Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ ĐIỆP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn "Bài toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp" cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tơi hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Ngồi ra, luận văn tơi sử dụng số kết quả, nhận xét số tác giả khác có thích trích dẫn nguồn gốc.Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến thầy, giáo Khoa Tốn, Phòng Đào tạo Sau đại học, bạn học viên lớp Cao học K25 Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt q trình học tập làm luận văn Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ ĐIỆP ii Danh mục ký hiệu viết tắt R tập số thực ∈ thuộc phần tử tập hợp ∀x x Rn không gian Euclid thực n-chiều H m = không gian Hilbert thực xn → x dãy hội tụ mạnh tới x xn dãy hội tụ yếu tới x x m, m chuẩn vectơ m m, m tích vơ hướng hai vectơ m n H ×H T :A→H P rA (x) tích đề H vào H ánh xạ từ A vào H hình chiếu x lên tập A TAnat ánh xạ giá tự nhiên T A V I(T, A) toán Bất đẳng thức biến phân CP (T, A) toán bù xác định nón A ánh xạ T Sol(T, A) tập nghiệm toán VI (T,A) EP (A, f ) toán cân BV I(T, G, A) toán bất đẳng thức biến phân hai cấp iii Mục lục Lời mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Dự kiến kết nghiên cứu Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert số tính chất 1.2 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương II: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 22 2.2 Thuật toán 25 Kết luận chương 33 Kết luận 34 Danh mục tài liệu tham khảo 35 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân Stampacchia, nhà toán học người Ý đưa từ cuối năm 50 đầu năm 60 kỉ XX Trước hết, ơng đưa tốn khơng gian Rn Bài toán phát biểu sau: Cho A ⊂ Rn tập hợp, T : A → Rn Bài tốn: Tìm x ∈ A cho T (x), x − x ≥ với x ∈ A (1) Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân, x nghiệm (1) Thông thường người ta ký hiệu tốn (VI(T,A)), tiếng anh: Variational inequality Sau toán mở rộng thành trường hợp tổng quát hơn: Cho ϕ : A → R, toán: Tìm x ∈ A cho T (x), x − x + ϕ(x) − ϕ(x) ≥ Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân suy rộng Hiển nhiên toán bao ln tốn tối ưu Tiếp theo tốn mở rộng sang không gian vô hạn chiều áp dụng vào nhiều toán phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic, tốn phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc biên tốn tài chính, tốn giao thơng Trong tốn ta thấy có tập hợp ánh xạ tham gia vào việc phát biểu toán Căn vào ánh xạ, người ta phân thành bất đẳng thức afin bất đẳng thức phi tuyến Ban đầu người ta chứng minh tồn nghiệm toán với giả thiết tính liên tục ánh xạ T tính lồi compact tập A Tiếp theo người ta phát triển toán cho trường hợp không gian vô hạn chiều, trước hết không gian Hilbert Sự tồn nghiệm toán với điều kiện nhẹ hơn: T ánh xạ đơn điệu, A tập lồi, đóng thỏa mãn điều kiện A Ngồi ra, người ta mở rộng toán cho trường hợp liên quan tới ánh xạ đa trị: T : A → 2A , tốn: Tìm x ∈ A, v ∈ T (x) cho v x − x ≥ với x ∈ A Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân đa trị Tới năm 1994, Blum Oettli phát biểu toán điểm cân tổng quát: Cho X không gian vectơ lồi địa phương thực, A ⊂ X tập lồi đóng, khác rỗng ϕ : A × A → R hàm thỏa mãn ϕ(x, x) = với x ∈ A Bài tốn: Tìm điểm x ∈ A cho ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ A Bài toán gọi toán cân Thơng thường người ta ký hiệu tốn (EP(A, ϕ)) Hàm ϕ gọi song hàm Hiển nhiên toán bất đẳng thức biến phân trường hợp đặc biệt toán cân ta đặt ϕ(x, y) = T (x, y − x) Khi ϕ(x, y) ≥ ⇔ T (x, y − x) ≥ Tức nghiệm toán cân hàm ϕ nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Ngồi toán khác toán điểm yên ngựa, toán cân Nash, toán điểm bất động, toán bất đẳng thức biến phân đa trị, trường hợp riêng toán cân Trong thực tế nhiều ta gặp tình giải toán tập nghiệm toán khác Những toán gọi tốn cấp hai Mục đích luận văn viết tổng quan tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, tìm Thuật tốn giải toán bất đẳng thức biến phân cấp hai Việc nghiên cứu tồn nghiệm việc tìm thuật tốn để tìm nghiệm tốn đóng vai trò quan trọng việc đưa tốn học vào giải vấn đề thực tế Chính với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, với gợi ý giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi chọn đề tài: "Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt nghiên cứu phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Đề tài đề xuất phương pháp để giải toán VIEP(T,ϕ,A) trường hợp toán BV I(T, G, A) với ánh xạ giá T đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược Gần đây, toán P.N Anh cộng đưa phương pháp đạo hàm tăng cường [1] Các thuật toán đề xuất cho dạng hiển, hay tốn phụ cần tính tốn phép chiếu điểm tập lồi Tuy nhiên, điểm hạn chế thuật tốn đòi hỏi phải tính tốn thêm vòng lặp bước lặp Điểm phương pháp sử dụng tính chất co ánh xạ Tλ = I˘λF với λ > 0, F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Khi đó, thuật tốn đề xuất đòi hỏi tính tốn phép chiếu bước lặp, thuật tốn có hiệu mặt cấu trúc, tính hội tụ thực thi tính tốn T y, y − x ≥ 0, ∀y ∈ A Vậy tập nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.9) khác rỗng theo Bổ đề 1.4 ta có tập nghiệm lồi compact yếu 21 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Thông thường nghiên cứu tốn tối ưu hai cấp nói chung toán bất đẳng thức biến phân hai cấp nói riêng, người ta quan tâm đến điều kiện tồn nghiệm phương pháp giải tốn Bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp lớp đặc biệt toán bất đẳng thức tựa biến phân [2] toán cân với ràng buộc cân Ngoài chứa đựng số lớp tốn cực tiểu hai cấp, toán bất đẳng thức biến phân [2], tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân [11], mơ hình tốn lồi hai cấp tốn tuyến tính hai cấp, tốn bù hai cấp 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp Cho ánh xạ G : H → H gọi ánh xạ giá, đặt g(u, v) = G(u), v − u ∀u, v ∈ A Khi đó, tốn BEP (g, T, A) phát biểu: Tìm u∗ ∈ Sol(G, A) thỏa mãn T (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ S(G, A) Bài toán thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BV I(T, G, A), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác 22 2.1.1 Trường hợp riêng toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp Ở tốn tìm cực tiểu hàm tập nghiệm toán tối ưu khác Trong thời gian gần đây, có nhiều tác giả đưa phương pháp tìm nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp trường hợp riêng, ví dụ trường hợp ϕ, g hai hàm lồi khả vi, toán BV I(T, G, A) (với T = ∇ϕ, G = ∇g ) có dạng tốn cực tiểu hai cấp f (x) x ∈ argmin{g(x) : x ∈ A} Trong trường hợp đặc biệt t(x) = x với x ∈ a, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) trở thành tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân sau: Tìm x∗ ∈ A cho x∗ = P rSol(G,A) (0) (2.1) 2.1.2 Trường hợp đặc biệt toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp Đây trường hợp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán Bất đẳng thức biến phân Trong số nghiên cứu, Y.Yao [11] giới thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán (2.1) giả thiết tập A ⊆ H tập lồi, đóng, khác rỗng ánh xạ giá G : A → H đơn điệu mạnh ngược với hệ số α Sol(G, A) = Thuật tốn trình bày sau:    x ∈ A y k = P rA (xk − λG(xk ) − αk xk ),   xk+1 = P r xk − λG(xk ) + µ(y k − xk ) , ∀k ≥ A Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ = P rSol(G,A) (0) điều 23 kiện quy tham số Điểm ưu việt thuật toán đạo hàm tăng cường cho phép giải tốn bất đẳng thức biến phân V I(G, A) khơng cần giả thiết đơn điệu mạnh hàm giá G mà cần điều kiện giả đơn điệu liên tục Lipschitz 2.1.3 Phương pháp điểm bất động kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường để giải toán Bất đẳng thức biến phân Gần đây, P.N Anh [2] đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường kết hợp phương pháp điểm bất động ánh xạ không giãn giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) không gian Euclidean Rn Thuật tốn xây dựng hai vòng lặp.Tại bước lặp k vòng lặp ngồi, áp dụng phương pháp đạo hàm tăng cường thường sử dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, tính k - nghiệm toán V I(G, A) Thuật toán gồm bước sau Bước Tính y k = P rA (xk −αk G(xk )) z k = P rA (xk −αk G(y k )) Bước Vòng lặp j = 0, 1, Tính   xk,0 = z k − λT (z k ),     k,j k,j k,j   y = P rA (x − δj G(x )), xk,j+1 = αj xk,0 + βj xk,j + γj P rA (xk,j − δj G(y k,j ))     Nếu xk,j+1 − P rSol(G,A) (xk,0 ) ≤ k đặt hk = xk,j+1    Ngược lại tăng j thêm đến Bước Bước Đặt xk+1 = αk u + βk xk + γk hk Tăng k thêm đến bước Ở đây, hàm giá T đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz G giả đơn điệu, liên tục Lipschitz A, với dãy tham số chọn cách thích hợp Khi đó, dãy lặp {xk } {z k } hội tụ đến điểm x∗ nghiệm toán BV I(T, G, A) Tuy nhiên bước lặp, ta 24 tìm nghiệm xấp xỉ toán bất đẳng thức biến phân 2.1.4 Xây dựng phương pháp chiếu giải toán Bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu xây dựng phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) với điều kiện ánh xạ giá T đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ giá G đơn điệu mạnh ngược Sự hội tụ mạnh dãy lặp thuật tốn phân tích chứng minh phần cuối chương 2.2 Thuật toán Dựa ý tưởng P.N.Anh [2] Y Yao [11], đề xuất phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm phương pháp điểm bất động ánh xạ không giãn Thuật toán gồm hai bước: Thứ nhất, sử dụng phương pháp chiếu đạo hàm giải toán V I(G, A) tính dãy lặp xk+1 = P rC (xk − λG(xk ))(k = 0, 1, ) với λ > x0 ∈ A Phương pháp xây dựng dãy lặp {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán V I(G, A) Ở đây, G liên tục Lipschitz với số L đơn điệu mạnh ngược với hệ số α A, có độ dài bước λ ∈ (0, 2α L2 ) Thứ hai, sử dụng nguyên lý điểm bất động ánh xạ co Banach tìm điểm bất động ánh xạ co Pλ = I − λµF Trong đó, T đơn điệu mạnh với hệ số β liên tục Lipschitz với hệ số L, I ánh xạ đồng nhất, µ ∈ (0, L2β2 ) λ ∈ (0, 1] Các dãy lặp thuật toán trình bày chi tiết sau Bước Chọn x0 ∈ A, k = 0, dãy số dương {αk }, λ, µ thỏa mãn 25   < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = −    ∞ limk→∞ αk = 0, αk = ∞,  k=0   0 < λ < 2η, < µ < 2β L2 − µ(2β − µL2 ), (2.2) Bước Tính y k = P rA (xk − λG(xk )); xk+1 = y k − µαk T (y k ) Nếu xk+1 = xk dừng, xk nghiệm toán Ngược lại, cho k = k + 1, quay trở lại Bước Trong trường hợp T (x) = với x ∈ A, dãy lặp {xk } thuật toán 2.1 xác định xk+1 = P rA (xk − λG(xk )) Định lý hội tụ Ta nhắc lại số bổ đề kỹ thuật dùng để chứng minh hội tụ dãy lặp Thuật toán 2.1 Bổ đề 2.1 ([7]) Cho K : H → H toán tử đơn điệu mạnh với hệ số β liên lục Lipschitz với hệ số L, λ ∈ (0, 1] µ ∈ (0, L2β2 ) Khi đó, ánh xạ P (x) = x − λµK(x) với x ∈ H , thỏa mãn bất đẳng thức: P (x) − P (y) ≤ (1 − λτ ) x − y , ∀x, y ∈ H, với τ = − − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] Chứng minh Trước tiên, ta thấy P (x) − P (y) = (x − λµK(x)) − (y − λµK(y)) ≤ (1 − λ) x − y + λ (x − y) − µ(K(x) − K(y)) (2.3) 26 Do tính chất liên tục Lipschitz đơn điệu mạnh toán tử K , ta có (x − y) − µ(K(x) − K(y)) = x−y − 2µ x − y, K(x) − K(y) + µ2 K(x) − K(y) ≤ x−y − 2µβ x − y 2 + µ2 L2 x − y = (1 − 2µβ + µ2 L2 ) x − y Do đó, (x − y) − µ(K(x) − K(y)) ≤ − 2µβ + µ2 L2 x − y (2.4) Kết hợp (2.4) (2.3) ta P (x) − P (y) ≤ (1 − λ) x − y + λ (1 − 2µβ + µ2 L2 ) x − y ≤ (1 − λ) + λ (1 − 2µβ + µ2 L2 ) x − y ≤ (1 − λτ ) x − y Bổ đề 2.2 ([5]) Trong không gian Hilbert thực H , cho A tập con, lồi, đóng, khác rỗng S : A → H ánh xạ khơng giãn Khi đó, F ix(S) = ∅ I − S (I ánh xạ đồng H ) nửa đóng y ∈ H tức là, với dãy {xk } thuộc A hội tụ yếu đến đểm x ∈ A dãy {(I − S)(xk )} hội tụ mạnh đến y , ta có (I − S)(x) = y Bổ đề 2.3 ([2]) Cho {an } dãy số thực không âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − γn )an + δn , ∀n ≥ với {γn } ⊂ (0, 1) {δn } dãy R thỏa mãn ∞ = ∞, (a) n=0 (b) lim sup γδnn ≤ n→∞ ∞ |δn γn | < +∞ n=0 Khi đó, limn→∞ an = 27 Sau định lý hội tụ mạnh Thuật toán 2.1 Giả sử ánh xạ T G thỏa mãn điều kiện sau đây: (A1 ) G ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η H ; (A2 ) T ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β A liên tục Lipschitz với hệ số L A; (A3 ) Tập nghiệm Ω toán BV I(T, G, A) khác rỗng Bây ta chứng minh định lý hội tụ thuật toán Định lý 2.1 Cho A tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả sử ánh xạ T : A → H G : H → H thỏa mãn giả thiết (K1 ) − (K3 ) Khi đó, dãy {xk } {y k } xác định Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới điểm x∗ ∈ Ω Chứng minh Từ điều kiện (2.2) Thuật toán 2.1, ta xây dựng ánh xạ Sk : H → H sau Sk (x) = P rA (x − λG(x)) − µαk F [P rA (x − λG(x))] , ∀x ∈ H Theo giả thiết G ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η sử dụng tính chất không giãn phép chiếu điều kiện (2.2), với x, y ∈ H , ta có P rA (x − λG(x)) − P rA (y − λG(y)) ≤ x − λG(x) − y + λG(y) 2 = x−y + λ2 G(x) − G(y) ≤ x−y + λ(λ − 2η) G(x) − G(y) − 2λ x − y, G(x) − G(y) ≤ x − y (2.5) Kết hợp 2.5 với Bổ đề 2.1, ta Sk (x) − Sk (y) = P rA (x − λG(x)) − µαk T [P rA (x − λG(x))] − P rA (y − λG(y)) + µαk T [P rC (y − λG(y))] ≤ (1 − αk τ ) x − y , (2.6) 28 với τ = − − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] Do đó, Sk ánh xạ co H Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn điểm bất động ξ k thỏa mãn Sk (ξ k ) = ξ k Khi đó, với xˆ ∈ Sol(G, A), đặt Aˆ = x ∈ H : x − xˆ ≤ µ T (ˆ x) τ , kết hợp với tính chất khơng giãn phép chiếu, suy ánh xạ Sk P rAˆ ánh xạ co H Do vậy, tồn điểm z k thỏa mãn Sk P rAˆ(z k ) = z k Đặt z k = P rAˆ(z k ), từ (2.6) cách đặt ánh xạ Sk , xét z k − xˆ = Sk (z k ) − xˆ ≤ Sk (z k ) − Sk (ˆ x) + Sk (ˆ x) − xˆ = Sk (z k ) − Sk (ˆ x) + Sk (ˆ x) − P rA (ˆ xαk G(ˆ x)) ≤ (1 − αk τ ) z k − xˆ + µαk T [P rA (ˆ x − αk G(ˆ x))] µ T (ˆ x) + µαk T (ˆ x) ≤ (1 − αk τ ) τ µ T (ˆ x) = τ Điều z k ∈ Aˆ Sk P rAˆ(z k ) = Sk (z k ) = z k Do vậy, ξ k = z k ∈ Aˆ Mặt khác, với dãy {ξ ki } dãy {ξ k } thỏa mãn ξ ki ξ limk→∞ αk = 0, ta có P rA (ξ ki − λG(ξ ki )) − ξ ki = P rA (ξ ki − λG(ξ ki )) − Ski (ξ ki ) = µαki T P rC (ξ ki − λG(ξ ki )) → i → ∞ (2.7) Theo (2.5), ánh xạ P rA (· − αk G(·)) không giãn H , kết hợp với Bổ đề 2.2, (2.7) ξ ki ξ , suy P rC A(ξ − λG(ξ ki )) = ξ Vậy ξ ∈ Sol(G, A) Tiếp theo, chứng minh limj→∞ ξ ki = x∗ ∈ Ω Thật vậy, đặt z k = P rA (ξ k − λG(ξ k )), v ∗ = (µF − I)(x∗ ) v k = (µF − I)(z k ), I 29 ánh xạ đồng Khi đó, theo chứng minh Skj (ξ kj ) = ξ kj x∗ = P rA (x∗ − λG(x∗ )) nên ta có (1 − αkj )(ξ kj − z kj ) + αkj (ξ kj + v kj ) = (1 − αkj ) [I − P rA (· − λG(·))] (x∗ ) + αkj (x∗ + v ∗ ) = αkj (x∗ + v ∗ ) Khi −αkj x∗ + v ∗ , ξ kj − x∗ = (1 − αkj ) ξ kj − x∗ − (z kj − x∗ ), ξ kj − x∗ + αkj ξ kj − x∗ + v kj − v ∗ , ξ kj − x∗ (2.8) Theo bất đẳng thức Schwarz, ta có ξ kj − x∗ − (z kj − x∗ ), ξ kj − x∗ ≤ ξ kj − x∗ − z kj − x∗ ≤ ξ kj − x∗ − ξ kj − x∗ ξ kj − x∗ = 0, (2.9) ξ kj − x∗ + v kj − v ∗ , ξ kj − x∗ ≤ ξ kj − x∗ − v kj − v ∗ ξ kj − x∗ ≤ ξ kj − x ∗ − (1 − τ ) ξ kj − x∗ = τ ξ kj − x ∗ (2.10) Kết hợp (2.8), (2.9) (2.10) ta −τ ξ kj − x∗ ≤ x∗ + v ∗ , ξ kj − x∗ = µ T (x∗ ), ξ kj − x∗ = µ T (x∗ ), ξ kj − ξ + µ T (x∗ ), ξ − x∗ ≤ µ T (x∗ ), ξ kj − ξ 30 Vậy τ ξ kj − x∗ ≥ µ T (x∗ ), ξ − ξ kj Cho j → ∞, dãy {ξ kj } hội tụ mạnh đến x∗ Khi tồn dãy {ξ kj } dãy {ξ k } thỏa mãn ≤ lim inf ξ k − x∗ ≤ lim sup ξ k − x∗ = limj→∞ ξ kj − x∗ = k→∞ k→∞ Vậy, dãy ξ k hội tụ mạnh đến điểm x∗ ∈ Ω Mặt khác, theo (2.6), ta xét xk − ξ k ≤ xk − ξ k−1 + ξ k−1 − ξ k = Sk−1 (xk−1 ) − Sk−1 (ξ k−1 ) − + ξ k−1 − ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) xk−1 − ξ k−1 + ξ k−1 − ξ k (2.11) Hơn theo Bổ đề 2.1, ta có ξ k−1 − ξ k = Sk−1 (ξ k−1 ) − Sk (ξ k ) = (1 − αk )z k − αk v k − (1 − αk−1 )z k−1 + αk−1 v k−1 = (1 − αk )(z k − z k−1 ) − αk (v k − v k−1 ) + (αk−1 − αk )(z k−1 + v k−1 ) ≤ (1 − αk ) z k − z k−1 + αk v k − v k−1 + |αk−1 − αk |µ F (z k−1 ) ≤ (1 − αk ) z k − z k−1 + αk − µ(2β − µL2 ) ξ k − ξ k−1 + |αk−1 − αk |µ F (z k−1 ) ≤ (1 − αk ) ξ k − ξ k−1 | + αk − µ(2β − µL2 ) ξ k − ξ k−1 + |αk−1 − αk |µ T (z k−1 ) Vậy ak τ ξ k−1 − ξ k ≤ |αk−1 − αk |µ T (z k−1 ) Suy k x −ξ k µ|αk−1 − αk | T (z k−1 ) ≤ αk τ 31 (2.12) Thế (2.12) vào (2.11), ta k x −ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) x k−1 −ξ k−1 µ|αk−1 − αk | T (z k−1 ) + αk τ Đặt δk = µ|αk − αk+1 | T (z k ) , k ≥ αk αk+1 τ Do xk − ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) xk−1 − ξ k−1 + αk−1 τ δk−1 , ∀k ≥ Vì {T (z k )} bị chặn, giả sử T (z k ) ≤ K với k ≥ 0, ta có µ|αk − αk+1 | T (z k ) limk→∞ δk = limk→∞ αk αk+1 τ µK 1 ≤ limk→∞ − τ αk+1 αk = Do đó, theo Bổ đề 2.3 suy limk→∞ xk − ξ k = Mặt khác, theo chứng minh trên, dãy {ξ k } hội tụ mạnh đến x∗ , suy dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán BV I(T, G, A) Xét trường hợp đặc biệt T (x) = x với x ∈ H Dễ dàng nhận thấy T ánh xạ liên tục Lipschitz với hệ số L = đơn điệu mạnh với hệ số β = H Khi đó, toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) có dạng tốn tìm chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Hệ 2.1 Cho A tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H G : H → H ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η Dãy lặp (xk ) xác định y k = P rA (xk − λG(xk )); xk+1 = (1 − µαk )y k Các tham số thỏa mãn: 32   < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = − |1 − µ|,    − α1k = 0, limk→∞ αk = 0, limk→∞ αk+1 ∞     αk = ∞, < λ ≤ 2η, 0, µ < k=0 Khi đó, dãy {xk } {y k } hội tụ mạnh đến điểm x ˆ = P rSol(G,A) (0) Kết luận Chương Trong chương này, nghiên cứu phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) với giả thiết hàm giá T đơn điệu mạnh với hệ số β , liên tục Lipschitz với hệ số L hàm giá G đơn điệu mạnh ngược với hệ số η A Thuật toán cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường P.N Anh [2] Y.Yao [11] Hạn chế phương pháp đạo hàm tăng cường bước lặp, phải tính hai phép chiếu thay phép chiếu Trong nhiều trường hợp, tập ràng buộc A khơng có cấu trúc đặc biệt (như nửa khơng gian, đơn hình, hay đa diện lồi, ) việc tìm hình chiếu tương ứng với việc giải toán quy hoạch P rA (x) = argminy∈A y − x đó, mặt tính tốn, thuật tốn đạo hàm tăng cường có chi phí lớn dẫn đến chi phí để giải toán lớn số bước lặp k lớn Để khắc phục hạn chế này, kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm giải tốn V I(T, A) tính chất điểm bất động x∗ ánh xạ không giãn để xây dựng thuật toán sử dụng phép chiếu giải toán BV I(T, G, A) Đồng thời chứng minh tính đắn hội tụ tốn thơng qua Định lý 2.1 33 KẾT LUẬN Bài tốn bất đẳng thức biến phân toán tổng quát tiếp cận nhiều hướng khác Luận văn trình bày phương phấp chiếu giải toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp Nội dung trình bày luận văn bao gồm: Nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert ánh xạ, ánh xạ compact, phép chiếu không gian Hilbert Phát biểu toán Bất đẳng thức biến phân, phát biểu, chứng minh số định lý, mệnh đề điều kiện tồn nghiệm toán Bất đẳng thức biến phân Nghiên cứu mở rộng thuật toán chiếu áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân, đề xuất thuật toán giải toán Bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(T, G, A) khơng gian Hilbert thực H Thuật tốn xem kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm phương pháp điểm bất động 34 Danh mục tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] P.N Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, NXB Thông tin Truyền thông, Hà Nội Tiếng Anh [2] P.N.A, J.K Kim, L.D Muu (2012), An extragradient algorithm for solv-ing bilevel pseudomonotone variational inequalities, J Glod Optim 52, tr 627-639 [3] G.L Acedo, H.K Xu (2007), Iterative methods for strict pseudocontractions in Hilbert, Nonl Anal 67, tr 2258-2271 [4] H Brezis (1987), Analyse Fontionnelle: Théorie et Applications, MASSON [5] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, England [6] Hartman, P., and Stampacchia, G., On Some Nonlinear Elliptic Differential Equations, Acta Math (1996), tr 271-310 [7] H Iduka (2009), Strong convergence for an iterative method for the triple-hierarchical constrained optimization problem, Nonl Anal 71, tr 1292-1297 [8] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to varia-tional inequalities and their applications, Academic Press, New York [9] I.V Konnov (1997), A class of combined iterative methods for solving vari-ational inequalities, J Optim Theory Appl 94, tr 677-693 [10] Minty, G., Monotone (Nonlinear) operators in Hilbert space, Duke Math Journal, Vol 29 (1962), tr 341-346 [11] Y Yao, G Marion, L Muglia (2014), A modified Korpelevichs method con-vergent to the minimum-norm solution of a variational inequality, Optim 63, tr 559-569 35 ... nghiệm toán bất đẳng thức biến phân xây dựng thuật tốn tìm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, tìm Thuật tốn giải tốn bất đẳng thức biến phân cấp hai. .. ưu hai cấp nói chung toán bất đẳng thức biến phân hai cấp nói riêng, người ta quan tâm đến điều kiện tồn nghiệm phương pháp giải tốn Bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp lớp đặc biệt toán bất. .. ∀u ∈ S(G, A) Bài toán thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BV I(T, G, A), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác 22