Về một lược đồ đối ngẫu trong tối ưu dạng phân thức tuyến tính

Bài viết trình bày một lược đồ đối ngẫu của bài toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính do Seshan đề xuất. Điểm đặc biệt của lược đồ đối ngẫu này là bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có cùng hàm mục tiêu.

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 23 (48) - Thaùng 12/2016 Về lược đồ đối ngẫu tối ưu dạng phân thức tuyến tính A note on duality in linear fractional programming ThS Huỳnh Khoa Trường THPT Nguyễn Thị Diệu Huynh Khoa, M.Sc Nguyen Thi Dieu High School Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi quan tâm đến lược đồ đối ngẫu tốn tối ưu dạng phân thức tuyến tính Seshan [12] đề xuất Điểm đặc biệt lược đồ đối ngẫu toán gốc toán đối ngẫu có hàm mục tiêu Mặc dù lược đồ thu hút quan tâm khảo cứu lại tài liệu, bước để dẫn đến hình thành lược đồ dường chưa làm rõ Mục đích báo rõ rằng, lược đồ đối ngẫu nhận từ phép biến đổi CharnesCooper phép biến đổi Dinkelbach Ví dụ minh họa giới thiệu Từ khóa: đối ngẫu Seshan, phương pháp Charnes - Cooper, phương pháp Dinkelbach Abstract We are interested in the duality scheme of a linear fractional programming problem proposed by Seshan The specification of the duality scheme is that the dual problem and the primal problem have the same objective functions Despite having academic attentions and having been studied in literature, the motivation for the scheme is not clear The aim of this paper is to show that the duality scheme can be obtained based on the Charnes-Cooper and Dinkelbach transformations An example is given Keywords: Seshan’s duality, Charnes – Cooper method, Dinkelbach method  c1   d1      c2  d  c  , d             cn   dn  Phần giới thiệu Bài toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính nhiều nhà toán học quan tâm từ sớm [14], [8], [7], [5] Như mở rộng tự nhiên tốn tối ưu dạng tuyến tính, người ta quan tâm dạng tốn tối ưu phân thức tuyến tính sau cT x  c0 (P)Max F ( x)  T (1.1) d x  d0 Đ.k Ax  b, x  0,  b1    b vectơ cột gồm n thành phần; b         bm  vectơ cột gồm m thành phần; c0 , d0 (1.2) số, A ma trận cấp m  n (1.3) 155 ( m  n , hạng A m) Từ toán (P), mẫu thức số, ta có tốn quy hoạch tuyến tính thơng thường Tuy nhiên mẫu thức khơng hàm số hàm mục tiêu thường khơng lồi Điều có nghĩa, tốn tối ưu dạng phân thức tuyến tính tốn tối ưu khơng lồi Có nhiều phương pháp giải tốn tổng hợp giới thiệu tài liệu [3], [11] Hơn nhiều lược đồ đối ngẫu cho tốn tối ưu dạng phân thức tuyến tính thiết lập [1], [13], [6], [7], [2], [12] Chúng ta biết rõ rằng: tối ưu tuyến tính, đối ngẫu tốn tối ưu tuyến tính có dạng tốn tối ưu tuyến tính Câu hỏi đặt cho toán (P) nêu trên: Có hay khơng lược đồ đối ngẫu tốn tối ưu dạng phân thức tuyến tính mà tốn đối ngẫu dạng phân thức tuyến tính? Theo hiểu biết chúng tôi, tất lược đồ đối ngẫu áp dụng cho toán phân thức tuyến tính, có lược đồ đối ngẫu Seshan [12] đưa vào năm 1980 trả lời câu hỏi nêu Từ toán (P), báo [12], năm 1980, Seshan giới thiệu toán đối ngẫu (P) sau: cT u  c0 (D) Min I (u, v)  T (1.4) d u  d0 qua lược đồ đối ngẫu cải biên, định lí đối ngẫu yếu đối ngẫu mạnh thiết lập Hơn nữa, đặc trưng tập nghiệm (P) giới thiệu Lược đồ đối ngẫu nói tổng hợp giới thiệu tài liệu [3] Mặc dù lược đồ đối ngẫu Seshan thu hút quan tâm, bước tiến hành xây dựng toán đối ngẫu Seshan dường chưa làm rõ câu hỏi sở để hình thành tốn đối ngẫu Seshan bỏ ngỏ nhiều năm Năm 2010, báo số [4], tác giả làm rõ số lược đồ đối ngẫu tương đương toán (P) Đặc biệt tác giả lược đồ đối ngẫu (P) Gol'stein đề nghị báo số [9] dẫn tới đối ngẫu Seshan thơng qua hàm Lagrange thích hợp dạng phân thức phép biến đổi Charnes-Coopper Mục đích nghiên cứu đưa lời giải thích hình thành tốn đối ngẫu mà Seshan giới thiệu [12] Bằng cách tiếp cận toán đối ngẫu theo kiểu biến đổi Charnes - Cooper [10] theo kiểu biến đổi Dinkelbach [3], chúng tơi đưa giải thích hợp lý cho việc hình thành lược đồ đối ngẫu Seshan Chú ý rằng, sử dụng biến đổi Charnes-Cooper để đến lược đồ đối ngẫu Seshan, cách tiếp cận không trùng lặp với hướng tiếp cận Gol'strein mà báo [4] bình luận Trong phần lại báo này, phần dành cho số kết biết để phục vụ cho chứng minh báo Trong phần cuối cùng, phần báo, chúng tơi nêu hai cách tiếp cận để giải thích hình thành toán đối ngẫu giới thiệu [12] Một ví dụ Đ.k c  d T u   d  cT u   AT v  c0 d  d0 c, (1.5) c0 d T u  d0 cT u  bT v  0, (1.6) u  0, v  (1.7) Với toán này, định lý đối ngẫu yếu đối ngẫu mạnh cho toán (P) thiết lập Năm 2006, T.Q Sơn báo [2] quan tâm đến lược đồ Bằng cách điều chỉnh miền chấp nhận tốn (P) cách thích hợp, thông 156 z   zn1   giới thiệu để minh họa cho kết nghiên cứu Các kí hiệu kiến thức  Kí hiệu X  x  n Theo quy tắc đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính thơng thường, ta thu tốn đối ngẫu (L1) có dạng: (DL1) Min H     T g  Ax  b, x  tập chấp nhận toán (P) Giả sử d T x  d0  với x  X , tập X Đ k i  0, i  1, m , m1  , bị chặn hàm mục tiêu F toán (P) khơng phải hàm X Kí hiệu Y tập chấp nhận toán (D) giả sử d T u  d0  với  T B  hT ,  1    ,     m      m 1   u, v   Y Từ toán (P), cách sử dụng phép đổi biến Charnes – Cooper [3], đặt t  T y  tx ta thu d x  d0 tốn quy hoạch tuyến tính có dạng (L1) Max G  y, t   cT y  c0 t (2.8) Đ k Ay  bt  0, (2.10) y  0, t  (2.11) có  A b  thành phần, B   T  ma d d0  trận cấp  m  1   n  1  m  1 Với tốn phân thức tuyến tính (P), giả sử d T x  d0  với x  X (2.9) d T y  d0 t  , 0   g   0   1 Đặt f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 Chúng quan tâm bổ đề sau : Bổ đề 2.1 Hàm E     max  f  x    g  x  ,   Kí hiệu F1 tập chấp nhận (L1) xX  c1   y1        Bằng cách đặt h  , z   ,  cn   yn       t   c0  hàm giảm Chứng minh Lấy 1 , 2 cho 2  1 Ta có E  2   max  f  x   2 g  x   xX  d1    k    , A  [ A  b] ma trận cấp  dn     d0   f  x2   2 g  x2   f  x2   1 g  x2   max  f  x   1 g  x    E  1  xX m   n  1 với cột thứ  n  1 b , Vậy E    hàm giảm toán (L1) viết gọn lại sau : Max hT z Định lí sau thiết lập mối liên hệ tốn phân thức tuyến tính tốn quy hoạch tuyến tính tham số Định lí 2.1 ([3], trang 88) Với Đ k Az  0, kT z  , 157 f  x   cT x  c0 , g  x   d T x  d0 , giả sử E  1   E    max  x1  x2  xX X   g  x   với x  X Khi Khi E  1   Đặt 2  x0  X nghiệm tối ưu (P) max  f  x   0 g  x   E  0   0, 0  f  x0  g  x0  Do E    hàm giảm, áp dụng định lí Do 2  2.1 nghiệm tối ưu (P) tìm dựa vào thuật toán sau (xem [3], trang 88): Bước 1: Với   1  , tìm x1 xX f  x1  g  x1  Bước 2: Tìm x2 nghiệm toán E  2   max  f  x   2 g  x  Đặt xX f  x2  g  x2  x  X Khi đó, tốn (P) có nghiệm tốn (L1) có nghiệm chúng có chung giá trị tối ưu Chứng minh Lấy x* nghiệm (P) Đặt t *  T * y*  t * x* Khi d x  d0 Bước 3: Tương tự Bước tiếp tục Dừng lại E  k   Khi ta tìm xk 1 nghiệm (P) k giá trị tối ưu (P) Ví dụ 2.1 Xét tốn Max F ( x)  (P1)  y* , t *   F1 Thật x1  x2 x1  x2  Ay*  bt *  t * Ax*  bt *  t *  Ax*  b   0, d T y*  d0 t *  d T t * x*  d0 t *  t *  d T x*  d0   1, Đ.k x1  x2  1, y*  0, t *  Ta có x1 , x2  Kí hiệu X tập chấp nhận (P1) * T * cT y*  c0 t * cT t * x*  c0 t * t  c x  c0  (3.12)  T *  T * d T x*  d d x  d0 d x  d0 E     max  x1  x2    x1  x2  1 xX 1: giá trị tối ưu (P1) 0 X    nghiệm (P1) 1  Nội dung 3.1 Đối ngẫu Seshan nhận từ biến đổi Charnes – Cooper Theo phương pháp đổi biến Charnes – Cooper, toán (P) (L1) tương đương Bổ đề 3.1 Giả sử d T x  d0  với nghiệm toán E  1   max f  x  Bước  1   E  2   E    max  x1  x2   x1  x2  1  xX 2     1 1  max   x1  x2    xX 2 2  xX 3  g  X1  Bước : Đặt 2  f  X1    1  , chọn Vì x* nghiệm tối ưu (P) nên 0 X    nghiệm toán 1  cT x*  c0 cT x  c0 với x  X (3.13)  d T x*  d d T x  d 158  y, t   F1 Với   t  (do Như y, t nghiệm (L1) d x  d0  với x  X ) T y nghiệm (P) t x  y Khi x  X Thật vậy, t  y, t   F1 nên Đặt x   F x  cT x  c0 d T x  d0    cT t x  c0 t  cT y  c0 t  G y, t Chú ý với quy tắc đối ngẫu y  b   Ax  b tốn quy hoạch tuyến tính thơng t thường, ta thu toán đối ngẫu x  Từ (3.12), (3.13), ta có (L1) sau: cT y*  c0 t * * T  t c y  c t ,  y , t  F     (DL1) Min H     T g d T x*  d Đ k i  0, i  1, m , hay T * * T c y  c0t  c y  c0t ,   y, t   F1 m1  , Ay  bt   A  y ,t  * Suy *  T B  hT , nghiệm tối ưu  1    ,     m      m 1  (L1) cT x *  c G  y* , t *   cT y*  c0 t *  cT t * x*  c0 t *  T *  F  x*  d x  d0 Ngược lại, lấy  y, t  nghiệm (L1), tức  A b  thành phần, B   T  ma d d0  trận cấp  m  1   n  1 T y không nghiệm t (P) Khi tồn x0  X cho Giả sử x  Từ toán (DL1), gọi vectơ  1    cột thứ i ma trận A, 1, n Đặt        m   m1 Khi đó: cT x0  c0 cT x  c0  d T x0  d0 d T x  d cT x  c0 Do Nên d x  d0 T  cT y  c0 t , Như  B  hT  AT    d  c bT    d0  c0 T y0  t0 x0 Khi d x0  d Mặt khác,  T g  m1   Bài toán T cT x0  c0  cT y0  c0 t0 , T d x0  d0 Do  T B   a1T    d1 , , anT    dn , bT    d0  cT x0  c0  cT y  c0 t T d x0  d Đặt t0  có  m  1 c y  d0 t  c y  d0 t ,   y, t   F1 T 0   g   0   1 (DL1) tốn sau đây: ( Q ) Min   y0 , t0   F1 cT y0  c0 t0  cT y  c0 t   (mâu thuẩn y, t nghiệm (L1) ) 159 (3.14) Đ k AT   c   d , (3.15) bT   c0   d0  0, (3.16)   0,   m toán quy hoạch tuyến tính 3.2 Đối ngẫu Seshan nhận từ biến đổi Dinkelbach Dựa vào định lí 2.1, tốn (P) tương đương với toán (L2) Max cT x  c0    d T x  d0  (3.17) Ta rằng, toán ( Q ) biến đổi thành tốn đối ngẫu Seshan Thật vậy, với d T u  d0  với u  đặt   cT u  c0 , v  (d T u  d0 ) d T u  d0 Đ k Ax  b , x  Ta có : AT   c   d  giá trị tối ưu (P) giá trị tối ưu (L2) Chú ý xếp lại hàm mục tiêu tốn (L2) viết lại sau:   AT    d  c   A v    d  c   d u  d0  T T   d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   c   d   d T u  d    d T u  c   cT u  d  AT v   d T u  c   cT u  d   d T u  c  d c   cT u  c0  d   d T u  c   cT u  d  AT v  c0 d  d c Max {(c-d )T x  c0  d0 } Nhận xét 3.1: Ràng buộc (1.5) tương đương ràng buộc (3.15) Hơn nữa, ta có Đ.k Ax  b, x  Giả sử x nghiệm tối ưu (L2) Bài toán (L2) toán dạng quy hoạch tuyến tính Theo quy tắc đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính, ta xác định tốn đối ngẫu (L2) có dạng: bT   c0   d0    d T u  d0  bT   c0  d T u  d0   d0  cT u  c0    bT v  c0 d T u  d cT u  Nhận xét 3.2: Ràng buộc (1.6) tương đương ràng buộc (3.16) Nhận xét 3.3: Ngoài ra, cách đặt  1         m (DL2) nên   v  (d u  d0 ) T  Min bT   c0  d0  Đ.k AT   c  d ,   0,   nên v  Nhận xét 3.4: Do Nhận xét 3.1, m Giả sử v nghiệm tối ưu (DL2) Kí hiệu F2 tập chấp nhận T 3.2, 3.3 với cách đặt   cT u  c0 , d u  d0 (DL2) Bổ đề 3.2: Hàm số R( ) = Min bT   c0   d0 | AT   c   d ,   0,   toán ( Q ) tương đương với tốn (D) Tóm lại, từ Bổ đề 3.1, kết hợp với nhận xét 3.1, 3.2 3.3 với cách đặt cT u  c0  T , ta thấy toán đối d u  d0 ngẫu Seshan tương đương với toán mà tốn lại nhận từ toán (P) cách kết hợp phép đổi biến Charnes-Cooper với phép lấy đối ngẫu m  m  hàm giảm Chứng minh Giả sử 2  1 Ta có: R( 2 ) = Min bT   c0  2 d0 | AT   c  2 d ,   0,   = bT v  c0  2 d0 Khi đó, theo quy tắc đối ngẫu (L2) (DL2) ta có: R(2 )  Max{(c  2 d )T x  c0  2 d0 | Ax  b, x  0} 160 = (c  2 d )T x  c0  2 d0 đương với toán ( Q )  (c  1d )T x  c0  1d0 Tóm lại: từ Bổ đề 3.3, kết hợp với Nhận xét 3.4 3.5 ta thấy tốn đối ngẫu Seshan nhận từ toán (P) cách kết hợp phép đổi biến Dinkelbach với phép lấy đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính Ví dụ 3.1 Xét tốn x  x2 (P1) Max F(x)= x1  x2   Max{(c  1d )T x  c0  1d0 | Ax  b, x  0}  Min bT   c0  1d0 | AT   c  1d ,   0,   m  = R(1 ) Do R( ) hàm giảm Bổ đề 3.3: Giả sử  giá trị tối ưu (P) Khi v nghiệm (DL2) ( v ,  ) nghiệm ( Q ) Đ.k x1  x2  , x1 , x2  Chứng minh Lấy v nghiệm (DL2) Khi đó: Ký hiệu X   x   x1  | x1  x2  1, x1 , x2  0 x b v  c0  d0  , T  A v  c  d v  Do R( )  (v,  )  F2 Với ,    F2 R( )   R( )  R( )     Vậy  giá trị tối ưu ( Q ), tức ( v ,  ) nghiệm ( Q )  u1 , u2 , v  Ký hiệu Y = (u, v) |  u1  u2  v  0, v  1, u  (u1 , u2 )  0, v  AT v  c  d v  Vì  giá trị tối ưu (P) nên   u1  u2  v  0, bT v  c0  d0  0,  tập chấp nhận (D1) Giá trị tối ưu (D1) Sol (D1) = (u,1) | u  (u1 , u2 )  0, u1  u2  1  b   co  d0  F2 Đ.k v  1, Ngược lại, lấy ( v ,  ) nghiệm ( Q ), ta có: T  tập chấp nhận (P1) Giá trị tối ưu (P1)    x1   Sol (P1)    | x1  x2  1, x1 , x2      x2   Bài tốn đối ngẫu Seshan (P1) có dạng: u  u2 (D1) Min I (u, v)  u1  u2  T Mặt khác, bT v  c0  d0  bT   co  d0   F2 Do Theo hướng tiếp cận Charnes – Cooper, (P1) đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính thơng thường sau, ký hiệu (L3): bT v  c0  d0  Như v nghiệm tối ưu (DL2) Nhận xét 3.5: Bài toán (DL2) tương 161 Max G( y, t )  y1  y2 (L4) Đ.k y1  y2  t  0, x1 , x2  y1 , y2 , t   giá trị tối ưu (P1) Ta tìm giá trị tối ưu (P1)   (xem ví dụ 2.1) nên 1 1 (L4) Max  ( x1  x2 )   2 2 Sol (L3) = ( y1 , y2 , ) | y1  y2  , y1 , y2  0  Theo quy tắc đối ngẫu thông thường, ta xác định toán đối ngẫu (L3), ký hiệu (DL3): Min H (l )  l T g  l2 Đ.k l1  0, Đ.k x1  x2  1; l1  l2  0, x1 , x2  l1  l2  Bài toán đối ngẫu (L4) có dạng: 1  (DL4) Min    2  Đ.k   ,  Giá trị tối ưu (DL4) 1  Sol(DL4)=   2 Theo bổ đề 3.3, (DL4) đưa dạng toán tham số  K  Min   l1  0 l    , g    1   l2  Bằng cách đặt   l2   l1 , ta thấy (DL3) có dạng toán tham số (K  ) Min  Đ.k  Đ.k x1  x2  1; y1  y2  t  1,   Max x1  x2   ( x1  x2  1)     0,   1  ,   Giá trị tối ưu (K  )  1   Sol (K  ) =  ,    2   u  u2 Đặt   với u1 , u2  u1  u2  Đ.k v  (u1  u2  1) Khi     0,    ,   Giá trị tối ưu      u1  u2  v  0;      v  1;    v   K  Sol  K   =  ;    2   Bằng cách đặt   u1  u2 u1  u2  Do (K  ) viết lại giống với u1 , u2  v  (u1  u2  1)  ,  K   tốn đối ngẫu (D1) Theo hướng tiếp cận Dinkelbach, (P1) đưa tốn quy hoạch tuyến tính tham số viết lại giống toán đối ngẫu (D1) Để kết thúc báo giới thiệu sơ đồ hình thành lược đồ đối ngẫu Seshan 162 Hình 1: Lược đồ thiết lập toán đối ngẫu Seshan programs, Oper Research, 24, 675-699 TÀI LIỆU THAM KHẢO E G Gol'stein (1967), Dual problems of convex and fractionally-convex programming in functional spaces, Soviet Math Dokl, 8, 212-216 B D Craven, B Mond (1973), The dual of a fractional linear program, Journal of mathematical analysis and appications, 42, 507-512 Ta Quang Son (2006), On a duality scheme in linear fractional programming, Nonlinear analysis forum, 42, 137-145 I M Stancu - Minasian (1997), Fractional Programming, Kluwer Academic Publishers, U.S.A S Jahan and M.A Islam (2010), Equivalence of duals in linear fractional programming, Dhaka Univ Journal of Sciences, 58, 73-78 K Swarup (1965), Linear fractional functionals programming, Oper Research, 13, 1029 - 1036 S.F Tantawy (2008), A new procedure for solving linear fractional programming problems, Mathematical and computer modelling, 48, 969-973 G R Bitran, T L Magnanti (1976), Duality and sensitivity analysis for fractional Ngày nhận bài: 05/10/2016 E G Gol'stein (1971), Duality Theory in Mathematical Programming, Nauka, Mosow 10 A Chanes and W.W Cooper (1962), Programming with Linear Fractional Functionals, Naval Research Quarterly, 8, 181-186 11 S Schaible (1976), Fractional programming I, Duality, Management Science, 22, 858-867 12 C R Seshan (1980), On duality in linear fractional programming, Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), 89, 35-42 13 K Swarup (1965), Linear fractional functionals programming, per.Research, 13, 1029-1036 14 T Weir (1991), Symmetric dual multiobective fractional programming, J Austral Math Soc (Series A), 50, 67-74 Biên tập xong: 15/12/2016 163 Duyệt đăng: 20/12/2016 ... nhiều lược đồ đối ngẫu cho toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính thiết lập [1], [13], [6], [7], [2], [12] Chúng ta biết rõ rằng: tối ưu tuyến tính, đối ngẫu tốn tối ưu tuyến tính có dạng tốn tối ưu. .. ưu tuyến tính Câu hỏi đặt cho tốn (P) nêu trên: Có hay khơng lược đồ đối ngẫu toán tối ưu dạng phân thức tuyến tính mà tốn đối ngẫu dạng phân thức tuyến tính? Theo hiểu biết chúng tôi, tất lược. .. lược đồ đối ngẫu cải biên, định lí đối ngẫu yếu đối ngẫu mạnh thiết lập Hơn nữa, đặc trưng tập nghiệm (P) giới thiệu Lược đồ đối ngẫu nói tổng hợp giới thiệu tài liệu [3] Mặc dù lược đồ đối ngẫu