ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (2005 - 2006 ) MÔN TOÁN Thời gian 150 Bài 1: (2 điểm Giả sử hai phương trình : cos2x + acosx + 2 = 0 (1) cos2x + bcosx + 2 = 0 (2) mỗi phương trình đều có 4 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0 ; 2 π ) . Chứng minh rằng phương trình sau đây vô nghiệm : cos2x + (a +b)cosx + 5 = 0 (3) Bài 2 : (2 điểm) Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình : x(x - 4) + a 2 (a + 4) ≤ ax ( a + 1 ) (1) chứa không quá 4 giá trị x nguyên ? Bài 3 : (2 điểm) Giả sử x i là nghiệm của bất phương trình : 4x 2 - 4a i x + (a i - 1) 2 ≤ 0 ( i = 1,2,3, ,n) và 5 2 1 ≤≤ i a ∀ i = 1,2, .,n . Chứng minh n xxx n xxx nn +++ +≤ +++ 1 . 21 22 2 2 1 Bài 4 : (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2222 )3()1( −++++ yxyx trong đó x , y là các số thực thoả mãn 2x - y = 2. Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC . Vẽ ba phân giác AA / , BB / , CC / .Gọi a 1 , b 1 , c 1 tương ứng là các khoảng cách từ A 1 đến AB , B 1 đến BC , C 1 đến CA . Gọi h a , h b , h c tương ứng là ba chiều cao của tam giác kẻ từ A , B, C . Chứng minh rằng 2 3 111 ≥++ cba h c h b h a ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI (2005 - 2006 ) Bài1: (2điểm) (0,25)* (1) ⇔ 2cos 2 x +acosx +1 = 0 * (2) ⇔ 2cos 2 x +bcosx + 1 = 0 (0,25) Đặt t = cosx thì các phương trình (1) và (2) trở thành : f(t) = 2t 2 + at +1 = 0 (4) g(t) = 2t 2 + bt +1 = 0 (5) (0,25) Do các phương trình (1) và (2) mỗi phương trình đều có 4 nghiệm phân biệt thuộc (0;2 π ) suy ra : - phương trình (4) có hai nghiệm t 1 , t 2 thoả -1<t 1 <t 2 <1 - phương trình (5) có hai nghiệm t 3 , t 4 thoả -1<t 3 <t 4 <1 (0,25)Vậy ta có >− >+ >− >+ ⇔ >− > >− > 03 03 03 03 0)1( 0)1( 0)1( 0)1( b b a a g g f f (0,5) * (3) ⇔ = =+++= xt tbattF cos )6(04)(2)( 2 Xét phương trình (6) - Nếu ∆ <0 ⇒ (6) vô nghiệm ⇒ (3) vô nghiệm - Nếu ≥∆ 0 gọi t , t ' là các nghiệm của (6) ta có >−+−=− >+++= 0)3()3()1( 0)3()3()1( baF baF (0,5) Vậy xảy ra các khả năng : <≤<− ≤< −<≤ )(11 )(1 )(1 ' ' ' ctt btt att Nếu xảy ra (a) hoặc (b) ⇒ (3) vô nghiệm Trường hợp (c) không xảy ra vì t.t ' = 4 Vậy trong mọi trường hợp đều dẫn đến (3) vô nghiệm . Bài 2 : (2 điểm) (0,5) (1) ⇔ x 2 - (a 2 +a + 4)x + a 3 + a 2 = 0 ⇔ +≤ ≥ +≥ ≤ 4 4 2 2 ax ax ax ax trong hệ toạ độ (Oax) tập hợp các điểm M(a;x) thoả mãn hệ bất phương trình trên được biểu diễn bởi phần gạch sọc trên hình vẽ (0,5) *vẽ hình -15 -10 -5 5 10 15 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -2 - 6 12 x A 2 = 268,29 x A +4 = -12,38 x A = -16,38 (0,5) Xét họ các đường thẳng x = k ( k nguyên ) cùng phương với trục Oa . Lúc đó giá trị a 0 mà với nó đường thẳng a = a 0 cắt các đường thẳng x = k không quá 4 điểm đã được đánh dấu . (0,5) Bất phương trình (1) có tập hợp nghiệm chứa không quá 4 giá trị x nguyên khi và chỉ khi đường thẳng a = a 0 cắt họ đường thẳng song song x = k không quá 4 điểm nằm trong phần gạch sọc . Căn cứ vào hình vẽ suy ra các giá trị a cần tìm là : - 06 << a hay 0<a<1 hay 121 << a . Bài 3 (2 điểm ) (0,5) Ta có )12(4)1(44 22' −=−−=∆ iiii aaa Do 0 2 1 ' ≥∆⇒≥ ii a Do x i là nghiệm của bất phương trình 4x 2 - 4a i x + (a i - 1) 2 ≤ 0 nên 2 12 2 12 −+ ≤≤ −− ii i ii aa x aa Do ⇒≤ 5 i a 4 2 12 ≤ −+ ii aa (0,75) Xét hàm f(x) = )12( 2 1 −− xx với x ∈ 5, 2 1 Ta có f ' (x) = ) 12 1 1( 2 1 − − x +--- f' x ( ) f x ( ) 0 0 5 1 1 2 x Vậy f(x) 0 ≥ với x ∈ 5, 2 1 suy ra 0 2 12 ≥ −− ii aa Vậy 40 ≤≤ i x với mọi i = 1,2,3, ,n (0,75) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số ta được : ( ) ( ) nn n n xxxnnxxx xxxn nxxx 4 .44 . ) .( 2 . 2121 21 21 +++≥++++⇔ +++≥ ++++ do [ ] 2 44,0 iii xxx ≥⇒∈ vậy n xxx n nxxx xxxnnxxx nn nn ) .( . ) .( . 22 2 2 121 22 2 2 121 +++ ≥ ++++ ⇔ +++≥++++ Bài 4 : (2 điểm) (0,5) Trong mặt phẳng Oxy xét đường thẳng ∆ : 2x - y = 0 , M(x,y) ∆∈ và hai điểm A(0,-1) , B(0,3).Ta có : MA = 22 )1( ++ yx MB = 22 )3( −+ yx Đặt f(x,y) = 2x - y - 2 <−= <−=− ⇒ 05)3,0( 01)1,0( f f ⇒ hai điểm A và B nằm về một phía có bờ là đường thẳng ∆ .Bài toán đặt ra là tìm M ∆∈ sao cho MA + MB nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất ấy (0,5) Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua ∆ và M 0 là giao điểm của ∆ và A ' B ∆ M0 A' I A B M Ta có MA + MB = MA ' + MB ≥ A ' B Dấu = xảy ra ⇔ A ' , M , B thẳng hàng ⇔ M trùng với M 0 Vậy khi M trùng với M 0 thì MA + MB là nhỏ nhất . (0,5) Ta xác định toạ độ M 0 Đường thẳng AA ' đi qua A và vuông góc với ∆ nên có phương trình 1 1 2 0 − + = − yx (AA ' ) x + 2y + 2 = 0 . Toạ độ giao điểm I của ∆ và AA ' là nghiệm của hệ phương trình − = = ⇔ =−− =++ 5 6 5 2 022 022 y x yx yx Vậy I ( ) 5 7 , 5 4 − Mà M là trung điểm AA ' − =−= =−= ⇒ 5 7 2 5 4 2 ' ' AIA AIA yyy xxx Vậy A ' ( ) 5 7 , 5 4 − Phương trình đường thẳng A ' B: 3 5 7 3 5 4 − − − = yx 06211:)'( =−+⇔ yxBA Toạ độ M 0 là nghiệm hệ phương trình: − = = ⇔ =−+ =−− 3 2 3 2 06211 22 y x yx yx Vậy M 0 ( ) 3 2 , 3 2 − Ta có M 0 A + M 0 B =2 5 Kết quả (MA+MB) min =2 5 đạt được tại M 0 ( ) 3 2 , 3 2 − Tức là: 2222 )3()1( −++++ yxyx đạt được giá trị nhỏ nhất là 2 5 khi x= 3 2 và y= 3 2 − Bài 5 : (0,5) Kẻ AH ⊥ BC và A ' K ⊥ AB ⇒ AH = h a và A ' K = a 1 .Trong tam giác ABA ' có : BA ' . AH = AB.AK ' K H A' A B C ⇒ BA ' .h a = c.a 1 ⇒ a h a 1 = c BA ' (1) (0,5)Do AA ' là phân giác của góc ABC nên ta có b c CA BA CA BA =⇒= ' ' ' ' AC AB ⇒ cb b CABA BA + = + '' ' ⇒ BA ' = cb ac + (2) thay (2) vào (1) ta có cb a h a a + = 1 (0,5)tương tự ta có ac b h b b + = 1 ba c h c c + = 1 suy ra =++ cba h c h b h a 111 cb a + + ac b + + ba c + (0,5) mà cb a + + ac b + + ba c + 2 3 ≥ nên 2 3 111 ≥++ cba h c h b h a HẾT