Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐẬU XUÂN LƯƠNGPHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠTCHO BÀI TOÁNBẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂNLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCVINH - 2010 iBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHĐẬU XUÂN LƯƠNGPHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠTCHO BÀI TOÁNBẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂNLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62 46 01 01NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS. TSKH. LÊ DŨNG MƯUPGS. TS. TRẦN VĂN ÂNVINH - 2010 MỤC LỤCMục lục iLời cam đoan ivLời cảm ơn 1Mở đầu 21 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tổng quan và cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . 71 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân 111.1 Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . 121.2 Phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân 131.3 Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Phương pháp hàm phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19ii iii1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải bài toán bất đẳngthức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu 362.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Bài toán phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Hàm phạt cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 513.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưuđa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Bài toán phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Kết luận và kiến nghị 621 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liênquan đến luận án 63Tài liệu tham khảo 63 ivLỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, cáckết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồngtác giả cho phép sử dụng và luận án hoàn toàn không trùng lặp vớibất kì tài liệu nào khác.Đậu Xuân Lương 1LỜI CẢM ƠNLuận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê DũngMưu và PGS. TS Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcnhất tới các Thầy, những người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giảtrong cả quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận án này.Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh,lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnhđạo Viện Toán học, cùng tập thể GS và các Thầy, Cô của Trường Đại họcVinh và Viện Toán học đã động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuậnlợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các nhà khoa học và các Thầy, Cô thuộcTổ Giải tích của Khoa Toán học – Trường Đại học Vinh đã dành thờigian đọc luận án và cho những ý kiến nhận xét quý báu.Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninhvà Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, ngườithân và bạn bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũngnhư vật chất cho tác giả.Đậu Xuân Lương 2MỞ ĐẦU1 Lí do chọn đề tài1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60([50, 20, 32]), là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bàitoán cân bằng. Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toánbất đẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thông(Traffic Network Equilibrium Problem) và bài toán gần với nó là bài toáncân bằng giá không gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảochẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), các bài toán cân bằng tài chính (FinancialEquilibrium Problem), cân bằng nhập cư (Migration Equilibrium Prob-lem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) và mạngkiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]).Phương pháp hàm phạt là một trong các phương pháp quan trọngđể giải các bài toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn[38, 23, 39, 1, 51]). Nhờ vào phương pháp này, một bài toán với miềnràng buộc phức tạp có thể được chuyển về một dãy các bài toán khôngràng buộc hoặc với ràng buộc đơn giản hơn. Trong khi đó, phương phápchiếu là một lớp phương pháp đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với cácbài toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu. Nhược điểm duy nhất của phươngpháp này là ta phải tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ,và đó là một bài toán rất khó trong trường hợp tổng quát, khi mà miềnđó không có hình dạng đặc biệt. Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt 3và phương pháp chiếu sẽ khắc phục được nhược điểm này của phươngpháp chiếu.1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector được giới thiệu bởiGiannessi [16]. Từ đó tới nay, người ta đã tìm được nhiều ứng dụng củabài toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational InequalityProblem, viết tắt là VVIP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu(Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt là WVVIP) trongbài toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viếttắt là MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], trong bài toán xấpxỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), và trong bài toán cânbằng giao thông vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]). Sựtồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu cũng đượcnghiên cứu trong nhiều công trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12]).Để có thể ứng dụng bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vàothực tiễn, đòi hỏi phải có các thuật toán giải số hiệu quả cho bài toánnày. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho tới nay chỉ có một vàicông trình nghiên cứu về các thuật toán để giải bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector yếu ([18, 19]). Từ rất lâu, phương pháp hàm phạt đãđược áp dụng để giải các bài toán tối ưu và các bài toán bất đẳng thứcbiến phân dạng thường, đưa một bài toán với miền ràng buộc phức tạpvề một dãy các bài toán có ràng buộc đơn giản hơn hoặc không có ràngbuộc. Tuy nhiên, cho tới nay chưa có bất cứ công trình nào nghiên cứuáp dụng phương pháp này cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu mà chúng tôi được biết.1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà trong luận án này chúng tôigọi là nghiệm Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu xuất hiện đầu tiêntrong các công trình của Edgeworth [13] và Pareto [44]. Một điểm x đượcgọi là nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêuf = (f1, . . . , fk) (k mục tiêu) nếu không có một điểm nào khác tốt hơn 4điểm đó, nghĩa là không tồn tại một điểm y = x sao cho fi(y) ≤ fi(x)với mọi i = 1, . . . , k, và fj(y) < fj(x) với một chỉ số j nào đó. Điểm xđược gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu nếu khôngcó một điểm nào khác tốt hơn điểm đó xét trên tất cả các mục tiêu, nghĩalà không tồn tại y sao cho fi(y) < fi(x) với mọi i = 1, . . . , k.Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnhvực, trong cả khoa học và cuộc sống. Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu đượcsử dụng trong bài toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem),lý thuyết trò chơi (Game Theory), các bài toán quản lý và hoạch định tàinguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (WelfareTheory), các bài toán trong kỹ thuật như điều khiển phi cơ, các hệ thốngcơ khí chính xác, .v.v (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24]).Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đãđược nghiên cứu trong một vài công trình gần đây (tham khảo [52, 21,22, 34]). Trong [34], Liu và Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu của bàitoán MOP(D, f) sử dụng một hàm phạt mũ. Liu và Feng đã chứng minhrằng nếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu củacác bài toán phạt và x chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là mộtnghiệm Pareto yếu của bài toán ban đầu. Như vậy, các định lý hội tụ củahọ dựa trên giả thiết rằng điểm giới hạn x của dãy các nghiệm Paretoyếu của các bài toán phạt nằm trong miền ràng buộc D. Giả thiết này làmột điểm bất lợi trong cách tiếp cận bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàmphạt mũ của Liu và Feng. Từ đó nảy sinh yêu cầu phải có một mô hìnhhàm phạt cho các kết quả hội tụ tốt hơn, khắc phục được nhược điểm củamô hình đề xuất trong [34].Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàmphạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận ántiến sĩ. Đề tài tập trung nghiên cứu những vấn đề sau.(1) Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để có một 5thuật toán hoàn chỉnh giải các bài toán bất đẳng thức biến phân dạngVIP(D, f), với D lồi đóng khác rỗng và f đơn điệu, liên tục Lipschitz.Bằng cách này, ta khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương phápchiếu là sự khó khăn khi tính toán hình chiếu của một điểm lên một miềnlồi bất kỳ.(2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bấtkỳ về một dãy các bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miềnràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi là các bài toán phạt. Ta có thể chọnK = Rk, nghĩa là các bài toán phạt sẽ không có ràng buộc.(3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán tối ưu đamục tiêu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất kỳ về một dãy cácbài toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọilà các bài toán phạt. Ta có thể chọn K = Rk, nghĩa là các bài toán phạtsẽ không có ràng buộc. Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, chúng tôi thuđược các kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả nêu trong [34]. Ngoàira, chúng tôi còn chỉ ra điều kiện đủ để các bài toán phạt đều có nghiệmPareto yếu, đồng thời dãy các nghiệm đó có ít nhất một điểm giới hạn vàđó chính là một nghiệm của bài toán ban đầu.2 Mục đích nghiên cứuLuận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạtcho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phânvector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài toán cuối cùngtrong một số trường hợp đặc biệt là tương đương với bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu. Qua đó, luận án đưa ra những thuật toán mớicho các bài toán vừa nêu ở trên. [...]... phân vector và bài toán liên quan với nó là bài toán tối ưu đa mục tiêu Chương 1 nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân Chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp chiếu và phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân được trình... giữa phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân, bao gồm 6 mục Mục 1.1 trình bày các kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.2 trình bày phép chiếu và mối quan hệ với bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.3 trình bày về phương pháp chiếu, Mục 1.4 trình bày về phương pháp hàm phạt, Mục 1.5 trình bày về phương pháp. .. này, chúng tôi đưa ra Thuật toán 3, kết hợp các phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán này trước hết chuyển một bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc trên một miền lồi đóng D bất kỳ về một dãy các bài toán phạt với ràng buộc đơn giản hơn, sau đó giải mỗi bài toán phạt này bằng phương pháp chiếu Vì các bài toán phạt có miền ràng buộc đơn giản,... 3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp hàm phạt, bài toán bất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu, bài toán tối ưu đa mục tiêu 4 Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian Euclide hữu hạn chiều Rk 5 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết... phương pháp kết hợp giải bài toán bất đẳng thức biến phân, Mục 1.6 trình bày các ví dụ Chương 2 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu, bao gồm 3 mục Mục 2.1 trình bày các kết quả cần dùng về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu, Mục 2.2 trình bày về bài toán phạt và điều kiện có nghiệm của bài toán phạt, Mục 2.3 trình bày... các bài toán bất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích 7 7.1 Tổng quan và cấu trúc luận án Tổng quan luận án Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), bài toán bất đẳng thức biến phân. .. của phương pháp Chương 3 trình bày về phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu, bao gồm 3 mục Mục 3.1 trình bày các kết quả cần dùng về sự tồn tại nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu, Mục 3.2 trình bày về bài toán phạt và điều kiện có nghiệm của bài toán phạt, Mục 3.3 trình bày các định lý hội tụ của phương pháp 11 CHƯƠNG 1 HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN... là một nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D, f ) 1.5 Phương pháp kết hợp phạt- chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân Trong phần này chúng tôi kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân, nhờ đó khắc phục được trở ngại cơ bản trong phương pháp chiếu là sự khó khăn khi phải tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ Trong Thuật toán 2, tại bước... của phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu, chúng tôi đã khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương pháp chiếu là khó khăn trong việc tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ Trong chương thứ hai, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biến phân vector yếu, sử dụng các kỹ thuật chứng minh truyền thống trong lý thuyết hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến. .. phải bài toán bất đẳng thức biến phân nào cũng tương đương với một bài toán quy hoạch lồi Phương pháp chiếu (tham khảo [15], Chương 12) là một lớp phương pháp đơn giản và hiệu quả để giải các bài toán bất đẳng thức biến phân với giả thiết tối thiểu f giả đơn điệu và liên tục Trở ngại chính trong phương pháp này là việc tính toán hình chiếu lên một tập lồi bất kỳ không hề đơn giản Đó là một bài toán . dụng phương pháp hàm phạtcho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phânvector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài toán. và duy nhất nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân. Phương pháp chiếu và phương pháphàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân được trình bày tươngứng