Luyện thị lớp 10: CHÙM BÀI TẬP CÁT TUYẾN, TIẾP TUYẾN

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC CHÙM BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN, CÁT TUYẾN Những tính chất cần nhớ: 1) Nếu hai đường thẳng chứa dây AB,CD,KCD đường tròn cắt M MA.MB  MC.MD 2) Đảo lại hai đường thẳng AB,CD cắt M MA.MB  MC.MD bốn điểm A ,B,C,D thuộc đường tròn 3) Nếu MC tiếp tuyến MA B cát tuyến MC  MA.MB  MO2  R 4) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD,H , trung điểm CD năm điểm K ,A ,H ,O,B nằm đường tròn 85 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 5) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD AC BC  AD BD �  ADK � � KAC#KAD � AC  KC Ta có: KAC AD KA Tương tự ta có: BC KC AC BC   mà KA  KB nên suy BD KB AD BD Chú ý: Những tứ giác quen thuộc A CBD ta ln có: AC BC CA DA   AD BD CB DB NHỮNG BÀI TOÁN TIÊU BIỂU 86 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Bài 1: Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M Chứng minh a) KIOD tứ giác nội tiếp b) KO phân giác góc IKD Giải: a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến Ta có: AIBD tứ giác nội tiếp AB �ID  M nên ta có: MA.MB  MI.MD Mặt khác KA OB tứ giác nội tiếp nên MA.M B  MO.MK Từ suy MO.MK  MI.MD hay KIOD tứ giác nội tiếp a) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác KIOD Ta có �  OKD � IO  OD  R � OKI suy KO phân giác góc IKD 87 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Bài 2: Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Chứng minh a) CMOD tứ giác nội tiếp b) Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Giải: a) Vì KB tiếp tuyến nên ta có: KB2  KC.KD  KO  R Mặt khác tam giác KOB vuông B BM  KO nên KB2  KM.KO suy KC.KD  KM.KO hay CMOD tứ giác nội tiếp � � � � b) CMOD tứ giác nội tiếp nên KMC  ODC,OMD  OCD �  OCD � � KMC � � Mặt khác ta có: ODC  OMD Trường hợp 1: Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ KO (h1) � � � � Hai góc AMC,AMD có góc phụ với tương ứng KMC,ODC � � �MC  AMD � mà KMC nên A hay MA tia phân giác góc  ODC � CMD Trường hợp 2: 88 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Tia KD thuộc nửa mặt phẳng chứa B bờ KO (h2) tương � tự ta có MB tia phân giác góc CMD � Suy Đường thẳng AB chứa phân giác góc CMD Bài Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H Chứng minh BF / /CD Giải: �HK  AFB � Để chứng minh BF / /CD ta chứng minh A �  AOB � Ta có AFB ( Tính chất góc nội tiếp chắn cung AB ) � Mặt khác KO phân giác góc AOB nên �  BOK �  AOB � � AFB �  AOK � Vì A ,K ,B,O,H nằm AOK � � � AFB �  AHK � đường tròn đường kính KO nên AHK  AOK � BF / /CD Bài Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I Chứng minh CI  OB Giải: 89 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC �  CDB � Mặt khác CAB �  CDB � Ta có HI / /BD � CHI chắn cung �  CAB � CB nên suy CHI hay AHIC tứ giác nội tiếp Do �  ICH � � BAH �  ICH � Mặt khác ta có A ,K ,B,O,H nằm IAH �  BKH � đường tròn đường kính KO nên BAH �  BKH � � CI / /KB Mà KB  OB � CI  OB Từ suy ICH Nhận xét: Mấu chốt toán nằm vấn đề OB  KB Thay chứng minh CI  OB ta chứng minh CI / /KB Bài 5: Cho đường tròn (O) dây cung ADI Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ tiếp tuyến IB với đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với đường tròn (O) Chứng minh BC / /AI Giải: 90 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC �  KBC � Ta cần chứng minh: AIK �  CAB �  sđ CB � nên ta chứng minh Mặt khác ta có: KBC �  CAB � hay � BID : BCA Thật theo tính chất ta có: AIK CB DB CB DB   mà DA  DI � CA DA CA DI �  BDI � � BID : BCA � AIK �  CAB � Tứ giác A CBD nội tiếp nên BCA �  KBC � � BC / /AI Hay AIK Bài Từ điểm K nằm đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây CF qua M Chứng minh DF / /AB Giải: Kẻ OH  CD 91 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Ta chứng minh được: CMOD tứ giác nội tiếp (bài toán 2) nên � D � mà M � M �  900;D �  DOH � �  DOH � Mặt khác ta M  900 � M 1 2 1� �  COD,DOH � � �  DOH �  COD � CFD có: CFD Từ suy 2 �  CFD � � DF / /AB M Chú ý: DF / /AB � ABFD hình thang cân có hai đáy � � AB,DF � OMD  OMF Bài 7: Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh a) CMOE tứ giác nội tiếp b) CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Giải: a) Theo tốn 2, ta có CMOD � �  OCD � tứ giác nội tiếp nên CMK  ODC Do góc phụ với chúng �  COE � nhau: CME Suy CMOE tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc) c) Cũng theo toán 2, CMOD nội tiếp Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M ,O,D thuộc đường tròn Từ dễ chứng minh CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 8) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến 92 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Vẽ đường kính AI Các dây IC,ID cắt KO theo thứ tự G,N Chứng minh OG  ON Giải: Ta vẽ hình trường hợp O A nằm khác phía CD Các trường hợp khác chứng minh tương tự Để chứng minh OG  ON , ta chứng minh IOG  AON �  AON � �  IAN � , muốn Ta có OI  OA ,IOG , cần chứng minh CIA � � Chú ý đến AI phải có AN / /CI Ta chứng minh AND  CID �  900 , ta kẻ AM  OK Ta có A MND đường kính, ta có ADI � � tứ giác nội tiếp, suy AND (1)  AMD Sử dụng 2, ta có CMOD tứ giác nội tiếp 1� 1� � AMD  CMD  COD 2 1� �  COD (2) Từ (1) (2) suy AND Ta lại 1� �  COD � �  CID có CID nên AND 2 HS tự giải tiếp Bài Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M trung điểm AB �  MDB � Chứng minh ADC 93 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC Giải: Kẻ OH  CD , cắt AB E Theo , EC tiếp tuyến đường tròn  O  , nên theo tốn quen thuộc 3, ta có ECMD tứ giác nội tiếp, suy �  ECD � (2) EBD �  EMD � Từ (1) (2) suy CBD �  BMD � � Do hai góc bù với chúng nhau: CAD �  MDB � CA D : BMD (g.g) nên ADC 94 ... KIOD tứ giác nội tiếp b) KO phân giác góc IKD Giải: a) Để chứng minh KIOD tứ giác nội tiếp việc góc khó khăn Ta phải dựa vào tính chất cát tuyến , tiếp tuyến Ta có: AIBD tứ giác nội tiếp AB �ID ... OMF Bài 7: Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến KA ,KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Kẻ OH vng góc với CD cắt AB E Chứng minh a) CMOE tứ giác nội tiếp b) CE,DE tiếp. .. 2, CMOD nội tiếp Mặt khác CMOE tứ giác nội tiếp nên E,C,M ,O,D thuộc đường tròn Từ dễ chứng minh CE,DE tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 8) Từ điểm K nằm ngồi đường tròn ta (O) kẻ tiếp tuyến 92 PHÂN