BAI TAP TRI RIENG VECTOR RIENG BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

là trị riêng của A ⇔ ∃ x∈ Kn, x ≠ 0: Ax = λx Eλ = { x Ax = λx} : không gian riêng ứng với λlà trị riêng của A ⇔ ∃ x∈ Kn, x ≠ 0: Ax = λx Eλ = { x Ax = λx} : không gian riêng ứng với λlà trị riêng của A ⇔ ∃ x∈ Kn, x ≠ 0: Ax = λx Eλ = { x Ax = λx} : không gian riêng ứng với λlà trị riêng của A ⇔ ∃ x∈ Kn, x ≠ 0: Ax = λx Eλ = { x Ax = λx} : không gian riêng ứng với λ

BÀI TẬP TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG TRẦN NGỌC DIỄM TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN A  Mn(K)  K trị riêng A   x Kn, x 0: Ax = x x gọi trị riêng tương ứng với  E = { x/ Ax = x} : không gian riêng ứng với  TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Trị riêng A nghiệm pt đặc trưng: p() = det(A- I) = (p() : đa thức đặc trưng.) Với , vector riêng nghiệm x0 hệ pt: (A- I)x = Cơ sở kg riêng ứng với  hệ nghiệm hpt (A- I)x = TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN 5 � � A  � 7 � � � � �  � � Vector sau vector riêng A, trị riêng tương ứng �� �� �� X  �� , X  �� , X  �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN �1 2 � A  �1 1� � � � �  1 � � Tìm m để u=(2,-m,m)T vector riêng A TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng 2 � � A� �M ( R ) � �1 1� Tìm trị riêng sở khơng gian riêng 1� � A� 2� � � � � 1 � � TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Nếu  trị riêng A n trị riêng An VTR A VTR An Nếu  trị riêng A p() = ann + …+ a1 + a0 trị riêng p(A) = anAn + …+ a1A + a0I Nếu A khả nghịch  trị riêng A −1 trị riêng A−1 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng a A3 b A3  A2  A  I c A 3 2 � � A� �M ( R ) � �1 1� CHÉO HĨA MA TRẬN A  Mn(K) chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P cho P−1AP mt chéo A chéo hóa được A có n vec tor riêng đltt Lấy ma trận P với cột Pi vector riêng đltt A D = P−1AP chéo (Đường chéo D chứa trị riêng A) CHÉO HÓA MA TRẬN Nhận dạng ma trận chéo hóa được: Cách 1: Nếu A Mn có n trị riêng phân biệt A chéo hóa Cách 2: Nếu A  Mn , p ( )  (  1 ) k1 (   ) k2 (   r ) kr dimEi = ki A chéo CHÉO HĨA MA TRẬN Ma trận chéo hóa được, chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch P cho P-1AP ma trận chéo 1� � � � 1)A  1 � � �1 1� � � 1� � � � 2)A  � � � � 1 � � CHÉO HÓA MA TRẬN 1 0� � 3)A  � 0� � � � � 0 � � �1 2� 5)A  � �  � � �1 2 � � � 4) A  1 � � � �  1 � � CHÉO HÓA MA TRẬN 1� � Cho A  �1 1� � � �1 1� � � Tính A17 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f: U  U tuyến tính  trị riêng f  x 0: fx = x x gọi vector riêng ứng với trị riêng  E = { x/ fx = x} : kg riêng ứng với trị riêng  TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT Cách tìm trị riêng VTR f: U  U Xác định ma trận f sở E U A = [f ]E Trị riêng f trị riêng A Với , X VTR A, vector u thỏa [u]E = X VTR f TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f  x1, x2 x3    x1  2x2  2x3 , x1  2x2  x3 , x1  x2  4x3  a) Vector sau vector riêng f x   1,2,3 , y   2,1,1 b) Tìm m để vector sau vector riêng f x   3,2, m  TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT 1� � Cho A  �1 1� ma trận � � �1 1� � � f : R3 � R3 sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} Tìm m để u = (m+1, 2, 2) VTR f TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT Tìm trị riêng vector riêng f: R2  R2, f(x1,x2) = (4x1 – 2x2, x1 + x2) f(x1,x2,x3) = (2x1+x2+x3, x1+2x2+x3, x1+x2+2x3) Tìm trị riêng sở kg riêng f Tìm trị riêng VTR f: R3  R3 biết ma trận f sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} �1 2 � � � A  [ f ]E  1 � � � �  1 � � CHÉO HÓA AXTT * f: U  U tuyến tính, f chéo hóa tồn sở E U cho [f]E ma trận chéo * f : U  U tuyến tính, dimU = n f chéo hóa  f có n vector riêng đltt f chéo hóa  ma trận f sở chéo hóa Ví dụ Cho f: R3  R3 , biết ma trận f sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} 1� � A  [ f ]E  � 2� � � � � 1 � � Tìm sở B R3 để ma trận f sở ma trận chéo Giải Trị riêng A: 1  2, 2  Cơ sở không gian riêng A:   :  P   1,2,1  1  : P1   1,1,0  , P2   1,0,1 T 2 T  T E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} Gọi u1, u2, u3 vector cho :  ui  E  Pi , i  1,2,3 Cụ thể u1   0,0,3 , u2   0,1,2  , u3   4,5,4  Đặt : B   u1 , u2 , u3   f B 0� � � 0� � � � � 0 � � ... trưng.) Với , vector riêng nghiệm x0 hệ pt: (A- I)x = Cơ sở kg riêng ứng với  hệ nghiệm hpt (A- I)x = TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN 5 � � A  � 7 � � � � �  � � Vector sau vector riêng... �� �� �� �� �� TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN �1 2 � A  �1 1� � � � �  1 � � Tìm m để u=(2,-m,m)T vector riêng A TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN Tìm trị riêng vector riêng 2 � � A� �M... riêng A Với , X VTR A, vector u thỏa [u]E = X VTR f TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT f  x1, x2 x3    x1  2x2  2x3 , x1  2x2  x3 , x1  x2  4x3  a) Vector sau vector riêng f x   1,2,3