5 KHOẢNG CÁCH 2

Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ABCD A′B′C ′D′ a N P Câu 1:Cho hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy Gọi , , ( MNP ) ( ACC ') AD DC A ' D ' trung điểm , , Tính khoảng cách hai mặt phẳng a a a A B C a D Hướng dẫn giải: Chọn D ( MNP ) ( ACA′) Ta có: // a ⇒ d ( ( MNP ) ; ( ACA′ ) ) = d ( P; ( ACA′ ) ) = OD′ = M ABC A′B′C ′ 60° Câu 2:Cho hình lăng trụ tam giác có cạnh bên hợp với đáy góc , đáy ABC A′ A B C tam giác cách , , Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ a 2a a a 2 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Vì VABC A′H AA′ = A′B = A′C ⇒ A′ABC hình chóp Gọi chiều cao lăng trụ, suy H trọng tâm ) A′AH = 60° a A′H = AH tan 60° = 3=a Trang VABC , Quan hệ vng góc – HH 11 ABC A1 B1C1 Câu 3:Cho hình lăng trụ tam giác Các cạnh bên lăng trụ tạo với ( A1B1C1 ) B1C1 60o A mặt đáy góc Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trung điểm Khoảng cách hai mặt đáy lăng trụ bao nhiêu? a a a a 2 A B C D Hướng dẫn giải: · ' AH = 60o A 'H ⊥ ( ABC ) → A Ta có: ( có cạnh bên a ) d ( A' B 'C ') ,( ABC ) = A 'H = A ' A.cos60o = a Chọn đáp án A ABC A′B′C ′ a có tất cạnh Góc tạo cạnh bên mặt ( A′B′C ′ ) 30° B′C ′ H A phẳng đáy Hình chiếu mặt phẳng thuộc đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng đáy là: a a a a 2 A B C D Hướng dẫn giải: Câu 4:Cho hình lăng trụ  Do hình lăng trụ a suy ABC A′B′C ′ có tất cạnh AB′ = AC ′ ⇒ B′H = HC ′ ⇒ A′H = a a ⇒ AH = 2 Chọn đáp án C Câu 5:Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ a A Hướng dẫn giải: Trang B a cạnh a ( AB′C ) Khoảng cách a C ( A′DC ′ ) : D a 3 Quan hệ vng góc – HH 11 B A C D B′ C′ I O′ A′ d ( ( AB′C ) , ( A′DC ′ ) ) = d ( B′, ( A′DC ′ ) ) = d ( D′, ( A′DC ′ ) ) D′ Ta có A′B′C ′D′ I Gọi tâm hình vng Gọi hình O′D D′ I D′ Chiếu , suy hình chiếu ( A′DC ′) d ( AB′C ) , ( A′DC ′ )  = d  D′, ( A′DC ′ )  = O′ D′I = D′O′.D′D D′O′ + D′D 2 = a a 2 a 2  ÷ +a   = a Chọn đáp án D ABCD A′B′C ′D′ a M , N , P  Câu 6:Cho hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy Gọi ′ MNP ACC ( ) ( ) AD, DC , A′D′.  trung điểm Tính khoảng cách hai mặt phẳng a a a a 4 A B C D Hướng dẫn giải: ( ACC ′) ≡ ( ACC ′A′) Nhận xét O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD Gọi OI ⊥ AC , OI ⊥ AA′ ⇒ OI ⊥ ( ACC ′A′) Khi đó, a d ( ( MNP ), ( ACC ′) ) = OI = AC = 4 Suy Chọn đáp án B Trang Quan hệ vng góc – HH 11 ABCD A′ B ′C ′D ′ Câu 7:Cho hình lập phương ( ACD ′) ( BA′ C ′) D′ A khoảng cách từ điểm đến đường thẳng B D′ B khoảng cách hai điểm AC C khoảng cách hai đường thẳng có cạnh A′ C ′ a Khoảng cách hai mặt phẳng A′ C ′ D khoảng cách trọng tâm hai tam giác Hướng dẫn giải: ( ACD′) / /( BA′C ′) Ta có DB′ ⊥ ( ACD′) DB′ ⊥ ( BA′C ′) (đã chứng minh SGK) Đáp án D ACD ′ BA′ C ′ ABCD A′ B ′C ′D′ a Câu 8:Cho hình lập phương có cạnh Khi đó, khoảng cách hai mặt (CB ′D ′ ) ( BDA′) phẳng a a 2a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: ( A ' BD ) / /( B ' CD ') Vì nên ta có: d ( ( A ' BD ) , ( B ' CD ' ) ) = d ( C ; ( A ' BD ) ) = d ( A; ( A ' BD ) ) AB = AD = AA ' = a A ' B = A ' D = BD = a Vì nên A A ' BD hình chóp tam giác A ' B, G I A ' BD Gọi trung điểm trọng tâm tam giác d ( A; ( A ' BD ) ) = AG Khi ta có: a DI = a = 2 A ' BD Vì tam giác nên Trang Quan hệ vng góc – HH 11 DG = Theo tính chất trọng tâm ta có: AGD Trong tam giác vng có: a DI = 3 6a a AG = AD − DG = a − = 2 Chọn B ( ACB ′ ) ( DA′C ′ ) a ABCD A′ B ′C ′D ′ Câu 9:Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách a a a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: ( ACB ') / /( DA ' C ') Vì nên ta có: d ( ( ACB ') , ( DA ' C ') ) = d ( D; ( ACB ' ) ) = d ( B; ( ACB ' ) ) BA = BB ' = BC = a AB ' = AC = CB ' = a Vì nên B ACB ' hình chóp tam giác AC , G ACB ' I Gọi trung điểm trọng tâm tam giác d ( B; ( ACB ') ) = BG Khi ta có: a B ' I = a = ACB ' 2 Vì tam giác nên a B 'G = B ' I = 3 Theo tính chất trọng tâm ta có: BGB ' Trong tam giác vng có: BG = BB '2 − B ' G = a − 6a a = Chọn C ABCD A ' B ' C ' D ' AB = 4, AD = ( ACD ') Câu 10:Cho hình hộp chữ nhật có Mặt phẳng tạo với o 60 mặt đáy góc Tính khoảng cách hai mặt đáy hình hộp 12 5 5 A B C D Hướng dẫn giải: Trang Quan hệ vng góc – HH 11 O AC D Gọi hình chiếu lên ( ACD ') ∩ ( ABCD ) = AC   AC ⊥ DO   AC ⊥ D ' O ( AC ⊥ ( ODD ' ) ⊃ OD ' ) Ta có · ' OD = 600 ⇒ (· D ' AC ) , ( ABCD ) = D ) ( AC = + = DO = ; AD.DC 12 = AC DD ' = DO.tan 600 = Khoảng cách hai mặt đáy Chọn đáp án B Trang 12 Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dùng cách sau: MN b a  Dựng đoạn vng góc chung Khi d ( a, b ) = MN Sau số cách dựng đoạn vng góc chung thường dùng : Phương pháp d(D, D ') = d(D ',(a)) (α ) ∆ ∆' chứa đường thẳng song song với Khi Chọn mặt phẳng Phương pháp Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm Phương pháp Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn ∆ ∆' Trường hợp 1: vừa chéo vừa vng góc với (α ) ∆' ∆ I Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa vng góc với (α ) IJ ⊥ ∆ ' Bước 2: Trong mặt phẳng kẻ d ( ∆, ∆ ') = IJ IJ Khi đoạn vng góc chung Trang Quan hệ vng góc – HH 11 ∆ ∆' Trường hợp 2: chéo mà khơng vng góc với (α ) ∆' ∆ Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa song song với (α ) d M ∈∆ D Bước 2: Dựng hình chiếu vng góc xuống cách lấy điểm dựng đoạn MN ⊥ ( α ) d N ∆ , lúc đường thẳng qua song song với HK PMN H = d ∩∆' Bước 3: Gọi , dựng d ( ∆, ∆ ') = HK = MN HK Khi đoạn vng góc chung Hoặc (α ) ⊥ ∆ I Bước 1: Chọn mặt phẳng (α ) d ∆' Bước 2: Tìm hình chiếu xuống mặt phẳng (α ) IJ ⊥ d J ∆ ∆' H Bước 3: Trong mặt phẳng , dựng , từ dựng đường thẳng song song với cắt , HM P IJ H từ dựng d (∆, ∆ ') = HM = IJ HM Khi đoạn vng góc chung  Sử dụng phương pháp vec tơ Trang Quan hệ vng góc – HH 11 a) MN đoạn vng góc chung AB CD b) Nếu uuur ur OH u1 =  uuur uu r ⇔ OH u2 = H ∈ α ( )  OH = d ( O, ( α ) ) ur uu r u1 , u2 (α) có hai vec tơ không phương uuuu r uuu r  AM = x AB uuur  uuur CN = yCD r uuur  uuuu  MN AB = r uuur  uuuu MN CD =  uuur ur OH ⊥ u1  uuur uu r ⇔ OH ⊥ u2 H ∈ α ( )  S ABCD ABCD O, SA Câu 1:Cho hình chóp có đáy hình vng tâm vng góc với đáy ( ABCD ) K, H O SD A Gọi theo thứ tự hình chiếu vng góc lên Chọn khẳng định khẳng định sau? A Đoạn vng góc chung AC SD AK B Đoạn vng góc chung AC SD CD C Đoạn vng góc chung AC SD OH D Các khẳng định sai Hướng dẫn giải: AK ⊥ AC , AK ⊥ AB ⇒ AK ⊥ ( ABC ) Nếu SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ SD ⇒ ∆SAD ⇒ AK ≡ SA (vì có góc vng (vơ lý) CD ⊥/ AC Theo tính chất hình vng AC ⊥ OH , AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD) ⇒ AC ⊥ SO ⇒ ∆SOA Nếu có góc vng (vơ lý) AC ⊥ / AK , AC ⊥/ CD, AC ⊥/ OH Như Chọn đáp án D ABCD a CD AB Câu 2:Cho tứ diện có cạnh Tính khoảng cách a a a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: Trang Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn C CD M N AB Gọi , trung điểm a NA = NB = ANB NM ⊥ AB Khi nên tam giác cân, suy d ( AB; CD ) = MN NM ⊥ DC Chứng minh tương tự ta có , nên S ABN = p ( p − AB ) ( p − BN ) ( p − AN ) Ta có: = (p nửa chu vi) a+a a+a a a 2a = 2 2 S ABN = Mặt khác: 1 2a AB.MN = a.MN ⇒ MN = 2 MN = AN − AM = Cách khác Tính 3a a a − = 4 SA ⊥ ( ABCD ) AC = a ABCD Câu 3:Cho hình chóp có , đáy hình chữ nhật với SD BC BC = a Tính khoảng cách 3a 2a a a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D BC ( SAD ) Ta có: // ⇒ d ( BC ; SD ) = d ( BC ; ( SAD ) ) = d ( B; ( SAD ) )  AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( B; ( SAD ) ) = AB   AB ⊥ SA Mà S ABCD Ta có: AB = AC − BC = 5a − 2a = 3a ABCD A′B′C ′D′ a AC BB ' Câu 4:Cho hình lập phương có cạnh Khoảng cách bằng: a a a a 3 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 10 Quan hệ vng góc – HH 11 ïï BC ^ DC ü · o ý Þ BC ^ (SDC ) Þ SCD = 45 BC ^ SD ùù ỵ AD ị SD = DC = = a tan 60o S I Kẻ OI / / SB(I ẻ SD) ị I D=SI= a , SB/ /(I AC ) Þ K D H C O d(AC , SB ) = d(SB,(IAC )) = d(B,(IAC )) = d(D,(IAC )) B IH ^ AC Þ AC ^ (I DH ) Þ DH ^ AC Kẻ DK ^ IH , ta có: DK ^ AC (AC ^ (DIH)) Þ DK ^ (IAC) Þ d(D,(IAC))=DK Kẻ A Xét tam giác vng DHA :ta có DH = a.sin60o = a Þ tam giác DHI vng cân a Câu 54:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC = a 3, AB = a ; hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) đường thẳng SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 60o Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 5a 15a 5a 15a A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D DK = DH sin45o = Gọi O giao điểm AC BD ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Ta có OC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng · = 600 ( ABCD ) ⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = SCO ⇒ OM PSB ⇒ SB P( ACM ) Gọi M trung điểm SD ( SBD ) kẻ MH PSO ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) Trong mặt phẳng Trang 35 Quan hệ vng góc – HH 11 d ( SB, AC ) = d ( SB, ( ACM ) ) = d ( B, ( ACM ) ) = 2d ( H , ( ACM ) ) = HI Khi a HK = d ( D, AC ) = Ta có OC = AC a = a ⇒ SO = OC.tan 600 = a ⇒ MH = 2 Có 1 20 a 15 a 15 = + = ⇒ HI = d ( SB , AC ) = HI = 2 HI HM HK 3a 10 Vậy Câu 55:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a Các mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Biết góc hai mặt phẳng CD SB a A Hướng dẫn giải: Chọn B ( SAB ) ( ABCD ) 2a B o 60 Khoảng cách hai đường thẳng 2a C a D Gọi O giao điểm AC BD ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO, ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Ta có ( Gọi E trung điểm AD , H = AC ∩ BE ⇒ BE PCD ⇒ CD P( SBE ) ⇒ d ( CD, SB ) = d ( C , ( SBE ) ) = 3d ( O, ( SBE ) ) = 3OI Kẻ OM ⊥ AB, SO ⊥ AB ⇒ SM ⊥ AB · ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = SMO = 600 a 2a 2a AC = OM = AD = ⇒ SO = OM tan 600 = 6 , 3 Tính 1 75 2a 2a = + = ⇒ OI = ⇒ d ( CD, SB ) = 2 OI OH SO 4a AC = a ⇒ OH = Câu 56:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng Đường thẳng SD tạo với đáy ABCD 3a MD = o , mặt phẳng ( SDM ) mặt phẳng ( SAC ) góc 60 Gọi M trung điểm AB Biết vng góc với đáy Khoảng cách hai đường thẳng CD SM theo a là: a A Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 36 3a B a 15 C 3a 15 D Quan hệ vng góc – HH 11 ( SMD ) ∩ ( SAC ) = SG suy SG ⊥ ( ABCD ) Ta có Kẻ GH ⊥ AB , GK ⊥ SH Khi đó, d ( DC , SM ) = d ( DC , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = GD 3a 15 d ( G, ( SAB ) ) = 3GK = GM S ABC Câu 57:Một hình chóp tam giác SA BC Tính khoảng cách 3 2 A B Hướng dẫn giải: A Chọn + Vì SABC có cạnh bên C 3 2 D J H A C O I B I + Trong Gọi chân đường cao hạ từ xuống SA & BC IJ đương vng góc chung OH OA OH AI = ⇒ IJ = = ∆AIJ IJ AI OA + Xét : S ABCD SA BC ⊥ ( SAI ) Lại có O, nên BC ⊥ IJ Từ SO = · a, BAD = 60o Câu 58:Cho hình chóp có mặt đáy hình thoi tâm cạnh SA = SC SB = SD SA BD Biết Hỏi khoảng cách ? Trang 37 SO ⊥ ( ABC ) hình chóp tam giác nên ∆ABC ( Với trọng tâm ) ∆SOA O + Xét Vuông có: · SAO = 450 mà SA = 2 OA = SO = ⇒ AI = nên O H - Với chân đường cao hạ từ 1 = + ⇒ OH = 2 OH OA SO Ta có: J S O ∆SIA tạo với mặt đáy góc 45o 3a Quan hệ vng góc – HH 11 3a 3a 7 14 A B Hướng dẫn giải: SO ⊥ AC   ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ DB  ⇒ DB ⊥ SO Ta có: DB ⊥ SO   ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ AC  Ta có: ( SAC ) OH ⊥ SA ( H ∈ SA) Trong mp , kẻ , OH ⊥ SA, OH ⊥ BD C ta 3a 7 D 3a 14 có: 2 a 21  3a   a  SA = SO + OA =  ÷ +  = ÷ ÷     d ( SA, DB ) = OH Do đó: Ta có: SOA OH Tam giác vng O, có đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3a OH = = = SA a 21 14 d ( SA, DB ) = OH = Vậy Chọn B 3a 14 S ABCD SO = 2, Câu 59:Cho hình chóp tứ giác có đường cao o SD 60 AB Khi khoảng cách hai đường thẳng 3 A B C Hướng dẫn giải: CD I Gọi trung điểm Ta có:  ( SCD ) I ( ABCD) = CD  ( SOI ) ⊥ CD  ( SOI ) I ( ABCD ) = OI ,( SOI ) I ( SCD) = SI  ( ) ⇒ (· SCD),( ABCD) = (·OI , SI ) = 600 AB / / CD ⇒ AB / /( SCD ) Ta có: ⇒ d ( AB, SD ) = d ( AB,( SCD )) = d ( A,( SCD )) = 2d (O,( SCD )) Trang 38 mặt bên hợp với mặt đáy góc D 2 Quan hệ vng góc – HH 11 ( SOI ) OH ⊥ SI ( H ∈ SI ) Trong mp , kẻ d (O,( SCD )) = OH Do đó: OH ⊥ ( SCD ) , ta có: SI = SO + OI = 2 + OI = SO = tan 60 4 = 3 Ta có: OH = SO.OI 3 = =1 SI SOI OH Tam giác vng O, có đường cao nên d ( AB, SD) = 2d (O,( SCD )) = 2OH = 2.1 = Do đó: Chọn B AB = 3a; AD = 2a S ABCD ABCD Câu 60:Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với Hình chiếu ABCD ( ) S AH = HB H AB vng góc lên mặt phẳng điểm thuộc cạnh cho Góc o ( SCD ) ( ABCD ) 60 SC AD mặt phẳng mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng a theo 6a 39 6a 13 a 39 a 13 13 13 13 13 A B C D Hướng dẫn giải: ( ABCD ) S H Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng điểm nên SH ⊥ ( ABCD ) HM ⊥ CD (M ∈ CD ) Kẻ , ta có: ( ABCD) I ( SCD) = CD   ( SHM ) ⊥ CD  · ·  ⇒ ( ABCD),( SCD) = SMH = 60 ( SHM ) I ( ABCD) = HM  ( SHM ) I ( SCD) = SM  Ta có: AD / / BC ⇒ AD / /( SBC ) d ( AD, SC ) = d ( A,( SBC )) = 3d ( H ,( SBC )) HI ⊥ SB ( I ∈ SB ) HI ⊥ ( SBC ) d ( H ,( SBC )) = HI Kẻ , ta có: ( ) SH = HM tan 600 = 2a Ta có: IH = Suy ra: SH HB 2a 39 = SB 13 Trang 39 SB = SH + HB = a 13 d ( AD, SC ) = 3HI = Vậy 6a 39 13 Chọn A Quan hệ vng góc – HH 11 C , AB = 5a; BC = 4a S ABC ABC SA Câu 61:Cho hình chóp có đáy tam giác vng Cạnh ( SBC ) ( ABC ) 60o D vng góc với đáy góc mặt phẳng với mặt đáy Gọi trung điểm AB SD BC cạnh Khoảng cách hai đường thẳng là: 3a 39 3a 13 a 13 a 39 13 13 13 13 A B C D Hướng dẫn giải: BC / /( SMD) AC Gọi M trung điểm , ta có: ⇒ d ( BC , SD ) = d (C ,( SMD )) = d ( A,( SMD)) AH ⊥ SM ( H ∈ SM ) AH ⊥ ( SMD) Kẻ , ta có: SA.AM 3a 39 ⇒ d ( A,( SMD)) = AH = = SM 13 SM = SA2 + AM = Với Chọn A Câu 62:hình chóp tam giác SAB 3a 13 S ABCD cân đỉnh S có đáy ABCD A B, AB = BC = a , AD = 2a , hình thang vng ( SCD ) nằm mặt phẳng vng góc với đáy, mặt phẳng tạo với đáy 60 AB SD góc Khoảng cách là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 59 59 59 59 A B C D Hướng dẫn giải: ACD ABED Dựng hình chữ nhật , ta có tam giác vng cân C AB, ED SH ⊥ ( ABCD ) Gọi H, K trung điểm , ta có: HM ⊥ DF ( M ∈ DF ) Gọi F đối xứng A qua B, kẻ · (· SCD),( ABCD) = SMH = 600 ( SHM ) ⊥ DF Suy ra: 3a HM / / AC ⇒ HM = AC = 4 Ta có: AB / / ED ⇒ AB / /( SED ) d ( AB, SD ) = d ( H ,( SED )) Ta có: o Trang 40 Quan hệ vng góc – HH 11 HI ⊥ ( SED) d ( H ,( SED)) = HI HI ⊥ SK Kẻ , ta có: a 59 SK = SH + HK = 2 Ta có: SI IK 6a 6a 177 HI = = = SK 59 59 Suy ra: Chọn B a, SA ( ABC ) S ABC Câu 63:Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh vng góc với mặt phẳng , ( ABC ) SB 60° M AB góc mặt phẳng , trung điểm Khoảng cách hai đường SM BC thẳng là: 4a 51 2a 51 a 51 a 51 51 51 17 A B C D Hướng dẫn giải: N, I AC , BC Gọi trung điểm ⇒ MN € BC MN ∆ABC đường trung bình ⇒ BC€ ( SMN ) d ( BC ; SM ) = d ( BC ; ( SMN ) ) = d ( I ; ( SMN ) ) Ta có: = d ( A; ( SMN ) ) Dễ thấy BC ⊥ ( SAI ) ⇒ MN ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAI ) ( SAI ) theo giao tuyến AK ⊥ SH ⇒ AK ⊥ ( SMN ) SH Trong mặt phẳng kẻ d ( BC ; SM ) = d ( A; ( SMN ) ) = AK Vậy a a AI = ⇒ AH = AI = 2 Ta có: · SA ⊥ ( ABC ) = 60° ⇒ SA = AB.tan 60° = a ( SB; ( ABC ) ) = ( SB; AB ) = SBA Vì nên 1 1 16 17 = 2+ = 2+ = 2 AK SA AH 3a 3a 3a ⇒ AK = a 51 17 Trang 41 Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 64:Cho hình chóp tứ giác SAB tam giác đều, SO AB thẳng là: 3a A SI S ABCD có đáy ( SCD ) vng góc với B a 2 ABCD MN / / AB I O, hình vuông tâm trung điểm C a AB cạnh 2a Mặt bên Khoảng cách hai đường D a 3 Kẻ ⇒ d ( SO, AB ) = d ( AB, ( SMN ) ) = d ( I , ( SMN ) ) Ta có AB ⊥ SI ⇒ MN ⊥ SI , AB ⊥ OI ⇒ MN ⊥ OI ⇒ MN ⊥ ( SOI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SOI ) IH ⊥ SO ⇒ IH ⊥ ( SMN ) Kẻ ⇒ IH = d ( I ; ( SMN ) ) Gọi Do J trung điểm JI SI ⊥ ( SCD ) ⇒ SI ⊥ SJ ⇒ SO = = a + Do ∆SIO S∆OSI + CD cân O OE ⊥ SI ⇒ OE = OI − IE = a − 3a a = kẻ 2S 1a a2 a = OE.SI = a = ⇒ IH = ∆OSI ⇒ IH = 22 SO S ABCD ABCD I , AB = a, AD = 2a M Câu 65:Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật tâm Gọi AB N MI S trung điểm cạnh trung điểm đoạn Hình chiếu vng góc điểm lên mặt ( ABCD ) ( ABCD ) N SB phẳng trùng với điểm Biết góc tạo đường thẳng với mặt phẳng o MN SD 45 a Khoảng cách hai đường thẳng theo là: a a A B C a a 6 D Hướng dẫn giải: Trang 42 Quan hệ vng góc – HH 11 MN / / AD ⇒ MN / / ( SAD ) ⇒ d ( MN , SD ) = d ( MN , ( SAD )) = d ( N , (SAD )) Do Kẻ Kẻ NE ⊥ AD, SN ⊥ AD ⇒ AD ⊥ ( SNE ) ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SNE ) NH ⊥ SE ⇒ NH ⊥ ( SAD) ⇒ d ( N , ( SAD ) ) = d ( MN , (SAD ) ) = NH · ; ( ABCD ) = SBN · SB = 450 Ta có : Xét ∆BMN ⇒ NH = Do BN = BM + NM = a2 a2 a a + = ⇒ SN = 4 2 a a NE.NS 2 =a = 2 a NE + NS A B AB = BC = a; AD = 2a SA có đáy hình thang vng ; ; ( ABCD ) , ( ABCD ) SC 45o vng góc với mặt phẳng góc đường thẳng mặt phẳng Gọi SM M AD BD trung điểm cạnh Khoảng cách hai đường thẳng là: a 22 a a 11 a 11 11 11 22 A B C D Hướng dẫn giải: · , ( ABCD ) = SCA · SC = 450 Câu 66:hình chóp S ABCD Ta có : E, K BD, NM AC Gọi giao điểm với MN / / BD ⇒ BD / / ( SMN ) ⇒ d ( SM , BD ) = d ( BD, ( SMN ) ) = d ( E , ( SMN ) ) Kẻ AE ⇒ d ( E ; ( SMN ) ) = d ( A, ( SMN ) ) MN / / BD ⇒ K Do trung điểm Kẻ AE ⊥ MN , SA ⊥ MN ⇒ MN ⊥ ( SAE ) ⇒ ( SAE ) ⊥ ( SMN ) AF ⊥ SE ⇒ FA ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = FA Kẻ Xét ∆ABC ⇒ AC = a ⇒ SA = a Trang 43 Quan hệ vng góc – HH 11 a a AN AM a AE = = = AN + AM a2 + a2 FA = SA AE SA2 + AE = Câu 67:Cho hình thoi SG ⊥ ( ABCD ) a 5 = a 22 11 55 a SG = ABCD a, cạnh góc · BAD = 60o Gọi G ABD, trọng tâm tam giác a CD M Gọi trung điểm Tính khoảng cách đường thẳng AB SM a theo a a a a 2 2 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: J,K DC , SJ H Gọi hình chiếu lên d ( AB, SM ) = d ( AB, ( SDC ) ) = d ( A, ( SDC ) ) = d ( G , ( SDC ) ) · 3 SG.GJ SG.GC.sin GCJ = GK = = 2 SJ SG + GJ = · SG.GC.sin GCJ ( · SG + GC.sin GCJ ) S a AC.sin 300 3 = 2  a 6 2 0  ÷ +  AC.sin 30 ÷    3 a K H A B 600 G O Trang 44 D J M C Quan hệ vng góc – HH 11 a a a AO.sin 300 .sin 300 3 a 3 3 = = = 2 2    a 6 2 a 6 2 a 0 sin 30 ÷  ÷ +  AO.sin 30 ÷  ÷ +  2    3   3  S vuông nằm ( ABCD ) SA = a SB mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết cạnh bên tạo với mặt đáy o SA BD 30 góc Khoảng cách hai đường thẳng là: a 21 2a 2a 21 a 7 7 A B C D Hướng dẫn giải: S Chọn C Ta có: d AC a Vẽ đường thẳng qua A song song với M L, M d , SL L Gọi hình chiếu H lên 30 A B H d ( SA, BD ) = d ( BD, ( SAL ) ) = d ( B, ( SAL ) ) Câu 68:Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình vng, tam giác SAB D BA BA = d ( H , ( SAL ) ) = HM HA HA O C a BA SH HL BA SH HL SH HL SH HL = = = sin 30 = HA SL HA SH + HL2 a.cos 60 SH + HL2 SH + HL2 sin 600 = SH ⇒ SH = a SA · sin LAH = cos 600 = HL HL ⇔ sin ·ABO = AH AH AH a ⇒ AH = SA a a 21 4 = = a 2 AO HL AO.AH 2 SH + HL2 a + a ⇔ = ⇔ HL = = AH = a AB AH AB SH HL Trang 45 Quan hệ vng góc – HH 11 S ABCD AB = a, AD = a ABCD H Câu 69:Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với Gọi SAB S AB trung điểm cạnh ; tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy ; góc o SAC ABCD ( ) ( ) CH SD   60 hai mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng : 2a 2a 10 a 2a 5 5 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D SAB S H AB Vì trung điểm cạnh ; tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với SH ⊥ ( ABCD ) đáy nên S a A a B H I O D C ( SAC ) ( ABCD ) · SIH = 600 Gọi I hình chiếu H AC suy góc hai mặt phẳng góc IH BC a a a ∆ABC : ∆AIH ⇒ = ⇔ IH = = AH AC a Ta có a SH = IH = ∆SHI Trong vuông H có Gọi K điểm đối xứng H qua A ta có tứ giác CDKH hình bình hành suy CH song song với ( SDK ) ⊃ SD mặt phẳng d ( CH ,SD )  = d ( CH , ( SDK ) )  = d ( H , ( SDK ) ) Nên ta có: Gọi E, F hình chiếu H DK SE Khi ta có Trang 46 d ( H , ( SDK ) ) = HF Quan hệ vng góc – HH 11 a a 2a 2 HE = 2d ( B, H C ) = =2 = 2 BH + BC a + 2a BH BC Ta có a 2a 2 = 2a = 2a HF = = 5a SH + HE a 8a + SH HE Trong ∆SHE vng H có Chọn D AB = a, AD = 2a S ABCD ABCD SAB Câu 70:hình chóp có đáy hình chữ nhật với , tam giác cân 2a ( SBC ) S D nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ đến Khoảng SB AC cách hai đường thẳng : a 10 a 10 2a 10 2a 10 5 A B C D Hướng dẫn giải: S Chọn B Ta có: d AC Vẽ đường thẳng qua A song song với L K, I d , SK I Gọi hình chiếu H lên 2a 2a d ( D, ( SBC ) ) = ⇔ d ( A, ( SBc ) ) = K A 3 a H B 2a ⇔ d ( H , ( SBC ) ) a a = ⇔ HI = 3 D 1 a ⇔ = + ⇔ = ⇔ SH = = + 2 2 HI SH HB a SH a SH a · sin KBH = HK HK · ⇔ sin CAB = HB HB a 2a CB HK HB.CB 5a ⇔ = ⇒ HK = = = AC HB AC 5.a d ( AC , SB ) = d ( A, ( SBK ) ) = 2d ( H , ( SBK ) ) = HL = SH HK SH HK SH SH a 10 =2 = =2 = SK SH 2 SH + HK Trang 47 O C Quan hệ vng góc – HH 11 3a, SH ⊥ ( ABC ) S ABC ABC H Câu 71:Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh có với thuộc ( ABC ) AB = AH SA 60o AB cạnh cho Góc tạo mặt phẳng Khoảng cách SA BC hai đường thẳng là: a 3a 15 a 15 3a 5 5 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: S d BC Vẽ đường thẳng qua A song song với F,G d , SF H Gọi hình chiếu lên SH tan 600 = ⇒ SH = a a G · sin FAH = HG = HF HF a ⇔ sin 600 = ⇒ HF = AH a A 60 F H a SH HF = 15 a = SH + HF 3a + a B 3a a C d ( BC , SA ) = d ( B, ( SAF ) ) = 3d ( H , ( SAF ) ) = 3HG = 15 a S ABCD a, ABCD S Câu 72:Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh hình chiếu vng góc ( ABCD ) AD, SB 60o lên mặt phẳng trung điểm góc đường thẳng mặt đáy Gọi DC SA BM M trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng : a 285 3a 285 a 285 2a 285 19 19 A B C D Hướng dẫn giải: S Chọn C d Vẽ đường thẳng qua A song song BM với P A O D H Trang 48 60 M B C N Quan hệ vng góc – HH 11 O, P d , SO H Gọi hình chiếu lên Ta có: BH = AB + AH = a + tan 600 = a2 a = SH a 15 ⇒ SH = BH OH OH CM OH CM AH · · sin OAH = ⇔ sin MBC = ⇔ = ⇔ OH = = AH AH BM AH BM a a 2 = 5a a 10 a2 +  a 15   a  95a SO = SH + OH =  +  = ÷ ÷ ÷ ÷    10  2 d ( SA, BM ) = d ( N , ( SAO ) ) = 4d ( H , ( SAO ) ) Trang 49 a 15 a SH OH 10 = 285 a = HP = = SO 19 95a ... ( BA′ C ′) D′ A khoảng cách từ điểm đến đường thẳng B D′ B khoảng cách hai điểm AC C khoảng cách hai đường thẳng có cạnh A′ C ′ a Khoảng cách hai mặt phẳng A′ C ′ D khoảng cách trọng tâm hai... hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  2a 2a  A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , D 0; 2a;0 , S  ; ; 2a ÷ ÷, C a; 2a;0 3   uuuur  5a 2a   5a 2a  uuur M  ; ;a÷ AC = a ; 2 a ;0 , AM =  ; ;a÷ ÷ ÷ 6 ... ) = HK 1 5a 30 30 = + = ⇒d = a= a ⇒ HK = a 3a 2a 6a 5 10  Ta có d Chọn đáp án D Câu 32: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh (đvd) Khoảng cách AA′ BD′ bằng: 2 A B C D Trang 22 Quan hệ