Đáp án toán THCS 2018 thanh hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN – Lớp THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng năm 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM (Gồm có 05 trang) Câu I 4,0 điểm NỘI DUNG x−2 x x +1 + 2x − x P= + + x x −1 x x + x + x x − x , với x > 0, x ≠ 1 Cho biểu thức Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Với điều kiện x > 0, x ≠ , ta có: P= ( x−2 x )( ) x −1 x + x + ) ( x( ( x +1 ) x x + x +1 ) ( x − 1) + x − x − 1) ( x + x + 1) x ( x + x − 2) = x ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + 2) = x + = ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + = ( + x x−2 x + x +1 + x ( 2x − x + )( Điểm 2,5 0,50 ) x −1 x + x +1 x +1 0,50 0,50 0,50 Vậy Ta có với điều kiện x > 0, x ≠ ⇒ x + x + > x + > x +2 = 1+ 0⇔m 1 1 (m − 2) m−2 + = + = ⇔ =± 2 2 h tam giác vng ta có m m Từ hệ thức a b m−2 = ⇔ 2m − = m ⇒ m = Với m (thỏa mãn) m−2 = − ⇔ 2m − = − m ⇒ m = (loại) Với m Vậy m = giá trị cần tìm Giải hệ phương trình ( x + y ) (8 x + y + xy − 13) + = (1)   (2) 2 x + x + y =  0,50 0,50 0,50 0,50 2,0 ĐKXĐ: x + y ≠  2 8( x + y ) + xy + = 13  ( x + y )2   2 x + =  x+ y Chia phương trình (1) cho ( x + y) ta hệ        2 ( x + y ) + + 3( x − y ) = 13 + 3( x − y ) = 23 5  x + y +   2 ÷ ( x + y)  x+ y    ⇔ ⇔    x + y +  + ( x − y ) =  x+ y+ ÷  ÷+ ( x − y ) =   x+ y x+ y   0,25 0,50 5u + 3v = 23 (3)  u = x+ y+ ,v = x − y u + v =1 (4) x+ y Đặt (ĐK: | u |≥ ), ta có hệ  Từ (4) rút u = − v , vào (3) ta u=− 2 5u + 3(1 − u ) = 23 ⇔ 4u − 3u − 10 = ⇔ u = u=− loại u < Trường hợp  =2 x + y + x+ y   x − y = −1  0,25 0,25 0,25 Với u = ⇒ v = −1 (thỏa mãn) Khi ta có hệ Giải hệ cách x = −1 + y vào phương trình đầu ta y −1 + III 4,0 điểm = ⇔ y =1 y −1 Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = (0;1) 0,50 Tìm nghiệm nguyên phương trình y − y + 62 = ( y − 2) x + ( y − y + ) x (1) 2,0 Ta có 0,25 (1) ⇔ ( y − ) ( y − 3) + 56 = ( y − 2) x + ( y − ) ( y − ) x ⇔ ( y − )  x + ( y − ) x − ( y − 3)  = 56 0,25 ⇔ ( x − 1) ( y − ) ( x + y − 3) = 56 0,50 ( y − ) + ( x − 1) = x + y − 3, nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba số Nhận thấy nguyên mà tổng hai số đầu số lại Như ta có + ) 56 = 1.7.8 ⇒ ( x; y ) = ( 2;9 ) + ) 56 = 7.1.8 ⇒ ( x; y ) = ( 8;3 ) +) 56 = ( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) = ( −7;3) 0,25 0,25 +) 56 = ( −8 ) ( −7 ) ⇒ ( x; y ) = ( 2; −6 ) 0,25 +) 56 = ( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) = ( 8; −6 ) 0,25 +) 56 = ( −8 ) ( −1) ⇒ ( x; y ) = ( −7;9 ) Vậy phương trình có nghiệm ngun Chú ý 3: Học sinh biến đổi phương trình đến dạng ( y − )  x + ( y − ) x − ( y − 3)  = 56 (được 0,5đ), sau xét trường hợp xảy Khi với nghiệm tìm cho 0,25 đ (tối đa nghiệm = 1,5 đ) 2 Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p = a + b số nguyên tố p − 2 chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax − by chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p nên p = 8k + (k ∈ ¥ ) Do p − 5M ( ax ) Vì 4k +2 Nhận thấy Do − ( by ) 4k + M( ax − by ) Mp a k + ×x8 k +4 − b k +2 ×y k + a 4k +2 + b4k +2 = ( a ) k +1 + ( b2 ) k +1 4k +2 ×x8 k +4 − b k + ×y k +4 Mp nên a = ( a k + + b k + ) x k + − b k + ( x k + + y k +4 ) M( a + b ) = p 8k +4 + y k + Mp (*) b < p nên x 2,0 0,50 0,25 0,25 Nếu hai số x, y có số chia hết cho p từ (*) suy số thứ hai chia hết cho p Nếu hai số x, y không chia hết cho p theo định lí Fecma ta có : x8 k + = x p −1 ≡ 1(mod p), y 8k + = y p −1 ≡ 1(mod p ) ⇒ x8 k + + y8 k + ≡ 2(mod p ) Mâu thuẫn với (*) Vậy hai số x y chia hết cho p IV 6,0 điểm 0,50 0,50 Cho tam giác ABC có (O ),( I ),( I a ) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng O, I , I a Gọi D tiếp điểm ( I ) với BC , P điểm cung ¼ BAC (O ) , PI a cắt (O ) điểm K Gọi M giao điểm PO BC , N điểm đối xứng P qua O Chứng minh: IBI a C tứ giác nội tiếp 2,0 I a tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , từ suy BI a ⊥ BI , CI a ⊥ CI 1,0 ( Phân giác phân giác góc vng · · Xét tứ giác IBI a C có IBI a + ICI a = 180 góc với nhau) Từ suy tứ giác IBI a C tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính II a Chứng minh tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác NI a I a MP · Nhận thấy bốn điểm A, I , N , I a thẳng hàng (vì thuộc tia phân giác BAC ) · (O ) nên NBP = 900 , M trung điểm BC nên Do NP đường kính PN ⊥ BC M Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng PBN ta có NB = NM NP 1,0 2,0 0,25 0,25 ( ) · · ·BIN ·BIN ABC + BAC (1) Vì góc ngồi đỉnh I tam giác ABI nên = · BAC · · NBC = NAC = (cùng chắn cung NC) Xét (O): · · · · ⇒ NBI = NBC + CBI = BAC + ·ABC (2) · · BIN = NBI nên tam giác NIB cân N Từ (1) (2) ta có Chứng minh tương tự tam giác NIC cân N Từ suy N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC , tâm 2 đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBI aC ⇒ NI a = NB = NM NP ( ) NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP Vậy Chứng minh: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 · · DAI = KAI a Gọi F tiếp điểm đường tròn (I) với AB 1· · · NBM = BAC = IAF Xét hai tam giác ∆MNB, ∆FIA có: · · MNB = IFA = 900 , ⇒ ∆MNB đồng dạng với ∆FIA Suy mà: , nên ID = IF NI a = NB NM NB NM NI a = = FI IA ID IA Ta có: nên suy ∆NMI a đồng dạng với ∆IDA ⇒ · · MNI a = DIA MN / / ID Do NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP 0,50 · M = DAI · NI a a Từ (1) (2) ta có Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x ≥ z Chứng minh xz y2 x + 2z + + ≥ y + yz xz + yz x + z y2 2z 1+ xz y2 x + 2z yz x P= + + = + + xz z y y + yz xz + yz x + z +1 1+ +1 yz x yz Ta có x 2z y 1+ 2 y x = a + b + + 2c = + z + y x z b2 + a + 1 + c2 +1 +1 1+ z y x , xz yz a2 = Nhận xét x y z ,b = ,c = y z x a2 b2 = (1) 0,50 nên · · · · · KAI a = KAN = KPN = I a PN = NI a M (2) · · DAI = KAI V 2,0 điểm 0,50 0,25 0,25 2,0 0,25 0,25 ( a , b, c > ) x = ≥ ( x ≥ z ) z c2 0,25 2 2 2 a2 b2 2ab a ( a + 1) ( ab + 1) + b ( b + 1) ( ab + 1) − 2aba ( a + 1) ( b + 1) + − = b + a + ab + ( a + 1) ( b2 + 1) ( ab + 1) Xét ab ( a − b = ) + ( a − b) ( a − b ) + ( a − b) ( a + 1) ( b + 1) ( ab + 1) 2 2 a b 2ab + ≥ = c = b + a + ab + 1 + 1 + c c Do 2 + 2c = + − Khi + c c + ( 3 ( 1) ( 2) ≥0 ( 1) 0,25 Đẳng thức xảy a = b ) 2 ( + c ) + ( + c ) ( + 2c ) − ( + c ) ( + c ) ( + c ) ( + c2 ) ( 1− c) − 3c + 3c − c3 = = ≥0 2 ( + c ) ( + c ) ( + c ) ( + c2 ) Từ 0,25 suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b, c = ⇔ x = y = z ( c ≤ 1) ( ) 0,25 0,25 0,25 Hết Chú ý: - Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án - Đối với Câu IV (Hình học): Khơng vẽ hình, vẽ hình sai khơng chấm - Các trường hợp khác tổ chấm thống phương án chấm ... phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án - Đối với Câu IV (Hình học): Khơng vẽ hình, vẽ hình sai khơng chấm - Các trường hợp khác tổ chấm thống phương án chấm