Ứng dụng qui hoạch tuyến tính trong phân tích gói dữ liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN LÊ TUÂN ỨNG DỤNG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Trần Vũ Thiệu THÁI NGUYÊN - 2017 i i MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.2 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 Nội dung toán 1.2.2 Các tính chất 1.3 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 10 1.4 QUAN HỆ ĐỐI NGẪU TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 12 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU 15 2.1 PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BẰNG ĐỒ THỊ 15 2.1.1 Đối tƣợng nghiên cứu 15 2.1.2 Hiệu tƣơng đối 16 2.1.3 Trƣờng hợp đầu vào - đầu 16 2.2 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES 22 2.3 MƠ HÌNH CHARNES - COOPER - RHODES ĐỐI NGẪU 29 2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 ii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Tập ràng buộc tốn Ví dụ 1.2 10 Hình 1.2 Tập ràng buộc cặp toán đối ngẫu Ví dụ 1.5 14 Hình 2.1 Biên giới hiệu 19 Hình 2.2 Phƣơng pháp đồ thị 21 MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (còn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích gói liệu, nhằm giúp đánh giá hiệu tƣơng đối, dựa tập hợp liệu thu thập đƣợc đơn vị khác tham gia lĩnh vực hoạt động đó, chẳng hạn chi nhánh ngân hàng thành phố, đơn vị sản xuất xí nghiệp, lớp trƣờng học, v.v Phân tích gói liệu (Data Envelopment Analysis, gọi tắt DEA) phƣơng pháp toán học ngày phổ biến nghiên cứu kinh tế DEA đƣợc dùng để đánh giá hoạt động sở sản xuất, ngân hàng, bệnh viện, trƣờng học, Cách tiếp cận thống kê truyền thống thƣờng có xu hƣớng đánh giá so với sở sản xuất đại diện (mẫu) trung bình Trái lại, DEA so sánh sở sản xuất với sở sản xuất "tốt nhất" (xu hƣớng tối ƣu hóa) Với sở sản xuất, trình sản xuất sở sử dụng tập hợp vật vào - yếu tố sản xuất (inputs) sản xuất tập hợp vật - sản phẩm (outputs) Với ngân hàng, ngân hàng có số nhân viên, số diện tích giao dịch số ngƣời quản lý định (vật vào) Có số tiêu để đánh giá hoạt động ngân hàng, ví nhƣ lƣợng tiền gửi, số tiền cho vay, v.v (vật ra) DEA cố gắng xác định xem ngân hàng hoạt động hiệu hoạt động không hiệu cụ thể ngân hàng khác Giả thiết ẩn sau phƣơng pháp sở sản xuất đó, chẳng hạn A, có khả sản xuất Y(A) đơn vị sản phẩm (vật ra) cách sử dụng X(A) đơn vị vật vào, sở sản xuất khác làm đƣợc nhƣ vậy, nhƣ họ hoạt động có hiệu Khi đó, sở sản xuất A, B sở sản xuất khác kết hợp lại tạo nên sở sản xuất "hợp" với vật vào hợp vật hợp Do sở sản xuất hợp khơng thiết tồn tại, nên thƣờng đƣợc gọi sở sản xuất ảo Cốt lõi phân tích gói liệu tìm đƣợc sở sản xuất ảo "tốt nhất" cho sở sản xuất thực Nếu sở ảo tốt sở ban đầu, làm đƣợc nhiều vật với lƣợng vật vào, làm đƣợc lƣợng vật nhƣ nhƣng tốn vật vào hơn, sở sản xuất ban đầu hiệu Sự tinh tế DEA chỗ đƣa đƣợc cách khác nhau, theo sở sản xuất A B mở rộng hay thu hẹp quy mô kết hợp lại Để làm đƣợc điều này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ tốn học mà trƣớc hết qui hoạch tốn học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chúng tơi chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày ý tƣởng, nội dung phƣơng pháp phân tích gói liệu, thơng qua phân tích ví dụ cụ thể từ đơn giản (một vật vào hay hai vật ra) đến phức tạp (nhiều vật vào - nhiều vật ra) tổng quát hóa dạng ma trận; đồng thời tìm hiểu mơ hình, phƣơng pháp xây dựng hiệu tƣơng đối tìm sở sản xuất tốt nhất, theo nghĩa đạt hiệu cao Luận văn đƣợc viết dựa tài liệu tham khảo [1] - [5], chủ yếu [3] [5] Nội dung luận văn gồm hai chƣơng • Chƣơng "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, toán qui hoạch tuyến tính, tốn đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính • Chƣơng “Phân tích gói liệu” trình bày nội dung phân tích gói liệu ví dụ, mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích điểm mạnh điểm yếu phƣơng pháp DEA Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn nhƣ soạn thảo văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận đƣợc góp ý thầy, bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán-Tin, Trƣờng Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Lê Tuân Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chƣơng nhắc lại số kiến thức cần thiết tập lồi đa diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Nội dung chƣơng tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [5] 1.1 TẬP LỒI ĐA DIỆN Trƣớc hết nhắc lại khái niệm liên quan tới tập lồi n Định nghĩa 1.1 Tập C  ℝ đƣợc gọi tập lồi a + (1 - )b  C với a, b  C ≤  ≤ Nói cách khác, tập C lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói riêng, tập , tập gồm n phần tử tồn khơng gian ℝ tập lồi Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: a) Tập afin tập chứa trọn đƣờng thẳng qua hai điểm thuộc n T n b) Siêu phẳng tập có dạng H = {x  ℝ : a x = , a  ℝ \ {0},   ℝ} c) Nửa khơng gian đóng H1 = {x  ℝn : aTx ≤ }, H2 = {x  ℝn : aTx ≥ } n T n T d) Nửa không gian mở K1 = {x  ℝ : a x < }, K2 = {x  ℝ : a x > } n n e) Hình cầu mở B(a, r) = {x  ℝ : ||x - a|| < r} (a  ℝ , r > cho trƣớc) n f) Tập lồi đa diện D = {x  ℝ : Ax ≤ b}, A  ℝ n m×n g) Nón lồi đa diện K = {x  ℝ : Ax ≤ 0}, A  m ,b mìn m ,0 T định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi m n c) Nếu C  ℝ , D  ℝ lồi tích C × D = {(x, y) : x  C, y  D} tập lồi ℝ m+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a  M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tƣơng đƣơng: M tập afin M tập nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính, n tức có biểu diễn M = {x  ℝ : Ax = b, A  ℝ kỳ tập afin tập afin m×n m , b  ℝ } Giao số bất n k i Định nghĩa 1.2 a) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  n k ℝ , i ≥ 0, 1 + + k = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a , a , , a n k i n b) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  ℝ , 1 + 2 + k + k = 1, gọi tổ hợp afin điểm a , a , , a n k i n c) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  ℝ , i ≥ 0, gọi k tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a , a , , a n Định nghĩa 1.3 Cho tập E ℝ a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dim M, số chiều không gian song song với Qui ƣớc dim  = - b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ n nguyên hay số chiều bao afin aff C Một tập lồi C ℝ gọi có thứ nguyên đầy đủ (full rank) dim C = n n Định nghĩa 1.5 Một tập K ℝ đƣợc gọi nón (cone) hay tập nón (mũi 0) với x  K  > x  K Nón K đƣợc gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi max  = yi0u1 + + ys0us + 0.v1 + + 0.vm (2.6) với điều kiện 0.u1 + + 0.us + xi0v1 + + xm0vm = 1, y11u1 + + ys1us  x11v1   xm1vm  0,        y1nu1 + + ysnus  x1n v1   xmnvm  0, u1 us v1 vm  Tiếp theo, thay ràng buộc đẳng thức (2.6) hai ràng buộc bất đẳng thức "" tƣơng đƣơng, ta nhận đƣợc toán qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn: max  = yi0u1 + + ys0us + 0.v1 + + 0.vm (2.7) với điều kiện 0.u1 + + 0.us + xi0v1 + + xm0vm  1,  0.u1   0.us  xi0v1   xm0vm   1, y11u1 + + ys1us  x11v1   xm1vm  0,        y1nu1 + + ysnus  x1n v1   xmnvm  0, u1 us v1 vm  Lúc ta sẵn sàng thiết lập tốn đối ngẫu qui hoạch tuyến tính T (2.7) Đặt  giá trị hàm mục tiêu  = [1, 2, 3, , n+2] biến toán đối ngẫu (biến i tƣơng ứng với ràng buộc thƣ i toán gốc) Bài tốn đối ngẫu có dạng  = 1  2 (2.8) với điều kiện 0.1  0.2 + y113 + + y1nn+2  y10,        0.1  0.2 + ys13 + + ysnn+2  ys0, x101  x102  x113   x1nn+2  0,         xm01  xm02  xm13   xmnn+2  0, 1, , n+2  Ta lập đƣợc toán đối ngẫu (2.8) tốn qui hoạch tuyến tính (2.4) theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes Rất tiếc chƣa dễ dàng giải thích ý nghĩa dạng tốn đối ngẫu Vì ta cần biến đổi đơi chút để hiểu rõ nội dung tốn Ta giá trị mục tiêu  = 1  2 vào ràng buộc toán (2.8) Thực việc thực chất loại bỏ biến 1, 2 khỏi toán ta nhận đƣợc  (2.9) với điều kiện y113 + + y1nn+2  y10,      ys13 + + ysnn+2  ys0, x10  x113   x1nn+2  0,       xm0  xm13   xmnn+2  0, 1, , n+2  Tiếp đó, ta đánh số lại đổi tên biến đối ngẫu lại Biến T toán đối ngẫu  = [1, , n] với 1 = 3, 2 = 4, , n = n+2 Vì thế, tốn qui hoạch tuyến tính (2.9) trở thành  (2.10) với điều kiện y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, x10  x111   x1nn  0,       xm0  xm11   xmnn  0, 1, , n  Cuối cùng, ta xếp lại ràng buộc  toán (2.10) cho dễ dàng diễn giải ý nghĩa sau Ta nhận đƣợc toán  (2.11) với điều kiện y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, x111 + + x1nn  x10,      xm11 + + xmnn  xm0, 1, , n  Ta tìm đƣợc cách diễn tả tốn qui hoạch tuyến tính theo mơ hình Charnes - Cooper - Rhodes đối ngẫu (2.11) mà giải thích đƣợc ý nghĩa mơ hình này: Biến đối ngẫu  1    =    n  trọng số đơn vị ảo, ký hiệu M* Đơn vị ảo M* đƣợc xem nhƣ đơn vị tham khảo M0 (M0 đơn vị đƣợc xem xét, đánh giá) Đơn vị ảo M* đƣợc thiết lập dựa đơn vị thực M1, , Mn, cách gán cho đơn vị thực Mk trọng số k, k = 1, , n Có thể hình dung: M* = 1M1 + + nMn Vì thế, ràng buộc y111 + + y1nn  y10,      ys11 + + ysnn  ys0, nói rằng: "Mọi sản phẩm đơn vị ảo không thấp sản phẩm tƣơng ứng đơn vị đƣợc xét." Các ràng buộc x111 + + x1nn  x10,      xm11 + + xmnn  xm0, nói rằng: "Mọi vật phẩm vào đơn vị ảo không vƣợt  lần vật phẩm vào tƣơng ứng đơn vị đƣợc xét." Sau tốn qui hoạch tuyến tính theo mơ hình Charnes - Cooper Rhodes đối ngẫu (2.11) cho dạng ma trận: Định nghĩa 2.5 Bài tốn tuyến tính đối ngẫu Charnes - Cooper - Rhodes M0 M1, M2, , Mn  với điều kiện x0  X, Y  y0,   Số  hiệu DEA đơn vị M0 (2.12) Ví dụ 2.5 (Tính hiệu DEA đối ngẫu đơn vị H R) Bây ta tính hiệu DEA đối ngẫu chi nhánh H R với liệu cho Ví dụ 2.2 Lƣu ý tốn tuyến tính (2.12) giá trị mục tiêu  biến số Bài toán tuyến tính đối ngẫu (2.12) chi nhánh H là:  (Hiệu DEA đối ngẫu) 11  181  102  173  114  1251 + 442 + 803 + 234  23 501 + 202 + 553 + 124  12 (Số nhân viên) (Số giao dịch nhân sự) (Số giao dịch kinh doanh)  1, 2, 3 , 4  (Điều kiện không âm) Giải theo thuật tốn đơn hình, ta nhận đƣợc lời giải:   1 = 0,106087;  = 0; 3 = 0,121739; 4 = *  0,361739 Nhƣ vậy, hiệu DEA (đối ngẫu) đơn vị (Chi nhánh H) 36% Ta phân tách theo thành phần đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị thành M0* = 1M1 + 2M2 + 3M3 + 4M4 = 10,6%MR + 12,2%MK Nhƣ vậy, giải thích kết thu đƣợc nhƣ sau: Xét đơn vị ảo tạo thành từ 10,6% đơn vị (Chi nhánh R) 12,2% đơn vị (Chi nhánh K) Khi đó, đơn vị ảo sản xuất số sản phẩm khơng số sản phẩm đơn vị (Chi nhánh H), nhƣng tiêu tốn 36% số vật phẩm vào mà đơn vị sử dụng  Bài toán tƣơng tự cho đơn vị (Chi nhánh R):  (Hiệu DEA đối ngẫu) 18  181  102  173  114  (Số nhân viên) 1251 + 442 + 803 + 234  125 (Số giao dịch nhân sự) 501 + 202 + 553 + 124  50 (Số giao dịch kinh doanh) 1, 2, 3 , 4  (Điều kiện khơng âm) Lời giải tốn: 1 = 1; 2 = 0; 3 = 0; 4 = * = Ta thấy hiệu DEA (đối ngẫu) Chi nhánh R 100% Ta thấy đơn vị ảo tƣơng ứng với đơn vị chi nhánh R Điều khơng có ngạc nhiên Ta nhớ đơn vị ảo (của đơn vị đó) đƣợc định nghĩa đơn vị cho số sản phẩm ra, nhƣng tiêu dùng không nhiều số vật phẩm vào Do chi nhánh R đạt hiệu 100% nên khơng có đơn vị ảo dùng vật phẩm vào mà lại cho số sản phẩm Tƣơng tự, thiết lập giải tốn tối ƣu tìm hiệu DEA (đối ngẫu) cho đơn vị (chi nhánh) lại 2.4 ĐIỂM MẠNH VÀ YẾU CỦA PHƢƠNG PHÁP DEA Phân tích gói liệu (DEA) cơng cụ khung tổng quát để rút kết luận từ liệu có đòi hỏi giả thiết nguồn sản sinh liệu Sau số điểm mạnh yếu phƣơng pháp phân tích gói liệu Ƣu điểm DEA:  DEA đơn giản để mơ hình hóa qui hoạch tuyến tính  DEA xử lý nhiều yếu tố đầu vào nhiều yếu tố đầu  DEA khơng đòi hỏi phải biết quan hệ hàm số liên hệ đầu vào với đầu  Các đơn vị (sản xuất, kinh doanh, nghiên cứu, ) đƣợc so sánh trực tiếp với đơn vị cấp hay tổ hợp (đơn vị ảo) đơn vị cấp  Các yếu tố đầu vào đầu đa dạng đo theo đơn vị khác Chẳng hạn, đầu y1 tính theo "tuổi thọ" đầu vào x1 tính theo "Euro" mà khơng cần đòi hỏi tính cân hai yếu tố DEA cách đánh giá hiệu tƣơng đối, so sánh đơn vị với đơn vị cấp khác Yếu điểm DEA (khi lựa chọn có nên sử dụng DEA hay khơng):  Theo phƣơng pháp DEA để đánh giá hiệu đơn vị cần lập giải tốn qui hoạch tuyến tính riêng, đòi hỏi nhiều cơng sức tính tốn, số đơn vị cần phân tích, đánh giá lớn  Do DEA kỹ thuật điểm cực biên nên nhiễu (kể nhiễu đối xứng, kỳ vọng 0) gây vấn đề nghiêm trọng  DEA tốt việc đánh giá hiệu tƣơng đối đơn vị, nhƣng hội tụ chậm tới hiệu "tuyệt đối" Nói cách khác, DEA cho biết đơn vị hoạt động tốt mức so với đơn vị cấp, không so với "cực đại lý thuyết"  DEA kỹ thuật phi tham số khó áp dụng kiểm định thống kê ngữ cảnh DEA  DEA "hào phóng" Nếu đơn vị trội sản phẩm (hay vật phẩm vào) chắn đơn vị đạt hiệu 100%, đơn vị thực tồi tất sản phẩm (vật phẩm vào) khác Vì thế, có nhiều sản phẩm (vật phẩm vào) đạt hiệu 100% cho tất đơn vị DEA đánh giá đƣợc đơn vị (Điều khơng có nghĩa đơn vị hoạt động tốt theo nghĩa toàn cục) Các tài liệu có cho thấy DEA đƣợc áp dụng nhiều tình khác nhƣ: y tế (bệnh viện, bác sĩ), giáo dục (trung học, đại học), ngân hàng, sản xuất, đo lƣờng tiêu chuẩn, cửa hàng ăn nhanh, cửa hàng bán lẻ, v.v Cũng áp dụng phƣơng pháp phân tích gói liệu (DEA) đánh giá hiệu hoạt động khoa học sở nghiên cứu, đánh giá hoạt động khoa học cá nhân đơn vị nghiên cứu, v.v Tập hợp liệu đƣợc xử lý thay đổi theo kích thƣớc tốn cần nghiên cứu Thống kê cho thấy, số phân tích viên làm việc với toán cỡ nhỏ, gồm khoảng 15 - 20 đơn vị, số phân tích viên khác làm việc với tốn cỡ lớn, gồm 10.000 đơn vị Tóm tắt chƣơng Chƣơng giới thiệu khái quát cách ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu, dựa hai mơ hình Charnes– Cooper–Rhodes gốc đối ngẫu; trình bày cách xây dựng tốn qui hoạch tuyến tính cụ thể, theo liệu đầu vào đầu ra, để tính tốn phân tích hiệu tƣơng đối đơn vị cần nghiên cứu Trong mơ hình xét ví dụ số Cuối chƣơng nêu số lĩnh vực áp dụng lƣu ý điểm mạnh điểm yếu phân tích gói liệu, giúp tham khảo tìm hiểu áp dụng KẾT LUẬN Đề tài đề cập tới việc ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói liệu (DEA) Đây chủ đề mang tính chất ứng dụng, đƣợc đề cập đến, cần đƣợc tìm hiểu giới thiệu rộng rãi toán ứng dụng Luận văn trình bày vấn đề nhƣ sau: Kiến thức sở tập lồi đa diện, toán qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Nội dung phƣơng pháp phân tích gói liệu ví dụ, mơ hình Charnes– Cooper–Rhodes mơ hình Charnes–Cooper–Rhodes đối ngẫu, phân tích số điểm mạnh điểm yếu phƣơng pháp DEA Có thể xem luận văn nhƣ bƣớc tìm hiểu ban đầu phƣơng pháp phân tích gói liệu Tác giả luận văn hy vọng có dịp đƣợc tìm hiểu sâu mơ hình nhiều ứng dụng khác phƣơng pháp TÀI LIỆU THAM KHẢO  Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội  Tiếng Anh [3] T Coelli, D S Rao and G E Prasada Battese (2002), An Introduction to Efficiency Publishers and Productivity Analysis th Printing, Kluwer Academic [4] G A Jehle (1995), Advanced Microeconomic Theory Prentice Hall [5] T Sottinen (2009), Operations Research with GNU Linear Program-ming Kit, Course ORMS1020, \~tsottine\orms1020.31 University of Vaas, www.uwasa.fi ... này, phân tích gói liệu (DEA) phải sử dụng đến cơng cụ tốn học mà trƣớc hết qui hoạch tốn học, nói riêng qui hoạch tuyến tính Vì chọn đề tài luận văn: "Ứng dụng qui hoạch tuyến tính phân tích gói. .. ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (LP) có nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt phân tích định lƣợng hoạt động kinh tế Luận văn đề cập tới ứng dụng qui hoạch tuyến tính (còn đƣợc đề cập đến) vấn đề phân tích. .. diện, tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Các kiến thức đƣợc dùng đến chƣơng sau Chƣơng PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GĨI DỮ LIỆU Chƣơng