2016 analyse

ANA LY S E C O U R S D E M AT H É M AT I Q U E S PREMIÈRE ANNÉE Exo7 À la découverte de l’analyse Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée Dans le supérieur, il s’agit d’apprendre les construire ! La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) l’infiniment petit (le calcul de dérivée) L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions Vous en connaissez déjà beaucoup, racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle Elles interviennent dès que l’on s’intéresse des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des problèmes Ce tome débute par l’étude des nombres réels, puis des suites Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles, qui reposent sur des définitions et des preuves minutieuses Toutes ces notions ont une interprétation géométrique, qu’on lit sur le graphe de la fonction, et c’est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider comprendre l’intuition cachée derrière les énoncés En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et la résolution d’équations différentielles Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours, ensuite conntre par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions sans oublier de travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement Enfin, vous devrez passer autant de temps pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions ! Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant ce cours, ainsi que des exercices corrigés Alors n’hésitez plus : manipulez, calculez, raisonnez, et dessinez, vous de jouer ! Sommaire Les nombres réels L’ensemble des nombres rationnels Propriétés de Densité de dans Borne supérieure Les suites Définitions Limites Exemples remarquables Théorème de convergence Suites récurrentes 15 15 17 23 26 30 Limites et fonctions continues Notions de fonction Limites Continuité en un point Continuité sur un intervalle Fonctions monotones et bijections 37 38 42 47 51 55 Fonctions usuelles Logarithme et exponentielle Fonctions circulaires inverses Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses 59 59 63 66 Dérivée d’une fonction Dérivée Calcul des dérivées Extremum local, théorème de Rolle Théorème des accroissements finis 69 70 73 77 80 Intégrales L’intégrale de Riemann Propriétés de l’intégrale Primitive d’une fonction Intégration par parties – Changement de variable Intégration des fractions rationnelles 85 87 93 95 100 104 10 Développements limités Formules de Taylor Développements limités au voisinage d’un point Opérations sur les développements limités Applications des développements limités 109 110 114 117 122 Courbes paramétrées Notions de base Tangente une courbe paramétrée Points singuliers – Branches infinies Plan d’étude d’une courbe paramétrée Courbes en polaires : théorie Courbes en polaires : exemples 127 128 135 140 147 153 158 Équations différentielles Définition Équation différentielle linéaire du premier ordre Équation différentielle linéaire du second ordre coefficients constants Problèmes conduisant des équations différentielles 165 166 168 174 178 Leỗons de choses Alphabet grec Écrire des mathématiques : LATEX en cinq minutes Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique Formules de développements limités Formulaire : primitives 185 185 186 188 193 195 196 Index Chapitre Les nombres réels ❱✐❞é♦ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❱✐❞é♦ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❱✐❞é♦ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❱✐❞é♦ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❋✐❝❤❡ ❞✬❡①❡r❝✐❝❡s ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♥♦♠❜r❡s r❛t✐♦♥♥❡❧s Pr♦♣r✐étés ❞❡ ❉❡♥s✐té ❞❡ ❞❛♥s ❇♦r♥❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ Pr♦♣r✐étés ❞❡ Motivation Voici une introduction, non seulement ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 600 avant J.C.) le système de numération était b en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a + 60 + 60c + · · · On peut imaginer que pour les applications pratiques c’était largement suffisant (par exemple estimer la surface d’un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface, ) En langage moderne cela correspond compter uniquement avec des nombres rationnels Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C en Grèce) montrent que n’entre pas ce cadre C’est-à-dire que p ne peut s’écrire sous la forme q avec p et q deux entiers C’est un double saut conceptuel : d’une part concevoir que est de nature différente mais surtout d’en donner une démonstration Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres 10 et 1, 101/12 Le premier représente par exemple la diagonale d’un rectangle de base et de hauteur ; le second correspond par exemple au taux d’intérêt mensuel d’un taux annuel de 10 % Dans ce premier chapitre vous allez apprendre montrer que 10 n’est pas un nombre rationnel mais aussi encadrer 10 et 1, 101/12 entre deux entiers consécutifs Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d’outils beaucoup plus sophistiqués : • une construction solide des nombres réels, • l’étude des suites et de leur limites, • l’étude des fonctions continues et des fonctions dérivables Ces trois points sont liés et permettent de répondre notre problème, car par exemple nous verrons en étudiant la fonction f (x) = x − 10 que la suite des rationnels (un ) définie par u0 = et un+1 = 12 un + 10 un tend très vite vers 10 Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de qu’elles sont exactes : 10 et de certifier 10 = 3, 1622776601683793319988935444327185337195551393252168 LES NOMBRES RÉELS L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS L’ensemble des nombres rationnels 1.1 Écriture décimale Par définition, l’ensemble des nombres rationnels est = On a noté ∗ = Par exemple : p | p ∈ ,q ∈ q ∗ \ {0} ; −7 10 ; = 12 Les nombres décimaux, c’est-à-dire les nombres de la forme exemples : 1, 234 = 1234 × 10−3 = 1234 1000 a 10n , avec a ∈ et n ∈ , fournissent d’autres 0, 00345 = 345 × 10−5 = 345 100 000 Proposition Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie Par exemple : = 0, = 0, 3333 1, 179 325 325 325 ←→ ←→ ←→ Nous n’allons pas donner la démonstration mais le sens direct ( =⇒ ) repose sur la division euclidienne Pour la réciproque (⇐=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons que x = 12, 34 2021 2021 ←−→ ←−→ est un rationnel L’idée est d’abord de faire appartre la partie périodique juste après la virgule Ici la période commence deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 : 100x = 1234, 2021 2021 ←−→ ←−→ (1) Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie encore par 10 000 pour décaler de chiffres : 10 000 × 100x = 1234 2021, 2021 ←−→ (2) Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant (2)-(1) alors les parties décimales s’annulent : 10 000 × 100x − 100x = 12 342 021 − 1234 donc 999 900x = 12 340 787 donc x= Et donc bien sûr x ∈ 1.2 12 340 787 999 900 n’est pas un nombre rationnel Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels Les nombres irrationnels apparaissent naturellement dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d’un carré de côté est le nombre irrationnel ; la circonférence d’un cercle de rayon 12 est π qui est également un nombre irrationnel Enfin e = exp(1) est aussi irrationnel LES NOMBRES RÉELS L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS π • Nous allons prouver que n’est pas un nombre rationnel Proposition 2∈ / Démonstration Par l’absurde supposons que soit un nombre rationnel Alors il existe des entiers p ∈ p et q ∈ ∗ tels que = q , de plus –ce sera important pour la suite– on suppose que p et q sont premiers p entre eux (c’est-à-dire que la fraction q est sous une écriture irréductible) p En élevant au carré, l’égalité = q devient 2q2 = p2 Cette dernière égalité est une égalité d’entiers L’entier de gauche est pair, donc on en déduit que p2 est pair ; en terme de divisibilité divise p2 Mais si divise p2 alors divise p (cela se prouve par facilement l’absurde) Donc il existe un entier p ∈ tel que p = 2p Repartons de l’égalité 2q2 = p2 et remplaỗons p par 2p Cela donne 2q2 = 4p Donc q2 = 2p Maintenant cela entrne que divise q2 et comme avant alors divise q Nous avons prouvé que divise la fois p et q Cela rentre en contradiction avec le fait que p et q sont premiers entre eux Notre hypothèse de départ est donc fausse : n’est pas un nombre rationnel Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l’absurde Autre démonstration Par l’absurde, supposons p = q , donc q = p ∈ Considérons l’ensemble = n∈ ∗ |n 2∈ Cet ensemble n’est pas vide car on vient de voir que q = p ∈ vide de , elle admet donc un plus petit élément n0 = Posons donc q ∈ Ainsi est une partie non n1 = n0 − n0 = n0 ( − 1), il découle de cette dernière égalité et de < < que < n1 < n0 De plus n1 = (n0 − n0 ) = 2n0 − n0 ∈ Donc n1 ∈ et n1 < n0 : on vient de trouver un élément n1 de strictement plus petit que n0 qui était le minimum C’est une contradiction Notre hypothèse de départ est fausse, donc ∈ / Exercice Montrer que 10 ∈ / On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » : e π −3 −2 −1 LEÇONS DE CHOSES ÉCRIRE DES MATHÉMATIQUES : LATEX EN CINQ MINUTES 186 Écrire des mathématiques : LATEX en cinq minutes 2.1 Les bases Pour écrire des mathématiques, il existe un langage pratique et universel, le langage LATEX (prononcé [latek]) Il est utile pour rédiger des textes contenant des formules, mais aussi accepté sur certains blogs et vous permet d’écrire des maths dans un courriel ou un texto Une formule s’écrit entre deux dollars ✩❭♣✐❫✷✩ qui donne π2 ou entre double dollars si l’on veut la centrer sur une nouvelle ligne ; ✩✩❭❧✐♠ ✉❴♥ ❂ ✰❭✐♥❢t②✩✩ affichera : lim un = +∞ Dans la suite on omettra les balises dollars 2.2 Premières commandes Les exposants s’obtiennent avec la commande ❫ et les indices avec ❴ : a2 s’écrit ❛❫✷ ; un s’écrit ✉❴♥ ; α2i s’écrit ❭❛❧♣❤❛❴✐❫✷ Les accolades ④ ⑥ permettent de grouper du texte : ✷❫④✶✵⑥ pour 210 ; ❛❴④✐✱❥⑥ pour ai, j Il y a ensuite toute une liste de commandes (qui commencent par ❭) dont voici les plus utiles : ❭sqrt racine 1+ fraction ❭sqrt❬✸❪④①⑥ a b π3 12 ❭❢r❛❝④❛⑥④❜⑥ ❭❢r❛❝④❭♣✐❫✸⑥④✶✷⑥ 2+ ❭❧✐♠ limite ❭❢r❛❝④✶⑥④✷ ✰ ❭❢r❛❝④✸⑥④✹⑥⑥ γn ❭❣❛♠♠❛❫④❭❢r❛❝④✶⑥④♥⑥⑥ limn→+∞ un = ❭❧✐♠❴④♥ ❭t♦ ✰❭✐♥❢t②⑥ ✉❴♥ ❂ ✵ lim x→0+ f (x) < ε ❭❧✐♠❴④① ❭t♦ ✵❫✰⑥ ❢✭①✮ ❁ ❭❡♣s✐❧♦♥ n ❭s✉♠ ❭sqrt④✶✰❭sqrt④✷⑥⑥ x ❭❢r❛❝ ❭sqrt④❛⑥ a i ❭s✉♠❴④✐❂✶⑥❫♥ ❭❢r❛❝④✶⑥④✐⑥ ❭s✉♠❴④✐ ❭❣❡ ✵⑥ ❛❴✐ φ(t)d t ❭✐♥t❴❛❫❜ ❭♣❤✐✭t✮ ❞t somme i=1 i b ❭✐♥t intégrale a 2.3 D’autres commandes Voici d’autres commandes, assez naturelles pour les anglophones LEÇONS DE CHOSES ÉCRIRE DES MATHÉMATIQUES : LATEX EN CINQ MINUTES f :E→F +∞ a a>0 a δ ∆ ❢ ✿ ❊ ❭t♦ ❋ ✰❭✐♥❢t② ❛ ❭❧❡ ✵ ❛ ❃ ✵ ❛ ❭❣❡ ✶ ❭❞❡❧t❛ ❭❉❡❧t❛ a∈E A⊂ E P =⇒ Q P ⇐⇒ Q ∀ ∃ ∪ ∩ 187 ❛ ❭✐♥ ❊ ❆ ❭s✉❜s❡t ❊ P ❭✐♠♣❧✐❡s ◗ P ❭✐❢❢ ◗ ❭❢♦r❛❧❧ ❭❡①✐sts ❭❝✉♣ ❭❝❛♣ 2.4 Pour allez plus loin Il est possible de créer ses propres commandes avec ❭♥❡✇❝♦♠♠❛♥❞ Par exemple avec l’instruction ❭♥❡✇❝♦♠♠❛♥❞④❭❘r⑥④❭♠❛t❤❜❜④❘⑥⑥ vous définissez une nouvelle commande ❭❘r qui exécutera l’instruction ❭♠❛t❤❜❜④❘⑥ et affichera donc Autre exemple, après avoir défini ❭♥❡✇❝♦♠♠❛♥❞④❭♠♦♥✐♥t❡❣r❛❧❡⑥④❭✐♥t❴✵❫④✰❭✐♥❢t②⑥ ❭❢r❛❝④❭s✐♥ t⑥④t⑥ ❞t⑥ +∞ sin t la commande ❭♠♦♥✐♥t❡❣r❛❧❡ affichera t d t Pour (beaucoup) plus de détails, consultez le manuel Une courte ( ?) introduction LATEX Mini-exercices Écrire en LATEX toutes ces formules (qui par ailleurs sont vraies !) b= a− +∞ n=1 R→+∞ k=0 b π −R ∀ε > e−t d t = lim +∞ a+ π2 = n2 +R a−b 16k ∃δ (|x − x | < δ =⇒ | ln(x) − ln(x )| < ε) 1 − − − =π 8k + 8k + 8k + 8k + LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 188 Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente 3.1 Le cercle trigonométrique y (0, 1) − 12 , ,2 3π (−1, 0) π π 90◦ ◦ 120 135◦ 150◦ 60 ,−2 π 45◦ 30◦ 360◦ 210◦ 225◦ 240◦ 5π 270◦ 4π 330◦ 315◦ 300◦ 7π (1, 0) 2π x 11π ,−2 5π 3π 2 2 ,− − 21 , − ,2 π ◦ 180◦ 7π − 2 , π 2π 5π − 2, 2 2 , − − 2 2 ,− 3 2,− (0, −1) Voici le cercle trigonométrique (de rayon 1), le sens de lecture est l’inverse du sens des aiguilles d’une montre Les angles remarquables sont marqués de 2π (en radian) et de 0◦ 360◦ Les coordonnées des points correspondant ces angles sont aussi indiquées y T M sin x tan x x O x cos x LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 189 Le point M a pour coordonnées (cos x, sin x) La droite (OM ) coupe la droite d’équation (x = 1) en T , l’ordonnée du point T est tan x Les formules de base : cos2 x + sin2 x = cos(x + 2π) = cos x sin(x + 2π) = sin x sin x Nous avons les formules suivantes : cos(−x) = cos x x sin(−x) = − sin x cos x cos(−x) −x On retrouve graphiquement ces formules l’aide du dessin des angles x et −x sin(−x) Il en est de même pour les formules suivantes : cos(π + x) = − cos x cos(π − x) = − cos x sin(π + x) = − sin x sin(π − x) = sin x π − x) = sin x π sin( − x) = cos x cos( sin(π − x) sin x sin x cos(π + x) x π+ x cos x cos(π − x) sin(π + x) sin( π2 − x) sin x π −x x cos( π2 − x)cos x x π− x cos x LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE π x π π π cos x 2 2 sin x 2 tan x 3 190 Valeurs que l’on retrouve bien sur le cercle trigonométrique (0, 1) 2, π 2 2 , π 90◦ π 60◦ 45◦ 30◦ 0◦ ,2 π (1, 0) 3.2 Les fonctions sinus, cosinus, tangente La fonction cosinus est périodique de période 2π et elle paire (donc symétrique par rapport l’axe des ordonnées) La fonction sinus est aussi périodique de période de 2π mais elle impaire (donc symétrique par rapport l’origine) y +1 cos x x −π π 2π 3π sin x −1 Voici un zoom sur l’intervalle [−π, π] y +1 sin x −π − π2 −1 π π cos x x LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 5π Pour tout x n’appartenant pas { , − π2 , π2 , 3π , , } la tangente est définie par tan x = sin x cos x La fonction x → tan x est périodique de période π ; c’est une fonction impaire y tan x +1 −π π − π2 π −1 Voici les dérivées : cos x = − sin x sin x = cos x tan x = + tan2 x = cos2 x 3.3 Les formules d’additions cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b sin(a + b) = sin a · cos b + sin b · cos a tan(a + b) = tan a + tan b − tan a · tan b On en déduit immédiatement : cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b sin(a − b) = sin a · cos b − sin b · cos a tan(a − b) = x 3π tan a − tan b + tan a · tan b 191 LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE : SINUS, COSINUS, TANGENTE 192 Il est bon de conntre par cœur les formules suivantes (faire a = b dans les formules d’additions) : cos 2a = cos2 a − = − sin2 a = cos2 a − sin2 a sin 2a = sin a · cos a tan a tan 2a = − tan2 a 3.4 Les autres formules Voici d’autres formules qui se déduisent des formules d’additions Il n’est pas nécessaire de les conntre mais il faut savoir les retrouver en cas de besoin cos(a + b) + cos(a − b) sin a · sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a · cos b = sin(a + b) + sin(a − b) Les formules précédentes se reformulent aussi en : p−q p+q · cos cos p + cos q = cos 2 p+q p−q cos p − cos q = −2 sin · sin 2 p+q p−q sin p + sin q = sin · cos 2 p−q p+q sin p − sin q = sin · cos 2 cos a · cos b = Enfin les formules de la « tangente de l’arc moitié » permettent d’exprimer sinus, cosinus et tangente en fonction de tan 2x  1−t  cos x = 1+t x 2t Avec t = tan on a sin x = 1+t   2t tan x = 1−t Ces formules sont utiles pour le calcul de certaines intégrales par changement de variable, en utilisant en 2d t plus la relation d x = + t2 Mini-exercices Montrer que + tan2 x = cos2 x Montrer la formule d’addition de tan(a + b) Prouver la formule pour cos a · cos b Prouver la formule pour cos p + cos q Prouver la formule : sin x = Montrer que cos π8 = 2 tan 2x + (tan 2x )2 π π , cos 32 , + Calculer cos 16 Exprimer cos(3x) en fonction cos x ; sin(3x) en fonction sin x ; tan(3x) en fonction tan x LEÇONS DE CHOSES FORMULAIRE : TRIGONOMÉTRIE CIRCULAIRE ET HYPERBOLIQUE Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique Propriétés trigonométriques : remplacer cos par ch et sin par i · sh cos2 x + sin2 x = ch2 x − sh2 x = cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b ch(a + b) = ch a · ch b + sh a · sh b sin(a + b) = sin a · cos b + sin b · cos a tan a + tan b tan(a + b) = − tan a · tan b cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b sin(a − b) = sin a · cos b − sin b · cos a tan a − tan b tan(a − b) = + tan a · tan b cos 2a = cos2 a − sh(a + b) = sh a · ch b + sh b · ch a th(a + b) = th a + th b + th a · th b ch(a − b) = ch a · ch b − sh a · sh b sh(a − b) = sh a · ch b − sh b · ch a th(a − b) = th a − th b − th a · th b ch 2a = ch2 a − = − sin a = + sh2 a = cos2 a − sin2 a = ch2 a + sh2 a sin 2a = sin a · cos a tan 2a = tan a − tan2 a cos(a + b) + cos(a − b) sin a · sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a · cos b = sin(a + b) + sin(a − b) cos a · cos b = p+q p−q · cos 2 p+q p−q cos p − cos q = −2 sin · sin 2 p+q p−q sin p + sin q = sin · cos 2 p−q p+q sin p − sin q = sin · cos 2 cos p + cos q = cos sh 2a = sh a · ch a th 2a = th a + th2 a ch(a + b) + ch(a − b) sh a · sh b = ch(a + b) − ch(a − b) sh a · ch b = sh(a + b) + sh(a − b) ch a · ch b = p+q p−q · ch 2 p+q p−q ch p − ch q = sh · sh 2 p+q p−q sh p + sh q = sh · ch 2 p−q p+q sh p − sh q = sh · ch 2 ch p + ch q = ch 193 LEÇONS DE CHOSES Avec t = tan 2x FORMULAIRE : TRIGONOMÉTRIE CIRCULAIRE ET HYPERBOLIQUE on a   cos x sin x   tan x Avec = = = 1−t 1+t 2t 1+t 2t 1−t t = th 2x on a   ch x sh x   th x = = = 1+t 1−t 2t 1−t 2t 1+t Dérivées : la multiplication par i n’est plus valable cos x = − sin x ch x = sh x sin x = cos x sh x = ch x tan x = + tan2 x = cos2 x th x = − th2 x = arccos x = arcsin x = Argch x = −1 − x2 x2 1− arctan x = + x2 (|x| < 1) (|x| < 1) Argsh x = x2 −1 ch2 x (x > 1) +1 Argth x = (|x| < 1) − x2 x2 194 LEÇONS DE CHOSES FORMULES DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Formules de développements limités Développements limités usuels (au voisinage de 0) n ex = + x x2 xn xk + + ··· + + o(x n ) = + o(x n ) 1! 2! n! k! k=0 n cos x = − x2 x4 x 2n x 2k + − · · · + (−1)n · + o(x 2n+1 ) = (−1)k + o(x 2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0 sin x = x − x 2k+1 x 2n+1 x3 x5 + − · · · + (−1)n · + o(x 2n+2 ) = (−1)k + o(x 2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0 tan x = x + x3 17 + x + x + o(x ) 15 315 n n ch x = + x2 x4 x 2n x 2k + + ··· + + o(x 2n+1 ) = + o(x 2n+1 ) 2! 4! (2n)! (2k)! k=0 sh x = x + x 2n+1 x 2k+1 x3 x5 + + ··· + + o(x 2n+2 ) = + o(x 2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (2k + 1)! k=0 th x = x − x3 17 + x − x + o(x ) 15 315 n n ln (1 + x) = x − x2 x3 xn xk + − · · · + (−1)n−1 · + o(x n ) = (−1)k+1 + o(x n ) n k k=1 (1 + x)α = + αx + n = k=0 α(α − 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1) n x + ··· + x + o(x n ) 2! n! α k x + o(x n ) k n 1+ x = − x + x − · · · + (−1)n x n + o(x n ) = 1− x = + x + x + · · · + x n + o(x n ) = k=0 n 1+ x x k + o(x n ) k=0 1+ x = 1+ (−1)k x k + o(x n ) = 1− arccos x = x · · · · · · (2n − 3) n − x − · · · + (−1)n−1 · x + o(x n ) 2n n! x · · · · · (2n − 1) n + x − · · · + (−1)n · x + o(x n ) 2n n! π x3 · x5 · · · · · (2n − 1) x 2n+1 −x− − − ··· − + o(x 2n+2 ) 2 2·4 · · · · · (2n) 2n + arcsin x = x + x3 · x5 · · · · · (2n − 1) x 2n+1 + + ··· + + o(x 2n+2 ) 2·4 · · · · · (2n) 2n + arctan x = x − x3 x5 x 2n+1 + + · · · + (−1)n · + o(x 2n+2 ) 2n + 195 LEÇONS DE CHOSES FORMULAIRE : PRIMITIVES Formulaire : primitives C désigne une constante arbitraire Les intervalles sont préciser eαt d t = tα d t = t α+1 +C α+1 eαt +C α (α ∈ ∗ ) dt = ln |t| + C t (α = −1) dt = Arctan t + C + t2 1+ t dt +C = ln − t2 1− t dt dt − t2 = Arcsin t + C dt ch2 t dt = tan t + C cos2 t dt = −cotan t + C t π dt = ln tan + cos t t2 + α + C sh t d t = ch t + C sin t d t = − cos t + C sin2 t = ln t + ch t d t = sh t + C cos t d t = sin t + C dt t2 + α +C dt t = ln tan + C sin t tan t d t = − ln |cos t| + C cotan t d t = ln |sin t| + C sh2 t = th t + C = −coth t + C dt = 2Arctan e t + C ch t t dt = ln th +C sh t th t d t = ln (ch t) + C coth t d t = ln |sh t| + C 196 Les auteurs Ce livre, orchestré par l’équipe Exo7, est issu d’un large travail collectif Les auteurs sont : Arnaud Bodin Niels Borne Marc Bourdon Guoting Chen Gilles Costantini Laura Desideri Abdellah Hanani Jean-Louis Rouget Vous retrouverez les auteurs correspondant chaque partie en fin de chapitre Merci Stéphanie Bodin, Vianney Combet, Pascal Romon qui ont relu des chapitres, Benjamin Boutin pour ses dessins, Kroum Tzanev pour la réalisation de ce livre, et Yannick Bonnaz pour la couverture L’équipe Exo7 est composée d’Arnaud Bodin, Léa Blanc-Centi, Niels Borne, Benjamin Boutin, Laura Desideri et Pascal Romon Le cours et les vidéos ont été financés par l’université de Lille et Unisciel Ce livre est diffusé sous la licence Creative Commons – BY-NC-SA – 3.0 FR Sur le site Exo7 vous pouvez le télécharger gratuitement et aussi récupérer les fichiers sources Exo7 Index arccosinus, 63 archimédien, arcsinus, 64 arctangente, 65 asymptote, 124, 144 borne inférieure, 10 borne supérieure, 10 branche infinie, 144 continuité, 47 convergence, 19 cosinus, 63 cosinus hyperbolique, 66 courbe en polaires, 153 intégrale, 172 multiplicité, 133 paramétrée, 128 régulière, 136 simple, 133 support, 129 tangente, 135, 155, 157 densité, dérivée, 70 dérivée seconde, 76 développement limité, 114, 116 asymptotique, 124 en +∞, 124 divergence, 19 domaine de définition, 38 égalité de la moyenne, 112 équation caractéristique, 175 équation différentielle, 166 variables séparées, 167 homogène, 167 sans second membre, 167 exponentielle, 61 extremum, 77 fonction bornée, 39 constante, 39 continue, 47 continue par morceaux, 91 croissante, 40 de classe , 91 de classe n , 110 de classe ∞ , 110 décroissante, 40 dérivable, 70 dérivée, 70, 73 en escalier, 87 impaire, 40 intégrable, 89 limite, 42–44 majorée, 39 minorée, 39 monotone, 40 nulle, 39 paire, 40 périodique, 41 formule de Leibniz, 76 de Taylor avec reste f (n+1) (c), 111 de Taylor avec reste intégral, 110 de Taylor-Young, 112 graphe, 38 inégalité des accroissements finis, 81 triangulaire, intégrale, 88 changement de variable, 102 de Riemann, 89 linearité, 93 positivité, 93 intégration par parties, 100 intervalle, limite, 18, 42–44 droite, 45 gauche, 45 unicité, 45 logarithme, 59 décimal, 60 en base quelconque, 60 néperien, 60 majorant, 10 maximum, 9, 77 minimum, 9, 77 minorant, 10 nombre décimal, irrationnel, rationnel, réel, partie entière, partie polynomiale, 114 plus grand élément, plus petit élément, point d’allure ordinaire, 141 d’inflexion, 141 de rebroussement, 141 double, 133 singulier, 140 point critique, 77 point d’inflexion, 123 point fixe, 31 primitive, 95, 96 prolongement par continuité, 49 racine n-ème, 61 règle de Bioche, 106 de l’Hospital, 82 relation d’ordre, relation de Chasles, 93 série géométrique, 23 sinus, 64 sinus hyperbolique, 66 somme de Riemann, 99 sous-suite, 28 subdivision, 87 suite, 15 adjacente, 27 bornée, 16 convergente, 19 croissante, 16 décroissante, 16 divergente, 19 extraite, 28 géométrique, 23 limite, 18 majorée, 16 minorée, 16 monotone, 16 récurrente, 31 tangente, 65, 70, 135 tangente hyperbolique, 67 théorème de Bolzano-Weierstrass, 29 de Cauchy-Lipschitz, 172, 176 de la bijection, 55 de Rolle, 79 des accroissements finis, 80 des gendarmes, 21, 47 des valeurs intermédiaires, 51, 52 valeur absolue, variation de la constante, 171, 177 vecteur dérivé, 136 voisinage, Version 1.00 – Janvier 2016