mình mụctiêu là được nhiều nhất 5 điểm môn Toán
Như chúng ta đã biết, một trong các cách để viết phương trình một mặt phẳng, tacần biết một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó Bên cạnh đó, đề
thi THPTQG ra dưới hình thức trắc nghiệm, trong đó, chỉ có một đáp án đúng, ba đáp
án còn lại chắc chắn sai, do đó, việc thử để chọn đáp án đúng hay loại đáp án sai (với
sự trợ giúp của máy tính bỏ túi), hoặc thử tọa độ điểm, hoặc thử vectơ pháp tuyến là
việc làm vô cùng thiết thực đối với học sinh Trường THCS và THPT Quan Hóa Xuất
phát từ thực tế đó, tôi mạnh đưa ra sáng kiến: “Một số giải pháp giúp học sinh giải
nhanh bài tập trắc nghiệm phần phương trình mặt phẳng trong không gianOxyz, nhằm nâng cao hiệu quả thi Tốt nghiệp THPT ở Trường THCS và THPTQuan Hóa”
2.3.1.4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là ;
Trang 62.3.1.5 Tọa độ trọng tâm của là ;
2.3.1.6 Vectơpháp tuyến
là vectơ pháp tuyến của ( ) nếu
Chú ý: Nếu là vectơ pháp tuyến của thì cũng là vectơ pháp tuyếncủa , ;
2.3.1.7 Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp
Chú ý: 1 Mặt phẳng ( ) có phương trình tổng quát là
thì ( ) có một vectơ pháp tuyến là 2 Điểm thuộc mặt phẳng
2.3.1.8 Vectơ chỉ phương
là vectơ chỉ phương của nếu song song hoặc trùng với giá của ;
Chú ý: Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là vectơ chỉ phương
của , ;
2.3.1.9 Phương trình đường thẳng
Đường thẳng qua điểm và nhận làm vectơ chỉ
phương có phương trình tham số: ( là tham số) hoặc phương trình
Chú ý:
Đường thẳng có phương trình tham số ( là tham số) hoặcphương trình chính tắc (nếu đều khác 0) thì có mộtvec tơ chỉ phương là
Trang 72.3.1.10 Quan hệ giữa mặt phẳng, đường thẳng
Với lần lượt là vectơ pháp tuyến của , ; lần lượt là vectơ chỉphương của , , Ta có:
2.3.1.11 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua trung
điểm của và vuông góc với ;
2.3.1.12 Mặt cầu tâm bán kính có phương trình là2.3.1.13 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2.3.2 Xây dựng các dạng bài tập cơ bản
Trong quá trình dạy học phần phương trình mặt phẳng, tôi đã hệ thống đượcmột số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng thường gặp như sau:
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến cho trước.
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng hay qua một điểm và chứa
một đường thẳng không qua điểm đó.
Dạng 3: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng (hay song
song với hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chéo nhau).
Dạng 4: Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt phẳng hay chứa một
đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng.
Dạng 5: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng.
Dạng 6: Mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau.Dạng 7: Mặt phẳng đi qua hai điểm và song song một đường thẳng (hay chứa một
đường thẳng và song song một đường thẳng).
Dạng 8: Mặt phẳng song song, song song cách đều hai đường thẳng.
Trang 8Dạng 9: Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng cho trước, mặt phẳng cách mặt phẳng
cho trước khoảng ; mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước và cách mộtđiểm cho trước khoảng ;
Dạng 10: Tương giao giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Do đặc điểm của học sinh miền núi, điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn,nhiều em ở xa trường nên cũng ảnh hưởng đến việc đi lại và học tập Chính vì thếcác em tiếp thu rất chậm nên các ví dụ tôi thường cho ở dạng nhận biết và thônghiểu.
Dạng 1: Mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến.
đó, chọn đáp án đúng cho bài toán?
M(a;b;c)
Trang 9Trả lời: Đáp án đúng:
Nhận xét: Với cách làm trên, tôi thấy đa số học sinh mắc sai lầm khi biến
đổi thành do các em vận dụng quytắc dấu ngoặc không thành thạo nên dẫn đến việc các em chọn đáp án sai
Xuất phát từ thực tế đó, tôi hướng dẫn các em làm theo phương pháp trắcnghiệm như sau:
Kết luận 1: Cách giải bằng phương pháp tự luận dễ dẫn đến sai lầm, do học
sinh vận dụng quy tắc dấu ngoặc chưa thành thạo, và tính toán chưa chính xác.Còn đối với phương pháp thử, với bài này, các em chỉ cần thử một lần Ngoài ra,các bài toán ta thử nhiều nhất là ba lần.
Ví dụ 2: Trong không gian , phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Hướng dẫn: Thử tọa độ điểm , ta được kết quả đúng là đáp án
Đáp án đúng:
Nhận xét: Trong bài này, ta cần thử ba lần Tuy nhiên, có bài toán mà có sự
khác nhau giữa các vectơ pháp tuyến, ta cần thử vectơ pháp tuyến (sau đây gọi làthử vectơ pháp tuyến) Xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Trong không gian , phương trình mặt phẳng qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Hướng dẫn: - Thử vectơ pháp tuyến , loại đáp án và ;
- Thử tọa độ điểm M, loại đáp án
Đáp án đúng:
Dạng 2: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng hay qua một
điểm và chứa một đường thẳng không qua
Trang 10Ví dụ 1: Trong không , cho ba điểm Phương trìnhmặt phẳng là:
Đối với bài này, tôi vẫn hướng dẫn học sinh giải theo hai cách.
Chú ý: Bài trên ta có thể giải theo phương trình đoạn chắn.
Kết luận 2: Trong hai cách giải trên, tôi thấy cách 2 thì học sinh tiếp thu và
làm bài tốt hơn, còn cách 1 thì đa số các em lúng túng, sai sót nhiều khi tính tích cóhướng của hai vectơ và áp dụng quy tắc dấu ngoặc Còn nếu giải theo phươngtrình đoạn chắn, học sinh sẽ gặp khó khăn khi quy đồng.
Trên cơ sở học sinh đã nắm được cách thử, tôi cho các em thực hành tiếp vídụ sau:
Ví dụ 2: Trong không gian , cho điểm và đường thẳng Phương trình mặt phẳng đi qua và chứa là:
Trang 11Câu hỏi 3: Vì chứa nên ( : vectơ pháp tuyến của ) Đáp án nàotrong hai đáp án và thỏa mãn điều kiện này? Từ đó, chọn đáp án đúng?
Trả lời: Đáp án , vì Đáp án đúng:
Kết luận chung: Qua hai dạng toán trên, tôi thấy rằng, phương pháp thử có
tính ưu việt hơn so với phương pháp tự luận: ít sai sót trong quá trình tính toán (làđiểm yếu của học sinh vùng cao), tốn ít thời gian hơn, dễ dàng chọn đáp án đúnghơn Bên cạnh đó, với phương pháp thử đáp án, lớp học sôi nổi hơn, học sinh làmviệc nhiệt tình, hăng hái hơn, thu hút được cả những em lâu nay sợ môn Toán Dođó, trong các dạng toán sau, tôi hướng dẫn các em giải quyết bài toán theo hướngthử đáp án.
Dạng 3: Mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng (haysong song với hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chéo nhau).
Ví dụ 1 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2018, Câu 20, Mã đề 101):
Trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm và song song với
M(a;b;c)
Trang 12Ví dụ 2: Trong không gian , cho điểm và các đường thẳng với
Phương trình mặt phẳng qua và songsong với có phương trình là:
Hướng dẫn:
- Thử tọa độ vào các đáp án, loại đáp án
- Thử vectơ pháp tuyến: Gọi là vectơ pháp tuyến của ; lần lượt là vectơchỉ phương của Ta có: , nên và loại tiếpcác đáp án
Trang 13Câu hỏi 2: Đáp án đúng?Trả lời: Đáp án Đáp án đúng:
Nhận xét: Tôi thấy rằng, với phương pháp thử, trong trường hợp này, ta thì chỉcần thử tọa độ mà không cần thử tọa độ các điểm còn lại đã thu được đáp ánđúng, vì ba đáp án sai thì chắc chắn đáp án đúng.
Để củng cố cách làm, tôi xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Trong không gian , cho hai điểm và mặt phẳng Mặt phẳng chứa và vuông góc có phương trình:
Hướng dẫn: Vì chứa và vuông góc nên và (với lần
lượt là vectơ pháp tuyến của , , ; là vectơ chỉ phương
của ).
- Thử , loại các đáp án ;- Thử , loại tiếp đáp án ;
Trang 14Trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc vớiđường thẳng : có phương trình:
Đáp án đúng:
Ngoài dạng toán quen thuộc trên, ta còn gặp dạng toán liên quan đếnphương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng cho trước Xét các ví dụ sau:
Ví dụ 3 (Trích đề thi chính thức THPTQG năm 2017, Câu 26, Mã đề 102).
Trong không gian , cho hai điểm Phương trình mặtphẳngtrung trực của đoạn thẳng là:
Hướng dẫn:
Gọi là trung điểm , thì , ta có
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đi qua và vuông góc nên nhậnhay làm vectơ pháp tuyến.
- Thử tọa độ vào các đáp án, ta loại các đáp án ; - Thử vectơ pháp tuyến, ta loại đáp án ;
Đáp án đúng:
Trong nhiều bài toán, có thể ta không cần thử tọa độ điểm, mà chỉ cần thửvectơ pháp tuyến Xét ví dụ sau:
Ví dụ 4 (Trích đề thi chính thức THPT QG năm 2019, Câu 30, Mã đề 101).
Trong không gian , cho hai điểm Phương trình mặtphẳng trung trực của đoạn thẳng là:
Trang 15Trên cơ sở học sinh nắm được cách thử, tôi cho các em làm tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2: Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với hai mặt
Trang 16Lấy Khi đó, thử đáp án cho khoảng cách từ đến mặtphẳng , ta có: Vậy, đáp án thỏa mãn.
Ví dụ 1: Trong không gian , cho hai mặt phẳng :
Phương trình mặt phẳng cách đều
là:
Hướng dẫn:
Gọi , lần lượt là vectơ pháp tuyến của Vì cách đều
- Thử , ta loại các đáp án - Lấy