SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (VỊNG 1) SBD: (150 phút, khơng kể thời gian giao đề) cos x.cos y = Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ: cos 2x + cos 2y + ≤ Bài 2: (3.5 đ) Cho hai đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C, D thay đổi + = Ax By cho: AC BD AB a/Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD song song với AB luôn qua điểm cố định I mặt phẳng (Q) chứa Ax (Q) song song By b/Tìm vị trí C D cho thể tích tứ diện ABCD nhỏ Bài 3: (3.0 đ) a/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) cắt parabol (P): y = x2 bốn điểm, điểm có tọa độ (1;1) ba điểm lại ba đỉnh tam giác Tính bán kính đường tròn (C) b/ Tìm tập hợp tâm tam giác có ba đỉnh thuộc parabol (P): y = x2 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2002-2003 HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 12 -VỊNG cos x.cos y = Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ: (I) cos 2x + cos 2y + ≤ (1) cos x.cos y = −4 cos x.cos y = (0.5 điểm) (I) ⇔ cos 2x + cos 2y + ≤ (2) (III) hay cos 2x + cos 2y + ≤ (III) (1.5 điểm) Giải hệ (II): 1 (3) cos(x + y) + cos(x − y) = cos(x − y) = − cos(x + y) • (II) ⇔ cos(x + y).cos(x − y) + ≤ cos(x + y).[1-2 cos(x + y)]+1 ≤ (4) • (4) ⇔ -2cos2(x + y) + cos(x - y) +1 ≤ ⇔ - [cos(x + y) - 1].[2cos(x + y) +1] ⇔ cos(x + y) ≤ − hay cos(x + y) ≥ cos(x − y) = − cos(x + y) cos(x − y) = − cos(x + y) (IV) hay (V) • Do đó: (II) ⇔ cos(x + y) ≤ − cos(x + y) ≥ x − y = k2π cos(x − y) = cos(x − y) = − cos(x + y) ⇔ • Giải (IV): 2π 1⇔ cos(x + y) ≤ − cos(x + y) = − x + y = ± + h2π π x = ± + (k + h)π ⇔ y = mπ + (h − k)π 2π cos(x − y) = − cos(x + y) + 2nπ cos(x − y) = x − y = ± ⇔ ⇔ • Giải (V): cos(x + y) = x + y = 2mπ cos(x + y) ≥ − π x = ± + (m + n)π ⇔ y = mπ + (m − n)π • • (1.5 điểm) Giải hệ (III): cos t.cos y = Đặt t = x + π vào (III) ta : cos 2t + cos 2y + ≤ π π t = ± + (k + h)π t = ± + (m + n)π hay Theo (II) ta được: π y = ± + (k − h) π y = ± π + (m − n)π 3 • • π π x = ± − π + (k + h) π t = ± − π + (m + n)π hay Do đó: (III) ⇔ y = ± π − π + (k − h)π y = mπ − π + (m − n)π 3 π π x = ± + (k + h) π x = ± + (m + n)π Vậy hệ có họ nghiệm: ; y = ± π + (h − k)π y = mπ + (m − n)π 3 π π x = ± − π + (k + h)π t = ± − π + (m + n)π ; y = ± π − π + (k − h)π y = mπ − π + (m − n)π 3 Bài 2: (3.5 điểm) a/ ( điểm) • Hình vẽ: Dựng Ay’ // By D’ Ay’ cho: AD’ = BD (P) mp(DCD’), (Q) mp(Ax, Ay’) A • Nhận xét: Với I tùy ý D’C Gọi M, N điểm Ay’,Ax cho: MI//Ax, NI // Ay’ AM AN CI D ' I CI + ID ' + = + = = (1) Ta có: AD ' AC CD ' D 'C CD ' AB : 2AB : + = ⇔ + = (2) AC BD AB AC AD ' y D B M y’ D’ N • Với C,D hai điểm tùy ý thỏa giả thiết Trên CD’ tồn điểm I cho : I C x D 'I AB : = D 'C AC AN D 'I AB : AB = = ⇒ AN= (3) AC D 'C AC AM CI D 'I AB : 2AB : 2AB = = 1− = 1− = ⇒ AM= (4) và: AD ' CD ' D 'C AC AD ' • Từ (3) (4) suy M N cố định nên I cố định Do (P) ln qua điểm cố định I mặt phẳng (Q) b/ (1.5 điểm) • Do ∆ABD = ∆AD’D nên thể tích V tứ diện ABCD thể tích tứ diện DACD’ • Do D By // (Q) nên khoảng cách từ D đến (ACD’) khơng đổi, nên thể tích V nhỏ diênh tích S tam giác AD’C nhỏ 1 • S = AC.AD’.sinA = AC.BD.sinA nên: S nhỏ ⇔ AC.BD nhỏ 2 1 , • Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương: ta có: AC BD 2 = + ≥2 ⇒ AC.BD ≥ AB2 AB AC BD AC BD 2AB 4AB = = ⇔ AC = Dấu xảy khi: BD = AC BD 2AB 3 4AB 2AB • Vậy: V nhỏ khi: BD = , AC = 3 Bài 3: ( điểm) a/( 1.5 đ) (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (C) qua điểm (1;1) nên: R2= (1 – a)2 + (1 – b)2 Ta được: • Hồnh độ x1, x2, x3 ba đỉnh tam giác x = nghiệm phương trình: x = (x – a)2 + (y – b)2 = (1 – a)2 + (1 – b)2 ⇔ x + x + (2 − 2b)x + − 2a − 2b = • Do đó: x3 + x2 + (2 – 2b)x +2 – 2a – 2b ≡ (x – x1)(x – x2)(x – x3) nên: x1 + x + x = −1 x1 x + x1 x + x x = − 2b • Từ giả thiết tam giác nên: x1 + x + x = 3a x1 + x + x = 3a ⇔ 2 x1 + x + x = 3b ( x1 + x + x ) − 2(x1x + x x + x x1 ) = 3b 13 • Do đó: a = − , b = bán kính đường tròn (C) là: R = 3 b/ (1.5 đ) Thuận: • Giả sử I(a;b) tâm tam giác dều ABC có đỉnh (P) Đường tròn (ABC) cắt (P) thêm điểm M(x0;y0) ( trùng A, B, C) xA, xB, xC x0 nghiệm của: (x – a)2 + (y – b)2 = (x0 – a)2 + ( x – b)2 x = x0 ⇔ 2 x + x x + (x + − 2b)x + x + x − 2a − 2bx = (1) x A + x B + x C = 3a x A + x B + x C = 3a ⇔ • Suy ra: 2 2 x A + x B + x C = 3b ( x A + x B + x C ) − 2(x A x B + x B x C + x C x A ) = (− x ) − 2(x + − 2b) x0 a = − , vậy: b = 9a2 + Nên tâm I đồ thị (G): y = 9x2 + • Hay: b = x + Đảo: Xét I(a; 9a2 + 2) tùy ý (G): y = 9x2 + Ta phải chứng minh đường tròn (C) tâm I bán kính IM với M(-3a ; 9a2) cắt (P) thêm điểm đỉnh tam giác • Xét phương trình: (x – a)2 + (x2 – 9a2 – 2)2 = (-3a – a)2 + (9a2 – 9a2 – b)2 (2) x = −3a • ⇔ với f(x) = x3 -3a2x2 - (9a2 + 3)x + 27a3 + 7a (f(x) = phương trình (1) với x0 f (x) = = - 3a) • Nếu a = 0: f(x) = x3 -3x = có nghiệm phân biệt f (−3a) = 16a > 0;f (3a) = −2a < a > f (x) = ±∞ • Nếu a ≠ 0: Do f(x) liên tục, xlim →±∞ f (3a) = −2a > 0;f (−3a) = 16a < a < nên f(x) = có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f(x) = ln có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 với a y A B I C M x x1 + x + x =a x1 + x + x = 3a (3) • Ta có: Do đó: 2 2 x + x + x x1 x + x1 x + x x = −(9a + 3) 2 = 9a + Do x1, x2, x3 nghiệm phân biệt (2) nên: (C) cắt (P) đỉnh A ( x1 ; x1 ) , B ( x ; x ) , C ( x ;x ) tam giác ABC Và (3): tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I, nên ABC tam giác Kết luận: Tập hợp tâm tam giác có đỉnh thuộc (P): y = x2 parabol: (G): y = 9x2 + _ ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2 002- 2 003 HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 12 -VỊNG cos x.cos y = Bài 1: (3.5