Khố học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khoá học mơn Tốn www.vted.vn để đạt kết cao nhất! KHỐ LUYỆN GIẢI ĐỀ 2016 MƠN TỐN – THẦY: ĐẶNG THÀNH NAM ĐỀ SỐ 12 – Ngày phát hành: 15/02/2016 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Tham gia trọn vẹn khố học mơn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = + x x +1 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = [ 0;2 ] x − x +1 Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z có phần ảo dương thoả mãn: z − 1+ i = z z.z = 25 b) Giải phương trình: log (3x − 1).log (2.3x − 2) = π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ cos 2x dx π⎞ ⎛ (1− sin 2x).cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − = đường x − y +1 z thẳng d : Chứng minh đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm A = = −2 −1 thuộc d cho khoảng cách từ A đến (P) Câu (1,0 điểm) (1− tan x)cos x a) Giải phương trình lượng giác: sin x − cos x = b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục toạ độ) Trong 14 điểm ta chọn hai điểm bất kỳ, tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm cắt trục toạ độ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a, AB = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AM SB (với M trung điểm cạnh BC) ⎛15 ⎞⎟ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M ⎜⎜⎜ ;−2⎟⎟ trung điểm ⎟⎟ ⎝⎜ ⎠ cạnh BC Gọi d tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Δ đường cao kẻ từ đỉnh A Biết d : x + 7y −36 = 0;Δ : x −8 = Tìm toạ độ điểm B, C ⎛ ⎞ 3 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: (3x + 2) 3x +1 + 3x −1= (x + − x )⎜⎜(3x +1) − x + x +1⎟⎟ ⎝ ⎠ Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c + ab + bc + ca = Tìm giá trị 2c − 2c + ln(a + b + c ) lớn biểu thức: P = ab + 2bc + 2ac + _Hết Để chuẩn bị tâm lý làm thi tốt cho kì thi thức em nên tự làm đề thi 180 phút Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! LUYỆN GIẢI ĐỀ 2016 MƠN TỐN GV: Đặng Thành Nam Mobile: 0976 266 202 Fb: MrDangThanhNam Links đăng ký: http://goo.gl/MNBtt6 Nguồn: www.vted.vn Các khố học Mơn Tốn chun sâu theo chuyên đề em tham khảo website: www.vted.vn (1) Làm chủ bất đẳng thức, toán cực trị: http://goo.gl/Ym6OG5 (2) Làm chủ Hệ phương trình: http://goo.gl/WYQXTI (3) Làm chủ Phương trình, bất phương trình vơ tỷ: http://goo.gl/s3Ksvs (4) Làm chủ Hình phẳng Oxy tư hình học: http://goo.gl/nUciWe (5) Làm chủ tổ hợp, xác suất: http://goo.gl/stPIQ1 (6) Thủ thuật Casio giải toán: http://goo.gl/jV8nXW (7) Luyện giải đề 2016 Mơn Tốn: http://goo.gl/MNBtt6 (8) Tổng ơn kiến thức điểm Mơn Tốn: http://goo.gl/4MulDp Các gói tập, video hữu ích giúp em thử sức thực tế với kiến thức học (1) Tuyển chọn bất đẳng thức, toán cực trị đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/wHtgVx (2) Tuyển chọn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/d9K1o1 (3) Tuyển chọn Hình phẳng Oxy đề thi 2015 – 2016: http://goo.gl/WLp4Zl (4) [Free] Giải toán thực tế cách lập phương trình, hệ phương trình: http://goo.gl/WmqN2L (5).[Free] Quà tặng tết âm lịch Bính Thân 2016 – Tuyển chọn câu phân loại đề thi: http://goo.gl/MLdGmB Hết _ Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Tốn www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Lược giải đề số 12 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = + x Học sinh tự giải x +1 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) = [ 0;2 ] x − x +1 x +1 *Xét hàm số f (x) = liên tục [ 0;2 ] x − x +1 3(x −1) *Ta có: f '(x) = − ; f '(x) = ⇔ x = ∈[ 0;2 ] (x − x +1)2 *Từ suy ra: max f (x) = f (1) = 2; f (x) = f (0) = x∈[ 0;2 ] x∈[ 0;2 ] Câu (1,0 điểm) a) Tìm số phức z có phần ảo dương thoả mãn: z − 1+ i = z z.z = 25 b) Giải phương trình: log (3x − 1).log (2.3x − 2) = a) Vì z.z = 25 ⇒ z = 25 ⇒ z = Đặt z = a + bi(a,b ∈!;b > 0) ⎧⎪(a − 1)2 + (b + 1)2 = 25 ⎧ z − 1+ i = ⎧a = ⎧a = −3 Vậy ⎨ ⇔⎨ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎩b = ⎩b = −4 ⎩⎪ z = ⎩⎪a + b = 25 *Vì z có phần ảo dương nên z = + 3i b) Điều kiện: 3x − > ⇔ x > *Phương trình tương đương với: log (3x − 1) ⎡⎣1+ log (3x − 1) ⎤⎦ = ⇔ log 22 (3x − 1) + log (3x − 1) − = ⎡ 3x − = ⎡x = ⎡ log (3x − 1) = ⎢ ⇔⎢ ⇔ x ⇔⎢ x ⎢ ⎢ x = log 3 −1 = ⎣ log (3 − 1) = −2 ⎣ ⎣ π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ cos 2x π⎞ ⎛ (1− sin 2x).cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ dx *Ta có: π π I=∫ (cos x −sin x)(cos x + sin x) (sin x + cos x − 2sin x cos x) π = 2∫ 2 (cos x −sin x) dx = ∫ cos x + sin x (sin x − cos x)2 dx π ⎛ ⎞ ⎜⎜ 3− ⎟⎟ ⎟⎟ dx = − = − ⎜⎜ (sin x − cos x)2 sin x − cos x ⎜⎝ − ⎟⎟⎠ d(sin x − cos x) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − = đường x − y +1 z thẳng d : Chứng minh đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm A = = −2 −1 thuộc d cho khoảng cách từ A đến (P) Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Tốn www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎧x = + t ⎪ Chuyển d dạng tham số ⎨ y = −1− 2t ⎪ z = −t ⎩ Thay x,y,z từ phương trình d vào pt (P) ta được: (2 + t) + (−1− 2t) + (−t) − = ⇔ −2t − = ⇔ t = −1 Suy giao điểm M d (P) M(1;1;1) +) Giả sử A(2+t;-1-2t;-t) ta có: ⎡t = (2 + t) + (−1− 2t) + (−t) − −2t − d(A;(P)) = = =2 3⇔⎢ 3 ⎣t = −4 *Vậy A(4;-5;-2) A(-2;7;4) Câu (1,0 điểm) (1− tan x)cos x a) Giải phương trình lượng giác: sin x − cos x = b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ lấy 3, 4, điểm phân biệt(các điểm không nằm trục toạ độ) Trong 14 điểm ta chọn hai điểm bất kỳ, tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm cắt trục toạ độ π *Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ *Phương trình tương đương với: cos x − sin x ⎛ cos x + sin x ⎞ sin x − cos x = ⇔ (cos x − sin x) ⎜ + 1⎟ = ⎝ ⎠ cos x cos x π ⎡ ⎡ cos x = sin x ⎡ tan x = x = + kπ ⎢ ⇔⎢ ⎛ ⇔⎢ ⎛ ⇔⎢ , k ∈! ⎢ cos ⎜ x − π ⎞⎟ + cos x = ⎢ cos ⎜ x + 3π ⎞⎟ = cos x 3π π ⎢ x=− +k ⎢⎣ ⎝ 4⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎢⎣ 2 b) Số phần tử không gian mẫu số cách chọn 14 điểm có n(Ω) = C14 = 91 Gọi A biến cố đoạn thẳng nối hai điểm chọn cắt trục toạ độ, để tính số kết thuận lợi cho A ta tính số kết thuận lợi cho biến cố A (đoạn thẳng nối điểm không cắt trục toạ độ) Có tất trường hợp: + điểm chọn thuộc góc phần tư thứ có C22 = 1cách + điểm chọn thuộc góc phần tư thứ hai có C23 = cách + điểm chọn thuộc góc phần tư thứ ba có C24 = cách + điểm chọn thuộc góc phần tư thứ tư có C25 = 10 cách Vậy n(A) = 1+ + +10 = 20 ⇒ n(A) = n(Ω)−n(A) = 91− 20 = 71 n(A) 71 = Vậy xác suất cần tính P(A) = n(Ω) 91 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a, AB = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AM SB (với M trung điểm cạnh BC) Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Toán www.vted.vn để đạt kết cao nhất! Gọi N trung điểm cạnh AB, giao điểm H AM CN tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có: SH ⊥ (ABC) Tam giác vng AMC có a AM = AC.sin 60 = 2 a Suy ra: AH = AM = 3 Tam giác vuông SAH có: SH = SA − AH = 4a − a a 33 = 3 1 a 33 a a 11 a = Vì VS.ABC = SH SABC = SH AM BC = (đvtt) 6 12 +) Dựng hình bình hành ABEM ta có AM//BE suy AM//(SBE) nên d(AM;SB) = d(AM;(SBE)) = d(H;(SBE)) Kẻ HI vng góc với BE I, hạ HK vng góc với SI K ta có HK ⊥ (SBE) Vì (AM;SB) = HK a Ta có: HI = d(B; AM ) = AB.sin 30 = 1 a 517 = + 2= + ⇒ HK = Tam giác vng SHI có: 2 HK SH HI 11a a 47 a 517 *Vậy: d(AM ,SB) = 47 ⎛15 ⎞⎟ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M ⎜⎜⎜ ;−2⎟⎟ trung điểm ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ cạnh BC Gọi d tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Δ đường cao kẻ từ đỉnh A Biết d : x + 7y −36 = 0;Δ : x −8 = Tìm toạ độ điểm B, C ⎧⎪ x −8 = *Vì A = d ∩ Δ nên toạ độ điểm A nghiệm hệ: ⎪⎨ ⇒ A(8; 4) ⎪⎪ x + 7y −36 = ⎩ *Gọi D, E chân đường cao hạ từ đỉnh B C; H trực tâm tam giác ABC N trung điểm AH; *Gọi E chân đường cao hạ từ đỉnh C, ta có: ⎧ ⎪ BC ⎪ MD = MD = ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ MN đường trung trực DE ⎨ ⎪ AH ⎪ ND = NE = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ *Mặt khác DE || d(xem giảng) đó: MN ⊥ d *Phương trình đường thẳng MN qua M, vng góc với d 14x − 2y −109 = ⎛ ⎞⎟ ⎧ ⎪14x − 2y −109 = *Toạ độ điểm N nghiệm hệ: ⎪ ⇒ N ⎜⎜⎜8; ⎟⎟ ⎨ ⎪ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎪ ⎩ x −8 = Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Tốn www.vted.vn để đạt kết cao nhất! *Vì N trung điểm AH nên H(8;−1) *Đường thẳng BC qua M vng góc với Δ có PT: y + = *Gọi B(b;−2) ∈ BC ⇒ C(15− b;−2) !!!" !!!" *Ta có: BH = (8− b;1); AC = (7− b;−6) sử dụng tính chất vng góc ta có: !!!" !!!" ⎡ b = 10 BH AC = ⇔ (8− b)(7− b) +1.(−6) = ⇔ b −15b + 50 = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ b = *Vì B(10;−2),C(5;−2) B(5;−2),C(10;−2) ⎛ ⎞ 3 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: (3x + 2) 3x +1 + 3x −1= (x + − x )⎜⎜(3x +1) − x + x +1⎟⎟ ⎝ ⎠ *Điều kiện: x ≥ − t3 − 3 3 3 *Đặt t = x + − x ⇒ t = + 3tx − x ⇒ 3x − x = t *Phương trình trở thành: ⎛ t3 − ⎞ (3x + 2) 3x + + 3x − = t ⎜ + t + 1⎟ = t + t + t − ⎝ t ⎠ ⇔ ( 3x + 1)3 + ( 3x + 1)2 + 3x + = t + t + t (*) *Xét hàm số: f (a) = a + a + a ! , ta có: f '(a) = 3a + 2a + > 0,∀a ∈! *Vì f(a) đồng biến ! , đó: (*) ⇔ f ( 3x + 1) = f (t) ⇔ 3x + = t ⇔ 3x + = x + − x a2 − *Đặt a = 3x + 1(a ≥ 0) ⇒ x = , phương trình cuối trở thành: 3 ⎛ a − 1⎞ ⎛ ⎛ a − 1⎞ a2 − a − 1⎞ a= + 2−⎜ ⇔ a − = − ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠ 3 ⎟⎠ ⎝ ⎟⎠ ⇔ a − 3a + a + 3a + a − = ⇔ (a − 2)(a − a − a + a + 3) = ⇔ (a − 2) ⎡⎣ a(a − 1)2 (a + 1) + 3⎤⎦ = ⇔ a = ( a ≥ ) ⇒ x = *Vậy phương trình có nghiệm x = Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b + c + ab + bc + ca = Tìm giá trị 2c − 2c + ln(a + b + c ) lớn biểu thức: P = ab + 2bc + 2ac + 2 *Theo giả thiết ta có: (a + b) + (b + c) + (c + a)2 = *Sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz ta có: 36 = (2 +12 +12 ) ⎡⎣(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ⎤⎦ ≥ [ 2(a + b) +1(b + c) +1(c + a)] ⇒ ≥ 2(a + b) + b + c + c + a = 3(a + b) + 2c − 2c 2c 2c ⇒a+b≤ =2− ⇒ c(a + b) − 2c + ≤0 3 *Do đó: P ≤ ab + bc + ca + ln(3 − ab − bc − ca) Khoá học: Luyện giải đề 2016 mơn Tốn – GV: Đặng Thành Nam Tham gia trọn vẹn khố học mơn Tốn www.vted.vn để đạt kết cao nhất! ⎡ 3⎤ *Đặt t = ab + bc + ca ∈ ⎢ 0; ⎥ , ta có: P ≤ f (t) = t + ln(3 − t) ⎣ ⎦ ⎡ 3⎤ *Khảo sát hàm số f(t) ⎢ 0; ; f '(t) = ⇔ t = ⎥ ta được: f '(t) = − 3−t 2⎦ ⎣ *Từ suy ra: P ≤ f (t) ≤ f (1) = 1+ ln ⎧a + b = 2(b + c) = 2(c + a) ⎧a = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨b = *Dấu đạt ⎨ab + bc + ca = ⎪a + b + c + ab + bc + ca = ⎪c = ⎩ ⎩ *Vậy giá trị lớn P 1+ ln