BTL Tối ưu hóa CDIO

Bài tập lớn môn tối ưu hóa CDIO của trường đại học công nghiệp hà nội. Khóa k12 theo chuẩn CDIO.Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho xưởng gỗ SOLAKEMQui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm 1939, khi nhà toán học Nga nổi tiếng, Viện sĩ L.V. Kantorovich đề xuất những thuật toán đầu tiên để giải nó trong một loạt công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất công bố năm 1938.QHTT là môt trong những lớp bài toán tối ưu được nghiên cứu tron vẹn cả ề lý thuyết lẫn thực hành, mô hình đơn giản trong công việc áp dụng, co nhiều ứng dụng trong kinh tế và kỹ thuật.Năm 1947 nhà toán học Mỹ George Dantzig đã đề xuất phương pháp đơn hình để giải QHTT.Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính.Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế. Mặt khác, về mặt lý thuyết, có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính. Bởi thế, ngay từ khi ra đời, qui hoạch tuyến tính đã chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học ứng dụng nói chung, trong ngành tối ưu hóa nói riêng.Bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thôngqua các ví dụ ,các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là như sau :a Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu.b Lập mô hình toán học.c Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đó mô hình hoặc bằng ngạn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính.d Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần.e Áp dụng giải các bài toán thực tế.

Trường Đại Học Công Nghiệp Hà Nội Khoa Công Nghệ Thông Tin  BÁO CÁO BÀI TẬP NHĨM MƠN TỐI ƯU HĨA Đề tài: BÀI TỐN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT GỖ Giáo viên hướng dẫn : Cô Chu Thị Quyên Nhóm thực : Nhóm Lớp : KTPM1 - K12 Thành viên nhóm: Đỗ Ngọc Sơn Hồng Văn Sơn Đặng Thái Tân Phùng Đắc Tài Nguyễn Sỹ Thăng Vũ Mạnh Thắng Mai Văn Thanh Hà Nội, 2019 Lời mở đầu Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lịch sử phát triển từ năm 1939, nhà tốn học Nga nởi tiếng, Viện sĩ L.V Kantorovich đề xuất thuật toán để giải mợt loạt cơng trình nghiên cứu kế hoạch hố sản xuất cơng bố năm 1938 QHTT là mơt lớp bài tốn tối ưu nghiên cứu tron vẹn ề lý thuyết lẫn thực hành, mơ hình đơn giản cơng việc áp dụng, co nhiều ứng dụng kinh tế và kỹ thuật Năm 1947 nhà toán học Mỹ George Dantzig đề xuất phương pháp đơn hình để giải QHTT Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) và ràng ḅc (điều kiện bài tốn) là hàm và phương trình bất phương trình tuyến tính Mơ hình tún tính là mơ hình phở biến thực tế Mặt khác, mặt lý thuyết, xấp xỉ với độ chính xác cao bài toán tối ưu phi tuyến dãy bài toán qui hoạch tuyến tính Bởi thế, từ đời, qui hoạch tuyến tính chiếm một vị trí hết sức quan trọng Tốn học ứng dụng nói chung, ngành tối ưu hóa nói riêng Bài tốn quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thông qua ví dụ ,các bước nghiên cứu và ứng dụng mợt bài tốn quy hoạch tún tính điển hình là sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu b- Lập mơ hình tốn học c- Xây dựng thuật tốn để giải bài tốn mơ hình ngạn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính d- Tính tốn thử và điều chỉnh mơ hình nếu cần e- Áp dụng giải bài toán thực tế MỤC LỤC I Đề Tài II Mục đích, ý nghĩa .4 III Khảo sát, tư liệu, mục tiêu Khảo sát Tư liệu: Thời gian hoàn tất sản phẩm: Yêu cầu ràng buộc : Mục tiêu IV Xây dựng toán V Thuật toán,ứng dụng giải 1.Các toán QHTT 3.Ứng dụng giải 16 VI- Giải toán .17 Phương pháp giải: 18 VII- Giải toán 20 I Đề Tài Bài toán lập kế hoạch sản xuất cho xưởng gỗ SOLAKEM II Mục đích, ý nghĩa 1.Mục đích Khi làm việc đó, ta thường làm theo khơng có kế hoạch định Chính việc dẫn đến tình trạng bị trì trệ, khơng mang đến kết tốt Đó bạn cách lên kế hoạch chi tiết, cho công việc chưa hiểu tầm quan trọng việc lập kế hoạch nào? Vì thế, ta xem mức độ ảnh hưởng đến sống Lập kế hoạch trình việc thiết lập mục tiêu , định chiến lược , sách , kế hoạch chi tiết để đạt mục tiêu định Lập kế hoạch cho phép thiết lập định khả thi bao gồm chu kỳ việc thiết lập mục tiêu định chiến lược nhằm hoàn thiện nữa.Lập kế hoạch chức quan trọng nhà quản lý gắn liền với việc lựa chọn mục tiêu chương trình hành động tương lai, giúp nhà quản lý xác định chức khác lại nhằm đảm bảo đạt mục tiêu đề ra.Vậy kế hoạch kinh doanh gì? Kế hoạch kinh doanh tài liệu văn mơ tả hoạt động, q trình kinh doanh công ty, doanh nghiệp ứng với khoảng thời gian định tương lai Bản kế hoạch kinh doanh bao gồm chiến lược bán hàng, chiến lược tiếp thị, chiến lược marketing, chiến lược tài chính… Vì vậy, hơm chúng tơi xin làm báo cáo việc lập kế hoạch sản xuất kinh doanh xưởng gỗ SOLAKEM Ý nghĩa Lập kế hoạch cho biết phương hướng hoạt động, làm giảm tác động thay đổi, tránh lãng phí dư thừa, thiết lập nên tiêu chuẩn thuận tiện cho công tác kiểm tra Vai trò lập kế hoạch kinh doanh thể hiện: - Kế hoạch kinh doanh công cụ đắc lực việc phối hợp nỗ lực thành viên doanh nghiệp - Lập kế hoạch có tác dụng làm giảm tính bất ổn định doanh nghiệp - Lập kế hoạch giảm chồng chéo hoạt động lãng phí - Thiết lập nên tiêu chuẩn tạo điều kiện cho công tác kiểm tra III Khảo sát, tư liệu, mục tiêu Khảo sát 1.1 Thị trường Cùng với phát triển đất nước gia đình, vấn đề xây dựng nhà không đơn giản nơi cư trú thành viên gia đình, mà nơi để thư giãn, nghỉ ngơi, thể hồn chủ nhân nhà Ngành gỗ nội thất thị trường tiềm có nhiều phân khúc cho nhóm khách hàng có địa vị thu nhập khác xã hội Nhưng dường nhà hoạt động lĩnh vực nội thất Việt Nam chưa có nghiên cứu kỹ lưỡng đầu tư mức cho thị trường đầy tiềm Gỗ dạng vật liệu mang nhiều tính tốt thể nhiều giá trị tinh thần so với loại vật liệu khác Sử dụng gỗ trang trí nội thất có từ lâu đời xu hướng chung tất nước giới.Vật liệu có nguồn gốc từ gỗ đa dạng hơn, độ bền tính thẩm mỹ nâng cao kỹ thuật xử lý gỗ kỹ thuật sản xuất vật liệu có nguồn gốc từ gỗ ngày đại Sử dụng gỗ vật liệu có nguồn gốc từ gỗ để trang trí nội thất xu hướng phổ biến Tuy nhiên sử dụng loại nào, mẫu mã vấn đề thay đổi tùy theo nhận thức cá nhân theo khuynh hướng trào lưu chung xã hội, giai đoạn định Nghiên cứu xu hướng sử dụng đồ gỗ trang trí nội thất giúp cho nhà thiết kế đồ gỗ đưa sản phẩm nội thất với thị hiếu người sử dụng giai đoạn định Đồng thời, nhà sản xuất đồ gỗ tìm cách tiếp cận khách hàng phù hợp nhằm đáp ứng nhu cầu sử dụng đồ gỗ ngày phong phú đa dạng người tiêu dùng Đồ nội thất phần thiếu không gian sống Thị trường đồ nội thất Việt nói riêng Thế giới nói chung có chuyển biến tích cực Thống kê Phòng Thương mại Cơng nghiệp Việt Nam (VCCI) cho biết, trung bình hàng năm, mức tiêu thụ hàng nội thất cao cấp nước đạt 2,5 tỷ USD Trong đó, 80% sản phẩm nội thất nhập từ nước châu Âu, 20% sản phẩm Việt Nam Cùng với tốc độ tăng trưởng kinh tế trung bình 6%/năm, mức tiêu thụ lĩnh vực thiết kế nội thất người Việt Nam thời gian tới đánh giá tăng cao Do vậy, doanh nghiệp châu Âu đến Việt Nam lần xuất phát từ đánh giá thị trường thiết kế nội thất Việt Nam tiềm Ngành nội thất gỗ Việt Nam vận hành theo mơ hình Một doanh nghiệp xuất sản phẩm có giá trị gia tăng Hai công ty gia công nội thất đơn Trong đó, phần lớn hoạt động với quy mô nhỏ, chủ yếu làm gia công lợi nhuận thấp Tại Việt Nam, có khoảng 5% doanh nghiệp dùng gỗ công nghiệp sản xuất nội thất Nhưng xu hướng dùng gỗ nhân tạo lại nước lân cận Thái Lan hay Malaysia ứng dụng để đưa hàng vào Mỹ châu Âu, tạo tỉ suất sinh lời cao 1.2 Khảo sát xưởng gỗ SOLAKEM - Ngày khảo sát: 12/11/2019 - Phương pháp khảo sát: Phỏng vấn trực tiếp - Người khảo sát: Quản lý xưởng vài nhân viên - Tham gia khảo sát: Các thành viên nhóm học tập * Kết đạt được: - Xưởng có quy mô lớn với khoảng 50 công nhân viên - Doanh thu trung bình năm khoảng 20 tỷ - Sản phẩm: Xưởng sản xuất đồ gỗ nội thất: gia đình, văn phòng… - Hàng tháng xưởng nhận nhiều đơn đặt hàng từ nhà phân phối lớn Tư liệu: 2.1 Nguyên liệu sản xuất: Gỗ: gỗ mít, gỗ xoan, gỗ đinh, gỗ lim, gỗ sưa,… Các loại keo: Keo PSA, keo sữa, keo nóng chảy eva… 2.2 Sản phẩm giá thành bán thị trường loại sản phẩm phòng khách: Kệ: 10.500.000 đồng Sâp: 15.000.000 đồng Bàn ghế: 18.000.000 đồng 2.3 Chi phí sản xuất: Kệ : 7.500.000 đồng Sâp: 9.000.000 đồng Bàn ghế phòng khách: 13.500.000 đồng Thời gian hoàn tất sản phẩm: Kệ: 30 Sập: 60 Bàn ghế: 90 Yêu cầu ràng buộc sản xuất loại sản phẩm để đáp ứng nhu cầu thị trường hoạt động phân xưởng: + Nếu sản xuất loại sản phẩm quỹ thời gian sản xuất không 540 + Hiện số vốn xưởng khoảng 90.000.000 đồng + Theo hợp đồng với nhà phân phối, yêu cầu sản phẩm Kệ phải có lượng sản xuất 30 Mục tiêu - Cơng ty muốn xây dựng mơ hình sản xuất để tổng lợi nhuận thu bán đồ gỗ nội thất nhiều IV Xây dựng toán Xưởng gỗ SOLAKEM dự định sản xuất loại sản phẩm nội thất dành cho phòng khách: kệ, sập, bàn ghế Giá thành sản phẩm là: 10.500.000 đồng, 15.000.000 đồng 18.000.000 đồng Chi phí sản xuất là: 7.500.000 đồng, 9.000.000 đồng 13.500.000 đồng Nếu sản xuất loại sản phẩm quỹ thời gian sản xuất không 540 Hiện số vốn xưởng 90.000.000 đồng Theo hợp đồng với nhà phân phối, yêu cầu sản phẩm kệ phải có lượng sản xuất 30 Tìm kế hoạch sản xuất cho tổng lợi nhuận lớn V Thuật toán,ứng dụng giải 1.Các toán QHTT Qua nghiên cứu tốn qui hoạch tuyến tính(QHTT), khái qt tốn qui hoạch tuyến tính gồm dạng bản: dạng tổng quát, dạng tắc dạng chuẩn Mỗi dạng có đặc trưng riêng có cách giải riêng Trong dạng chuẩn sở cho phương pháp đơn hình Nắm vững loại để chuyển đổi loại 1.1.Dạng tổng quát Đây dạng gặp nhiều thực tế, cụ thể toán dạng có thành phần sau: Hàm mục tiêu: Ràng buộc: 1.2.Dạng tắc Bài tốn dạng tắc tốn có đặc trưng sau: - Các ràng buộc phương trình - Các biến số khơng âm - Vế phải nhận giá trị Bài tốn dạng tắc mơ tả theo ký hiệu ma trận sau: Min (Max) cxT Ràng buộc : AxT =b ,x≥0 Với 10 1.3.Dạng chuẩn tắc Hàm mục tiêu: Ràng buộc : Ràng buộc dấu: Bài tốn dạng chuẩn mô tả theo ký hiệu ma trận sau: Min (Max) cxT Ràng buộc : AxT =b ,x≥0 Với 11 *Nhận xét: Bài toán dạng chuẩn dạng tốn dạng tắc có thêm điều kiện, là: - Các số hạng tự không âm (các số hạng vế phải không âm) - Ma trận hệ số ràng buộc A có chứa ma trận đơn vị cấp m Nói cách khác, hệ ràng buộc hệ phương trình chuẩn Ví dụ: Bài tốn sau có dạng chuẩn Min (3x1- x2+ x3-3x4+x5) Ràng buộc : 2x1+ x2- x3+x4 = 10 2x1-2x2+x3 + x1- x2+2x3+ x6 = 20 x5 = 18 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ Các biến ứng với véc tơ cột đơn vị ma trận A gọi biến Biến ứng với véc tơ đơn vị thứ i gọi biến thứ i Các biến lại biến không Một tập giá trị biến thoả mãn ràng buộc toán gọi phương án toán Một phương án mà biến không gọi phương án Một phương án có đủ m thành phần dương gọi khơng suy biến Nếu có m thành phần dương gọi suy biến 1.4.Biến đổi dạng toán qui hoạch 12 Như nêu, toán qui hoạch tuyến tính tồn nhiều dạng khác Tuy nhiên, số phương pháp giải tốn đòi hỏi tốn có dạng định Vì vậy, phải thực biến đổi toán từ dạng sang dạng khác a Đưa dạng tổng quát dạng chính tắc Để đưa toán dạng tổng quát dạng tắc, thực biến đổi sau: Nếu ràng buộc dạng cộng thêm vào vế trái biến phụ không âm xn+1≥0 để chuyển ràng buộc dạng phương trình Nếu gặp ràng buộc dạng trừ vế trái biến phụ không âm x n+1≥0 để chuyển ràng buộc thành phương trình Chú ý: biến phụ biến giúp biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình thành phương trình, khơng đóng vai trò mặt kinh tế, nên khơng ảnh hưởng đến hàm mục tiêu Vì vậy, hệ số biến phụ hàm mục tiêu Nếu gặp biến xj ≤0, thay xj=-tj với tj ≥0 4 Nếu gặp biến xj tuỳ ý, thay xj=x’j-x’’j với x’j≥0 x’’j≥0 Ví dụ: Đưa tốn sau dạng tắc: Min (3x1- x2+2x3+ x4+5x5) Ràng buộc 2x1-2x2+ x3+2x4+x5 ≤ 17 4x1-2x2+ x3 x1- x2+2x3 x1+ x2+2x3+ x4 = 20 +x5 ≥ -18 ≤ 100 x1, x2, x3 ≥0 ; x4≤0 ; x5 tuỳ ý 13 Nhận xét: Ràng buộc 1, 3, bất phương trình - x4≤0, x5 tuỳ ý Chúng ta thêm biến phụ x6, x7, x8 vào ràng buộc 1,3 4; Thay x4= -t4 x5=x’5-x″5 Như vậy, toán dạng tắc sau: Min (3x1-x2+2x3-t4+5x’5-5x″5) Ràng buộc 2x1-2x2+x3-2x4+x’5- x″5+x6 = 17 4x1-2x2+ x3 = 20 x1-x2+2x3 +x5- x″5 -x7 x1+x2+2x3-x4 = -18 +x8 = 100 x1, x2, x3, t4, x’5, x″5, x6, x7, x8 ≥0 b Đưa dạng chính tắc dạng chuẩn Trước tiên, tốn dạng tắc, có số hạng vế phải âm, cần đổi dấu hai vế để b i>0 Vậy, từ giả thiết tốn dạng tắc xét có bi≥0 (i = 1,m), tức vế phải tốn khơng âm Xem xét tốn dạng tắc sau: Hàm mục tiêu: 14 Chúng ta thêm vào phương trình biến giả (Artifical variable) khơng âm xn+1≥0 với hệ số Trong hàm mục tiêu f(x)→ min, biến giả có hệ số M (lớn tuỳ ý), hàm mục tiêu f(x)→max, biến giả có hệ số –M Chúng ta có tốn gọi toán mở rộng toán xuất phát - Hàm mục tiêu: Ràng buộc *Chú ý: - Phân biệt biến phụ biến giả với điểm sau: Biến phụ sử dụng để đưa toán dạng tổng qt dạng tắc biến giả sử dụng để đưa tốn dạng tắc dạng chuẩn Trong hàm mục tiêu, hệ số biến giả M f(x)→min hay –M f(x)→max biến phụ ln có hệ số Biến phụ số thực giúp biến đổi ràng buộc dạng bất phương trình dạng phương trình biến giả vế mà cộng thêm làm việc “giả tạo” để tạo véc tơ đơn vị mà - Nếu tốn dạng tắc có bi ≥0 có sẵn số véc tơ cột đơn vị A, cần thêm biến giả vào phương trình cần thiết đủ để tạo tốn mở rộng dạng chuẩn 15 - Quan hệ toán xuất phát toán mở rộng: Chúng ta thấy biến giả tốn lại tốn cũ, phải cho biến giả Để đạt kết thế, thực sau: Giả sử tốn có f(x) →min, điều đạt biến giả Vì biến giả dương f(x) chứa M với hệ số dương mà M lại lớn tuỳ ý f(x) khơng đạt cực tiểu; f(x) →max M lại thay –M với ý *Nhận xét: Bất toán dạng tổng quát đưa dạng tắc tốn mở rộng dạng chuẩn Như vậy, mấu chốt vấn đề giải toán dạng chuẩn 2.Thuật tốn đơn hình Đối với tốn có nhiều biến, khơng thể sử dụng phương pháp đồ thị mà phải sử dụng phương pháp đơn hình Phương pháp G.Dantzig đưa năm 1947 Trong khoảng 40 năm, phương pháp thực hiệu để giải toán qui hoạch tuyến tính cỡ lớn thực tế Hiện nay, phương pháp điểm cạnh tranh phương pháp đơn hình Phương pháp sử dụng rộng rãi có nhiều phần mềm máy tính ứng dụng phương pháp 2.1 Thuật tốn đơn hình giải tốn dạng chuẩn Thuật tốn áp dụng cho toán cực tiểu hay cực đại Chúng ta nghiên cứu thuật toán cho loại 2.1.1 Trường hợp Bài toán Min Thuật toán gồm bước sau: Bước 1: Lập bảng ban đầu: vào toán dạng chuẩn để lập bảng dạng Bảng 16 Bảng 1.bảng đơn hình Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu - Nếu Δj ≤0 ∀j phương án xét tối ưu giá trị hàm mục tiêu f(x)=f0 - Nếu ∃Δj >0 mà aij ≤0 ∀i tốn khơng có phương án tối ưu Nếu hai trường hợp không xảy chuyển sang bước Bước 3: Tìm biến đưa vào: Xét Δj >0, Nếu Δv=max Δj xv chọn đưa vào Khi cột v gọi cột chủ yếu Bước 4: Tìm biến đưa ra: Tính λi = bi/aiv ứng với aiv > Nếu λr=min λi xr biến đưa Khi đó, hàng r gọi hàng chủ yếu, phần tử a rv phần tử trục xoay Bước 5: Biến đổi bảng sau: - Thay xr xv cr cv Các biến khác hệ số tương ứng để nguyên - Chia hàng chủ yếu (hàng r) cho phần tử trục xoay a rv, hàng r gọi hàng chuẩn 17 - Muốn có hàng i (i≠r), lấy –a iv nhân với hàng chuẩn cộng vào hàng i cũ - Muốn có hàng cuối mới, lấy -Δv nhân với hàng chuẩn cộng vào hàng cuối cũ *Chú ý: Hàng cuối (gồm f Δj) tính trực tiếp bước với bảng vừa tạo 2.1.2 Trường hợp Bài toán Max Về bản, thuật toán giải toán Max giống thuật toán giải toán Min, chúng khác bước bước Cụ thể, thuật tốn có thay đổi bước sau: - Ở bước (kiểm tra tính tối ưu) +Phương án tối ưu Δj≥0 ∀j + Nếu ∃Δj