DA MATH121201 laplace

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0000-0016-0006-2015-0000-00 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Cho hàm f(z) = z2 e z Khẳng đònh sau sai? 33 34 C)z = điểm bất thường cốt yếu + + A) f(z) = z2+ 3z + + 2! z.3! z 4! cuûa f(z) B) ∫z e z dz = 9iπ D) ∫z z z e dz = Re s[ z e ,0] z − 2i =5 z − 2i =5 Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ⎤ ⎡ t 5u p−5 e ch4udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎦ p ( p − 5) + 16 ⎣0 ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧cos 6t ⎩0 D) Neáu f (t ) = ⎨ 1 − e− Tp < t < π vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π Câu Khẳng đònh sau sai? T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e− 2πp π − pt cos 6tdt ∫e A) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) C) Chuoãi n +1 + (n + 1) n +1 ( z + 6i ) n có bá n kính hộ i tụ = lim R =2 ∑ n n n →∞ 2n + nn n =1 + n D) Chuỗi n(6i − z ) n có hình tròn hội tụ z − 6i < ∑ + 5n n =1 ∞ ∞ Caâu Cho phương trình vi phân: y’-3y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 16 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-3Y = e −5 p +16 p−2 e −5 p 16 + ( p − 2)( p − 3) p−3 (2) (3) ⎛ 1 ⎞ 16 ⎟⎟ + − ⎝ p −3 p − 2⎠ p −3 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −5 p ⎜⎜ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e 3(t −5) − e 2(t −5 )u (t − 5) +16 e 3t A) Caùch làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? -1- B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) C) L [8t + t e − 2t p 3! + cos 5t ] = + + p ( p − 2) p + 25 ⎡ p − 18 ⎤ D) L ⎣ p − 81⎥⎦ = 6ch9t − 2sh9t -1 ⎢ Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp ñieåm E = {z : z + − i = z − + i }, F = {z : z − − 2i ≤ 4} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm −1 + i − i B) Tập F hình tròn đóng tâm + 2i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F tập bò chặn (tập giới nội) Câu Ảnh đường troøn x + y = qua phép biến hình w = z = u +iv A) đường tròn u2 + v2 = 16 B) đường tròn u2 + v2 = D) đường tròn u2 + v2 = C) đường tròn u2 + v2 = 64 Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) Nếu a cực điểm cấp hai hàm f (z ) Re s[ f ( z ), a ] ≠ C) z = 5i cực điểm cấp hàm f(z) = z + 3e z ( z − 5i) ⎡ z + 3e z ⎤ z + 3e z 5i =2 s i π i Re , dz ⎢ ⎥ = 2πi (1 + 3e ) ∫ ⎣ ( z − 5i ) ⎦ 3i − z =8 ( z − 5i ) Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = + e −iz = u + iv laø: 1− i y y A) u = + e cos x , v = − e sin x C) u = + e − y cos x , v = − e − y sin x B) u = + e y cos x , v = + e y sin x D) u = + e y cos x , v = − e y sin x D) Câu 10 Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khơng khả vi miền D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z − 6i ) Re z − iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Câu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2- ⎧ x'+3 y = với điều kiện x(0) = vaø y(0) = ⎨ − 5t + − = x y ' y e ⎩ Caâu 14 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 7y’ +6 y = + e −6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác đònh giá trò (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn ? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 Caâu 11, caâu 12 Caâu 13, caâu 14 Ngày 12 tháng năm 2015 THÔNG QUA TRƯỞNG NGÀNH -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0000-0016-0006-2015-0000-00 Giám thò Giám thò Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0001-0016-0006-2015-0001-01 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C) L [8t + t e − 2t + cos 5t ] = p 3! + + 2 p ( p − 2) p + 25 ⎡ p − 18 ⎤ D) L -1 ⎢⎣ p − 81⎥⎦ = 6ch9t − 2sh9t Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) Nếu a cực điểm cấp hai hàm f (z ) Re s[ f ( z ), a ] ≠ z + 3e z C) z = 5i cực điểm cấp haøm f(z) = ( z − 5i) ⎡ z + 3e z ⎤ z + 3e z s =2 Re ,5i ⎥ = 2πi (1 + 3e 5i ) π i dz ⎢ ∫ ⎣ ( z − 5i ) ⎦ 3i − z =8 ( z − 5i ) Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = + e −iz = u + iv laø: 1− i A) u = + e y cos x , v = − e y sin x C) u = + e − y cos x , v = − e − y sin x B) u = + e y cos x , v = + e y sin x D) u = + e y cos x , v = − e y sin x D) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích mieàn D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khơng khả vi miền D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z + − i = z − + i }, F = {z : z − − 2i ≤ 4} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm −1 + i − i B) Tập F hình tròn đóng tâm + 2i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F tập bò chặn (tập giới nội) Câu Ảnh đường troøn x + y = qua phép biến hình w = z = u +iv A) đường tròn u2 + v2 = 16 B) đường tròn u2 + v2 = C) đường tròn u2 + v2 = 64 D) đường tròn u2 + v2 = -1- Câu Khẳng đònh sau sai? A) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) C) Chuỗi n +1 + (n + 1) n +1 ( z + 6i ) n có bá n kính hộ i tụ = lim R =2 ∑ n n n →∞ 2n + nn n =1 + n D) Chuoãi n(6i − z ) n có hình tròn hội tụ z − 6i < ∑ + 5n n =1 ∞ ∞ Câu Cho phương trình vi phân: y’-3y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 16 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: e −5 p pY-3Y = +16 p−2 (2) e −5 p 16 + ♦ Giaûi phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= ( p − 2)( p − 3) p−3 (3) ⎛ 1 ⎞ 16 ⎟⎟ + − ⎝ p −3 p − 2⎠ p −3 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −5 p ⎜⎜ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e 3(t −5) − e 2(t −5 )u (t − 5) +16 e 3t C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quaû sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 5u p−5 e ch4udu ⎥ = ⎢ ∫ B) L ⎦ p ( p − 5) + 16 ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Neáu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = − e− Tp ⎧cos 6t ⎩0 D) Neáu f (t ) = ⎨ < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π Caâu 10 Cho haøm f(z) = z ez T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e− 2πp π − pt cos 6tdt ∫e Khẳng đònh sau sai? 3 34 C)z = điểm bất thường cốt yếu + + A) f(z) = z2+ 3z + + 2! z.3! z 4! cuûa f(z) B) ∫z e z dz = 9iπ D) ∫z z z e dz = Re s[ z e ,0] z − i =5 z − 2i =5 PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z − 6i ) Re z − iz coù đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Câu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2- ⎧ x'+3 y = với điều kiện x(0) = vaø y(0) = ⎨ − 5t x y ' y e + − = ⎩ Caâu 14 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phaân y’’ + 7y’ +6 y = + e −6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác đònh giá trò (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 Caâu 11, caâu 12 Caâu 13, caâu 14 Ngày 12 tháng năm 2015 THÔNG QUA TRƯỞNG NGÀNH -3- -4- TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0010-0016-0006-2015-0010-10 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Khẳng đònh sau sai? A) Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) n +1 + (n + 1) n +1 ( z + 6i ) n có bán kính hội tụ R = lim C) Chuoãi ∑ n =2 n n →∞ 2n + nn n =1 + n ∞ D) Chuoãi n(6i − z ) n có hình tròn hội tụ laø z − 6i < ∑ + 5n n =1 ∞ Câu Cho phương trình vi phaân: y’-3y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 16 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-3Y = e −5 p +16 p−2 (2) e −5 p 16 + ( p − 2)( p − 3) p−3 (3) ⎛ 1 ⎞ 16 ⎟⎟ + − ⎝ p −3 p − 2⎠ p −3 ♦ Phaân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −5 p ⎜⎜ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e 3(t −5) − e 2(t −5 )u (t − 5) +16 e 3t A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 5u p−5 B) L ⎢ ∫ e ch4udu ⎥ = p ( p − 5) + 16 ⎦ ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Nếu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧cos 6t D) Nếu f (t ) = ⎨ ⎩0 < t < π 1 − e− Tp T ∫e ) − pt f (t ) dt vaø f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π − e− 2πp π − pt cos 6tdt ∫e Câu Cho hàm f(z) = z2 e z Khẳng đònh sau sai? 33 34 C)z = điểm bất thường cốt yếu + + A) f(z) = z2+ 3z + + 2! z.3! z 4! cuûa f(z) B) ∫z e z dz = 9iπ D) ∫z z z e dz = Re s[ z e ,0] z − 2i =5 z − 2i =5 Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? -1- B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) C) L [8t + t e − 2t p 3! + cos 5t ] = + + p ( p − 2) p + 25 ⎡ p − 18 ⎤ D) L ⎣ p − 81⎥⎦ = 6ch9t − 2sh9t -1 ⎢ Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) Nếu a cực điểm cấp hai hàm f (z ) Re s[ f ( z ), a ] ≠ C) z = 5i cực điểm cấp hàm f(z) = z + 3e z ( z − 5i) ⎡ z + 3e z ⎤ z + 3e z 5i s i =2 Re , π i dz ⎢ ⎥ = 2πi (1 + 3e ) ∫ ⎣ ( z − 5i ) ⎦ 3i − z =8 ( z − 5i ) Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = + e −iz = u + iv laø: 1− i y y A) u = + e cos x , v = − e sin x C) u = + e − y cos x , v = − e − y sin x B) u = + e y cos x , v = + e y sin x D) u = + e y cos x , v = − e y sin x D) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích miền D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khơng khả vi miền D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z + − i = z − + i }, F = {z : z − − 2i ≤ 4} Khaúng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm −1 + i − i B) Tập F hình tròn đóng tâm + 2i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F tập bò chặn (tập giới nội) Câu 10 Ảnh đường troøn x + y = qua phép biến hình w = z = u +iv A) đường tròn u2 + v2 = 16 B) đường tròn u2 + v2 = C) đường tròn u2 + v2 = 64 D) đường tròn u2 + v2 = PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm soá f ( z ) = ( z − 6i ) Re z − iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Caâu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2- ⎧ x'+3 y = với điều kiện x(0) = y(0) = ⎨ − 5t + − = x y ' y e ⎩ Câu 14 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 7y’ +6 y = + e −6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác đònh giá trò (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn ? Ghi : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 Caâu 11, caâu 12 Caâu 13, caâu 14 Ngày 12 tháng năm 2015 THÔNG QUA TRƯỞNG NGÀNH -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0010-0016-0006-2015-0010-10 Giám thò Giám thò Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Đề thi gồm trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 0011-0016-0006-2015-0011-11 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn câu A, B, C, D điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM trang 6) Câu Ảnh đường troøn x + y = qua phép biến hình w = z = u +iv A) đường tròn u2 + v2 = 16 B) đường tròn u2 + v2 = C) đường tròn u2 + v2 = 64 D) đường tròn u2 + v2 = Câu Trong mặt phẳng phức cho tập hợp điểm E = {z : z + − i = z − + i }, F = {z : z − − 2i ≤ 4} Khẳng đònh sau sai? A) Tập E đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm −1 + i − i B) Tập F hình tròn đóng tâm + 2i bán kính C) Các tập E F tập liên thông D) Hai tập E F tập bò chặn (tập giới nội) Câu Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) a, b số Khẳng định sau sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C) L [8t + t e − 2t + cos 5t ] = p 3! + + 2 p ( p − 2) p + 25 ⎡ p − 18 ⎤ D) L -1 ⎢⎣ p − 81⎥⎦ = 6ch9t − 2sh9t Câu Khẳng đònh sau sai? A) Nếu a điểm bất thường cô lập hàm f(z) lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = A z →a z →a (với ≠ A ≠ ∞ ) a cực điểm cấp m hàm f(z) B) Nếu a cực điểm cấp hai hàm f (z ) Re s[ f ( z ), a ] ≠ C) z = 5i cực điểm cấp hàm f(z) = z + 3e z ( z − 5i) ⎡ z + 3e z ⎤ z + 3e z s =2 Re ,5i ⎥ = 2πi (1 + 3e 5i ) π i dz ⎢ ∫ ⎣ ( z − 5i ) ⎦ 3i − z =8 ( z − 5i ) Câu Phần thực phần ảo hàm phức f ( z ) = + e −iz = u + iv laø: 1− i A) u = + e y cos x , v = − e y sin x C) u = + e − y cos x , v = − e − y sin x B) u = + e y cos x , v = + e y sin x D) u = + e y cos x , v = − e y sin x D) Câu Khẳng định sau sai? A) Nếu hàm u(x,y) v(x,y) điều hòa thỏa điều kiện Cauchy – Reimann miền D f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích mieàn D B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi miền D hàm u(x,y), v(x,y) khơng khả vi miền D C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi điểm z = xo+iyo hàm u(x,y), v(x,y) khả vi thỏa điều kiện Cauchy – Reimann (xo,yo) D) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hòa miền D f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích D -1- Câu Cho hàm f(z) = z ez Khẳng đònh sau sai? 3 34 C)z = điểm bất thường cốt yếu + + A) f(z) = z2+ 3z + + 2! z.3! z 4! cuûa f(z) B) ∫z e z dz = 9iπ D) ∫z z z e dz = Re s[ z e ,0] z − 2i =5 z − 2i =5 Câu Giả sử L [f(t)] = F(p) Khẳng định sau sai? ⎤ ⎡ t 5u p−5 B) L ⎢ ∫ e ch4udu ⎥ = p ( p − 5) + 16 ⎦ ⎣0 ⎡t ⎤ F ( p) A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ = p ⎣0 ⎦ ( C) Neáu f(t) hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T L [f(t)] = ⎧cos 6t D) Neáu f (t ) = ⎨ ⎩0 1 − e− Tp < t < π f(t+2π) = f(t) L [f(t)] = π < t < 2π Caâu Khẳng đònh sau sai? T ∫e ) − pt f (t ) dt 1 − e− 2πp π − pt cos 6tdt ∫e A) Baùn kính hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) B) Hình tròn hội tụ chuỗi lũy thừa (nếu có) n +1 + (n + 1) n +1 ( z + 6i ) n C) Chuỗi ∑ n có bán kính hội tụ laø R = lim =2 n n →∞ 2n + nn n =1 + n ∞ D) Chuoãi n(6i − z ) n có hình tròn hội tụ z − 6i < ∑ + 5n n =1 ∞ Câu 10 Cho phương trình vi phân: y’-3y = u(t-5) e ( t −5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 16 Để giải phương trình vi phân ta làm sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: ♦ Giải phương trình (2) với Y ẩn ta : Y= pY-3Y = e −5 p +16 p−2 e −5 p 16 + ( p − 2)( p − 3) p−3 (2) (3) ⎛ 1 ⎞ 16 ⎟⎟ + − ⎝ p −3 p − 2⎠ p −3 ♦ Phân tích vế phải (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = e −5 p ⎜⎜ ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm: y = (e 3(t −5) − e 2(t −5 )u (t − 5) +16 e 3t C) Cách làm sai, tính toán sai, kết sai D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết sai A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết sai PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1 điểm) Tìm tất điểm mặt phẳng phức mà hàm số f ( z ) = ( z − 6i ) Re z − iz có đạo hàm tính đạo hàm hàm số điểm Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Câu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2- ⎧ x'+3 y = với điều kiện x(0) = vaø y(0) = ⎨ − 5t x y ' y e + − = ⎩ Caâu 14 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 7y’ +6 y = + e −6t với điều kiện y(0) = y’(0) = Tính lim y (t ) dựa vào kết xác đònh giá trò (gần đúng) y (t ) sau khoảng thời gian t t → +∞ đủ lớn ? Ghi chuù : Cán coi thi không giải thích đề thi CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 Từ câu đến câu 10 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 Caâu 11, caâu 12 Caâu 13, caâu 14 Ngày 12 tháng năm 2015 THÔNG QUA TRƯỞNG NGÀNH -3- -4- -5- Họ, tên sinh viên: TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN Mã số sinh viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang 6, 5, 4,3 Đối với hệ phương trình đại Mã đề: 0011-0016-0006-2015-0011-11 Giám thò Giám thò Giáo viên chấm thi 1&2 số tuyến tính cần ghi kết vào làm mà không cần trình bày cách giải ĐIỂM Sinh viên nộp lại đề thi với làm BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN -6- 10 ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 16/6/2015) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0011-0016-0006-2015-0011-11 Câu hỏi Trả lời C D C B Mã đề: 0000-0016-0006-2015-0000-00 Câu hỏi Trả lời D B C A Mã đề: 0001-0016-0006-2015-0001-01 Câu hỏi Trả lời C B A B Mã đề: 0010-0016-0006-2015-0010-10 Câu hỏi Trả lời C A B D 10 A B D B C A 10 C D C B A B 10 D C C A B D 10 C B A B D C BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu hỏi Câu 11 điểm Nội dung Điểm Tập xác đònh hàm số C f ( z ) = ( z − 6i ) Re z − iz = ( x + iy − 6i ) x − i ( x + iy ) = ( x + y ) + i ( xy − x ) 424 1424 u 0,25đ v Các đạo hàm rieâng u x' = x, u 'y = , v x' = y − 7, v 'y = x liên tục R2 nên u, v khả vi treân R2 = C (1) ⎧⎪ u x' = v 'y ⎧ 2x = x ⎧x = ⇔ ⇔ Điều kiện (C-R): ⎨ ' (2) ⎨ ⎨ ' ⎪⎩u y = −v x ⎩1 = − y ⎩y = Hàm số có đạo hàm hàm số khả vi (3) Từ (1),(2) (3) suy tập tất điểm hàm số có đạo hàm {6i} f ' (6i ) = u x' (0,6) + iv x' (0,6) = × + i (6 − 7) = − i Caâu 12 p dụng tích chập, phương trình viết lại y (t ) = sin 2t + y (t ) * cos t Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính đònh lý Borel ta -1- 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 1ñ Y= 2 p + 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y = +2Y p +4 p +4 p +1 Giải phương trình với Y ẩn ta Y= 0.5đ 2( p + 1) A( p − 1) + B Cp + D = + 2 ( p − 1) ( p + 4) ( p − 1) p +4 Biến đổi Laplace ngược hai vế ta nghiệm y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A p 1 +B +C +D ] p −1 p +4 p +4 ( p − 1) ⇔ y (t ) = Ae t + Bte t + C cos 2t + D sin 2t 0.5đ Tìm A, B, C dựa vào đẳng thức 2( p + 1) A( p − 1) + B Cp + D = + 2 ( p − 1) ( p + 4) p +4 ( p − 1) 12 12 A= , B= , , C=− D= 25 25 25 Vậy nghiệm phương trình tích phân y (t ) = 12 t t 12 e + te − cos 2t + sin 2t 25 25 25 Câu 13 1.5đ Đặt X = L [x], Y = L [y]; biến đổi Laplace hai vế ta được: ⎧ pX + 3Y = ⎪ L [x ′] + 3L [ y ] = L [3] ⎧ ⎪ p ⇔⎨ ⎨ −5t ⎩L [x ] + L [y ′] − 2L [ y ] = L e ⎪ X + ( p − 2)Y = ⎪⎩ p+5 ⎧ p + p − 30 A B C D = X = + + + ⎪⎪ p( p + 1)( p − 3)( p + 5) p p + p − p + ⇔⎨ p − p − 15 E F G H ⎪Y = = + + + ⎪⎩ p ( p + 1)( p − 3)( p + 5) p p + p − p + [ ] Biến đổi ngược hai vế ta được: ⎧ x = L −1 [ A + B ⎪ ⎧x = L [X ] p ⇔ ⎪⎨ ⎨ −1 y = L [Y ] ⎩ ⎪ y = L −1 [ E + F ⎪⎩ p −t 3t −5t ⎧ ⇔ ⎨ x = A + Be −t + Ce 3t + De −5t ⎩ y = E + Fe + Ge + He −1 0.5ñ 0.5ñ 1 +C +D ] p +1 p −3 p+5 1 +G +H ] p +1 p −3 p+5 0.5đ ♦ Tìm A, B, C , D dựa vào p + p − 30 A B C D = + + + p( p + 1)( p − 3)( p + 5) p p + p − p + × + × − 30 3(−1) + × (−1) − 30 − 33 = A= = 2, B = , − 1(−1 − 3)(−1 + 5) (0 + 1)(0 − 3)(0 + 5) 14 C= × + × − 30 × (−5) + × (−5) − 30 = =− , D= − 5(−5 + 1)(−5 − 3) 3(3 + 1)(3 + 5) 32 32 ♦ p − p − 15 E F G H = + + + Tìm E , F , G , H dựa vào: p( p + 1)( p − 3)( p + 5) p p + p − p + -2- − × − 15 (−1) − × (−1) − 15 11 E= = 1, F = =− (0 + 1)(0 − 3)(0 + 5) − 1(−1 − 3)(−1 + 5) 16 − × − 15 (−5) − × (−5) − 15 =− , H = =− − 5(−5 + 1)(−5 − 3) 3(3 + 1)(3 + 5) 32 32 33 −t 3t −5t ⎧ ⎪ x = − 16 e + 32 e − 32 e Vậy nghiệm hệ phương trình vi phân ⎨ 11 5 ⎪ y = − e − t − e 3t − e − t 16 32 32 ⎩ G= Câu 14 1,5đ Đặt Y = Y ( p ) = L [y(t )] Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: p 2Y − py (0) − y ' (0) + 7( pY − y (0) ) + 6Y = L [3 + e −6t ] 0.5ñ ⇔ Y ( p + p + 6) = ⇔Y= p + p + 18 p ( p + 1)( p + 6) p+6 A B C ( p + 6) + D + = + p p +1 ( p + 6) 0.25đ Biếi đổi Laplace ngược hai vế áp dụng tính chất tuyến tính ta y (t ) = L −1 [Y ] = L −1 [ A 1 1 +B +C +D ] p p +1 p+6 ( p + 6) 0.5ñ ⇔ y (t ) = A + Be − t + Ce −6t + Dte −6t lim y (t ) = A = t → +∞ 1 (tính A bên dưới) nên sau khoảng thời gian t đủ lớn y (t ) ≈ 2 Tìm A, B, C , D dựa vào đẳng thức: (*) A B p + 18 C ( p + 6) + D + = + p p +1 p ( p + 1)( p + 6) ( p + 6) × (−6) + 18 × + 18 × ( −1) + 18 14 A= , D= =− = , B= =− 2 − 6(−6 + 1) 25 (0 + 1)(0 + 6) − 1( −1 + 6) C (−2 + 6) + D A B + Cho p = −2 : + = 16 − − + (−2 + 6) Suy C = 50 14 Vậy nghiệm phương trình vi phân y (t ) = − e −t + e −6t − te −6t 25 50 *** HẾT*** -3- 0.25đ ... Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Câu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân -2-... viên: ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Số báo danh (STT): Phòng thi: ………… Thời gian : 90 phút (16/6/2015) Lưu ý: Sinh viên làm thi trang... Câu 12 (1điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân t y(t)= sin 2t + ∫ y (u ) cos(t − u )du Caâu 13 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân