SKKN ứng dụng hệ thức vi ét để giải quyết một số dạng toán về PT bậc hai một ẩn cho HS lớp 9

Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Mục lục Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài nghiên cứu Dạy để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Tốn học nói chung, tốn THCS nói riêng có nhiều loại, nhiều dạng tập nên học sinh gặp nhiều khó khăn đứng trước tốn Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung đối tượng nghiên cứu học sinh lớp nói riêng, tuổi em khơng phải nhỏ khả phân tích, suy luận, tự tìm lời giải cho tốn nhiều hạn chế đối tượng học sinh học yếu lười học Mặt khác đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số, thơng qua học sinh có cách nhìn tổng quát hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số Chính nên dạng tốn mơn đại số lớp “vận dụng hệ thức Vi-ét ứng dụng để giải tập có liên quan” em dạng tốn khó Đối với dạng tốn nhiều em nắm lý thuyết chắn áp dụng giải mắc phải nhiều sai sót Thơng qua trình giảng dạy, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn phương trình bậc hai nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học để biện luận phương trình bậc hai cho có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện đó… Đây phần kiến thức khó em học sinh lớp Bởi lẽ từ trước đến em quen giải dạng toán tính giá trị biểu thức giải phương trình cho sẵn, gặp phải tốn biện luận theo tham số Mặt khác khả tư em hạn chế, em gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối liên hệ yếu tố tốn nên khơng định hướng cách giải Do việc hướng dẫn giúp em có kỹ để giải tốn, ngồi việc nắm lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành, từ phát triển khả Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Vì tơi suy nghĩ làm để nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải tốn phương trình bậc hai ẩn, góp phần giúp em tự tin kỳ thi Đó lý tơi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cho HS lớp 9” Mục đích nghiên cứu: Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em làm tốt tốn phương trình bậc hai ẩn kỳ thi Giúp em hiểu tầm quan trọng hệ thức Vi-ét việc giải tốn phương trình bậc hai Giúp em có hiểu biết phương pháp biện luận nghiệm biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc hai theo hệ số Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn bậc hai mà dạng tốn khác Rèn luyện cho học sinh tính tư logic, sáng tạo toán; say mê u thích học mơn tốn Việc nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tơi có tài liệu mang tính hệ thống định lí Vi-et phục vụ cho cơng tác giảng dạy Qua nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tự tin công tác giảng dạy Nội dung nghiên cứu Quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm để thân trau dồi kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất toán học phát biểu Đưa tới cho học sinh số dạng tập có tính ứng dụng cao kì thi, giúp em có kết tốt Để nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, đề nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu toán phương trình bậc hai ẩn có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức, kĩ cho - Giúp học sinh nắm vững ứng dụng định lí Vi-ét, làm tốt dạng tập mà trước lúng túng, bế tắc Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS công tác, năm học 2016 - 2017 - Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu số dạng ứng dụng hệ thức Viét theo nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gồm kiến thức nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập học sinh muốn đạt điểm cao thi vào trường THPT cơng lập THPT chun tồn quốc Thành phần tham gia nghiên cứu - Nghiên cứu 50 học sinh học lớp trường THCS giảng dạy - Nghiên cứu ứng dụng hệ thức Vi-ét, mơn đại số lớp 9, tìm hiểu tốn phương trình bậc hai ẩn có ứng dụng hệ thức Vi-ét Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: a) Phương pháp nghiên cứu, tham khảo tài liệu Tôi đọc chọn tốn bậc có ứng dụng hệ thức Vi-ét, xếp thành 12 nhóm ứng dụng sau:  Dạng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn  Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai  Dạng Lập phương trình bậc hai  Dạng Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình  Dạng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số  Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm  Dạng Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai  Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm  Dạng Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương  Dạng 10 Chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm  Dạng 11 Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập  Dạng 12 Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm c) Phương pháp tìm hiểu tình hình học tập học sinh Kiểm tra 50 học sinh lớp việc ứng dụng hệ thức Vi-ét giải toán với nội dung sau: - Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Câu 1: Em nêu định lý Vi-ét Áp dụng nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2014x2 + 14x – 2028 = b/ x2 + 7x + 12 = Câu 2: Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m + = với m tham số a) CMR: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt ∀m ≠ b) Xác định giá trị m dể phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 + + =0 x2 x1 Kế hoạch nghiên cứu Trong năm học 2016 - 2017 Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIẾN Cơ sở lí luận Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn lớp 9, vào thực tế dạy học, hệ thống tập ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn chương trình đại số lớp thấy hệ thống tập SGK, sách tập Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành dạng đơn giản, thực tế tập ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đa dạng, phong phú thể loại toán phổ biến đại số THCS Trong chương trình sách giáo khoa tốn lớp THCS, học sinh làm quen với phương trình bậc hai: Cơng thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt định lý Vi-ét ứng dụng việc giải tốn: - Trong tiết lý thuyết: học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tổng tích chúng - Trong tiết luyện tập: học sinh làm tập củng cố tiết lý thuyết vừa học Qua việc giảng dạy Tốn trường THCS tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại toán, hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi việc giải toán Đứng trước vấn đề đó, người giáo viên cần phải bồi dưỡng hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này, tơi sâu vào nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cho HS lớp 9” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích lực hứng thú học tập mơn tốn học sinh Khi tơi dạy phần kiến thức này, học sinh khá, học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho dạng toán để dạy phong phú đạt hiệu cao Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn) a) Thuận lợi: Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức chương trình Học sinh nắm kiến thức hoàn thành THCS Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm có học sinh đạt giải mơn Tốn Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Tôi trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi vào lớp 10 nên tơi mong muốn giúp học sinh giải tốt việc giải tốn phương trình bậc hai ẩn điển hình nhờ ứng dụng hệ thức Vi-ét Tôi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức b) Khó khăn: Thời lượng phân bố tiết cho phần khơng nhiều, cụ thể chương trình lớp có tiết (1 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do chưa khai thác hết ứng dụng hệ thức Vi-ét, em trọng nâng cao kiến thức Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn hạn chế Từ thuận lợi khó khăn trên, với sáng kiến kinh nghiệm tơi mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức để tự tin học tập Mơ tả, phân tích giải pháp cải tiến A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn x ∈ R phương trình có dạng: ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ 0) Cách giải • Tính ∆ = b − 4ac Nếu ∆ < phương trình (1) vơ nghiệm x1 = x2 = − Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép Nếu ∆ > phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = b 2a −b − ∆ −b + ∆ , x2 = 2a 2a Định lý Vi-et – Dấu nghiệm Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x ∈ R : ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = −b c , P = x1.x2 = a a Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Ngược lại có hai số x1 , x2 thỏa mãn S = x1 + x2 P = x1x2 hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Dấu nghiệm: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ∆ ≥ ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm dấu  P > Phương trình (1) có hai nghiệm dương ∆ ≥  ⇔ P > S >  ∆ ≥  ⇔ P > S <  Phương trình (1) có hai nghiệm âm Điều đáng nói định lí giải tốn ta khơng quan tâm tới giá trị x1 , x2 mà cần biết tổng tích chúng, từ có biểu diễn cần thiết thơng qua tổng tích Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (1) Giá trị lớn nhất: Nếu hai số có tổng khơng đổi tích hai số lớn hai số Giả sử x1 + x2 = S khơng đổi, P = x1.x2 thay đổi Do điều kiện S2 – 4P ≥ ⇒ P≤ S2 S2 S x1 = x2 = Vậy P đạt GTLN (2) Giá trị nhỏ Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng hai số nhỏ hai số Giả sử x1 , x2 > x1.x2 = P không đổi, x1 + x2 = S thay đổi Do điều kiện S2 – 4P ≥ ⇒ ( S - P ) (S + P ) ≥ ⇒ S - P ≥ ⇒ S ≥2 P Vậy S đạt GTNN P x1 = x2 = P B CÁC DẠNG TỐN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Dạng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp • Phương pháp Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) • c Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = a • c Nếu a – b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1, x2 = - a Nếu x1 + x2 = m + n, x1x2 = mn ∆ ≥ phương trình có nghiệm x1 = m, x2 = n x1 = n, x2 = m • Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2x2 + 2017x – 2019 = • b) (3 − 1) x + x + 3 + = Giải: a) 2x2 + 2017x – 2019 = có a + b + c = + 2017 +(-2019) = c −2019 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = a b) (3 − 1) x + x + 3 + = có a – b + c = 3 − − + 3 + = 3 +1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1, x2= - 3 − Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai • Phương pháp - Lập điều kiện để phương trình bậc cho có hai nghiệm: ∆ ≥ (hoặc ∆/ ≥ ) (*) Thay x = x1 vào phương trình cho, tìm giá trị tham số Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện (*) để kết luận * Để tìm nghiệm thứ hai ta chọn cách làm sau: • Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình • Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tổng hai nghiệm tìm nghiệm thứ hai • Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm, từ tìm nghiệm thứ hai • Ví dụ: Cho phương trình: mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) với m tham số - Trang Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải * Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm ∆' ≥ (m − 2) − m(m − 3) ≥   m ≠ ⇔ m ≠ ⇔ ≠ m ≤ (*) - Thay x = vào phương trình (1) ta có: 9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn *Tìm nghiệm thứ hai: Cách 1: Thay m = - vào phương trình cho giải phương trình để tìm x2 = 9 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng hai nghiệm: 2(− − 2) 2(m − 2) 34 = = −9 m x1 + x2 = 34 34 −3  x2 = - x1 = = 9 Cách 3: Thay m = - vào cơng thức tính tích hai nghiệm − −3 m−3 21 = = 21 21 m :3 − x1x2 = => x2 = : x1 = = Dạng Lập phương trình bậc hai: 3.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2 Phương pháp - Lập tổng S = x1 + x2 - Lập tích P = x1x2 - Phương trình cần tìm là: x2 – S x + P = • Ví dụ: Cho x1= 3; x2= Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: • Trang 10 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp  S = x1 + x2 =   P = x1.x2 = 3.2 • • 3.3 • Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Vậy x1; x2 nghiệm phương trình có dạng: x2 - 5x +6 = Tìm hai số biết tổng tích chúng: Phương pháp Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (đk: S2 - 4P ≥ 0) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - tích P = a.b = - Giải: Vì: S = a + b = - tích P = a.b = - Nên a, b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x – = giải phương trình ta x1= x2= - Vậy: a = b = - a = - b = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ: Cho phương trình 2x2 – 7x + = có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 Khơng giải phương trình để tìm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm hai số cho trường hợp sau: 1 a) x1 x b) 1+x1 1+x2 Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 + x =   x1 x = 1 x1 + x = x x x x 6; a) + = 1 1 = x1 x = x x x2 − x + = Phương trình cần lập là: 11 b) (1+x1 )+ (1+x2) = 2+ (x1+x2) = 2+ = (1+x1 ).(1+x2) = + (x1+x2) + x1.x2 = 1+ 15 +3 = Trang 11 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Phương trình cần lập là: x2 − 11 15 x+ =0 2 Dạng Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình: • Phương pháp Với tốn dạng HS phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét tính giá trị biểu thức Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: ∆ ≥ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 +x2 x1 x2 Một số biểu thức thường gặp cách biến đổi để đưa dạng biểu thức chứa tổng tích nghiệm: * x12+ x22= (x1+ x2)2 – 2x1x2 * (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 * x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) * x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x + x2 1 + = x1 x * x1 x 2 x1 x x1 + x + = x x x1 x 2 * * (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 • Cho pt x − x + m = Ví dụ: Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Giải: Ta có: ∆ = = 25 − 12m Phương trình có hai nghiệm Với m≤ ⇔ ∆ ≥ ⇔ 25 − 12m ≥ ⇔ m ≤ 25 12 (*) 25 12 giả sử pt có hai nghiệm x ; x2 theo Vi-ét ta có:   x1 + x2 =   x x = m  Lại có: x12 − x22 = x12 − x22 = (1) ( 2) 5 5 ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ x1 − x2 = 9 (3) Trang 12 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp   x1 =  x1 + x2 =  ⇔  x − x =  x2 = 3 Kết hợp (1) (3) ta có hệ phương trình:  m = ⇔ m = thay vào (2) ta 3 (thỏa mãn đk (*)) Dạng 5: Liên hệ hai nghiệm phương trình 5.1 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số: • Phương pháp: - a ≠  ' Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ∆ ≥ ( ) Tính tổng S, tích P hai nghiệm x x Tính m theo S P Khử m tìm hệ thức S P Thay S = x + x , P = x x • Ví dụ 1: Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - = có hai nghiệm x x2 Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 phương trình cho chúng khơng phụ thuộc vào m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: - m ≠ m − ≠ m ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  ∆ ' ≥ m − ( m − 1) ( m − ) ≥ 5m − ≥ m ≥ 2m   S = x + x = S = x + x = + (1) 2   m −1 m −1 ⇔  m −  P = x x =  P = x x = − (2) 2   m −1 m −1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  2 = x1 + x2 − ⇔ m − = (3) m − x + x − 2 Rút m từ (1), ta có: 3 = − x1 x2 ⇔ m − = (4) m − 1 − x x Rút m từ (2), ta có: Từ (3) (4), ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 5.2 Chứng minh biểu thức hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc vào giá trị tham số Trang 13 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp • Phương pháp: - a ≠  Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ∆( ∆') ≥ Biến đổi biểu thức cho xuất x1+x2, x1.x2 - Thay giá trị (tính theo m) - Rút gọn biểu thức có giá trị số • Ví dụ: Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình: (m - 1)x – 2mx + m - = Chứng minh biểu thức A = 3(x + x2 ) + x1 x2 - không phụ thuộc giá trị m Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: - m ≠ m − ≠ m ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  m − ( m − 1) ( m − ) ≥ 5m − ≥ ∆ ' ≥ m ≥ 2m   S = x1 + x2 = m −   P = x x = m − m −1 Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:  Thay vào biểu thức A, ta có: A = 3(x1 + x2 ) + x1 x2 – = 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 m≥ Vậy A = với m ≠ Do biểu thức A không phụ thuộc giá trị m Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm: • Phương pháp: - a ≠  ' Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ∆ ≥ ( ) Tính tổng S tích P hai nghiệm x x - Kết hợp đẳng thức giả thiết lập hệ phương trình gồm phương trình - Giải tìm tham số - Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận • Ví dụ: Ví dụ 1: - Trang 14 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2 Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔  2 ∆ ' ≥ ∆ ' = 3 ( m − 1)  − ( m − 3) m ≥ ∆ ' = m − 2m + − 9m + 27 m ≥ ( ) m ≠  m ≠ ⇔ ⇔ m ≥ −1  ∆ ' = ( m + 1) ≥ 6(m − 1)   S = x1 + x2 = m   P = x x = 9(m − 3) m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vì x1 + x2 = x1 x2 (giả thiết) 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m Nên m (thỏa mãn) Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1 + x2 = x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m + = Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Giải: Để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thì: ( ) ∆ = ( 2m + 1) − m + ≥ ⇔ m ≥  S = x1 + x2 = 2m +  P = x1.x2 = m + Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Vì 3x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = (giả thiết)  m = 2(TM ) ( m + ) − ( 2m + 1) + = ⇔   m = ( KTM )  Nên Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + =0 Trang 15 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1 − x2 = Giải: ĐKXĐ: m ≠ 0; m ≤ 16 15  −2 ( m − )  S = x1 + x2 = m ( 1)  m +  P = x x = m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  Theo đề ta có: x1 − x2 = ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 + x2 = 3x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = 3x1  x1 + x2 = 3x2 ⇔ ( x1 + x2 ) = x1 x2 ( )  x + x = x1 Suy ra:  ( ) Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2 + 127m - 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = -128 ( thỏa mãn ĐK trên) Dạng Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm,… • Ví dụ: Xác định m cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – = có hai nghiệm trái dấu Giải: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: m2 − m − < ⇔ ( m − 3)( m + ) < ⇔ −2 < m < Vậy với −2 < m < phương trình có hai nghiệm trái dấu P với m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 c) Vì phương trình có nghiệm với m, theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2( m + 1) x1x2 = m – Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m + 4m + 20 = 4(m + m + 5) = 4[(m + ) + ] 2 19 19 1 (m + ) + ≥2 4 = 19 m + = ⇔ m = - => =2 x1 − x 19 Vậy đạt giá trị nhỏ m = - x1 − x Dạng Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương 9.1 Chứng minh hai phương trình cho có nghiệm • Phương pháp: - Tính ∆1 ; ∆ Chứng minh ∆1 + ∆ ≥ ∆1 ∆ ≤ để suy biệt số không âm (Chú ý kết hợp giả thiết có) • Ví dụ: Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x2 - 3x + 2m + = (1) x2 + x - 2m - 10 = (2) - Trang 17 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Chứng minh rằng: Với m, hai phương trình có nghiệm Hướng dẫn: ∆1 + ∆ = 26 > ⇒ có biệt số khơng âm Ví dụ 2: Cho hai phương trình bậc hai: x2 + a1 x + b1 = x2 + a x + b2 = có hệ số thỏa mãn điều kiện: a1 a ≥ 2(b1 + b2 ) Chứng minh hai phương trình có nghiệm Hướng dẫn: Giả sử hai phương trình vơ nghiệm: 2 ∆ + ∆ = a1 + a 2 − 4(b1 + b2 ) < ⇔ a1 + a 2 < 4(b1 + b2 ) ⇔ ( a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a 2 ⇔ ≤ (a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a ⇔ a1a < 2(b1 + b2 ) ( mâu thuẫn với giả thiết) Tìm giá trị tham số để hai phương trình có có nghiệm chung • Phương pháp: • Cách 1: 9.2 - Giả sử x0 nghiệm chung, lập hệ hai phương trình (ẩn x tham số) Giải hệ phương trình tìm x0 , tìm tham số - Thử lại: Thay giá trị tham số vào phương trình, giải phương trình, tìm nghiệm chung - Rút kết luận • Cách 2: Rút tham số từ phương trình cho - Thế giá trị tham số vào phương trình lại, tìm x - Thay giá trị x tìm m - Rút kết luận • Ví dụ: Ví dụ 1: Với giá trị k hai phương trình sau có nghiệm chung x2 - (k + 4)x + k + = x2 - (k + 2)x + k +1= - Hướng dẫn: x = ; k = Ví dụ 2: Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiệm chung Trang 18 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = Hướng dẫn: (m - 4)x = m - 4: • m = 4: hai phương trình có dạng: x2 + 2x +3 = ( vô nghiệm) m ≠ 4: x = ; m = -2 9.3 Tìm giá trị tham số để hai phương trình bậc hai cho tương đương với • Phương pháp: - Chỉ phương trình có hai nghiệm phân biệt • -  x1 + x2 = x3 + x  Lập hệ phương trình  x1 x = x3 x Giải hệ phương trình tìm giá trị tham số - Thử lại, rút kết luận • Ví dụ: - 2 Cho phương trình bậc hai x − ( m + n ) x − ( m + n ) = (1) Tìm m n để phương trình (1) tương đương với phương trình x − x − = (2) • Phương trình (2) có ac = -5 < ⇒ (2) có nghiệm phân biệt m + n =  2 * − m + n ( )  m =  m + n = n = −1 ⇔ ⇔ m = −1 mn = −2  = −5 n = * Thử lại, kết luận 10 Dạng 10 Chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm • Ví dụ: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 - 18x + 1= Đặt Sn = x1n + x2n ( n ∈ N) Chứng minh: a) Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn b) Sn nguyên dương Sn không chia hết 17 với n số tự nhiên Giải: a Vì x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 18x + = nên theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 18 x1x2 = Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 Sn+1 = x1n+1 + x2n+1 x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2n(x22 - 18x2 + 1) = Trang 19 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp hay x1n+2+ x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) + (x1n + x2n) = ⇒ Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn b Ta có: S1 = 18, S2 = x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 182 - = 322 mà Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn nên Sn nguyên dương với n số tự nhiên Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn mà S1 = 18, S2 =322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4, S5,… không chia hết cho 17 ⇒ Sn không chia hết cho 17 với n số tự nhiên 11 Dạng 11 Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào tập • Ví dụ: Tìm hai số x y biết  x+ y =3  2 a  x + y =  x− y =2  2 b  x + y = 34 Giải: a Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ  S =3  S − 2P = ⇔ S =  P = Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + = Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = Vậy (x ; y) ∈ { ( 2;1) ; ( 1; ) } b Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ S =2  S =2 ⇔   S + P = 34  P = 15 Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = 0, giải ta x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y) ∈ { ( 3;5 ) ; ( 5;3) } 12 Dạng 12 Lập phương trình đường thẳng y = ax+ b (d) với a ≠ quan hệ với Parabol y = mx2 với m ≠ • Phương pháp: Loại 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) qua điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Paraboly = mx2 (m ≠ 0) Trang 20 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp * Cơ sở lý luận: Do đường thẳng Parabol có giao điểm nên hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: mx2 = ax + b ⇔ mx2 - ax - b = a  xA + xB = m  x x = − b  A B m Từ theo Viet ta có:  (*) Từ (*) tìm a b ⇒ PT (d) Loại 2: Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) điểm M (xM; yM) * Cơ sở lý luận: Do (d) (P) có giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Viet, ta có: x1 + x2 = a   −b x1x2 = m ⇒ a b ⇒ Phương trình tiếp tuyến Cho Parabol (P) có phương trình: (P): y = x2 Gọi A B điểm ∈ (P) có hồnh độ xA = - ; xB = Lập phương trình đường thẳng qua A B Bổ sung: Cơng thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A B (x1, y1) B(x2, y2) Khi đó: Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức: xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 C KẾT QUẢ: Kiểm tra 50 học sinh lớp việc ứng dụng hệ thức Vi-ét giải toán Trước sau dạy chuyên đề thu kết sau: Câu Nội dung Kết thống kê Trước Sau hỏi dạy chuyên đề dạy chuyên đề Trang 21 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Em nêu định lý Vi-ét Áp dụng nhẩm nghiệm phương trình sau: a/ 2014x2 + 14x – 2028 = b/ x2 + 7x + 12 = Làm Tỉ lệ % Làm Tỉ lệ % 46/50 45/50 92 90 49/50 47/50 98 94 43/50 86 45/50 90 40/50 80 44/50 88 39/50 78 43/50 86 38/50 76 42/50 84 Cho phương trình ( m − 1) x − 2mx + m + = với m tham số a)CMR phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định giá trị m để phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiệm phương trình c)Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 + + =0 hệ thức: x2 x1 Trang 22 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận: Khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy nhận thấy em học sinh hứng thú học tập, nhiều em cảm thấy bất ngờ mà số toán tưởng chừng khơng thể giải khơng có cơng cụ định lý đảo dấu tam thức bậc hệ quả, lại giải cách đơn giản, dễ hiểu thông qua định lý quen thuộc định lý Vi-et Nếu trình bày kiến thức cách có hệ thống, gắn kết lại học sinh nhận chất vấn đề nhanh để chúng dạng riêng lẻ Học sinh thấy lợi ích to lớn áp dụng việc làm tập thi, kết kiểm tra, thi học kì cao Đa số em học sinh khá, giỏi muốn mở rộng, nâng cao kiến thức em cách nào, đọc sách tốt sách tham khảo nhiều loại Vì giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học nhà, tự chọn sách tham khảo,…Mong sáng kiến kinh nghiệm: ”Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cho HS lớp 9” góp phần giúp em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán bậc hai để em thêm tự tin học tập Sẽ có nhiều mảng tốn học mà định lí Vi-ét sử dụng tới nhiên tơi chưa thể có hệ thống trọn vẹn Khuyến nghị: * Đối với giáo viên - Phải nỗ lực vượt khó, phải nắm vững kiến thức trọng tâm để tìm cách giải khác cho học sinh dễ hiểu - Giáo viên phải nắm bắt kịp thời việc đổi phương pháp giảng dạy - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu để nâng cao trình độ - Khuyến khích động viên học sinh, khen chê kịp thời, phân chia đôi bạn tiến giúp đỡ học tập * Đối với học sinh: - Học sinh phải nỗ lực, kiên trì, cần cù chịu khó - Thường xun đọc sách, tìm tòi kiến thức - Lắng nghe hướng dẫn giáo viên Có thể học hỏi bạn học sinh khác./ Trang 23 Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp TÀI LIỆU THAM KHẢO - - Tuyển tập tốn hay khó - Đại số nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hồng Khanh-Lê Văn Thường) Sách giáo khoa Tốn _ Tập Sách giáo viên Toán _ Tập Sách tập Toán _ Tập Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán nhà xuất giáo dục in năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng - Phạm Thị Bạch Ngọc) Các đề tuyển sinh vào lớp 10 hàng năm Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào 10 Thành phố Hà Nội Trang 24 ... 50 học sinh lớp vi c ứng dụng hệ thức Vi- ét giải toán với nội dung sau: - Trang Ứng dụng hệ thức Vi- ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp Câu 1: Em nêu định lý Vi- ét Áp dụng nhẩm nghiệm... DỤNG HỆ THỨC VI- ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Dạng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Trang Ứng dụng hệ thức Vi- ét để giải số dạng toán PT bậc hai ẩn cho HS lớp • Phương pháp Xét phương trình bậc. .. kinh nghiệm: Ứng dụng hệ thức Vi- ét để giải số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn cho HS lớp 9 góp phần giúp em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi- ét vào giải toán bậc hai để em thêm tự