Luận văn sư phạm Lược đồ Affine

Khóa lu n t t nghi p đ i h c l ic m n Trong trình nghiên c u hồn thành khóa lu n này, em nh n đ c s quan tâm, đ ng viên khích l c a th y giáo, giáo t s nói riêng khoa Tốn tr ng i i h c S ph m Hà N i nói chung, v i s h tr giúp đ c a b n sinh viên Em xin g i l i c m n sâu s c t i th y giáo-Th.s Nguy n Huy H ng, ng i t n tình h ng d n em su t th i gian qua đ em hồn thành khóa lu n Em xin chân thành c m n ban ch nhi m khoa Tốn, th y giáo b n sinh viên khoa t o u ki n giúp đ em hồn thành khóa lu n Do trình đ th i gian nghiên c u h n ch nên nh ng v n đ mà em trình bày khóa lu n s khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s ch b o đóng góp ý ki n c a th y giáo, cô giáo, b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên ng Th H i ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c L I CAM OAN Khóa lu n c a em đ c hoàn thành d is h ng d n c a th y giáo- Th.s Nguy n Huy H ng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n khóa lu n em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khóa lu n k t qu nghiên c u c a b n thân, không trùng l p v i k t qu c a tác gi khác.N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên ng Th H i ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c M CL C N i dung Trang L i m đ u Ch ng 1: M t s ki n th c chu n b 1.1 Vành giao hoán 1.2 Môđun 1.3 Iđêan ph 1.4 a ph ng hoá vành đ a ph ng 1.5 Vành Noether 1.6 Ph m trù, hàm t , c u x gi a hàm t 1.7 Ph m trù đ i 1.8 Gi i h n quy n p 1.9 Không gian tôpô 10 Ch ng 2: L 2.1 L c đ affine 12 c đ affine 12 2.2 Không gian tôpô Spec(A) 13 2.3 Bó c u trúc 19 2.4 Th c a bó th c a bó c u trúc 24 2.5 C u x gi a hai l c đ affine 26 K t lu n 31 Tài li u tham kh o 32 ng Th H i K32G—-SP Toán Khóa lu n t t nghi p đ i h c L IM Ngày nh ng t t U ng pháp k t qu c a đ i s thâm ng, ph nh p vào h u h t l nh v c c a toán h c, t tơpơ hình h c t i gi i tích xác su t, c ng nh m t s l nh v c c h c, v t lý lý thuy t, hóa h c l ng t Trong đó, hình h c đ i s đóng vai trị quan tr ng Trong hình h c đ i s , đ i t ng hình h c đ c mơ t b ng m t ngôn ng đ i s thu n túy Bên ngồi tr c quan hình h c đ i s hình th c có v đ i l p nhau, s phát tri n c a hình h c đ i s th k XX ch ng minh u ng c l i: m t ngôn ng đ i s phù h p có kh n ng di n đ t tr c quan hình h c m t cách r t xác Vào cu i th k XIX, hình h c đ i s phát tri n m nh tên tu i nh Castelnuovo hay Severi, g t hái đ đ it ng t ng đ i c th nh đ Italia v i nh ng c nhi u k t qu đ p đ v ng cong m t đ i s Do thi u m t n n t ng đ i s v ng ch c, nhà tốn h c Italia cịn dùng nhi u cơng c gi i tích đơi m c ph i nh ng ng nh n hình h c d n đ n nh ng ch ng minh không đ y đ Ph i đ n Zariski Weil, đ i s giao hốn m i tr thành cơng c hình h c đ i s Vào nh ng n m gi a th p niên XX, hình h c đ i s có thêm m t l n l t xác Nh ng ng i tiên phong giai đo n Serre Grothendieck Grothendieck s d ng lý thuy t ph m trù vào hình h c đ i s m t cách có h th ng ý t m t hàm t m t ý t ng c a ông coi đa t p đ i s nh ng then ch t lý thuy t l cđ T ni m yêu thích c a b n thân v i b môn này, v i s giúp đ t n tình c a th y giáo Nguy n Huy H ng, em m nh d n th c hi n khóa lu n t t nghi p v i tiêu đ : ―L Khóa lu n g m ch ng Th H i c đ affine‖ ng: K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c -Ch ng M t s ki n th c chu n b -Ch ng L c đ affine M c dù, có nhi u c g ng song h n ch v m t th i gian ki n th c, khóa lu n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong nh n đ cý ki n đóng góp c a th y giáo, cô giáo b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ c hoàn thi n h n ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c ch ng M t s ki n th c chu n b 1.1.Vành giao hoán 1.1.1 nh ngh a: Cho X t p tùy ý khác  Trên X , trang b phép tốn ngơi phép c ng (+) phép nhân (.) X g i vành n u  X, ,. th a mãn: (R1):  X,   nhóm abel (R2): Phép có tính chát k t h p (R3): Phép có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng t c là: x, y, z  X x y  z x   xy  xz ,  y  z  xz  yz N u phép có tính ch t giao hốn X đ N u phép nhân co ph n t đ n v X đ c g i vành giao hốn c g i vành có đ n v 1.1.2.Ví d : ฀ , ฀ , ฀ vành giao hốn có đ n v 1.1.3 nh ngh a: Cho X, Y vành ánh x f : X  Y đ ng c u vành n u: f x f  xy  ng Th H i  y   f x   f  y  f x  f y , x, y X K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c 1.1.4 x  Xđ nh ngh a: Cho X m t vành có đ n v M t ph n t c g i kh ngh ch n u t n t i y  X : xy  1.1.5 nh ngh a: M t ph n t x  X\ 0 đ c g i c s c a n u t n t i ph n t y X, y  : xy  M t ph n t x  X đ Vành X đ Vành X đ c g i l y l nh n u n  N : x  n c g i nguyên v n n u X c s c a khơng c g i rút g n n u X không ch a ph n t l y l nh khác không 1.2 Môđun 1.2.1 nh ngh a: Cho A vành có đ n v M t A- môđun trái M n u: +  M,  m  t nhóm giao hốn + T n t i phép nhân vơ h A x MM ng:  a, m   a.m , cho a , b A, m M ta có: (M1) :  a  b  m  a.m  b.m , (M2) : a  A; m, n  M ta có: a. m  n   a.m  a.n , (M3) : a, b  A; m  M ta có: (M4) : 1 A,m  M :1 m  a.b .m  a. b.m  ,  m  Chú ý: + T ng t , đ nh ngh a A – môđun ph i + Khi A vành giao hoán, khái ni m A - môđun trái A- môđun ph i trùng ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c c: Ta nói M m t A - mơđun hi u M m t A - môđun + Quy ph i 1.2.2 nh ngh a: Cho M m t A - môđun M t t p L c a M đ c g i m t A - môđun c a M n u : + +  L,     M,   a  A,  L có .a  L 1.3 Iđêan ph 1.3.1 nh ngh a: Ta xét A nh môđun M t iđêan m t mơđun I c a A v i I m t t p th c s c a A 1.3.2 nh ngh a: + Iđêan I đ c g i iđêan nguyên t n u A / I vành nguyên v n + Iđêan I đ c g i t i đ i n u A / I m t tr ng 1.3.3.T p ph Spec(A): i t ng hình h c liên k t v i m t vành giao hoán t p h p ph Spec( A) g m iđêan nguyên t c a A.Các ph n t c a Spec( A) đ cg i m Ta kh o sát t p m t s tr ng h p đ n gi n: + N u A  Z , t p Spec( Z ) g m nh t m t iđêan nguyên t mà không t i đ i iđêan 0 Các iđêan nguyên t khác đ u có m t ph n t sinh m t s nguyên t p i m t ng ng v i iđêan t ng qt Ta có th hình dung Spec( Z ) nh m t đ 0 g i m ng cong v i m i m m t s nguyên t , c ng thêm v i m t m t ng quát ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c + Vành ฀  x có ph m t đ ng cong quen thu c h n Nó ch a nh t m t iđêan không t i đ i m t iđêan 0 Các iđêan t i đ i đ sinh b i m t đ n th c c d ng x   , v i  m t s ph c Nh v y, ph c a ฀  x t p h p s ph c ฀ có b sung thêm m t m t ng quát 1.4 a ph 1.4.1 ng hóa vành đ a ph ng nh ngh a: Cho m t vành giao hoán X T p S  X đ c g i m t t p nhân đóng n u  S x, y  S xy  S a ph t ng đ ng hóa c a vành X đ i v i t p nhân đóng S t p l p ng : S 1 X = {  x, S   X  S }/ ~ v i (x1, s1) ~ (x2, s2) n u  s  S : s  x1s2  x2 s1   Kí hi u l p t ng đ ng c a (x, s) x/s T n t i t p S 1 X m t c u trúc vành nh t cho: x1/s1 + x2/s2 = (x1s2 + x2s1) / s1s2 (x1/ s1).(x2/s2) = x1x2 / s1s2 1.4.2 nh ngh a: M t vành vành đ a ph ng n u có nh t m t iđêan t i đ i 1.5 Vành Noether 1.5.1 nh ngh a: Vành X đ c g i vành Noether n u m i dãy t ng iđêan c a X : I1  I    I n  đ u dãy d ng ng Th H i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c 1.6.Ph m trù, hàm t c u x gi a hàm t 1.6.1 nh ngh a: M t ph m trù C bao g m thành ph n: (i) l p v t c a C Kí hi u Obj(C) (ii) t p HomC C , C  g m c u x t C t i C, v i m i c p v t C , C  Obj(C) (iii) lu t h p thành: HomC  C, C  HomC  C, C HomC  C , C   V i m i b ba v t C , C , C   Obj(C) cho tiên đ sau đ c th a mãn: C1: V i m i  C , C     D, D  HomC  C , C   ≠ HomC  D, D  C2:  : C  C;  : C  C;  : C  C ta có:               C3: V i m i v t C  Obj(C),  idC  HomC  C , C  cho  : C  C;  : C  C  ta có : idC    ;   idC =  1.6.2.Ví d : a) V i v t t p h p c u x gi a v t ánh x gi a t p h p, ta có m t ph m trù Kí hi u: Set g i ph m trù t p h p ng Th H i 10 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c M t không gian tơpơ đóng khác r ng X g i liên thông n u không t n t i hai t p Y1 Y2 cho Y1  Y2   Y1  Y2  X nh ngh a v n v i t p m Không gian tôpô X g i b t kh quy n u không t n t i hai t p đóng khác r ng Y1 Y2 cho Y1  Y2  X 2.2.7.B đ : Không gian ph Spec(A) liên thông ch không t n t i ph n t   A th a mãn  1     Ch ng minh: Gi s A vành khơng có ph n t l y l nh khác không Không gian ph Spec(A) b t kh quy ch không t n t i 1,  A khác không mà 1.  N u t n t i   A v i  1     ta có th l y I1   I   iđêan sinh b i  1 Vì I1  I  A h p c a U  I1   U  I   Spec  A Vì I1.I  U  I1   U  I    V y nên Spec(A) không liên thông Gi s Spec(A) không liên thông t c t n t i hai iđêan I1 I cho hai t p m U  I1  U  I  có giao b ng r ng h p b ng Spec(A).Khi đó, 1  I1   I : 1    Vì U  I1   U  I   U  I1I    tích l nh N u A rút g n ta có ng Th H i 1. m t ph n t l y 1.  N 22 u không ta ch bi t r ng K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c n  1: 1n  2n   Nh ng    U    cho nên: U  2n U 1n n phân ho ch đ n v , 1  1 đ Theo b    U      U     Spec  A U 1n n n    cho: n n 1  2  Rõ ràng, 1. b i c a 1  1.2  2.3 Bó c u trúc Ta b m t m t s thông tin chuy n t vành A sang không gian tôpô Spec(A), ch ng h n nh thông tin v l y l nh v A, ng 2.3.1 đ m b o m i thông tin i ta trang b thêm cho Spec(A) m t bó c u trúc nh ngh a: Cho X m t không gian tôpô.Ti n bó X quy t c gán cho m i t p m U c a X m t t p h p F U  gán cho m i c p hai t p m U  V m t ánh x : F V   F U  cho: i v i c p U  V , ánh x t + ng ng: F V   F U  ánh x đ n v (ánh x đ ng nh t) + N u U  V  W , h p thành c a F V   F U  ánh x : F W   F V  F W   F U  t ng ng v i c p U W Ta có th di n đ t khái ni m ti n bó m t cách súc tích h n nh sau: xét ph m trù U v i v t t p m U c a X v i Hom U ,V  t p r ng n u U  V , t p h p v i m t ph n t n u U  V Khi m t ti n bó m t hàm t F t ph m trù ng Th H i u  pp vào ph m trù Set 23 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c T u  pp ng t nh v y, ti n bó nhóm, ti n bó vành m t hàm t t vào ph m trù nhóm hay ph m trù b trù vành Ring M t ph n t f  F V  g i m t l p c t c a F V N u U  V , nh c a f  F V  F U  đ c kí hi u f |U , g i h n ch c a f vào U 2.3.2 nh ngh a: Bó (nhóm, vành) m t không gian tôpô X m t ti n bó (nhóm, vành) th a mãn tính ch t dán đ c: cho U ,V hai t p m c a X Khi đó, b ng cách h n ch vào U V , t p F U  V  có th đ ng nh t v i t p F U   F V  c a c p  f , g   F U   F V  th a mãn f |U V  g |U V T ng quát h n n u U h p c a m t h có th vơ h n U i iI Khi đó, F U  có th ph n t  fi iI Trong tr 2.3.3 đ ng nh t v i t p c a tích v i m i c p i, j  I ta có  iI F U i  fi |Ui Vj  g j |Ui Vj ng h p Noether ta ch c n xét t i h ph h u h n nh ngh a: Trong s t p m c a Spec  A có m t h c s đ c bi t ti n l i cho vi c tính tốn bó mà ta s g i t p m M i ph n t sinh m t iđêan iđêan f A f T p m U  f  t p m t ng ng v i f hay nói cách khác t p iđêan nguyên t p c a A cho f  p Nh ta bi t, t p m U  f  có th đ ng nh t v i t p ng Th H i 24 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c iđêan nguyên t c a A f 1  ; không gian tôpô c m sinh lên U  f  c ng   đ ng c u chu n t c v i không gian tôpô Spec A f 1  2.3.4.B đ : Giao hai t p m m t t p m chính.V i m i m x Spec(A) v i m i t p m U ch a m này, t n t i m t t p m U  f  cho x U  f  U  f   U Ch ng minh: + Kh ng đ nh th nh t hi n nhiên : U  f1  U  f2   U  f1 f2  + Kh ng đ nh sau ch vi t l i đ nh ngh a.Gi s m x t p t p m U t ng ng v i iđêan I Gi thi t x U v i iđêan nguyên t t ng đ ng ng ng v i I  p V y nên t n t i m t ph n t f  I mà f  p Khi hi n nhiên x U  f  U  f   U 2.3.5.B đ : M it pm U c a Spec(A) đ u có th ph đ c b i m t h có th vơ h n t p m N u A vành Noether, m i t p m đ u có th ph đ U c a Spec(A) c b i m t h h u h n t p m Ch ng minh: +N u ph n t U t p m t ng ng v i iđêan I n u I sinh b i m t h  fi iI Khi đó: U  U  f  i iI ng Th H i 25 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c +N u U vành Noether m i iđêan I có m t h sinh bao g m m t s h u h n ph n t f1 , f2 , fn Khi đó: U  U  f1  U  f2   U  fn  2.3.6 nh lý: Cho A m t vành giao hốn b t kì T n t i nh t v i sai khác m t đ ng c u nh t, m t bó vành  Spec( A) gán v i m i t p m U  f  vành A f 1  vành đ a ph  ng hóa c a A theo t p  nhân 1, f , f , Bó vành  g i bó vành c u trúc c a Spec( A) Ch ng minh: Ta có th ph m i t p m U c a Spec( A) b ng m t h t p m    U  U  fi  Giao U  fi   U f j  U fi f j iI  c ng m t t p m Do đó, vành l p c t c a  U nh t thi t ph i b ng vành b  iI   1   cho v i m i c p ch s i, j  I , nh c a a i A f i  iI A fi 1 f j 1  b ng aj Ta c n ph i ch ng minh  U  đ nh ngh a nh không ph thu c vào ph U b i t p m mà ta ch n Mu n v y ta ph i xét m t ph khác c a U   jJ U  g j  v i j  J Thay Ab ng A fi 1  ta quy v ch ng minh b đ sau đây: 2.3.7.B đ : Gi s  jJ Spec( A) có th ph đ c b ng m t h   t p m U  g j  Khi đó, h n ch vào U g j cho phép ta đ ng nh t ng Th H i 26 Av i K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c  vành c a jJ A g j 1  ph n t  a  cho j nh c a a i a j A gi 1g j 1  b ng Ch ng minh: Vì Spec( A)=  s h u h n ch s jJ U  g j  nên theo b đ phân ho ch đ n v , t n t i m t j  1, n  J cho  b1 g1   bn g n vói ph n t b1 , , bn  A Khi đó, ta có Spec(A)=  j 1U  g j  ta có th quy n v tr ng h p t p ch s J h u h n 1 1 Gi s cho a j  A g j 1  cho nh c a a i a j A gi g j  b ng Ch n m u s thích h p cho phép ta vi t a j d ng a j  cj g Nj v i m t s t nhiên N đ l n đ i v i m i a j cho: ci g Nj  c j giN v i m i c p i, j 1, , n Vì U  f jN   U  f j  nên theo b đ phân ho ch đ n v ta có th tìm đ c b1 , , bn cho: b1g1   bn gn  N N t a  b1c1   bn cn  A Ta mu n ch ng minh r ng nh c a a A g j 1  b ng a j Th t v y, ta có: n n ag   bi ci g  c j  bi giN  c j N j i 1 N j Nh v y, ta ch ng minh đ ch ng minh t ng Th H i i 1 c tính tồn ánh Tính đ n ánh c ng ng t nh v y Cho a  A v i nh đ a ph 27 ng hóa K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c A g j 1  b ng t c t n t i N đ l n cho v i m i j  1, , n ta có ag Nj  L i dùng b đ phân ho ch đ n v ta có a  2.3.8 nh ngh a: Bó  Spec( A) xây d ng nh g i bó c u trúc c a Spec( A) 2.4.Th c a bó th c a bó c u trúc 2.4.1 nh ngh a: Cho C m t khơng gian tơpơ, F m t bó X , x  X Th c a F X t p h p l p t ng đ ng U , f  v i U m t t p m ch a x U ; U , f  t f  F U  m t l p c t c a F U , f  n u f |U U   f  |U U  Ta kí hi u Fx th ng đ ng v i c a F t i m x Ta có th đ nh ngh a th c a bó nh m t gi i h n quy n p Xét t p J t p m U ch a m x  X Ta xét quan h th t U   U n u U  U  Ta có m t h quy n p t p F U  v i ch s J v i ánh x chuy n ti p F U    F U  ánh x h n ch Dò l i cách xây d ng gi i h n quy n p, ta nh n th y gi i h n c a h quy n p F U  trùng v i đ nh ngh a c a th c a F t i x  Nh n xét: + N u F m t bó nhóm Abel ho c m t bó vành th c a c ng s nhóm Abel ho c vành + Thay vi c xét t t c lân c n c a m x , ta ch vi c xét m t c s đ Vì th nên th c a h n ch c a m t bó F X vào m t t p m U c a X , c ng v n th c a F t i m ng Th H i 28 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c 2.4.2.M nh đ : Cho A m t vành giao hoán, Spec( A) không gian tôpô Trên Spec( A), p Spec( A), th c a Ap c a  Spec ( A) A theo t p nhân S  A\  p vành đ a ph m p vành đ a ph c bi t, m i th c a  Spec ( A) ng hóa đ u ng Ch ng minh: Cho m t t p m b t kì U c a vành Spec ( A) (U ) Tuy v A, ta không bi t cách vi t t ng minh y tính tốn gi i h n quy n p, ta ch c n xét t p m đ t p m ch a m p cho, t o nên m t c s s lân c n c a p N u p n m t p m U  f  hi n nhiên f  p ta có:  Spec ( A) (U  f )  A f 1  V y nên ta c n tìm gi i h n quy n p c a vành d ng A f 1  đánh s b i ph n t f  S  A\ p x p th t theo quan h chia h t Dò theo đ nh ngh a, ta nh n th y gi i h n vành ch a Ap Ap vành ―nh nh t‖ A mà m i ph n t f  S đ u kh ngh ch 2.5.C u x gi a hai l c đ affine 2.5.1.M nh đ : Cho  : A B m t đ ng c u vành b t kì Khi đó, ánh x c m sinh f : Spec( B)  Spec( A) m t ánh x liên t c Ch ng minh: ng Th H i 29 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c pB V i m i iđêan nguyên t c a B ta có f  pB  iđêan nguyên t  1  pB  Cho I A m t iđêan c a A U  I A  t p m t ng ng c a Spec( A) T o nh f 1 U  I A   t p iđêan nguyên t cho I A   m  pB  , t c   I A   pB V y t o nh f 1 c a B U  I  t p A U   I A   2.5.2 nh ngh a: Cho x 1 pB  X, X  (Y,Y ) hai khơng gian tơpơ v i bó vành M t c u f : Y,Y    X, X  là: + M t ánh x liên t c f :Y  X V Y + V i m i c p t p m U  X m t đ ng c u vành 1 cho V  f U  , cho U ,V :  X U   Y V  t ng thích đ i v i U V t c v i m i U   U V  V l c đ sau ph i giao hoán: Y V    X U  U ,V  X U  Y V  U  ,V ( m i tên xu ng đ ng c u h n ch )  Nh n xét: ng Th H i 30 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c Cho f : Y,Y    X, X  m t c u x gi a hai khơng gian tơpơ v i bó vành Cho y  Y x  f  y  X V i m i lân c n U c a m t lân c n c a f 1 U ,U x th x , f 1 U  nên ta có m t đ ng c u vành :  X U   Y  f 1 U   N u h p thành v i đ ng c u t Y  f 1 U   vào Y, y gi i h n quy n p c a h vành Y V  v i y V ta có m t đ ng c u vành: x, y :  X , x  Y, y 2.5.3.M nh đ : V i m i đ ng c u  : A  B , ta có m  Spec  B , Spec B tc ux :    Spec  A , y Y  V i m i iđêan nguyên t Spec A  S p v i nh x  X  Spec  A , đ ng c u vành x, y :  X , x  Y, y m t đ ng c u đ a ph ng, t c n u my iđêan t i đ i c a vành đ a ph ng Y, y mx iđêan t i đ i c a vành đ a ph ng Y, x  1x, y  my   mx Ch ng minh: Ta xây d ng m t ánh x liên t c f : Y  X g i m t iđêan nguyên t pB vành c a B lên iđêan nguyên t  1  pB  Ta xây d ng đ ng c u U ,V ng Th H i 31 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c L y m t lân c n U c a x  X V c a y  Y cho V  f 1 U  Ta c n xây d ng U ,V :  X U   Y V  Vì V  f 1 U  nên ta có Y  f 1 U    Y V  Vì v đ ng c u vành h n ch : y, ta có th gi s V  f 1 U  C ng nh ch ng minh đ nh lí 2.3.6, ta có th quy v   ng h p U t p m U  Spec Aa 1  v i a  A Nh ng tr  1 đó, f 1 U   Spec B   a     U , f 1 ta có m t đ ng c u hi n nhiên 1   a 1     : A a B   U    nguyên t c a py t  h n ch c a At trông quen m t, ta kí hi u x X T ng ng v i m x, y :  X , x  Y, y ng c c a iđêan t i đ i V y x, y m vào A ta tìm l i iđêan ng t , ta có iđêan nguyên ng ng v i m y  Y Ta có : Bt px  1  p y   px Vì n u  : A B nh my c a Y, y sinh p y iđêan mx sinh b i p x t đ ng c u đ a ph ng 2.5.4.M nh đ : Cho Y  Spec  B v i bó c u trúc c u trúc  X Cho X  Spec  A v i bó f : Y,Y    X, X  m t c u x gi a hai khơng gian tơpơ v i bó vành cho v i  X , x  Y, y Y Cho y  Y x  f  y  X , đ ng c u th : đ ng c u đ a ph ng Th thì, f c u x c m sinh t đ ng c u vành : A   X  X   Y Y  B ng Th H i 32 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c Ch ng minh : Cho y  Y x  f  y  X Kí hi u ng ng v i m t x Ta có s y ; px py iđêan nguyên t c a B iđêan nguyên t c a A t ng ng v i m đ giao hoán:  A B   Ax  By x , y v i  ,  đ ng c u đ a ph G i mx iđêan t i đ i c a Ax , my iđêan t i đ i c a By Ta có:  1  mx   px c a f ta có: t c ng hóa  1 m   p y x, y 1  my   mx y Theo gi thi t v tính đ a ph suy ra:  1  p y   px Vì v ng hóa y, ánh x liên f : Y  X b t bu c ph i ánh x c m sinh t  Ta ph i ki m tra đ ng c u vành U ,V đ ng c u vành đ minh m nh đ 2.5.3 Ta l i có th quy v tr m t t p m c a X , V  f Vì ta ch ng minh đ sinh t đ ng c u vành c u vành U ,V ng Th H i 1 c xây d ng ch ng   1 ng h p U  Spec A a  U  c ánh x liên t c f : Y  X ánh x c m  : A B   1 V  Spec B   a     ng b t bu c ph i đ ng c u vành xây d ng ch ng minh 33 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c m nh đ 2.5.3, theo tính ch t ph d ng c a đ a ph ng hóa ch t n t i 1 1 nh t m t đ ng c u vành  : A a   B   a   cho s đ sau giao   hoán:  A B     a 1   A a 1   B    M nh đ 2.5.4 đ ng Th H i c ch ng minh 34 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c K t lu n Sau m t th i gian làm vi c h t s c kh n tr ng nghiêm túc, khóa lu n c a em hoàn thành N i dung c a khóa lu n vào tìm hi u l cđ affine m t s tính ch t Qua q trình làm khóa lu n em nghiên c u đ c m t s v n đ sau: - nh ngh a l c đ affine - Khơng gian tơpơ Spec(A) - Bó c u trúc - C u x gi a hai l c đ affine tài s th c s có ý ngh a h n n u đ sung c v ý t ng ph c ti p t c nghiên c u b ng pháp Cu i cùng, em mong mu n nh n đ c s đóng góp ý ki n giúp đ c ng tác nghiên c u c a q th y b n đ c đ đ tài th c s có ý ngh a h n Em xin chân thành c m n! ng Th H i 35 K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c TÀI LI U THAM KH O 1.Ngô B o Châu(2005), Bài gi ng hình h c đ i s , i h c S ph m Hà N i 2.Nguy n H u Vi t H ng(1998), i s đ i c ng, NXB giáo d c 3.Ngô Thúc Lanh (1996), i s s h c (t p 4), NXB giáo d c 4.Nguy n Ti n Quang- Nguy n Duy Thu n (2001), C s lý thuy t môđun vành, NXB giáo d c ng Th H i 36 K32G—-SP Toán ... 2.1 L c đ affine 12 c đ affine 12 2.2 Không gian tôpô Spec(A) 13 2.3 Bó c u trúc 19 2.4 Th c a bó th c a bó c u trúc 24 2.5 C u x gi a hai l c đ affine ... c t i ánh x liên t c K32G—-SP Tốn Khóa lu n t t nghi p đ i h c CH L NG c Affine c đ affine 2.1 L 2.1.1 nh ngh a: L c đ affine m t hàm t F: Ring giao hoán A m t đ ng c u hàm t : F Set cho t n t... hi u l cđ affine m t s tính ch t Qua q trình làm khóa lu n em nghiên c u đ c m t s v n đ sau: - nh ngh a l c đ affine - Không gian tơpơ Spec(A) - Bó c u trúc - C u x gi a hai l c đ affine tài