SKKN giải quyết một số dạng bài toán trắc nghiệm về giới hạn lớp 11 ban cơ bản bằng máy tính cầm tay casio FX 5

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Những năm gần với việc thi THPT Quốc gia môn tốn hình thức thi trắc nghiệm khách quan, việc sử dụng thành thạo máy tính cầm tay để tìm đáp án kỹ vơ quan trọng em học sinh trình làm Điều khơng giúp học sinh tìm đáp án mà giúp giảm thời gian làm nhiều Đối với học sinh lớp 11, việc vận dụng máy tính cầm tay giải tốn dừng lại mức độ đơn giản thực phép tính có sẵn cộng, trừ, nhân, chia, giải phương trình bậc hai, bậc ba, hệ phương trình Còn việc khái thác sử dụng máy tính cầm tay mức độ cao tìm nghiệm phương trình bất kỳ, định hướng giải cho tốn, lưu kết để sử dụng nhiều lần… đa phần em chưa biết khai thác vận dụng sáng tạo để sử dụng triệt để chức máy tính cầm tay Trong nhiều năm giảng dạy mơn tốn lớp trường THPT Hà Văn Mao Tôi nhận thấy việc sử dụng MTCT hỗ trợ học sinh làm thi trắc nghiệm môn toán đạt kết tốt Tuy nhiên, phạm vi sử dụng MTCT rộng, xuyên suốt gần tồn từ chương trình lớp 10 đến lớp 12 Trong đề tài nêu hết cơng dụng mà chọn lọc nội dung với thực tế mà thân thực năm học này, là: “Giải số dạng toán trắc nghiệm giới hạn chương trình lớp 11 ban máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS (hoặc loại máy tương đương)” Mục tiêu đề tài nghiên cứu là: - Cung cấp cho học sinh tính cần thiết máy tính cầm tay - Giúp học sinh giải toán trắc nghiệm giới hạn tốt hơn, nhanh có trợ giúp máy tính - Trong q trình giải tốn sử dụng máy tính em sáng tạo thêm nhiều phương pháp, nhiều cách giải hay máy tính q trình giải tốn sau - Khơi dậy niềm đam mê Tốn học nói riêng mơn khoa học tự nhiên nói chung em học sinh - Đặc biệt giúp học sinh yếu có niềm tin học tập, tự tin làm kiểm tra mà không lo bị điểm 1.2 Mục đích nghiên cứu - Hướng dẫn học sinh lớp 11A6 trường THPT Hà Văn Mao, huyện Bá Thước, tỉnh Thanh Hóa Sử dụng máy tính cầm tay để giải số dạng tốn chương trình lớp 11 - Hướng dẫn học sinh số kỹ năng, quy tắc sử dụng máy tính cầm tay để giải toán hiệu 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Hệ thống kiến thức lý thuyết cách sử dụng tính máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS giải tốn - Sử dụng máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS để giải số dạng tập giới hạn thuộc chương trình tốn 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet cách sử dụng tính máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS giải toán - Phương pháp điều tra: Tìm hiểu thực tế giảng dạy; dạy học phụ đạo cho học sinh yếu; giải tập trắc nghiệm; đề thi học kì; ơn thi THPT Quốc Gia trường THPT Hà Văn Mao, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập em - Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm sư phạm đánh giá hiệu sử dụng đề tài nghiên cứu việc giảng dạy; dạy học phụ đạo; hương dẫn học sinh giải tập nhà ôn thi trắc nghiệm; ôn thi THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019 Trường THPT Hà Văn Mao 1.5 Những điểm SKKN - Cung cấp cho em học sinh hệ thống kiến thức cách sử dụng tính máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS nói riêng máy tính cầm tay nói chung - Khai thác tính ưu việt máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS việc giải định hướng cách giải cho số dạng toán giới hạn chương trình Tốn 11 THPT hành - Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, đề tài nghiên cứu tác giả có vai trò quan trọng giáo viên, em học sinh trình dạy học II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận Trong sản xuất, kinh doanh nghiên cứu khoa học, học tập… Nhiều đòi hỏi phải xử lý nhiều phép tính cách nhanh chóng xác Xuất phát từ u cầu kể sống, máy tính cầm tay đời nhằm giúp người xử lý phép tính xác hiệu Với tiến khoa học kỹ thuật, phát triển công nghệ thông tin giai đoạn gần giới Máy tính cầm tay khơng đơn máy tính giúp người xử lý phép tính: cộng, nhân, chia, lũy thừa…thơng thường mà giúp tính tốn phép tính rộng như: lượng giác, logarit, tổ hợp, thống kê, giải phương trình…và nhiều phép tính, giải phức tạp khác Toán học Bộ giáo dục đào tạo yêu cầu giáo viên cần dạy hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để giải toán giúp em học tập tốt giảm tính “hàn lâm” Tốn học Đồng thời việc sử dụng máy tính cầm tay để giải tốn giúp học sinh có kỹ sử dụng máy tính Đó kỹ cần có người sống kỷ 21 - kỷ công nghệ thông tin 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy trường THPT Hà Văn Mao, thấy học sinh làm dạng tập giới hạn thường mắc phải số vấn đề khó khăn sau: Một đa số học sinh ban trường THPT Hà Văn Mao có học lực mức trung bình yếu Vì em tư tiếp thu kiến thức chậm, để dạy cho em dạng tập phải nhiều thời gian Hai đa phần học sinh yếu khả phân tích, định hướng tìm lời giải cho tốn Các em thường làm tập tương tự thầy cho Vì đứng trước tốn em lúng túng việc tìm hướng giải cho tốn Ba việc dạy học sinh sử dụng MTCT đưa vào chương trình học bậc THPT số tiết nên chưa giáo viên học sinh quan tâm mức Những khó khăn kể học sinh tháo gỡ học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ q trình giải tốn, đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm khách quan Chỉ cần học sinh hiểu máy tính giúp tìm từ u cầu tốn cho Sau chuyển tải điều muốn sang ngơn ngữ máy tính u cầu máy tính thực thi Đó điều mà tơi mong muốn trình bày đề tài 2.3 Giới thiệu máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS Máy tính cầm tay hỗ trợ cho việc giải tốn học sinh có nhiều loại, thơng dụng máy tính CASIO với phiên máy như: CASIO FX-500MS, CASIO FX-500, CASIO FX-500PLUS, CASIO FX-570ES, CASIO FX-500VN PLUS, FX-570ES, FX-570ES PLUS, CASIO FX-580VN PLUS… Trong đề tài này, tác giả sử dụng máy tính CASIO FX-570 VN PLUS để giải tốn định hướng tìm lời giải cho tốn Bởi dòng máy mà đại đa số học sinh sử dụng học tập dòng máy tính cầm tay có tính ưu việt dòng máy tính cầm tay phổ thơng khác Hiện có dòng máy CASIO FX-580VN PLUS Tuy nhiên, tác giả chọn CASIO FX-570 VN PLUS học sinh sử dụng rộng dãi Ngồi số dòng máy khác có tính tương tự sử dụng đề tài như: VINACAL-570ES, CASIO FX-570ES PLUS, CASIO FX-580VN PLUS… Tác giả xin giới thiệu số phím chức máy tính CASIO FX570VN PLUS Đồng thời đơn giản trình bày, tác giả gọi máy tính cầm tay CASIO FX-570VN PLUS ngắn gọn máy tính CASIO máy tính cầm tay (MTCT) đề tài 2.3.1 Nhóm phím chung TT Phím Chức ON Mở máy SHIFT + OFF AC DEL ; ; �� ; 0,1,2,3…9 (-) sin, cos, tan sin 1 , cos 1, tan 1 10 log, ln Hàm số logarit 11 e x , 10 x Hàm số mũ 12 x , x3 Lũy thừa 13 x! Giai thừa 14 ABS 15 b d a � c c 16 W � Tắt máy Xóa tồn liệu Xóa ký tự bên trái trỏ Các phép tốn Các phím số Dấu trừ số âm Hàm số lượng giác Hàm số lượng giác ngược Giá trị tuyệt đối Đổi hỗn số sang phân số Tích phân W 17 d  dx 18 ENG 19 suuuu u ENG 20 Pol( Đổi sang tọa độ cực 21 Rec( Đổi sang tọa độ đề 22 Rank# Tính giá trị đạo hàm Chuyển số dạng lũy thừa 10n n tăng Chuyển số dạng lũy thừa 10n n giảm Nhập số ngẫu nhiên 2.3.2 Phím thống kê TT Phím DT S – SUM S – VAR x,  n �x, �x Chức Nhập liệu Gọi �x, �x Gọi x,  n Số trung bình, độ lệch chuẩn Tổng số liệu, tổng bình phương số liệu 2.3.3 Nhóm phím nhớ TT Phím Chức RCL Gọi số ghi vào ô nhớ STO Gán (ghi) số vào ô nhớ A,B,C,D,E,F,X,Y,M Các ô nhớ (mỗi ô nhớ nhớ 01 số riêng Riêng ô nhớ M thêm chức M+, M- gán cho) M ; M  M+ Cộng thêm vào ô nhớ M, M- trừ bớt ô nhớ M 2.3.4 Phím đặc biệt TT Phím Chức SHIFT Chuyển sang kênh chữ vàng ANPHA Chuyển sang kênh chữ đỏ MODE Chọn kiểu tính tốn SETUP Cài đặt chế độ máy tính CPLX Tính tập hợp số phức VECTO Các phép toán vecto MATRIX Tính tốn ma trận CACL Tính giá trị biểu thức SLOVE Tìm nghiệm phương trình 10 CPLX Tính tập số phức 2.3.5 Một số lưu ý sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS… Như nói trên, đề tài tơi tập trung xây dựng thuật tốn để máy tính giúp giải tốn mà máy khơng cung cấp chức có sẵn như: tìm giới hạn, giải số dạng phương trình chứa căn… việc sử dụng máy tính mức độ như: Giải phương trình bậc hai, tính sinx, tính cosx … xem học sinh biết chưa biết em tự học hiểu Vì thao tác bấm máy, nhập liệu đề tài tơi trình bày ngắn gọn Chỉ giải thích thêm chỗ học sinh vướng mắc thực theo yêu cầu lại không tìm thấy đáp án 2.4 Sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS để giải số dạng toán trắc nghiệm giới hạn chương trình lớp 11 ban Để sử dụng máy tính cầm tay tìm giới hạn hàm số (dãy số) ta dựa vào định nghĩa giới hạn: Giới hạn điểm, giới hạn vô cực… “quy ước lại” khái niệm giới hạn như: �;  �; a  ; a  sang ngôn ngữ máy tính cầm tay Một số dạng giới hạn hàm số áp dụng cách làm tương tự giới hạn dãy số nên tác giả không trình bày nhiều ví dụ giới hạn dãy số Việc tìm giới hạn máy tính cầm tay thực chất ta yêu cầu máy tính tính giá trị hàm số (dãy số) cần tìm giới hạn giá trị “được hiểu” tương đương với khái niệm: �;  �; a  ; a  Vì ta có quy tắc sau: Quy tắc 1: Khi x � � ta sử dụng số đủ lớn để thay 99999999 1010 Khi x � � ta sử dụng số đủ nhỏ để thay -999999…hoặc-1010 Lưu ý: Máy tính cầm tay xử lý tối đa phép tốn có kết 12 chữ số, dó trong trường hợp ta chọn 1010 Tuy nhiên số trường hợp phải xử lý linh hoạt hơn, Ví dụ chẳng hạn Quy tắc 2: Khi x � a  ta sử dụng số đại diện x = a + 0,0000000001 Khi x � a  ta sử dụng số đại diện x = a - 0,0000000001 Lưu ý: - Số a + 0,0000000001 số a - 0,0000000001 hiểu số thuộc lân cận a theo định nghĩa giới hạn phía Số gần a kết giới hạn xác - Và để đảm bảo kết giới hạn đủ độ xác ta thường lấy sau dấu phẩy chữ số Quy tắc 3: Khi x � a ta sử dụng số đại diện x = a+0,0000000001 số x = a - 0,000000001 để tính Lưu ý: Nếu a thuộc tập xác định ta lấy x = a để tìm giới hạn x2  x  Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số (dạng đơn giản): lim x �2 x2  A,0 B, � C,  D,  Giải: Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập Ấn “=” máy cho kết  x2  4x  Suy đáp án C: lim  x �2 x 2 Nhận xét: Đây dạng giới hạn đơn giản mà đa số học sinh làm được, nhiên biểu thức phức tạp học sinh yếu trường THPT Hà Văn Mao thường gặp phải khó khăn tính tốn khơng có máy tính hỗ trợ Ví dụ 2: Tìm giới hạn (giới hạn hữu hạn vơ cực – dạng A, � B,0 C , � 2x  � ) lim � x�� x  D, Giải: Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập số 1010 1012 999999999999 Ấn “=” , máy cho kết 0,6666666666 2x   x �� x  Nhận xét: Đối với ví dụ dạng này, học sinh mức trung bình dễ dàng đốn kết từ cách làm tự luận Suy đáp án D: lim Ví dụ 3: Cho I  lim 4n   n Khi giá trị I là: 4n  n  A I  1 B I  C I  D I  Giải: Lưu ý: Đây giới hạn dãy số, để tiện lợi cho việc bấm máy ta bấm x thay cho kí hiệu n Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập số 1010 1012 999999999999 Ấn “=”, máy cho kết Vậy đáp án C: I  lim 4n   n 1 4n  n  Nhận xét: Đối với dạng tập khơng có hỗ trợ MTCT việc tìm kết vất vả � n  5n Ví dụ 4: Tìm giới hạn dãy số (giới hạn hữu hạn vô cực – dạng ) lim n �  2.5n A,  B, C,  D, Lưu ý: Đây giới hạn dãy số, để tiện lợi cho việc bấm máy ta bấm x thay cho kí hiệu n Giải: Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập số 1010 1012 999999999999 Ấn “=” , máy cho kết Lưu ý: Trong trường hợp phép toán lũy thừa cho kết lớn nên việc nhập x 1010 1012 máy khơng thực Để có kết ta cần thay x 99 100 ta có kết 5  Suy đáp án A : lim n n  2.5 Nhận xét: Trong thực tế giảng dạy có nhiều học sinh có lực học trung bình mắc phải sai lầm làm tập n n Ví dụ 5: Tìm giới hạn (giới hạn bên) lim x �2 A,  B, � x 1 x2 C, D, � Giải: Bước 1: Nhập biểu thức cần tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập số 2+0,0000000001 tức 1,9999999999 Ấn “=”, máy cho kết -3.1011 x 1  � x �2 x  Nhận xét: Ở dạng ví dụ này, đa số học sinh mức trung bình thường hay sai làm theo cách tự luận, em thường sai lầm việc xét dấu, phân vân kết � hay � Suy đáp án B: lim 10 x2  x  Ví dụ 6: Tìm giới hạn hàm số (dạng vô định ): lim x �3 x2  A, � B,1 C, D, Giải: Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập x = 2,99999999999 Ấn “=”, ta có kết x2  x  Suy đáp án C: lim  x �3 x2  Nhận xét: Đây dạng giới hạn phổ biến chương trình tốn 11, xuất nhiều phần hàm số liên tục Dạng giới hạn đa dạng, học sinh khơng nắm vững kiến thức khó khăn tốn tụ luận ( x3  x  5) Ví dụ 7: Tìm giới hạn hàm số (dạng vơ cực): xlim �� A,5 B,0 C,  � D, � Giải: Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập x  1010 9999999999 Ấn “=”, ta có kết ( x3  x  5)  � Suy đáp án D: xlim �� 11 Nhận xét: Đây dạng giới hạn đơn giản có dạng đa thức, nhiên học sinh dễ nhầm lẫn kết � hay � ( x   x) Ví dụ 8: Tìm giới hạn hàm số (dạng � � ) xlim � � A,5 C,  � B, D, � Giải: Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập x  1010 9999999999 Ấn “=”, ta có kết ( x   x)  Suy đáp án D: xlim �� Ví dụ 9: Tìm giới hạn hàm số (dạng � � ) lim ( x  3x   x ) x �� A,2 B, C,  � D , � Giải: Bước 1: Nhập biểu thức tìm giới hạn Bước 2: Ấn CALC, nhập x  1010 9999999999 Ấn “=”, ta có kết 12 Suy đáp án B: lim ( x  x   x)  x �� Nhận xét: Ở ví dụ ví dụ khó học sinh bản, kể học sinh dễ nhầm lẫn, tưởng dạng với dạng ví dụ khơng phải Trong ví dụ thực làm tự luận thời gian dễ bị làm sai tính tốn Bài tập tương tự: Tính giới hạn sau: 2x 1 x2  5x  a, lim b, lim x ��  x x �2 x2 d, f,  lim x  x  x  x �� lim  x �� c, lim x �2  x  x   x3  x  e,  lim x �2 g, xlim �2 x2 2 x2  2x x2 x x2  4  1   x  Bình luận: Qua ví dụ ta thấy việc tìm giới hạn máy tính cầm tay có phép quy đổi “ngầm hiểu” ký hiệu �;  �; a  ; a  Phép quy đổi “ngầm hiểu” không chất kết thu phản ánh chất giới hạn Vì học sinh biết khéo léo kết hợp máy tính bước giải trình bày giải đầy đủ yêu cầu tốn tự luận nhanh xác Nếu giải cần kết giới hạn cần vài thao tác máy tính quen thuộc em có kết cần Vận dụng nguyên tắc em học sinh giải nhiều tốn, dạng tốn tìm giới hạn dãy số, giới hạn hàm số chương trình phổ thơng nhanh xác Hơn việc tìm giới hạn máy tính dễ thực đối tượng học sinh 2.5 Giải pháp thực kết thực nghiệm Để đánh giá tính khả thi đề tài, tác giả chọn hai lớp giảng dạy: + Lớp 11A6 (sĩ số 41) chọn làm lớp thực nghiệm – áp dụng đề tài nghiên cứu vào giảng dạy + Lớp 11A8 (sĩ số 39) chọn làm lớp đối chứng - giảng dạy theo phương pháp truyền thống (tự em nghiên cứu máy tính giải tốn) Cả hai lớp theo ban có chất lượng học tập đồng mức trung bình Sau giảng dạy xong, tác giả tiến hành kiểm tra chất lượng cách cho hai lớp làm chung đề kiểm tra 15 phút 45 phút; thực chấm lấy điểm, phân tích số liệu rút nhận xét Sau tiến hành kiểm tra, chấm tác giả thu kết bảng sau: 13 Điểm Lớp 15 phút Lớp TN 11A6 45 phút 10 Sĩ số 0 0 4 18 0 11 10 41 15 phút 0 7 6 10 Lớp ĐC 39 11A8 45 phút 0 7 Từ kết rút số ưu điểm, khuyết điểm trình thực đề tài nghiên cứu: a) Ưu điểm - Học sinh thích thú với việc giải tốn trắc nghiệm giới hạn có hỗ trợ máy tính cầm tay - Kết giải có trợ giúp máy tính tỷ lệ giải cao so với học sinh giải tay thông thường - Tốc độ hồn thành tốn tăng lên đáng kể - Tâm lý làm học sinh tự tin chủ động b) Khuyết điểm - Một số học sinh lạm dụng MTCT nhiều dẫn đến việc tư toán tự luận - Nếu học sinh chưa có kỹ sử dụng máy tính cầm tay việc thực phép tốn gặp nhiều sai lầm chậm - Đa số học sinh chưa có thói quen chuyển hóa tốn sang ngơn ngữ máy tính - Chỉ có khoảng 30% đến 35% số học sinh có máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính có chức tương đương) Nên việc triển khai dạy lớp có nhiều khó khăn III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận - Sử dụng máy tính CASIO FX-570VN PLUS (hoặc máy tính có chức tương đương) vào việc giải toán giới hạn nói riêng việc giải tốn, học tốn nói chung biện pháp tích cực cần thiết việc giải toán học sinh nhằm kiểm tra kết thực hiện, so sánh kết với để từ tìm cách giải hơn, hồn thiện cho toán - Đề tài nghiên cứu cung cấp cho em học sinh hệ thống kiến thức cách sử dụng tính máy tính cầm tay CASIO FX570VN PLUS nói riêng máy tính cầm tay nói chung - Khai thác tính ưu việt máy tính cầm tay CASIO FX-570VN việc giải định hướng cách giải cho số dạng toán trắc nghiệm giới hạn chương trình Tốn 11 14 3.2 Kiến nghị - Tùy theo hứng thú học sinh mà giáo viên tổ chức buổi dạy thêm, phụ đạo giúp học sinh có nhận thức phong phú dạng tập giới hạn giải được, tìm dựa vào MTCT - Với hình thức thi trắc nghiệm việc sử dụng MTCT vào giải tốn vấn đề thiết thực Các trường THPT nói riêng Sở GD&ĐT Thanh Hóa nói chung cần xây dựng lại khung chương trình học phân phối chương trình mới, để việc sử dụng MTCT đưa vào giải tốn hiệu - Kính mong Sở GD&ĐT Thanh Hóa tiếp tục tổ chức kỳ thi giải tốn máy tính cầm tay Casio Bởi theo tơi kỳ thi hữu ích, tạo cho em sân chơi trí tuệ lành mạnh, em học sinh có điều kiện giao lưu học hỏi kinh nghiệm lẫn Các thầy cô rèn luyện trau dồi kiến thức MTCT nhiều Kỳ thi trải nghiệm thú vị em học sinh đường chinh phục đỉnh cao tri thức nhân loại thời đại công nghệ thông tin XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG CƠ QUAN Thanh hóa, ngày … tháng …năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN thân viết ra, không chép người khác Người viết SKKN Phạm Văn Phương 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO FX570ES PLUS TS Nguyễn Thái Sơn, Hướng dẫn giải tốn máy tính CASIO FX570VN PLUS Nguyễn Trường Chấng, Nguyễn Thế Thạch, Sách hướng dẫn sử dụng giải tốn máy tính CASIO FX-570ES PSG TS Tạ Duy Phượng, Các dạng toán thi HSG giải toán máy tính điện tử khoa học Phần mềm giả lập FX570ES PLUS chạy windows Các tài liệu tìm hiểu mạng internet 16 ... dụng tính máy tính cầm tay CASIO FX5 70VN PLUS nói riêng máy tính cầm tay nói chung - Khai thác tính ưu việt máy tính cầm tay CASIO FX- 57 0VN việc giải định hướng cách giải cho số dạng toán trắc nghiệm. .. nhiều loại, thông dụng máy tính CASIO với phiên máy như: CASIO FX- 50 0MS, CASIO FX- 50 0, CASIO FX- 50 0PLUS, CASIO FX- 57 0ES, CASIO FX- 50 0VN PLUS, FX- 57 0ES, FX- 57 0ES PLUS, CASIO FX- 58 0VN PLUS… Trong đề... tính cầm tay CASIO FX- 57 0VN PLUS nói riêng máy tính cầm tay nói chung - Khai thác tính ưu việt máy tính cầm tay CASIO FX- 57 0VN PLUS việc giải định hướng cách giải cho số dạng tốn giới hạn chương