cêva va meneleuyt

Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy có thể đa về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng và ngợc lại. Bài tập1: Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. Chứng minh: CF, BE , AM đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi AM EF = K Theo định lý Talét: KM AK BF AF = ; AK KM AE CE = ; và 1 = CM BM Suy ra BF AF . CM BM . AE CE = 1 áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đờng thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I Ta có BF AF = BC AN ; MC BC =2; AI MI = AN BM Suy ra BF AF . MC BC . AI MI = BC AN .2. AN BM =1 áp dụng định lý Menenauyt cho ABM thì F,I,C thẳng hàng. Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy. Bài tập 2: Cho đờng tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy ra: BF AF . CD BD . AE CE = BD AE . CE BD . AE CE =1 áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N AD CF = I. Ta có : CE AE . DB CB . AI DI = CD AF . BF CB . AN CD = BF AF . AN CB = AN CB CB AN . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho ACD thì AD, BE, CF đồng quy. 1 A F M B C K E E A F M B C N I B C F A E D B C F A E D I N Bài tập 3: Cho tam giác ABC đờng cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N Vì HA là phân giác của góc A, HA là đờng cao nên AM = AN Có: BH MA BD AD = ; AN CH AE CE = 1 == AN CH CH BH BH MA AE CE CH BH BD AD . áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đt // BC cắt HD, HE, BE lần lợt tại M, N, K Gọi AH BE = I Ta có: BD AD = BH MA = BH AN và AK BH AI HI = . BD AD CH BH . AI HI = AK BH HC BC BH AN = AK BC HC AN . = AE CE CE AE . =1 áp dụng định lí Menenauyt cho ABH thì D,I,C thẳng hàng. Vậy AH, BE, CD đồng quy. Bài tập 4:Cho ABC vuông tại A, đờng cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy. Cách 1: (chứng minh đồng quy) Gọi D = AB CE, I = AC BG Đặt AB = c, AC = b. Có c 2 = BK.BC; b 2 = CK.BC CK BK = 2 2 b c và BD AD = c b ; AI CI = c b (do AIB CIG) BD AD . CK BK . AI CI = c b . 2 2 b c . c b =1 áp dụng định lý Ceva cho ABC thì AK, BG, CE đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BG tại M. AK BG tại O. 2 A B C D M N H E A B C D M N H E K I H A B G E C K D I F H A B G E C K D I F M O Ta cã BD AD = c b ; AO KO = AM BK suy ra BD AD . CK BC . AO KO = c b . CK BC . AM BK = c b . AM BC . CK BK = c b . AI CI . 2 2 b c = c b . c b 2 2 b c =1 ¸p dông ®Þnh lý Menenauyt cho ∆ABK th× D, O, C th¼ng hµng. VËy AK, BG, CE ®ång quy. 3 . KM AE CE = ; và 1 = CM BM Suy ra BF AF . CM BM . AE CE = 1 áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có: CF, BE , AM đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A. Suy ra: BF AF . CD BD . AE CE = BD AE . CE BD . AE CE =1 áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF đồng quy. Cách 2: (chứng minh thẳng hàng) Từ A