1 TÍNH TOÁN TRÊN số PHỨC

Số Phức Nâng Cao A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa - Một biểu thức dạng a + bi với a, b ∈ R, i = −1 gọi số phức - Đối với số phức z = a + bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z - Tập hợp số phức kí hiệu C Hai số phức - Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a = c - Công thức: a + bi = c + di ⇔  b = d Biểu diễn hình học số phức - Điểm M ( a; b ) hệ tọa độ vng góc Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Môđun số phức - Cho số phức z = a + bi có điểm biểu diễn M ( a; b ) mặt phẳng tọa độ Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơ đun số phức z kí hiệu z - Công thức z = OM = a + bi = a + b Số phức liên hợp - Cho số phức z = a + bi, số phức dạng z = a − bi gọi số phức liên hợp z Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia - Cho số phức z1 = a + bi, z2 = c + di, ta có z1 + z2 = ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i - Cho số phức z1 = a + bi, z2 = c + di, ta có z1 − z2 = ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i - Cho số phức z1 = a + bi, z2 = c + di, ta có z1.z2 = ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i - Cho số phức z1 = a + bi, z2 = c + di, (với z2 ≠ ) tacó: z1 a + bi ( a + bi )( c − di ) ( ac + bd ) ( bc − ad ) = = = + i z2 c + di ( c + di )( c − di ) c + d2 c + d2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = với a , b, c ∈ R a ≠ Phương trình có biệt thức ∆ = b2 − 4ac, nếu: - ∆ = phương trình có nghiệm thực x = − b 2a - ∆ > phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a Số Phức Nâng Cao - ∆ < phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = −b ± i ∆ 2a Acgumen số phức z ≠ ĐỊNH NGHĨA Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z CHÚ Ý Nếu ϕ acgumen z (hình dưới) gọi acgumen z có dạng ϕ + k 2π , k ∈ Z (người ta thường nói: Acgumen z ≠ xác định sai khác k 2π , k ∈ Z ) Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi ≠ ( a, b ∈ R ) Kí hiệu r mơ đun z ϕ acgumen z (hình dưới) dễ thấy rằng: a = r cos ϕ , b = r sin ϕ Vậy z = a + bi ≠ viết dạng z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) ĐỊNH NGHĨA Dạng z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) , r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Dạng z = a + bi ≠ ( a, b ∈ R ) , gọi dạng đại số số phức z Nhận xét Để tìm dạng lượng giác z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) số phức z = a + bi ≠ ( a, b ∈ R ) khác cho trước ta cần: Tìm r : mơ đun z , r = a + b ; số r khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z mặt phẳng phức Tìm ϕ : acgumen z; ϕ số thực cho cosϕ = a b sin ϕ = ; số ϕ r r số đo góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM CHÚ Ý Z = Z = cosϕ +i sin ϕ ; (ϕ ∈ R ) Khi z = z = r = acgumen z không xác định (đôi coi acgumen số thực tùy ý viết = ( cosϕ +i sin ϕ ) Cần để ý đòi hỏi r > dạng lượng giác r ( cosϕ +i sin ϕ ) số phức z ≠ Nhân chia số phức lượng giác Ta công thức nhân chia số phức dạng đại số Sau định lý nêu lên công thức nhân chia số phức dạng lượng giác; chúng giúp cho quy tắc tính toán đơn giản nhân chia số phức ĐỊNH LÝ Nếu z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) ; z ' = r ' ( cosϕ ' +i sin ϕ ' ) ( r ≥ 0, r ' ≥ ) Thì zz ' = rr '  cos (ϕ + ϕ ' ) +i sin (ϕ + ϕ ' )  ; z r = cos (ϕ − ϕ ') +i sin (ϕ − ϕ ' )  ; ( r > ) z' r' Nói cách khác, để nhân số phức dạng lượng giác, ta lấy tích mơ đun tổng acgumen; để chia số phức dạng lượng giác ta lấy thương mô đun hiệu acgumen Số Phức Nâng Cao Chứng minh zz ' =  r ( cosϕ +i sin ϕ )   r ' ( cosϕ '+i sin ϕ ')  lim x →∞ = rr ' cosϕ cosϕ '− sin ϕ sin ϕ '+ i ( sin ϕ cosϕ '+cosϕ sinϕ ')  = rr ' cos (ϕ + ϕ ' ) +i sin (ϕ + ϕ ' )  1 =  cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ )  Theo công thức nhân số phức, z r z r Ta có: = z =  cos (ϕ − ϕ ') +i sin (ϕ − ϕ ' )  z' z' r' Mặt khác, ta có Cơng thức Moa-vrơ (Moivre) Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n  r ( cosϕ +i sin ϕ )  = r n ( cosnϕ +i sin nϕ ) n Và r = 1, ta có ( cosϕ +i sin ϕ ) n = cosnϕ +i sin nϕ Cả hai cơng thức gọi công thức Moa – vrơ Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Từ công thức Moa – vrơ, dễ thấy số phức z = r ( cosϕ +i sin ϕ ) , r > có bậc hai ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ     r  cos +i sin  − r  cos +i sin  = r  cos( +π )+i sin( + π )  2 2 2     Số Phức Nâng Cao B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TỐN TRÊN SỐ PHỨC ( z +i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z +1 A 13 ) = − i (1) Tính mơ đun số phức ω = + z + z B 15 C 17 Câu 2: Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn D 19 z1 ∈ ℝ z1 − z2 = Tính z22 mơđun số phức z1 B z1 = A z1 = C z1 = D z1 = m  + 6i  Câu 3: Cho số phức z =   , m nguyên dương Có giá trị m ∈ [1;50] để z số  3−i  ảo? A 24 Câu 4: Nếu z = B 26 C 25 D 50 z2 −1 z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Câu 5: Nếu z = a; ( a > ) z2 −a z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Câu 6: Có số phức z thỏa A z +1 z −i = = 1? i−z 2+ z B C D Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1 = z2 = 1; z1 + z2 = Tính z1 + z2 A B C D C −i D i C 2017 + 1009i D 1008 + 1009i 2008 Câu 8: Tính z = i + i + i + + i có kết quả: A B 2017 Câu 9: Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i A S = 2017 − 1009i B 1009 + 2017i Câu 10: Cho số phức z có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn biểu thức Môđun số phức w bằng: 1 + = z w z+w Số Phức Nâng Cao A B Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z − A −21008 C 2016 D 2017 z + 7i = Tìm phần thực số phức z 2017 + 3i B 21008 C 2504 D 22017 Câu 12: Cho số phức z1 , z2 khác thỏa mãn: z1 = z2 Chọn phương án đúng: A z1 + z2 = z1 − z2 B z1 + z2 số phức với phần thực phần ảo khác z1 − z2 C z1 + z2 số thực z1 − z2 D z1 + z2 số ảo z1 − z2 Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn A 2984 B u = v = 10 3u − 4v = 2016 2884 C Tính M = 4u + 3v 2894 D 24 Câu 4( Số phức).Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = − 2i + ( − i ) z đường trịn.Tính bán kính r đường trịn A 20 B 20 C D Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Mệnh đề sau sai A Trong ba số có hai số đối B Trong ba số phải có số C Trong ba số có nhiều hai số D Tích ba số ln Câu 15: Cho số phức z = m +1 ( m ∈ ℝ ) Số giá trị nguyên m để z − i < + m ( 2i − 1) B A C D Vô số Câu 16: Cho z số phức có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn số phức z là: A 2015 B Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z ≤ Đặt A = A A ≤ B A ≥ 1 + = Mô đun z w z+w C 2017 D 2z − i Mệnh đề sau đúng? + iz C A < D A > Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 ≤ z ≤ 6 B − ≤ z ≤ + Số Phức Nâng Cao − ≤ z ≤ + C −1 +1 ≤ z≤ 3 D Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Khẳng định sai ? A z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 B z13 + z23 + z33 ≤ z13 + z23 + z33 C z13 + z23 + z33 ≥ z13 + z23 + z33 D z13 + z23 + z33 ≠ z13 + z23 + z33 Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa z1 = z2 = z3 = Khẳng định đúng? A z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3 > z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3 ≠ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Câu 21: Tìm số phức z có z = z + i max : B −1 A C i D −i Câu 22: Tìm phần thực số phức z = (1 + i ) , n ∈ N thỏa mãn phương trình: n log ( n − 3) + log ( n + ) = A B C Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z2 thỏa mãn điều kiện D z1 + z2 số ảo Khẳng định sau z1 − z2 đúng? A z1 = 1; z2 = B z1 = z2 C z1 = z2 D z1 = − z2 Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z + 2i − = z + i Tìm số phức z biểu diễn điểm M cho MA ngắn với A (1,3) A + i B + 3i C − 3i D −2 + 3i Câu 25: Trong số phức z thỏa mãn z = Tìm số phức z để + z + − z đạt giá trị lớn 4 A z = − − i, z = − + i 5 5 C z = 4 − i, z = + i 5 5 3 B z = − i, z = i 5 D z = − i, z = − + i 5  z1 + z2 + z3 =  2 Câu 26: Cho số phức z1; z2 ; z3 thỏa  2 Tính A = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1  z1 = z2 = z3 =  A 2 B 2 C Câu 27: Xét số phức z thỏa z − + z − i ≤ 2 Mệnh đề đúng: D 3 Số Phức Nâng Cao A < z Câu 28: Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = A < z < 2 B z > C z < D < z < 2 10 − + i Mệnh đề đúng? z 1 C z < D < z < 2  z −1  Câu 29: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình   = Tính giá trị biểu thức:  2z − i  P = ( z12 + 1)( z 22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) A B 19 C 17 D 2 2016 Câu 30: Tính module z = + 2i + 3i + 4i + + 2017.i A z = 2036164 B z = 2030113 C z = 2034145 D z = 2032130 Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH TỐN TRÊN SỐ PHỨC ( z +i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z +1 A 13 ) = − i (1) Tính mơ đun số phức ω = + z + z B 15 C 17 D 19 Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi (1) ⇔ ( a − bi + i ) a + bi + = − i ⇔ 5a − 5i ( b − 1) = 2a + 2bi + − − bi − i 3a − − b =  a = ⇔ 3a − − b − i ( 5b − − 2b + a + 1) = ⇔  ⇒ ⇒ z = 1+ i 3b + a − = b = ω = + + i + + 2i − = + 3i ⇒ ω = + = 13 Chọn A Câu 2: Cho z1 , z2 hai số phức liên hợp thỏa mãn z1 ∈ ℝ z1 − z2 = Tính z22 môđun số phức z1 B z1 = A z1 = C z1 = D z1 = Hướng dẫn giải: Gọi z1 = a + bi ⇒ z2 = a − bi; ( a ∈ ℝ; b ∈ ℝ ) Khơng tính tổng quát ta gọi b ≥ Do z1 − z2 = ⇒ 2bi = ⇒ b = Do z1 , z2 hai số phức liên hợp nên z1.z2 ∈ ℝ , mà z1 z13 = ∈ ℝ ⇒ z13 ∈ ℝ z22 ( z1 z2 )2 b = Ta có: z13 = ( a + bi ) = ( a − 3ab ) + ( 3a 2b − b ) i ∈ ℝ ⇔ 3a 2b − b = ⇔  ⇒ a = 3a = b Vậy z1 = a + b = Chọn C m  + 6i  Câu 3: Cho số phức z =   , m nguyên dương Có giá trị m ∈ [1;50] để z số  3−i  ảo? A 24 Hướng dẫn giải: B 26 C 25 D 50 Số Phức Nâng Cao m  + 6i  m m m Ta có: z =   = (2i ) = i  3−i  * z số ảo m = 2k + 1, k ∈ ℕ (do z ≠ 0; ∀m ∈ ℕ ) Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề Chọn C Câu 4: Nếu z = z2 −1 z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Ta có: z2 −1 z z = z− = z− = z − = z − z số ảo z z z.z z Chọn B Câu 5: Nếu z = a; ( a > ) z2 −a z A lấy giá trị phức B số ảo C D lấy giá trị thực Hướng dẫn giải: Ta có: z − a2 a a2 z a2 z =z− =z− = z − = z − z số ảo z z z z z Chọn B Câu 6: Có số phức z thỏa A z +1 z −i = = 1? i−z 2+ z B C D Hướng dẫn giải:  z +1  x=−  i − z =1   + = − z i z x = − y 3    Ta có:  ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ z = − + i 2 4 x + y = −3  y =  z − i =  z − i = + z    + z Chọn A Câu 7: Cho hai số phức z1 , z2 thảo mãn z1 = z2 = 1; z1 + z2 = Tính z1 + z2 A B C D Nhận xét: Bài nhìn vào khó, em cần phải bình tĩnh, cần gọi z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i ( a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R ) sau viết hết giả thiết đề cho: Số Phức Nâng Cao a12 + b12 = a2 + b22 =  z1 = z2 = ⇒  2  z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = Và viết cần tính z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) Hãy quan sát cần tính thấy cần bình phương lên dùng giả thiết 2 Hướng dẫn giải: Ta có: z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i ( a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R ) a12 + b12 = a2 + b22 =  z1 = z2 = 2 ⇒ ⇒ ( a1b1 + a2b2 ) = ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) =   2  z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = Vậy: z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 2 Chọn A Câu 8: Tính z = i + i + i + + i 2008 có kết quả: C −i B A D i Hướng dẫn giải: Ta có iz = i + i + + i 2008 + i 2009 z = i + i + i + + i 2008 Suy z ( i − 1) = i 2009 − i = i ( i 2008 − 1) = ⇒ z = Chọn A Câu 9: Tính S = 1009 + i + 2i + 3i + + 2017i 2017 A S = 2017 − 1009i B 1009 + 2017i C 2017 + 1009i D 1008 + 1009i Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có S = 1009 + i + 2i + 3i + 4i + + 2017i 2017 = 1009 + ( 4i + 8i + + 2016i 2016 ) + ( i + 5i + 9i + + 2017i 2017 ) + + ( 2i + 6i + 10i10 + + 2014i 2014 ) + ( 3i + 7i + 11i11 + + 2015i 2015 ) 504 505 504 504 n =1 n =1 n =1 n =1 = 1009 + ∑ ( 4n ) + i ∑ ( 4n − 3) − ∑ ( 4n − ) − i ∑ ( 4n − 1) = 1009 + 509040 + 509545i − 508032 − 508536i = 2017 + 1009i Cách khác: Đặt f ( x ) = + x + x + x3 + + x 2017 f ′ ( x ) = + x + x + + 2017 x 2016 xf ′ ( x ) = x + x + x + + 2017 x 2017 (1) Mặt khác: Số Phức Nâng Cao x 2018 − x −1 2017 2018 2018 x ( x − 1) − ( x − 1) f ( x ) = + x + x + x + + x 2017 = f ′( x) = ( x − 1) 2018 x 2017 ( x − 1) − ( x 2018 − 1) ′ ⇒ xf ( x ) = x ( 2) ( x − 1) Thay x = i vào (1) ( ) ta được: 2018i 2017 ( i − 1) − ( i 2018 − 1) −2018 − 2018i + S = 1009 + i = 1009 + i = 2017 + 1009i −2i ( i − 1) Câu 10: Cho số phức z có mơ đun 2017 w số phức thỏa mãn biểu thức 1 + = z w z+w Môđun số phức w bằng: A B C 2016 D 2017 Hướng dẫn giải: ( z + w) − zw = z+w 1 1 ⇔ − =0⇔ Từ + = z w z+w zw z+w zw ( z + w) ⇒ z + w2 + zw = ⇔ z + zw + w2 + w2 = 4 2    i 3w    ⇔  z + w  = − w ⇔  z + w  =         2  i 3 w   i 3w  z  Từ  z +  =   ⇒ z =  − ±  w ⇒ w=  2     i 3   − ±    Suy ra: w = 2017 = 2017 + 4 Chọn D Câu 11: Cho số phức z thoả mãn: z − A −21008 z + 7i = Tìm phần thực số phức z 2017 + 3i B 21008 C 2504 D 22017 Hướng dẫn giải: Cho số phức z thoả mãn: z − z + 7i = Tìm phần thực số phức z 2013 + 3i Gọi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có a + bi − 10 a − bi + 7i = + 3i Số Phức Nâng Cao (a − bi)(1 − 3i) + 7i = ⇔ 10a + 10bi − a + 3b + i(b + 3a) = 12 + 14i 10 ⇔ 9a + 3b + i(11b + 3a) = 12 + 14i a + bi − 9a + 3b = 12 a = ⇔ ⇔ 11b + 3a = 14 b = a = b = ⇒ z = + i ⇒ z 2017 = ( (1+i) ) 504 (1 + i ) = ( −4 ) (1 + i ) = 21008 + 21008 i 504 Chọn B Câu 12: Cho số phức z1 , z2 khác thỏa mãn: z1 = z2 Chọn phương án đúng: A z1 + z2 = z1 − z2 B z1 + z2 số phức với phần thực phần ảo khác z1 − z2 C z1 + z2 số thực z1 − z2 D z1 + z2 số ảo z1 − z2 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương pháp tự luận: Vì z1 = z2 z1 ≠ z2 nên hai số phức khác Đặt w = z1 + z2 z1 = z2 = a , ta z1 − z2 có a2 a2 +  z1 + z2  z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 w= = = = −w = z2 − z1  z1 − z2  z1 − z2 a − a z1 z2 Từ suy w số ảo Chọn D Phương pháp trắc nghiệm: Số phức z1 , z2 khác thỏa mãn z1 = z2 nên chọn z1 = 1; z2 = i , suy z1 + z2 + i = =i z1 − z2 − i số ảo Câu 13: Cho hai số phức u,v thỏa mãn A 2984 B u = v = 10 3u − 4v = 2016 2884 2894 C Ta có z = z.z Đặt N = 3u − 4v ) ( ) Khi N = ( 3u − 4v ) 3u − 4v = u + 16 v − 12 uv + vu 11 2 M = 4u + 3v D Hướng dẫn giải: ( Tính 24 Số Phức Nâng Cao ( ) Tương tự ta có M = 16 u + v − 12 uv + vu ( Do M + N = 25 u + v ) = 5000 Suy M = 5000 − N = 5000 − 2016 = 2984 ⇒ M = 2984 Câu 4( Số phức).Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = − 2i + ( − i ) z đường trịn.Tính bán kính r đường trịn A 20 B 20 C D Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ ) w = − 2i + ( − i ) z ⇒ x + yi = − 2i + ( − i ) z ⇒z= x − + ( y + 2) i 2−i = 2x − y − x + y +1  2x − y −   x + y +1  i⇒  +  +  =2 5 5     ⇒ x + y − x + y − = ⇒ ( x − 3) + ( y + ) = 20 2 Bán kính đường trịn r = 20 Câu 14: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Mệnh đề sau sai A Trong ba số có hai số đối B Trong ba số phải có số C Trong ba số có nhiều hai số D Tích ba số ln Hướng dẫn giải: Ta có: z1 + z2 + z3 = ⇔ − z1 = z2 + z3 Nếu − z1 = z2 + z3 = ⇒ z2 = − z3 Nếu − z1 ≠ điểm P biểu diễn số phức 1− z1 = z2 + z3 khơng trùng với góc tọa độ O Gọi M điểm biểu diễn số phức −z1 A điểm biểu diễn số Khi ta có OA + OM = OP (do P điểm biểu diễn số + ( −z1 ) ) nên OAPM hình bình hành Mà z1 = z2 = z3 = nên điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 nằm đường tròn đơn vị Ta có OA = OM = nên OAPM hình thoi Khi ta thấy M, A giao điểm đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị Tương tự P điểm biểu diễn z2 + z3 , M’ A’ hai điểm biểu diễn số z2 , z3 ta có M’, A’ giao điểm đường trung trực OP đường tròn đơn vị 12 Số Phức Nâng Cao Vậy M ' ≡ M , A ' ≡ A ngược lại Nghĩa z2 = 1, z3 = − z1 z3 = 1, z2 = − z1 Do A, B mệnh đề C hiển nhiên, ba số tổng 2 2 + i , z3 = − − i thỏa hai tính chất đề 2 2 D sai với z1 = 1, z2 = z1 z2 z3 ≠ Chọn D Câu 15: Cho số phức z = m +1 ( m ∈ ℝ ) Số giá trị nguyên m để z − i < + m ( 2i − 1) B A C D Vô số Hướng dẫn giải: Ta có z − i = ⇒ z −i = m + − i (1 + 2mi − m ) 3m + + ( m − 1) i m +1 −i = = + m ( 2i − 1) + m ( 2i − 1) − m + 2mi 3m + + ( m − 1) i − m + 2mi = 3m + + ( m − 1) i − m + 2mi Số Phức Nâng Cao Đặt Có a = a + bi, ( a, b ∈ ℝ ) ⇒ a + b ≤ (do z ≤ ) A= 2a + ( 2b − 1) i 4a + ( 2b + 1) 2z − i = = 2 + iz − b + ( − b) + a2 Ta chứng minh Thật ta có 4a + ( 2b + 1) (2 − b) (2 − b) 2 ≤ + a2 4a + ( 2b + 1) +a 2 ≤ ⇔ 4a + ( 2b + 1) ≤ ( − b ) + a ⇔ a + b ≤ 2 Dấu “=” xảy a + b = Vậy A ≤ Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z Khẳng định sau đúng? A −1 +1 ≤ z ≤ B 6 − ≤ z ≤ + C − ≤ z ≤ + D −1 +1 ≤ z≤ 3 Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ u + v , ta 2 z + −4 = z + + −4 ≥ z ⇒ z − z − ≤ ⇒ z ≤ + 2 z + z = z + + − z ≥ ⇒ z + z − ≥ ⇒ z ≥ − Vậy, z nhỏ − 1, z = −i + i z lớn + 1, z = i + i Chọn B Câu 19: Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Khẳng định sai ? A z13 + z23 + z33 = z13 + z23 + z33 B z13 + z23 + z33 ≤ z13 + z23 + z33 C z13 + z23 + z33 ≥ z13 + z23 + z33 D z13 + z23 + z33 ≠ z13 + z23 + z33 Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Ta có: z1 + z2 + z3 = ⇔ z2 + z3 = − z1 ( z1 + z2 + z3 ) = z13 + z23 + z33 + ( z1 z2 + z1 z3 )( z1 + z2 + z3 ) + z2 z3 ( z2 + z3 ) = z13 + z23 + z33 − 3z1 z2 z3 ⇒ z13 + z23 + z33 = 3z1 z2 z3 14 Số Phức Nâng Cao ⇒ z13 + z23 + z33 = 3z1 z2 z3 = z1 z2 z3 = 3 3 Mặt khác z1 = z2 = z3 = nên z1 + z2 + z3 = Vậy phương án D sai Cách 2: thay thử z1 = z2 = z3 = vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 20: Cho z1 , z2 , z3 số phức thỏa z1 = z2 = z3 = Khẳng định đúng? A z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 B z1 + z2 + z3 > z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 C z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 D z1 + z2 + z3 ≠ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1: Kí hiệu Re : phần thực số phức Ta có z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 + Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = + Re ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) (1) 2 2 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + Re ( z1 z2 z z3 + z2 z3 z3 z1 + z3 z1 z1 z2 ) 2 2 2 2 ( 2 2 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 + Re z1 z2 z3 + z2 z3 z1 + z3 z1 z2 ) = + Re ( z1 z3 + z2 z1 + z3 z2 ) == + Re ( z1 z2 + z3 z3 + z3 z1 ) (2) Từ (1) ( ) suy z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Các h khác: B C suy D đúngLoại B, C Chọn z1 = z2 = z3 ⇒ A D sai Cách 2: thay thử z1 = z2 = z3 = vào đáp án, thấy đáp án D bị sai Câu 21: Tìm số phức z có A z =1 z + i max : B −1 D −i C i Hướng dẫn giải: Đặt z = a + bi z = a + b2 ; z + i = a + ( b + 1) Khi ta có: z = ⇔ a + b2 = ⇒ b ≤ 1; z + i = a + ( b + 1) = a + b2 + 2b + = 2b + ≤ 2 Do giá trị lớn đạt a = 0; b = 1; z = i Chọn C Câu 22: Tìm phần thực số phức z = (1 + i ) , n ∈ N thỏa mãn phương trình: n log ( n − 3) + log ( n + ) = A Hướng dẫn giải: 15 B C D Số Phức Nâng Cao Điều kiện n > 3, n ∈ N Phương trình: log ( n − 3) + log ( n + ) = ⇔ log ( n − 3)( n + ) = ⇔ n = (so đk) z = (1 + i ) = (1 + i ) (1 + i )  = (1 + i )( 2i ) = − 8i   Vậy phần thực số phức z Chọn D Câu 23: Cho hai số phức phân biệt z1; z2 thỏa mãn điều kiện z1 + z2 số ảo Khẳng định sau z1 − z2 đúng? A z1 = 1; z2 = B z1 = z2 C z1 = z2 D z1 = − z2 Hướng dẫn giải: z1 ≠ z2 ⇔ z1 − z2 ≠ Thì ⇔ z +z z +z  z1 + z2 số ảo ⇔ +   = z1 − z2 z1 − z2  z1 − z2  z1 + z2 z1 + z2 + = ⇔ ( z1 + z2 )( z1 − z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 + z2 ) = z1 − z2 z1 − z2 ( ) ⇔ z1 z1 − z2 z2 = ⇔ z1 z1 − z2 z2 = ⇔ z1 − z2 = Chọn C Câu 24: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z + 2i − = z + i Tìm số phức z biểu diễn điểm M cho MA ngắn với A (1,3) A + i B + 3i C − 3i D −2 + 3i Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) Gọi E (1, −2 ) điểm biểu diễn số phức − 2i Gọi F ( 0, −1) điểm biểu diễn số phức −i Ta có: z + 2i − = z + i ⇔ ME = MF ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF : x − y − = Để MA ngắn MA ⊥ EF M ⇔ M ( 3,1) ⇒ z = + i Câu 25: Trong số phức z thỏa mãn z = Tìm số phức z để + z + − z đạt giá trị lớn 4 A z = − − i, z = − + i 5 5 16 3 B z = − i, z = i 5 Số Phức Nâng Cao C z = 4 − i, z = + i 5 5 D z = − i, z = − + i 5 Hướng dẫn giải: Giả sử z = x + yi, ( x, y ∈ R ) Vì z = ⇔ x2 + y2 = ⇔ x2 + y = Khi đó: 1+ z + 1− z = = ( x + 1) ( x + 1) + − x2 + Xét hàm số f ( x ) = 2 + y2 + ( x + 1) ( ( x − 1) + y2 + − x2 = ( 1+ x + 1− x ) ) + x + − x đoạn [ −1;1] ta có:   f '( x) =  −  ; f '( x) = ⇔ x = −  1+ x 1− x   4 Ta có: f ( −1) = 6; f  −  = 10  5 Vậy f max   x = − ; y = − = − x  4 = f  −  = 10 ⇒  ⇔   5 x = − ; y =  y = − x  5 4 Vậy z = − − i, z = − + i 5 5 Chọn A  z1 + z2 + z3 =  2 Câu 26: Cho số phức z1; z2 ; z3 thỏa  2 Tính A = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1  z1 = z2 = z3 =  2 B 2 C 3 Hướng dẫn giải:  z1 + z2 = − z3 2  Ta có:  z1 + z3 = − z2 ⇒ A = − z1 + − z2 + − z3 = z + z = −z  Chọn C A D 3 D < z < 2 Câu 27: Xét số phức z thỏa z − + z − i ≤ 2 Mệnh đề đúng: A < z C z < Số Phức Nâng Cao Ta xét điểm A (1; ) , B ( 0;1) M ( x; y ) với M điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Ta có: z − + z − i = ( x − 1) + y + x + ( y − 1) = 2MA + 3MB Ta có: MA + 3MB = ( MA + MB ) + MB ≥ AB + MB = 2 + MB ≥ 2 ⇒ z − + z − i ≥ 2 Mà theo giả thuyết ta có: z − + z − i ≤ 2 Vậy z − + z − i = 2 Dấu " = " xảy  M ∈ AB ⇔ M ≡ B ⇒ M ( 0;1) ⇒ z =   MB = Câu 28: Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = < z < 2 Hướng dẫn giải: A B z > Ta có: ( z + ) + i ( z − 1) = 10 − + i Mệnh đề đúng? z 1 C z < D < z < 2 10 10 ⇒ = z z ( z + ) + ( z − 1) 2 ⇒ z =1 Chọn D  z −1  Câu 29: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình   = Tính giá trị biểu thức:  2z − i  P = ( z12 + 1)( z 22 + 1)( z32 + 1)( z42 + 1) A B 19 C 17 D Hướng dẫn giải: 4 2 2 Ta có: ( z − 1) = ( z − i ) ⇔ ( z − 1) − ( z − i )  ( z − 1) + ( z − i )  =    2 ⇔ ( z − 1) + ( z − i )  ( z − 1) − ( z − i )  ( z − 1) + ( z − i )  =   ⇔ ( z − − i )( − z − + i ) 5 z − ( + 4i ) z  = ⇔ z1 = 1+ i + 4i 17 ⇒ P= ; z2 = −1 + i; z3 = 0; z4 = Chọn C 2016 Câu 30: Tính module z = + 2i + 3i + 4i + + 2017.i 18 Số Phức Nâng Cao A z = 2036164 B z = 2030113 C z = 2034145 D z = 2032130 Hướng dẫn giải: ( ) + i (1 + i + + ) + + i (1 + i ) + i − 1) i ( i − 1) i ( i − 1) + + + Ta có z = + i + + i 2016 2015 i 2017 − i ( i = + i −1 i −1 2016 = 2017.i 2017 − (1 + i + + i i −1 2015 i −1 2016 ) = 2015 2016 2016 i −1 2017.i 2017 ( i − 1) − i 2017 + ( i − 1) 2017.i 2018 − 2018.i 2017 + −2017 − 2018i + = =− = 1009 − 1008i ⇒ z = 2034145 −2i 2i Chọn C 19 ... 203 414 5 D z = 203 213 0 Số Phức Nâng Cao HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TÍNH TOÁN TRÊN SỐ PHỨC ( z +i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z +1 A 13 ) = − i (1) Tính mơ đun số phức ω = + z + z B 15 C 17 D 19 ... + + 2 017 i A S = 2 017 − 10 09i B 10 09 + 2 017 i Câu 10 : Cho số phức z có mơ đun 2 017 w số phức thỏa mãn biểu thức Môđun số phức w bằng: 1 + = z w z+w Số Phức Nâng Cao A B Câu 11 : Cho số phức z...  Số Phức Nâng Cao B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: TÍNH TỐN TRÊN SỐ PHỨC ( z +i Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn z +1 A 13 ) = − i (1) Tính mơ đun số phức ω = + z + z B 15 C 17 Câu 2: Cho z1 ,