Thông tin tài liệu
TỔNG ÔN SỐ PHỨC LỜI GIẢI CHI TIẾT 50 CÂU TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA – 2017 CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG CẦN NẮM VỮNG z1 + z2 = z1 + z2 z1 z1 = z2 z2 Tác giả - Nguyễn z = − z = z Thế Duy https://www.facebook.com/theduy1995 ( z1.z2 = ( z1.z2 ) z1.z2 z1 z2 = z1.z2 z1.z2 = z1.z2 ) z z1 = z2 z2 Re( z ) = z.z z−z , Im( z ) − 2 − z Re( z), Im( z) z z1 − z2 z1 + z2 z1 + z2 z1 − z2 z1 − z2 z1 + z2 z.z = z 45 CÂU TRẮC NGHIỆM + CÂU VÍ DỤ MINH HỌA Câu Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện z + = z Đặt P = 8(b2 − a ) − 12 Mệnh đề đúng? A P = ( z − ) ( B P = z − ) C P = ( z − ) ( D P = z − 2 ) (THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN) Lời giải Cách 1.Đặt z = a + bi (a, b ) z = a − b2 + 2abi z + = a − b2 + + 2abi Khi đó, giả thiết z + = z ( a − b2 + ) + 4a 2b2 = ( a + b2 ) ( b2 − a ) = 16 − ( a + b2 ) + ( a + b2 ) ( P = ( a + b2 ) − ( a + b2 ) + = z − z + = z − 2 2 )( ( ) ) Cách 2.Từ giả thiết, ta có z + = ( z ) z + z + = z = z.z 2 ( ) z z + z + z + 16 = z.z z.z ( z.z − ) ( 2 ( − 4.z.z + = −12 − z + z ) ( ) ( = −12 − z + z −12 − z + z = z − ( Đặt z = a + bi → z = a − bi z + z = a − b2 ) ) ) (1) (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( Từ (1), (2) suy P = 8(b − a ) − 12 = z − 2 ) Chọn D Câu Cho số phức z1 0, z2 thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức P = A 2 1 + = z1 z2 z1 + z2 z1 z + z2 z1 C B 2 (THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN) D Lời giải Cách 1.Ta có z + z2 1 + = = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) = z1.z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 ( z1 ) + 2.z1.z2 + ( z2 ) Khi P = z z z z = + + = = i − = −1 − i z2 z2 z2 z2 z1 z 1 + = i −1 + = i −1 + = 2+ = z2 z1 i −1 i −1 2 Cách Chọn z1 = i z 1 1− i + = z2 = = 2P= Chọn D i z2 i + z2 z2 iz − ( 3i + 1) z 26 = z Số phức w = iz có mơđun 1+ i C D (THPT PHẠM HỒNG THÁI-HÀ NỘI) Câu Cho số phức z thỏa mãn A.9 B 26 Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ) ,khi giả thiết i ( x + yi ) − ( 3i + 1)( x − yi ) = (1 + i ) ( x + y ) xi − y − 3xi − y − x + yi = − x − y + ( y − x ) i = x + y + ( x + y ) i − x − y = x + y 2 −2 x + y = x + y (1) (2) Lấy (1) – (2), ta − x − y − ( −2 x + y ) = x = y y = x = Thế x = y vào phương trình (1), ta có 26 y = −9 y y = − x = − 45 16 26 Vậy z = x + yi = − 45 26 45 − i w = i − − i = − 5i = 26 Chọn B 26 26 26 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z +i + z −2−i A max T = C max T = D max T = (THPT CHU VĂN AN – HÀ NỘI) B max T = Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ) , ta có z − = x − + yi = ( x − 1) + y2 = ( x − 1) + y = x − x + + y = x + y = x + (*) Lại có T = z + i + z − − i = x + ( y + 1) i + x − + ( y − 1) i = x2 + ( y + 1) + ( x − 2) + ( y −1) 2 = x2 + y + y + + x2 + y − 4x − y + Kết hợp với (*), ta T = x + y + + − x − y = 2( x + y) + + − 2( x + y) Đặt t = x + y , T = f (t ) = 2t + + − 2t với t −1;1 Ta có f '(t ) = 1 − ; f '(t ) = t = f (t) max = f (1) = Chọn B 2t + − 2t Câu Tìm mơđun số phức z biết z − = (1 + i ) z − ( + 3z ) i C z = B z = A z = 1 (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) D z = Lời giải Cách Từ giả thiết, ta có z − = z + i z − 4i − 3zi z (1 + 3i ) = z + + ( z − ) i (*) Lấy môđun hai vế (*), ta z (1 + 3i ) = z + + ( z − ) i z + 3i = ( z + 4) ( z + 4) + ( z − 4) z 10 = 10 z = ( z + ) + ( z − ) z = 32 z = z = Chọn C 2 2 Cách Ta biến đối z − = (1 + i ) z − ( + 3z ) i z = (1 + i ) z − 4i + + 3i Thử với đáp án, ta thấy • z =1→ z = + i − 4i + − 3i 85 = =− − i z = (loại) + 3i + 3i 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word • • 4(1 + i ) − 4i + 12 10 = = − i z = (loại) + 3i + 3i 5 2(1 + i ) − 4i + − 2i z =2→z = = = −2i z = (chọn) + 3i + 3i z =4→z = Câu Cho số phức z cho z số thực w = biểu thức A z số thực Tính giá trị 1+ z2 z 1+ z B C (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ) D Lời giải Cách Tư nhanh w số thực → Mà dễ thấy z + z số thực nên z = Cách Ta có biến đổi 1 số thực → z + số thực z w z 1 z.z = z = = z 1+ z ( ) z z = z + z.z = z + z.z z − z = z − z z.z 1+ z 1+ z2 z − z = z z.z = z = = 2 1+ z z.z = Cách Chọn w = z z 1 = ( z − 1) = z = z = = Chọn B 2 1+ z 2 1+ z Câu Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểểu diễn M , M ' Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ' Biết M , M ' N , N ' bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z + 4i − A B C 13 (THPT CHUYÊN LÀO CAI) D Lời giải N (4 x − y;3x + y ) Gọi M ( x; y ) → M '( x; − y ) ( + 3i ) z = x − y + (3x + y)i N '(4 x − y; −3x − y ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Dễ thấy MM ' NN ' vng góc với Ox nên để MM ' N ' N hình chữ nhật MM ' = NN ' Khi MN = M ' N ' x + y = z = x − xi z + 4i − = MN Ox Ta có ( x − 5) + ( x − ) = 2 ( x − 5) + ( x − ) 2 1 1 ( x − ) + z + 4i − = Chọn C 2 2 z z −i Câu Tính mơđun số phức z ,biết + iz + =0 z 1− i 13 A B C 3 (THPT YÊN MÔ A-NINH BÌNH) D Lời giải z z −i (1 + i )( z − i ) = iz + z + =0 Dễ thấy z.z = z z = , giả thiết iz + z + 1− i z 2iz + z + z − i + iz − i = (3i + 1) z+ z = i − (*) Đặt z = x + yi ( x, y ) suy z = x − yi , (*) (3i + 1)( x + yi ) + x − yi = i −1 x = 3x = xi − y + x + yi + x − yi = i − x − y + 3xi = i − 2 x − y = −1 y = Vậy z = i i z = = Chọn C 3 Câu Xét số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = A z 2 B z 2 10 − + i Mệnh đề sau đúng? z C z 2 (THPT NHÂN CHÍNH- HÀ NỘI) D z Lời giải Cách 1.Từ giả thiết, ta có (1 + 2i ) z = z + z i + 2−i = 10 10 − + i (1 + 2i ) z + − i = z z 10 10 z + + ( z − 1) i = (*) z z http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Lấy môđun hai vế (*), ta được(*) ( t + ) + ( 2t − 1) Đặt t = z , ta có 2 = 10 z 10 t ( 5t + ) = 10 t + t − = t = t = ( z + 2) + ( z − 1) z 2 Vậy môđun số phức z Cách Sử dụng máy tính casio (hướng dẫn chi tiết câu 26)để tìm z Cách Đặt z = a + bi ( a, b Gt (1 + 2i ) c = c− ) c = z , thay vào đẳng thức cho ( a − bi ) 10 − + i 10 − + i (1 + 2i ) c = a + bi c2 a 10 b 10 + + i 2c + − 1 = c c a 10 a 10 c − + = c + = 10 ( a + b ) 10 c c 2 = Suy nên (c + 2) + (1 + 2c) = c4 c 2c + b 10 − = 1 − 2c = b 10 c2 c Giải ta có c = 1 mà c nên c = hay z = Do Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z + z Chọn B 2 = Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z z : B A.3 C 13 D.5 (TOÁN HỌC& TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải Ta có a = z + = z + 1 1 a2 = z + = z + z + z z z z z + ( z )2 z + z = ( z + z+z ) z ( 2 2 Khi z − z ( a + ) + = − z + z − z +1 ) −a + a + a + a + 0 z ; 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy max z = a + a2 + −a + a + ; z = M + m = a + = 13 Chọn C 2 Câu 11 Xét số phức z thỏa mãn z − + z − i 2 Mệnh đề ? A z 2 C z B z 2 z 2 (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) D Lời giải Cách Sử dụng bất đẳng thức số phức, ta có, u + v u + v u − v Khi 2 z − + z − i = ( z − + z − i ) + z − i z − − ( z − i ) + z − i i −1 + z − i = 2 + z − i z − i z = i z = Cách Sử dụng hình học, giả sử điểm z = x + yi ( x, y ) có điểm biểu diễn M ( x; y) Số phức z − có điểm biểu diễn A ( x −1; y ) , z − có điểm biểu diễn B ( x; y − 1) Ta có z − + z − i 2 2.OA + 3.OB AB (1) AB(1; −1) AB = Mặt khác 2.OA + 3.OB = 2.(OA + OB) + OB AB + OB (2) x = z=i Từ (1), (2) suy AB AB + OB OB OB = B(0;0) y =1 Vậy môđun số phức z z = i = 1Chọn D Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn z − z + = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) Tính w , với số phức w = z − + 2i A w = 2 (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH- ĐỒNG NAI) B w = C w = D w = Lời giải Ta có z − z + = ( z − 1) + = ( z − 1) − ( 2i ) = ( z − + 2i )( z − − 2i ) 2 z = − 2i Khi đó, giả thiết ( z − + 2i )( z − − 2i ) = ( z − + 2i )( z + 3i − 1) z − − 2i = z + 3i − TH1 Với z = − 2i , ta có w = z − + 2i = − 2i − + 2i = −1 w = Th2 Với z − − 2i = z + 31 − (*) ,đặt z = x + yi ( x, y ) , ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (*) x − + ( y − 2)i = x − + ( y − 3)i ( x − 1) + ( y − 2) = ( x − 1) + ( y + 3) y = − Do w = z − + 2i = x − i − + 2i = x − + i w = ( x − 2)2 + Chọn A 2 Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + z −1 B max T = 10 A max T = C max T = D max T = (THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ - HÀ NỘI) Lời giải Cách Gọi z = x + yi ( x, y ) M ( x; y ) Và A(−1;0), B(1;0) Ta có z = x + yi = x2 + y = M thuộc đường trịn đường kính AB MA2 + MB = AB = Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T = MA + 2MB (1 + )( MA 2 + MB2 ) = 5.4 = Vậy giá trị lớn biểu thức max T = Chọn A Cách Đặt z = x + yi ( x, y ) z + = ( x + 1) + y z − = ( x −1) + y2 Mặt khác z = x2 + y = x2 + y = ,khi ( x + 1) T= (1 2 + y2 + ( x + 1) + y2 + 22 ) ( x + 1) + y + ( x − 1) + y 2 10 ( x2 + y + 1) = 10.2 = max T = Câu 14 Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z − i = + iz , biết z1 − z2 = Tính giá trị biểu thức P = A P = 3 B P = 2 D P = (THPT THANH CHƯƠNG I - NGHỆ AN) C P = Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đặt z = x + yi ( x, y ) ,ta có z − i = + iz x + (2 y −1)i = − y + xi x + (2 y − 1) = (2 − y ) + x x − y − y + = − y + y + x x2 + y = z = z1 = z2 = Sử dụng công thức (chứng minh câu 16) ( z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2 2 ) z +z ( = z1 + z2 − z1 − z2 2 )= Chọn D Câu 15 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức A = z12 + z2 + z32 A.1 B.0 C.-1 D + i (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA-HÀ NAM) Lời giải Ta có A = z12 + z2 + z32 = ( z1 + z2 + z3 ) − ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) = −2 ( z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) z z z 1 1 = −2 z1 z2 z3 + + = −2 z1 z2 z3 + + = − z1 z2 z3 z1 + z2 + z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 ( ) Mặt khác z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 = suy A = Chọn B Câu 16 Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 A P = + • C P = D P = 34 + (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải B P = 26 ( Bổ đề Cho hai số phức z1 z2 , ta ln có z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2 ( ) 2 ) (*) Chứng minh.Sử dụng công thức z1 + z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 z.z = z Khi ( ) ( z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z2 2 ) = z1.z1 + z1.z2 + z1.z2 + z2 z2 + z1.z1 − z1.z2 − z1.z2 + z2 z2 ( ) ( = z1.z1 + z2 z2 = z1 + z2 • 2 ) → đpcm Áp dụng (*), ta z1 + z2 + z1 − z2 = z1 − z2 = − ( 3) = z1 − z2 = 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta P = z1 + z2 (2 z + z2 )=2 26 Chọn B Câu 17 Cho P ( z ) đa thức với hệ số thực Nếu số phức z thỏa mãn P ( z ) = 1 1 A P ( z ) = B P = C P = D P z = z z (THPT CHUYÊN TỈNH HÀ NAM) () Lời giải z = + 2i Chọn hàm số P( z ) = z − z + Phương trình P( z ) = z − z + = z = − 2i Xét với số phức z = + 2i , ta có ( 5) • z = + 2i = suy P ( z ) = z − z + = • 1 112 16 1 = = − i suy P = − + = + i0 z + 2i 5 z 25 25 z z • 1 112 16 1 = = + i suy P = − + = − i0 25 25 z − 2i 5 z z z • z = − 2i suy P = z = z − z + = (1 − 2i ) − (1 − 2i ) + = Chọn D () − + = 10 − 2z − i Mệnh đề sau ? + iz C A D A (THPT CHUYÊN HÀ NAM) Câu 18 Cho số phức z thỏa mãn z Đặt A = A A B A Lời giải Từ giả thiết, ta có A = 2z − i A ( + iz ) = z − i A + Azi = z − i + iz A + i = z ( Ai − ) z = 2A + i 2A + i A + i Ai − (*) Mà z Ai − Ai − Đặt A = x + yi ( x, y ) , (*) x + (2 y + 1)i − y − + xi x2 + ( y + 1) ( y + 2) + x2 x2 + y + y + x2 + y + y + x2 + y Vậy môđun A = x + y Chọn A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w = bốn điểm M , N , P, Q Khi iz điểm biểu diễn số phức w A.Điểm Q B.Điểm M C.Điểm N D.Điểm P (THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 1) Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z = Lời giải x + y = x y (hình vẽ) 2 Đặt z = x + yi ( x, y 0) ,khi z = x + y = Ta có w = i ( x − yi ) i y + xi =− =− =− = −2 y − xi iz x + yi ( x + yi )( x − yi ) x + y Vì x, y nên điểm biểu diễn số phức w ( −2 y; −2 x ) có hồnh độ, tung độ âm Đồng thời x y −2 y −2 x xw yw w = x2 + y = = z Dựa vào hình vẽ, điểm P điểm cần tìm điểm N thỏa mãn xw yw độ dài ON xấp xỉ độ dài OA Chọn D Câu 20 Cho số phức z = x + yi ( x, y ) thỏa mãn z − + 8i = có mơđun nhỏ Tính tổng x + y A x + y = −3 C x + y = B x + y = −1 D x + y = (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Lời giải Dựa vào ví dụ, ta phát triển dạng tốn Min-Max số phức sau Tập hợp điểm M ( z ) thỏa điều kiện z − ( a + bi ) = R ( R 0) đường tròn (C ) có tâm I (a; b) bán kính R Chứng minh Gọi z = x + yi, ( x, y ) Theo giả thiết z − ( a + bi ) = R ( x − a ) + ( y + b ) i = R ( x − a ) + ( y − b) 2 = R ( x − a ) + ( y − b ) = R2 2 Vậy tập hợp điểm M ( z ) đường trịn (C ) có tâm I (a; b) bán kính R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 21.Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = Tìm max z A max z = B max z = C max z = D max z = 13 Hướng dẫn giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn (C ) có tâm I (2; 4) bán kính R = Vậy max z = OM = OI + R = 22 + 42 + = Chọn A *Hỏi thêm: a) Tìm z z = ON = OI − R = 22 + 42 − = b) Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ Phương trình đường thẳng OI y = x Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình y = 2x x = x = y = 2x ; 2 y = x − 20 x + 15 = x − + y − = ( ) ( ) y = Số phức z có mơđun lớn z = + 6i tương ứng với điểm M (3;6) Số phức z có mơđun nhỏ z = + 2i tương ứng với điểm N (1; 2) Ví dụ 22.Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5i Nếu số phức z có mơđun nhỏ phần ảo bao nhiêu? A.0 B.3 C.2 D.4 Hướng dẫn giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn (C ) có tâm I (0;5) bán kính R = Số phức z có mơđun nhỏ z = 2i ứng với điểm N (0; 2) Chọn C Tổng quát.Trong số phức z thỏa mãn z − z1 = r1 (r1 0) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = z − z2 Gọi I ( z1 ) ; N ( z2 ) M ( z ) Tính IN = z1 − z2 = r2 Khi đó, max P = NM1 = r1 + r2 P = NM = r1 − r2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Áp dụng Câu 1.(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1)Trong số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z + − 7i = Tìm max z C max z = B max z = A max z = D max z = Hướng dẫn giải Ta có (1 + i ) z + − 7i = + i z + − 7i = z − ( + 4i ) = 1+ i Vì ( + 4i ) − = nên max z = r1 + r2 = + = Chọn D Câu Tìm giá trị lớn z biết z thỏa điều kiện A max z = B max z = −2 − 3i z +1 = − 2i C max z = D max z = Hướng dẫn giải Ta có Vì −2 − 3i z + = −iz + = −i z + = z − (−i ) = − 2i −i ( −i ) − = nên max z = r1 + r2 = + = Chọn B Câu 3.Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Biết số phức z = x + yi , ( x, y ) có mơđun nhỏ Tính A P = 10 P = x2 + y C P = 16 B P = D P = 26 Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ( x, y ( x − 2) + ( y − 4) ) Ta có z − − 4i = z − 2i ( x − ) + ( y − ) i = x + ( y − ) i = x + ( y − 2) x2 − x + + y − y + 16 = x + y − y + x + y − 16 = y = − x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do z = x2 + y = x2 + ( − x ) = x2 − 8x + 16 = ( x − ) + 2 2 2 Dấu " = " xảy x = y = Vậy P = + = Chọn B Câu (ĐỀ THTT LẦN – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z A.10 B C D Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi ( x, y ) Theo giả thiết, ta có ( x − 4) + yi + ( x + 4) + yi = 10 z − + z + = 10 ( x − 4) + y2 + ( x + 4) + y = 10 (*) Gọi M ( x; y ), F1 (−4;0) F2 (4;0) Khi (*) MF1 + MF2 = 10 nên tập hợp điểm M ( z ) đường elip ( E ) 2 Ta có c = 4; 2a = 10 a = b = a − c = Do đó, phương trình tắc ( E ) x2 y + =1 25 Vậy max z = OA = OA ' = z = OB = OB ' = Chọn D Câu 5.Biết sốphức z = x + yi , ( x, y ) thỏa mãn đồng thờiđiều kiện z − ( + 4i ) = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn Tính z 2 B z = 50 A z = 33 C z = 10 D z = Hướng dẫn giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn (C ) có tâm I (3; 4) bán kính R = Ta có P = ( x + 2)2 + yi − x + ( y − 1)i = ( x + 2)2 + y − x + ( y − 1)2 = x + y + x + y + − P = () Ta tìm P cho đường thẳng đường trịn (C ) có điểm chung d ( I ; ) R 12 + + − P 20 23 − P 10 −10 23 − P 10 13 P 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x = 4 x + y − 30 = Do max P = 33 Dấu " = " xảy 2 ( x − 3) + ( y − ) = y = −5 Vậy z = 52 + 52 = Chọn D Câu 23 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãnđiềukiện z1 = z2 = z1 − z2 = z z Tính giá trị biểu thức P = + z2 z1 A P = − i B P = −1 − i C P = −1 D P = + i (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH) Lời giải Từ giả thiết, ta có z1 = z2 = z1 − z2 = z1 z = −1 = z2 z2 x= 2 2 x + y = x + y = z Đặt w = = x + yi ( x, y ) ,khi z2 ( x − 1) + y = x + y = x y = 2 1 i 3 1 i 3 Khi P = w + = + + − = −1 Chọn C w 2 2 Câu 24 Tính tích mơđun tất số phức z thỏa mãn z − = z + + i , đồng thời điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường trịn tâm I (1;1) , bán kính R = A C B.3 D.1 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ) , z − = z + + i x − + yi = x + − ( y − 1) i ( x − 1) + y = ( x + 1) + ( y − 1) 3x + y − x + y − = (1) 2 Mà điểm biểu diễn M ( z ) (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = x + y − x − y − = (2) 2 Lấy (1) - 3.(2), ta 3x + y − x + y − − 3x − y + x + y + = y = −1 Thế y = −1 vào phương trình (2), ta có: x = z1 = −i x2 − 2x = z1 z2 = −i − i = Chọn C x = z2 = − i Câu 25 Cho số phức z , w thỏa mãn z + − 2i = z − 4i , w = iz + Giá trị nhỏ biểu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word thức w A 2 B 2 C.2 2 (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2) D Lời giải Đặt z = a + bi (a, b ) , z + − 2i = a + + ( b − 2) i z − 4i = a + ( b − 4) i Nên ta có ( a + ) + ( b − ) = a + ( b − ) a + b = b = − a 2 Khi w = iz + = ( a + bi ) i + = − b + w = a + (b − 1) = a + ( a − 1) 2 1 1 2 w = Dễ thấy a + ( a − 1) = a − + w Chọn A 2 2 2 Câu 26 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Tính giá trị biểu thức : P = z12017 + z2 2017 A P = B P = −1 C P = D P = (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải i z = z = P = ( z1 ) 2017 + ( z2 ) 2017 = Chọn D Ta có z + z + = z = − 2 Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn ( + 3i ) z − (1 + 2i ) z = − i Tìm môđun z A z = B z = D z = C z = (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải Cách Đặt z = a + bi (a, b ) , giả thiết trở thành Gt ( + 3i )( a + bi ) − (1 + 2i )( a − bi ) = − i a − 5b = a − 5b + ( a + 3b ) i = − i a + 3b = −1 a = z = 2−i z = b = −1 Cách Xử lý casio giống toán sau : Cho số phức z − ( + 3i ) z = − 9i Tích phần thực phần ảo số phức z A B -1 C.1 D.-2 Đặt z = X + Yi → z = X − Yi Khi w = X + Yi − ( + 3i )( X − Yi ) −1 + 9i = (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Thao tác máy tính Ấn w → → Đưa tính số phức Nhập vế trá phương trình (*) Màn hình hiển thị X + Yi − (2 + 3i )( X − Yi ) − + 9i Sau đó, gán giá trị X = 100, Y = 0, 01 Ấn r → 100 → r → → q → 0.01 → = 10103 29097 − i = −101, 03 − 290,97i 100 100 101, 03 = 100 + + 0, 03 = X + 3Y + Mặt khác, ta có 290,97 = 300 − − 0, 03 = X − 3Y − X + 3Y = −1 X = w = − ( X + 3Y + 1) − ( X − 3Y − ) i = X −Y = Y = −1 Khi w = − Câu 28 Có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z + z = z = ? A B.4 C.3 D.1 (THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA) Lời giải Đặt z = a + bi (a, b ) z = a − bi z.z = ( a − bi )( a + bi ) = a + b 2 a + b = a + b = a + b + a + bi = Khi đó, giả thiết 2 a + + bi = a + bi = ( a + ) + b = 2 a + b = a = −2 a + b = z = −2 Chọn D 2 b = a = −2 ( a + ) − a = Câu 29 Cho số phức w hai số thực a , b Biết z1 = w + 2i z2 = 2w − hai nghiệm phức phương trình z + az + b = Tính T = z1 + z2 A T = 13 Đặt w = m + ni ( m, n B T = 97 85 D T = 13 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ) Lời giải C T = z1 = w + 2i = m + ( n + ) i ) z2 = w − = 2m − + 2ni 3n + = n = − Ta có z1 + z2 = 3m − + ( 3n + 2) i = −a số thực 3m − m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4 Lại có z1.z2 = m + i 2m − + i = b số thực ( 2m − 3) − m = m = 3 3 4 97 Do z1 = + i; z2 = − i T = z1 + z2 = Chọn B 3 ( ) Câu 30 Cho số phức z thỏa mãn ( z + 1) z − 2i số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có diện tích 5 5 A 5 B C D 25 (THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM-QUẢNG NAM) Lời giải ) ( z + 1) ( z − 2i ) = x2 + y + x + y − ( x + y + ) i Đặt z = x + yi ( x, y ( ) Theo giả thiết ( z + 1) z − 2i số ảo, suy 2 x + y + 1 x + x + + y + y + = x + + ( y + 1) = 2 4 2 x + y + + y = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có diện tích 5 Chọn B z − z +1 , z số phức thỏa z2 mãn (1 − i )( z + 2i ) = − i + 3z Gọi N trung điểm mặt phẳng cho Ox, ON = 2 Câu 31 Mọi M điểm biểu diễn số phức w = ( ( ) ) = Ox, OM góc lượng giác tạo thành quay tia Ox tới vị trí tia OM Điểm N nằm góc phần tư ? A Góc phần tư thứ ( I ) B.Góc phần tư thứ ( IV ) C.Góc phần tư thứ ( III ) D.Góc phần tư thứ ( II ) (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU - ĐỒNG THÁP) Lời giải Từ giả thiết, ta có (1 − i )( z + 2i ) = − i + 3z z + 2i − iz + = − i + 3z z − z + casio 33 56 ( i + ) z = 3i z = + i w = ⎯⎯⎯ →w = − i 5 z 45 45 Sử dụng lý thuyết z = x + yi → P ( x; y ) → tan = y với góc tạo chiều dương trục hồnh x với vectơ OM Khi w = 33 56 56 3696 2047 − i tan = − sin 2 = − ;cos 2 = − 45 45 33 4225 4225 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy điểm N thuộc góc phần tư thứ ( IV ) Chọn B Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn z − − 3i = Giá trị lớn z + + i A 13 + Đặt z = a + bi ( a, b ) ( a − ) + ( b − 3) C.6 D 13 + (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải B.4 2 , ta có z − − 3i = ( a − ) + ( b − 3) i = = ( a − ) + ( b − 3) = (*) 2 a − = sin t Đặt (vì (*) sin t + cos t = ) Khi z + + i = ( a + 1) + (1 − b ) i b − = cos t = ( a + 1) + (1 − b ) 2 → xét biểu thức P = ( a + 1) + (1 − b ) 2 Ta có ( a + 1) + (1 − b ) = ( sin t + 3) + ( cos t + ) = sin t + 6sin t + + cos t + cos t + 2 2 = ( sin t + cos t ) + 13 + 6sin t + cos t = 14 + 6sin t + 4cos t = P ( )( Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta ( 6sin t + 4cos t ) 62 + 42 sin t + cos2 t ) ( 6sin t + cos t ) 52 6sin t + cos t 52 = 13 P 14 + 13 Vậy z + + i = ( a + 1) + (1 − b ) 2 ( 14 + 13 = ) 13 + = 13 + Chọn A Câu 33 Có số phức z thỏa mãn z − i = z số ảo A B.1 Đặt z = x + yi ( x, y Ta có z = ( x + yi ) 2 C.4 D.2 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải ) ,khi z − i = x + ( y − 1) i = x2 + ( y − 1) = (*) x2 − y = x = y = x − y + xyi số ảo nên x = − y 2 xy 2 TH1 Với x = y ,thế vào (*), ta x + ( x − 1) = x − x − = x = 1 TH2 Với x = − y , vào (*), ta x + ( x + 1) = x + x − = x = −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Câu 34 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1, z2 0; z1 + z2 thức A 1 Tính giá trị biểu = + z1 + z2 z1 z2 z1 z2 2 B 2 (THPT CHUYỄN QUANG TRUNG) C D Lời giải Từ giả thiết, ta có 2z + z 1 = + = z1 z2 = ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) z1 + z2 z1 z2 z1 + z2 z1 z2 z1 z2 = z12 + z1 z2 + z1 z2 + z2 z12 + z1 z2 + z2 = z z z z i i 2 + 2 +1 = = − = − = Chọn A z2 2 z2 2 z2 z2 10 + − 3i Biếết tập hợp điểm biểu diễn z cho số phức w = ( − 4i ) z −1 + 2i đường tròn I , bán kính R Khi Câu 35 Cho thỏa mãn z thỏa mãn ( + i ) z = A I ( −1; −2 ) , R = B I (1; ) , R = C I ( −1;2) , R = D I = (1; −2) , R = (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG) Lời giải Từ giả thiết, ta có ( + i ) z − + 3i = Lấy môđun hai vế (*), ta 10 10 ( z − 1) + ( z + 3) i = (*) z z ( z − 1) + ( z + 3) 2 = 10 z =1 z Lại có w = ( − 4i ) z − + 2i w + − 2i = ( − 4i ) z w + − 2i = ( − 4i ) z w + − 2i = − 4i z = z = tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w đường tròn tâm I ( −1;2 ) bán kính R = Chọn C () Câu 36 Cho số phức z thỏa mãn z ( + 4i ) z − + 3i − = Giá trị z A B Cách 1.Đặt z = x + yi ( x, y C 2 D.1 ) z = x − yi , dựa vào giả thiết tìm nghiệm x, y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cách Ta có, giả thiết ( + 4i ) z − + 3i = ( z − ) + ( z + 3) Lấy môđun hai vế, ta ( z − ) + ( z + 3) 2 = 50 z 5 ( z − ) + ( z + 3) i = z z 2 = mà z = z , z → đến giải trực tiếp cách đặt t = z Hoặc sử dụng máy tính casio việc thử đáp án, đển thấy z = Cách Ta có biến đổi Thử với đáp án, ta thấy ( + 4i ) + ( 3i − ) = • z =2→z = • z = 2→z= • z =2 2→z= • z =1 z = → z = ( + 4i ) + ( 3i − ) ( + 4i ) + ( 3i − ) 2 = + 11 i z = 10 (loại) −4 + 3 + + i z = (loại) 5 z = (loại) + 4i + 3i − =− + i z = (chọn) Chọn D 10 10 Câu 37 : Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 4i Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + − i hình trịn có diện tích A S = 9 B S = 12 C S = 16 D S = 25 (THPT TRẦN HƯNG ĐẠO- NINH BÌNH) Lời giải Cách 1.Đặt w = x + yi ( x, y ) ,ta có x + yi = 2z + − i 2z = x −1 + ( y + 1) i (1) Từ giả thiết, ta thấy z − + 4i z − + 4i z − + 8i (2) Từ (1), (2) suy x − + ( y + 1) i − + 8i x − + ( y + ) i ( x − ) + ( y + 9) 2 ( x − ) + ( y + ) 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn bán kính R = S = R = 16 Cách Ta có w = z + − i w −1 + i w −1+ i =z − + 4i = z − + 4i 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word w − + 9i w − + 9i w − + 9i = z − + 4i = z − + 4i w − + 9i 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn bán kính R = S16 Chọn C Câu 38 Biết số phức z = x + yi, ( a, b ) thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i đồng thời có mơđun nhỏ Tính giá trị biểu thức M = x + y A M = B M = 10 C M = 16 D M = 26 (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - QUẢNG BÌNH) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ) ,ta có z − − 4i = x − + ( y − 4) i Mặt khác z − − 4i = z − 2i nên suy z − 2i = x + ( y − 2) i ( x − 2) + ( y − 4) 2 = x2 + ( y − 2) x + y − x − y + 20 = x + y − y + x + y = y = − x Khi z = x2 + y = x2 + ( − x ) = x2 − 8x + 16 = ( x − ) + 2 2 Vậy môđun nhỏ z 2 Xảy x = y = M = Chọn A Câu 39.Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z , số phức z có phần ảo khơng âm Tính diện tích hình H A 3 B Đặt z = x + yi ( x, y 3 3 D 6 (THPT CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP - QUẢNG BÌNH) Lời giải C ) ,ta có z − z = ( x + yi ) = x + yi − x + yi = x + yi Khi z − z x + yi x + y x + y x2 + y Mặt khác z có phần ảo khơng âm nên y Vậy hình H tạo y Xét đường E lip có phương trình ( E ) : x + y = x2 y + = có độ dài hai bán trục a = 3, b = nên diện tích ( E ) S( E ) = ab = 3 Hình H giới hạn hình ( E ) phía trục Ox ( y ) nên S = S( E ) = 3 Chọn C Câu 40 Trong số phức z thỏa mãn z − ( + 4i ) = gọi z1 z2 số phức có mơđun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 z2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A 8i B.4 C.-8 D.8 (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH) Lời giải Tập hợp điểm M ( z ) đường trịn (C ) có tâm I ( 2;4) bán kính R = Vậy max z OM = OI + R = 22 + 42 + = + z = ON = OI − R = 22 + 42 − = − Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ Phương trình đường thẳng OI y = x Tọa độ hai điểm M , N nghiệm hệ phương trình y = 2x y = 2x 2 5 x − 20 x + 16 = ( x − ) + ( y − ) = 2 ( x; y ) = − ;4 + ;4 − ( x; y ) = + 5 5 5 Số phức z có mơđun lớn z = + +4+ i 5 ;4 + Tương ứng M + 5 Số phức z có mơđun nhỏ z = − +4− ;4 − i tương ứng N − 5 5 Vậy tổng phần ảo hai số phức + 4 +4− = Chọn D 5 Câu 41 Cho số phức z; w khác cho z − w = z = w Phần thực số phức u = A a = − B a = C a = z w (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3) D a = Lời giải Sử dụng công thức z1 z = với z1 , z2 z2 z2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Giả sử u = a + bi ( a, b z z = = u = w w Từ giả thiết, suy z − w = z − w = z −1 = u −1 = w w w ) 2 3 a + b = ( a − 1) − a = − 2a = a = Chọn D 4 ( a + 1)2 + b = = Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ góc z thuộc tập nào? 1 9 1 C 0; D ; 2 4 4 (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Lời giải Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn ( − 4i ) z − tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z 9 1 5 A ; + B ; 4 4 4 Ta có ( − 4i ) z − 4 = ( − 4i ) z = + (*) z z Lất môđun hai vế (*) sử dụng công thức z1.z2 = z1 z2 ,ta (*) ( − 4i ) z = + 1 − 4i z = + z = 2+ z z z z = ( z + 1) z − z − = z = 2 1 9 Gọi M ( x; y ) điểm biểểu diễn số phức z OM = x + y = z = ; Chọn D 2 4 Câu 43 Cho số phức z có mơđun z = Giá trị lớn biểu thức P = + z + − z A 10 B 10 C D (SỞ GD&ĐT BẮC NINH) Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ) ,ta có z P = z +1 + 1− z = ( x + 1) = x2 + y = x2 + y = Khi + y + (1 − x ) + y 2 = x + y + x + 13 x + y − x + = 2x + + − 2x Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( 2x + + − 2x ) (1 + ) ( x + + − x ) = 40 2 Suy P = x + + − x 40 = 10 Pmax = 10 Chọn B Câu 44 Nếu hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 = z2 = số phức w = A B.1 C.-1 z1 + z2 + z1 z2 D.2 Lời giải Ta có z1.z1 = z1 = z1 = 1 , tương tự ta có z2 = z1 z2 1 + z1 + z2 z1 z2 z +z = = = w w số thực Chọn A Khi w = + z1.z2 + 1 + z1 z2 z1 z2 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Gọi M , m giá trị lớn biểu thức P = + z + − z + z Tổng M + m gần với giá trị sau ? A B C.6 D.5 Lời giải ( ) Đặt t = + z với t 0;2 nên t = + z = (1 + z ) + z = + Re ( z ) Re ( z ) = Ta có − z + z = t2 − 2 − 2t , P = f ( t ) = t + − 2t với f : 0;2 → 7 7 7 P f Vậy f = = 2 6 M +m=3 7 + 5,11 Chọn D Đồ thị hàm số f ( t ) = t + − 2t hình vẽ bên → http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... = 3 Chọn C Câu 40 Trong số phức z thỏa mãn z − ( + 4i ) = gọi z1 z2 số phức có mơđun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1 z2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word. .. = 2 1+ z z.z = Cách Chọn w = z z 1 = ( z − 1) = z = z = = Chọn B 2 1+ z 2 1+ z Câu Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểểu diễn M , M '' Số phức z ( + 3i ) số phức liên hợp có điểm... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta P = z1 + z2 (2 z + z2 )=2 26 Chọn B Câu 17 Cho P ( z ) đa thức với hệ số thực Nếu số phức z
Ngày đăng: 14/06/2018, 15:35
Xem thêm: Giải chi tiết 50 câu trắc nghiệm số phức chọn lọc trong các đề thi thử nguyễn thế duy file word image marked