Một số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúc (Luận án tiến sĩ)

Một số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúcMột số phương pháp giải bài toán cân bằng có cấu trúc

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Quang Thủy GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn TS Lê Quang Thủy GS TSKH Phạm Kỳ Anh, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Những kết viết chung với thầy hướng dẫn cộng sự đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Hà nội, ngày 02 tháng 10 năm 2018 Nghiên cứu sinh Thay mặt tập thể hướng dẫn TS Lê Quang Thủy Trịnh Ngọc Hải LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn, TS Lê Quang Thủy đặc biệt GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tôi vơ biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà hai thầy dành cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Hai thầy bước dẫn dắt, truyền cho niềm đam mê nghiên cứu nhiều kinh nghiệm, kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời ln động viên khích lệ để tơi vượt qua thử thách bước đường làm khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn ứng dụng Tin học, Viện Sau đại học, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện cho tơi có nhiều thời gian tập trung nghiên cứu để hồn thành luận án khóa học nghiên cứu sinh Công tác quản lý đào tạo môi trường nghiên cứu Trường góp phần khơng nhỏ luận án hồn thành dự định Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, anh chị bạn nhóm Xêmina liên quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Viện nghiên cứu cao cấp Tốn Nhóm tạo cho tơi nhiều cảm hứng nghiên cứu khoa học gắn bó với mơi trường nghiên cứu Đặc biệt, xin gửi lời cám ơn chân thành tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy giúp đỡ nhiều chuyên môn, gợi ý cho ý tưởng nghiên cứu Bản luận án khơng thể hồn thành khơng có thơng cảm, chia sẻ giúp đỡ người thân gia đình Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, anh chị em hai bên gia đình nội ngoại Đặc biệt xin cảm ơn vợ hai gái u q, người tơi mà phải chịu nhiều thiệt thịi vất vả; ln cảm thơng sẻ chia gánh nặng suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận án MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm kết 1.2 Bài toán cân mối liên hệ với toán khác 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.2 Bài tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác 1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa 1.3 Sự tồn nghiệm toán cân Chương Bài toán cân với song hàm phân rã thành tổng hiệu song hàm thành phần 2.1 Phân rã song hàm thành tổng hai song hàm thành phần 2.1.1 Thuật toán phân rã 2.1.2 Thuật toán phân rã song song 2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu 2.1.4 Thử nghiệm số ứng dụng 2.2 Phân rã song hàm thành hiệu hai song hàm thành phần 2.2.1 Thuật toán hội tụ 2.2.2 Thử nghiệm số 2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic 2.3.1 Phương pháp ergodic-phân rã 2.3.2 Phương pháp ergodic-phân rã song song 2.3.3 Thử nghiệm số 16 16 20 20 22 22 23 27 28 31 35 37 39 46 47 51 55 55 60 63 Chương Bài toán cân hai cấp 67 3.1 Phương pháp chiếu đạo hàm cho toán cân hai cấp 68 3.1.1 Thuật toán hội tụ 3.1.2 Áp dụng cho toán EP( f , Fix ( T )) 3.1.3 Thử nghiệm số ứng dụng 3.2 Phương pháp ánh xạ co cho toán EP( f , Fix ( T )) 3.2.1 Tính co ánh xạ nghiệm Uλ 3.2.2 Thuật toán ánh xạ co cho toán cân tập điểm bất động 3.2.3 Thử nghiệm số Chương Nghiệm chung họ hữu hạn toán cân tốn điểm bất động 4.1 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân điểm bất động 4.1.1 Thuật toán Armijo lai ghép 4.1.2 Thử nghiệm số 4.2 Tìm nghiệm chung họ hữu hạn toán cân toán điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép 4.2.2 Thử nghiệm số 68 75 76 82 82 87 92 96 97 97 109 113 114 118 Kết luận 121 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 122 Tài liệu tham khảo 123 BẢNG KÍ HIỆU R R+ H ⟨ x, y⟩ ∥x∥ xn → x xn ⇀ x Rn l2 PC ( x ) NC ( x ) ∂g( x ) ∂2 f ( x, x ) S:C→H Fix (S) VI( A, C ) Sol ( A, C ) EP( f , C ) Sol ( f , C ) EPS ( f , C ) EPD ( f , C ) ∅ ✷ Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Khơng gian Hilbert thực Tích vơ hướng hai véc tơ x y Chuẩn vectơ x không gian Hilbert H Dãy { x n } hội tụ mạnh tới x Dãy { x n } hội tụ yếu tới x Không gian Hilbert thực n chiều với tích vơ hướng ⟨ x, y⟩ := ∑in=1 xi yi , x = ( x1 , , xn ) , y = (y1 , , yn ) ∈ Rn Không gian Hilbert thực dãy khả tổng bậc hai với tích vơ hướng ⟨ x, y⟩ := ∑i∞=1 xi yi , x = ( x1 , x2 , ), y = (y1 , y2 , ) ∈ l Phép chiếu vng góc x ∈ H lên tập C, tức PC ( x ) := argminy∈C ∥y − x ∥ Nón pháp tuyến ngồi tập lồi C x, tức NC ( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ ∀y ∈ C } Dưới vi phân hàm g x, tập ∂g( x ) := {w ∈ H : ⟨w, y − x ⟩ ≤ g(y) − g( x ) ∀y ∈ H } Dưới vi phân hàm f ( x, ) x Ánh xạ S từ tập C vào H Tập điểm bất động ánh xạ S Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tử A C Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân cho toán tử A C Bài toán cân song hàm f C Tập nghiệm toán cân cho song hàm f C Bài toán cân với song hàm phân rã thành tổng hai song hàm thành phần f = f + f Bài toán cân với song hàm phân rã thành hiệu hai song hàm thành phần f = f − f Tập rỗng Kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEP CDMA DEP EP FP NCP OP SP VI Bài toán cân hai cấp Mạng đa truy cập phân chia theo mã Bài toán cân đối ngẫu Bài toán cân Bài toán điểm bất động Bài toán bù phi tuyến Bài toán tối ưu Bài toán yên ngựa Bài toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Cân (equilibria) thường hiểu trạng thái đồng trình lực lượng đối lập Trong Cơ học, hệ vật đạt trạng thái cân tổng lực tác động vào hệ vật Trong Sinh học, hệ sinh thái trạng thái cân số loài thú mồi săn mồi đạt tỉ lệ tương đồng Cân trạng thái quan trọng vạn vật Mọi tồn tự nhiên muốn bền vững, phải đạt trạng thái Trong Toán học, mơ hình cân xem mở rộng mơ hình tối ưu hóa với nhiều chủ thể tham gia Mỗi chủ thể có mục tiêu khác nhau, chí đối lập Do đó, khó tìm phương án tối ưu cho tất chủ thể Trong tình này, mơ hình cân tỏ phù hợp, để giải mâu thuẫn lợi ích Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, f : C × C → R song hàm thỏa mãn tính chất cân f ( x, x ) = với x ∈ C Xét tốn tìm x ∗ ∈ C cho f ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C (EP( f , C )) Bài toán EP( f , C ) H Nikaido K Isoda [60] đề xuất lần đầu vào năm 1955 nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash Năm 1972, tiếp tục Ky Fan nghiên cứu dạng bất đẳng thức minimax [31] Tên gọi Bài toán cân GS Lê Dũng Mưu W Oettli đưa vào năm 1992 [55] Điểm lý thú tốn bao hàm loạt toán riêng lẻ khác thể thống nhất, chẳng hạn toán tối ưu, toán cân Nash, toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa Ví dụ, chọn f ( x, y) := g(y) − g( x ), g : C → R, toán EP( f , C ) trở thành tốn tối ưu tìm x ∗ ∈ C cho g( x ∗ ) ≤ g(y) ∀y ∈ C (OP( g, C )) Trong trường hợp f ( x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩, với F : C → C ánh xạ, toán cân trở thành tốn bất đẳng thức biến phân tìm x ∗ ∈ C cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ ∀y ∈ C (VI( F, C )) Mặt khác, phương pháp giải kết nghiên cứu toán riêng lẻ nói mở rộng tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho tốn cân Các nghiên cứu toán EP( f , C ) tạm chia thành hai hướng: nghiên cứu định tính bao gồm nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, ổn định nghiệm [10, 12, 30, 45, 54] nghiên cứu định lượng, bao gồm đề xuất giải thuật, nghiên cứu tốc độ hội tụ thuật toán [6,7,15,28,32,44,57, 65,70], áp dụng toán cân vào thực tế [36,38,64] Trong hướng nghiên cứu trên, việc đề xuất thuật giải cho toán cân chiếm tỉ trọng lớn Hai phương pháp để giải tốn cân phương pháp điểm gần kề [8] phương pháp chiếu tổng quát [65] Phương pháp điểm gần kề (PPM Proximal Point Method) bao gồm việc giải toán cân hiệu chỉnh f bước lặp Giả sử bước lặp k, biết x k , ta tính xấp xỉ x k+1 = Jλ ( x k ), f đó, Jλ giải thức song hàm f với tham số λ > 0, cho bởi: { } f Jλ ( x ) = z ∈ H : f (z, y) + ⟨y − z, z − x ⟩ ≥ ∀y ∈ C , x ∈ H λ (0.1) Với giả thiết f đơn điệu, lồi nửa liên tục theo biến thứ hai, hê-mi liên tục f theo biến thứ nhất, ánh xạ Jλ đơn trị không giãn Tuy nhiên, f thuộc lớp hàm đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn f giả đơn điệu, tốn cân f (0.1) khơng cịn đơn điệu mạnh, đó, Jλ , nói chung, khơng đơn trị Vì vậy, phương pháp PPM khơng thể áp dụng trường hợp Ngồi ra, thao tác giải toán cân phụ bước lặp khiến cho phương pháp PPM phức tạp mặt tính tốn Phương pháp chiếu tổng qt khắc phục nhược điểm PPM Tại bước lặp k, giả sử biết x k , ta tính xấp xỉ f f x k+1 = Uλ ( x k ), đó, Uλ ánh xạ nghiệm song hàm f với tham số λ > 0, cho { } f (0.2) Uλ = argmin λ f ( x, y) + ∥y − x ∥ : y ∈ C Với giả thiết song hàm f lồi, nửa liên tục theo biến thứ hai, toán tối ưu f f (0.2) lồi mạnh, đó, Uλ đơn trị Hơn nữa, việc tính Uλ đơn giản f nhiều so với tính Jλ Trong trường hợp f ( x, y) = ⟨ Fx, y − x ⟩, với F ánh xạ C, phương pháp chiếu tổng quát cho toán cân quay trở phương pháp chiếu truyền thống cho tốn bất đẳng thức biến phân, có dạng ( ) k +1 k k x = PC x − λFx , đó, PC phép chiếu lên C Đây coi phương pháp đơn giản cho toán VI(F, C) Năm 2014, Phạm Duy Khánh Phan Tú Vượng [43] chứng minh phương pháp hội tụ tuyến tính tới nghiệm ... phân chia theo mã Bài toán cân đối ngẫu Bài toán cân Bài toán điểm bất động Bài toán bù phi tuyến Bài toán tối ưu Bài toán yên ngựa Bài toán bất đẳng thức biến phân MỞ ĐẦU Cân (equilibria) thường... bất động ánh xạ S Bài toán bất đẳng thức biến phân toán tử A C Tập nghiệm bất đẳng thức biến phân cho toán tử A C Bài toán cân song hàm f C Tập nghiệm toán cân cho song hàm f C Bài toán cân với... BÁCH KHOA HÀ NỘI ———————- TRỊNH NGỌC HẢI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG CĨ CẤU TRÚC Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS Lê Quang Thủy GS.TSKH