Grade 12 formula

រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ ចំន ួនកំផ្ច ិល សាស្រ្សាាចាេយ ហសង សុភាសិត វិសសហម្ដច IV សវយ ៍ គុណនន VII i  i  1  i  i  i 4k i 4k 1  i 1 i  i 4k   1  i 4k   i , k  Z 1  ហគឲ្យ Z  a  bi ហ ើ  ចំនន ួ និម្ត មិ សម្ីកាេរាង ax i ហៅថាឯកតានិម្មិត ដែល i  1 ឬ i  1 មាន   b  ផលគុណននចំនួនពិតខុសពីសូនយនឹង i ជាចំនួននិម្មិត  ហ ើ C  ហ ោះឫសកាហេនន C គឺ C  C  (1)  C  1  C  i Ex ចំនួន 2i , 3i , 3i ជាចំនួននិម្មិត II ចំនន ួ កុផ ំ ច ិល  និយម្ន៍យ៖ កហនោម្មានរាង Z  a  bi ដែល a, b  IR ហៅថាចំនួនកុំផិច ល ទម្ម្ង់ពីជគណិត ។ o a ហៅថាដផែកពិត b ហៅថាដផែកនិម្មិត  សំគាល់៖ ចំនួនកុំផិច ល Z  a  bi និង ហសមើគាែលុោះម្តាដត W  c  di a  c (ដផែកពិត  ដផែកពិត) និង b  d (ដផែកនិម្មិត  ដផែកនិម្មិត) ។ a b និង sin   ) ជាអាគុយម្ង់នន r r Z ហគបាន Z  r(cos   isin  ) ។  4ac ឬ  '  b '2  ac, b '  នន Z ។ លកខណៈចំនួនកុំផិច ល Z និង W ៖  Z W  Z W  Z W  Z W  Z W  Z W , W  1  b  ហ ើ   ឬ  '  ហ ោះសម្ីកាេមានឫសពីេហផេងគាែ b   b '  '  2a a  ហ ើ   ឬ  '  ហ ោះសម្ីកាេមានឫសឌុ x b b '  2a a  ហ ើ   ឬ  '  ហ ោះសម្ីកាេមានឫសពីេហផេងគាែ x1  x  ជាចំនួនកុំផិច ល ឆ្លលស់ x1     i , x     i ។ VI ម្ឌ ូ ល ុ ននចំនន ួ កុផ ំ ច ិល  ហគមាន Z  a  bi ហ ោះម្ូឌុលននចំនួនកុំផិច ល Z គឺ r | Z | a  b2 ហ ើ Z  a  bi ហ ោះ Z  a  bi ជាចំនួនកុំផិច ល ឆ្លលស់  ម្ទឹសីដ ទៈ ហគមាន  bx  c  ; a   ម្ទឹសីដ ទៈ ហ ើ Z ជាចំនួនកុំផិច ល ហ ោះ | Z | III ចំនន ួ កុផ ំ ច ិល ឆ្លលស់  ZZ 2  លកខណៈននចំនួនកុំផិច ល ពីេ  Z Z W និង Z i) | WZ || W || Z | ii) iii) | W  Z |  | W |  | Z | 2  r | Z | a  b2 ហ ើយ  ( cos   V សម្ីកាេែឺហម្កទី ២ I ទម្ម្ង់ម្តីហកាណមាម្តននចំនន ួ កុផ ំ ច ិល W |W|  Z | Z| Z1  r1 (cos 1  isin 1 ) និង Z2  r2 (cos 2  isin 2 ) ហគបាន o Z1Z2  r1r2 [cos(1  2 )  isin(1  2 )] o Z1 r1  cos(1   )  i sin(1   )  Z2 r2 VIII សវយ ័ គុណទី ួ កុផ ំ ច ិល n ននចំនន ហគមាន Z  r(cos   isin ) ហ ោះហគបាន Zn   r(cos   i sin  ) n  r n (cos n  isin n ) n  Z ឺ ័េ េូ ម្នដែម្ (cos   isin  )n  (cos n  isin n ) IX េសសទី ួ កុផ ំ ច ិល n ននចំនន ហ ើ Z  r(cos   isin  ) ជាចំនន ួ កុំផិច ល ម្ិនសូនយ និង n ជាចំនន ួ គត់ វិជមា ជ ន ហ ោះ Z មានេសសទី n គឺ     2k     2k   Wk  n r cos    i sin   n n      ហ ើ k  0;1;2;3;4; ;n  ហ ោះ Z មានេឺសទី n គឺ W0 ; W1 ; W2 ; W3 ; ; Wn 1 ។ 3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ លីមត ី នៃអៃុគមៃ៍ និយមន័យលីមត ី ត្តង់ចន ំ ន ួ កំណត់  អនុ f មានលីមីត L កាលណា មាន  x  a ប ើ   x a  អនុ f ខិតជិត  (ឬ  )កាលណា x  a ប ើ M  មាន   ដែល | x  a |  នំ ឲ្យ f (x)  M (ឬ f (x)  M ) ។ បេសរបសរ x a lim[f (x)  g(x)]  M  L  lim [f (x)  g(x)  h(x)]  L  M  N x a  lim Kf (x)  KL , K ជាចំនួនបេរ VII  lim[f (x)  g(x)  h(x)]  L  M  N  x a x a f (x) L f (x) lim  x a  ,M  x  a g(x) lim g(x) M  lim  ុ៉ឺ ទី វិជមា ជ ន lim[f (x)]n  Ln , n ជាចំនួនេត់ រឡា x a   II និយមន័យលីមត ី ត្តង់អននដ x a lim n x  n a , a  , n  IN lim n x  n a , a  , n ជាចំនួនេត់បសស x a n lim n f (x)  n lim f (x)  n L  L x a  អនុ f មានលីមីត L កាលណា x   ប ើ ប ើ L  និង n  IN, n    មាន N  ដែល x  N នំ ឲ្យ ប ើ L0 | f (x)  L |  ។ បេសរបសរ lim f (x)  L x  ប ើ x  III ត្ មាណវិធបី លើលម ី ត ី 1  x a x a និង N លីមត ី ននអនុេមន៍អច ុិ ស្បដ៉ូ សយល lim ex   x   lim ex  x   lim ln x   ln x  lim 0 x  x ln x  lim n  x  x  lim x ln x  IX   limsin x  sin a  limcos x  cos a  lim tan x  tan a  limcot x  cot a 2  x 0  lim x n ln x  x 0 ៖ត្ត៉ូវសរបសរភាេយកនិងភាេដ ងជាផលេុណ យ ើ សត្មួលកត្ដារួម រួចេណនលីមីតេមី ។  ៖ត្ត៉ូវដាក់តួដែលមានែឺបត្កខព សជា ់ ងបេទាំងភាេ  យក និងភាេដ ងជាកត្ដារួម ប យ ើ សត្មួលកត្ដារួម បោល រួចេណនលីមីតននកបនោមេមី ។ x a x a x 0 លីមត ី មានរាងមិនកំណត់ កត្ដដ ប x L  x a x 0  lim ln x   VI លីមត ី ននអនុេមន៍ត្តីបកាណមាត្ត x a  cos x 0 x x  lim 1 x 0 sin x  lim ex ex  lim    lim n , n  x  x x  x n x eh  1  lim x  0, n   lim x  e h 0 h lim f (x)  f (L) បនោះ x a | f (x)  L |  ។ បេសរបសរ lim f (x)  L x a limg(x)  L limf[g(x)]  L   មាន N  ដែល x   N នំ ឲ្យ x a n  ជាចំនួនេត់បសស V លីមត ី ននអនុេមន៍ ណា ដ ក់  អនុ f មានលីមីត L កាលណា x   ប ើ ប ើ limf (x)  L,limg(x)  M,lim h(x) និង x 0 x  x a x a lim VIII លីមត ី ននអនុេមន៍បោការីតបនដព IV លីមត ី ននអនុេមន៍សនិទាន  limf (x)   ) sin x 1 x tan x  lim 1 x 0 x  x a | f (x)  L |  ។ បេសរបសរ limf (x)  L (ឬ L , M , N ជាចំនួនពិត បេបាន៖   ដែល | x  a |  នំ ឲ្យ limf (x)   យ ើ x a សាស្រ្សាាោរយ បសង សុភាសិត វិ.សបមដចឪ I ប     ៖ត្ត៉ូវដាក់តួដែលមានែឺបត្កខពស់ជាងបេជា កត្ដារួម ប យ ើ េណនលីមីតននកបនោមេមី 3   Kf (x) ជាអនុ ជា ់ត្តង់ x  c ភាពជាប់នៃអៃុគមៃ៍  f (x) ជាអនុ ជា ់ត្តង់ x  c ដែល g(c)  g(x) សាស្រ្សាាោរយ បសង សុភាសិត វិ.សបមដចឪ I មួយបៅចបនលោះ a និង b ដែល f (c)  ។ រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ III ភាពជា ប់ លើចបនលោះ  y   ប ើ limf (x) x a f ជា ់បលើចបនលោះ ិទ [a, b] លុោះត្ត្ដ f ជា ់បលើ  ប ើ lim f (x)  b បនោះ x  lim f (x)  f (a) និង lim f (x)  f (b) ។ f (c) O x b IV ភាពជា ន់ នអនុេមន៍ ណា ដ ក់ x c y  f (x) ជា ់ត្តង់ x  c លុោះត្ត្ដដត ៖ អនុ ណា ដ ក់ (f limf (x)  L បនោះអនុ  limf (x)  f (c) f (x) ត្តង់ x  a កំណត់ g(x)   L lim f (x)  lim f (x) x c II លកខណ់ៈននអនុេមន៍ជា ់ ប ើអនុ f និង g ជា ់ត្តង់ x  c បេបាន ៖  f (x)  g(x) ជាអនុ ជា ់ត្តង់ x  c  f (x)  g(x) ជាអនុ ជា ់ត្តង់ x  c  f (x)  g(x) ជាអនុ ជា ់ត្តង់ x  c 1  yb x xa V អនុេមន៍ នលយត្ដមភាពជា ់ f មានលីមីតកាលណា x  c x  c នា មា ់ នសមីការ y  b y g)(x)  f[g(x)] ជា ់ត្តង់ c ។  f មានលីមីតត្តង់ x  c កាលណា f O f កំណត់ចំប ោះ x  c សំគាល់់ៈ អនុ xa ប ើអនុ g ជា ់ត្តង់ c និងអនុ f ជា ់ត្តង់ g(c) បនោះ  x c នាត់មានសមីការ ជា អាសុីមតូតបែក ននអនុ f ចបនលោះប ើក (a, b) និងមានលីមិត x a    បនោះ ជា អាសុីមតូតឈរ ននអនុ ើ (a, b) លុោះត្ត្ដ f ជា ់ចំប ោះ f ជា ់បលើចបនលោះប ក ត្េ ់តនមល x ននចបនលោះប ើកបនោះ ។ ភាពជា ត្់ តង់មយ ួ ចំណច ុ VII អាសុម ី តូតននអនុេមន៍  ប ើ ី f ជាអនុ.មិនកំណត់ត្តង់ x  a និងមានលីមត x 0 នលយនន f ត្ដមភាពជា ់ , xa , xa  ប ើ f (x)  ax  b  g(x) មាន lim g(x)  x  បនោះ នាត់មានសមីការ y  ax  b ជា អាសុីមតូតបត្ទត ននអនុ f ។ y VI ត្ទឹសីដ ទតនមលកណា ដ ល  ប ើអនុ f ជា ់បលើចបនលោះ ិទ [a, b] និង K ជាចំនន ួ មួយបៅចបនលោះ f (a) និង f (b) បនោះមានចំនួនពិត c x O មួយយ ប ងតិចបៅចបនលោះ ិទ [a, b] ដែល f (c)  K ។  ប ើអនុ f ជា ់បលើចបនលោះ [a, b] ប ើយ f (a)  f (b)  បនោះយបងបោចណាស់មានចំនន ួ c 2  y  ax  b 3   y x  y  ku 1 x2 n  y '  n 1 x  y'  x  y'  k u '  yuv  y'  u ' v' ៃ ើ កាលណា x ខិរជិរ ។ ដគសរដសរ ៖  y  uv  y'  u ' v' f (x)  f (x o ) y  lim x x  xo x  x o  y  uv  y'  u ' v  v' u រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ ដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍ សាស្រ្សាាចារែ ដសង សុភាសិរ េិ.សដមាចឪ I ដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍ xo ដេរីដេត្រង់ x o នៃអៃុគមៃ៍ y  f (x) ជាលីមីរនៃផល ដ ៀបកំដ y 'o  f '(x o )  lim x   lim h 0 f (x o  h)  f(x o ) ; h  x  xo h II ភាពមាៃដេរីដេ ៃិងភាពជាប់ f មាៃដេរីដេត្រង់ x  a ដ ោះ f ជាប់ត្រង់ x o  a ។ III ដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍បណា ា ក់ dy dy du ដបើ y  f (u) ៃិង u  g(x) ដ ោះ   dx du dx d ឬ f[u(x)]  f'(x)  u'(x) ។ dx IV រូបមៃាដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍សខា ំ ៃ់ៗ  yk  y'  ; k : ដេរ  yx  y'  ; x : អដេរ  y  ax  b  y'  a  yx n  y '  nx n 1 x  y n x  y  y'   y  tan x  y  cot x  y  sin u cos x 1  y '  (1  cot x)  sin x  y'  u 'cos u  y  cos u  y'  u 'sin u  y '   tan x  u' cos u u '  y  cot u  y '  u '(1  cot u)  sin u  y  tan u  y '  u '(1  tan u)  u v c  y v u  y c n  yu u ' v  v 'u v2 cv '  y '  ; c : ដេរ v u'  y'  ; c : ដេរ c  y '  nu 'u n 1 VI ដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍អច ុិ ស្ប៉ូ un  y u  y'  nu ' u n 1 u '  y'  u u'  y'  u VII    y y y u  y'  V ដេរីដេអៃុគមៃ៍ត្រីដកា មាត្រ  y  sin x  y'  cos x  y  cos x  y'   sin x ង់ស្សែល ៃិងដោការីរ  y  lnx  y  ln u  y  ex x u'  y'  ln u  y '  ex  y  eu  y '  u 'eu  y'  ដេរីដេលំដាប់ ដេរីដេលំដាប់ នៃអៃុគមៃ៍ y  f (x) គឺជាដេរីដេនៃ y ' កំ រ់តាងដដាយ y" ឬ f "(x) ឬ d2 y dx ។ VIII ដេរីដេលំដាប់ខពស់ ដេរីដេនៃអៃុគមៃ៍ y  f (x) អាចមាៃដេរីដេខលួ ៃឯង ដ ៀរ ដគដៅ ដេរីដេបៃាប ា ប់ដៃោះថា ដេរីដេលំដាប់ ; ដេរីដេលំដាប់ ; ;ដេរីដេលំដាប់ n តាង f ',f", ,f (n) រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ រ ូបមន្ដត្រីកោណមាត្ររ សាស្រ្សាាចារ្យ សេង េុភាេិត វិ.េសដេចឪ   3 2 5  sin  2        2 2  7 5   4 2 2   3 1  5 7 cos 2 11 2   cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b cos 2a  cos2 a  sin a cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b cos 2a  2cos2 a 1 sin(a  b)  sin a cos b  sin bcos a sin(a  b)  sin a cos b  sin bcos a cos 2a   2sin a sin 2a  2sin a cos a tan(a  b)  tan a  tan b  tan a tan b tan a  tan b tan(a  b)   tan a tan b a a sin a  2sin cos 2 tan a tan 2a   tan a cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)  sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  a 2 a  cos a  2sin pq pq cos 2 pq pq cos p  cos q  2sin sin 2 pq pq sin p  sin q  2sin cos 2 pq pq sin p  sin q  2sin cos 2 sin(p  q) tan p  tan q  cos p cos q  cos 2a  cos 2a sin a   cos 2a tan a   cos 2a cos p  cos q  2cos tan p  tan q  sin(p  q) cos p cos q 2   cos a  2cos cos a  2t 1 t2 1 t2 a cos a  , (t  tan ) 1 t2 2t tan a  1 t2 sin a  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ វ៉ិចទ័រក្នងលំ ហ ៉ិ i j k a b  ad  bc ដេបាេ u  v  x y z ; c d x' y' z' ស្កស្រ្ស្កតចារយ ដសង សភាសិត វ៉ិ.សដរដចឪ   (yz' y'z) i  (xz' x'z) j (xy' x'y) k  កូអរដោដេនេវច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ដ ើ A(x A , yA , z A ) េិង B(x B , yB , z B ) ជាពីរចំណច ដៅកនុងតម្រុយ (O, i, ដេបាេ j, k) AB  (x B  x A , yB  yA , z B  z A )  ផលេណចម្រុុះនេ ីវច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ដ ើu  (u1 , u , u3 ) ; v  (v1 , v2 , v3 ) េិង u  (x, y, z) ជាវ៉ិចទ័រកនុងតម្រុយ (O, i, j, k) ដេបាេណរវ៉ិចទ័រ u កំណត់ដោយ u  x '  y2  z  ផលេណស្កាលលពីរ វច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ដ ើu ុ  (x, y, z) េិង v  (x ', y', z ') ជាពីរ វ៉ិចទ័រកនង តម្រុយ (O, i, j, k) េិង   (u, v) ដេបាេ  u  v  xx ' yy' zz '  uv u  v  u  v  cos   cos   u v  u  v  xx' yy' zz'   u  v  ផលេណនេពីរវវច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ដ ើu ុ  (x, y, z) េិង v  (x ', y', z ') ជាពីរ វ៉ិចទ័រកនង តម្រុយ (O, i, j, k) មាេទិសដៅវ៉ិជ្មា ជ េ 1  ដេបាេ u1 u  (v w)  v1 w1 v  u1 w2 u2 v2 w2 v3 v  u2 w3 w1  x  x o  at   សរីការបា៉ារ៉ាលរ៉ាត L :  y  yo  bt , t  IR z  z  ct  x  x o y  yo z  z o  សរីការឆ្ុះុ L :   a b c ដ ើ ្ង់ P កាត់តារចំណច A(x o , yo ,zo ) ដហើយលកងេឹង  សដង់ោ P : a(x  x o )  b(y y o )  c(z zo )   ទូដៅ v2 w2  ចមាាយរវាងពីរចំណចកនង ុ លំហ ដ ើ A(x A , yA , z A ) េិង B(x B , yB , z B ) ជាពីរចំណច ដៅកនុងលំហ ដេបាេចមាាយពី A ដៅ B កំណត់ដោយ d(A,B)  (x B  x A )2  (yB  yA )2  (z B  z A )2 P : ax  by  cz  d   ចមាាយពីចណ ំ ចរួយដៅ ង ្ ក ់ ង នុ លំហ ដ ើ ្ង់ P មាេសរីការ P : ax  by  cz  d  ដន្ទុះ ចមាាយពីចំណច A(x o , yo ,zo ) ដៅ ្ង់ P េឺ d(A,P)  | ax o  byo  cz o  d | a  b2  c2  ចមាាយពីចណ ំ ចរួយដៅ ន្ទាត់កង នុ លំហ ដ ើ ន្ទាត់ L ម្ស េឹង វ៉ិចទ័រ u េិងមាេ M  L ដហើយ  សរីការលសវែ សរីការលសែវ S លែលមាេផចិត (a,b,c) េិងកាំ r ដេបាេ  ទម្រង់សង ត ់ោ េឹង វ៉ិចទ័រ u  (a,b,c) ដន្ទុះដយើងបាេ ៖ វ៉ិចទ័រ n  (a,b,c) ដន្ទុះសរីការ ្ង់ P មាេទម្រង់ u3 v3 w3 v3 v  u3 w3 w1 ដ ើ ន្ទាត់ L កាត់តារចំណច A(x o , yo ,zo ) ដហើយម្ស  សរីការ ង ្ ់ w  (w1 , w , w ) ដៅកនុងតម្រុយ (O, i, j, k)  ណរនេវច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ដ ើ y z x z x y i j k y' z' x' z' x' y '  សរីការបា៉ារ៉ាលរត េិងសរីការឆ្ុះុ នេ ន្ទាត់ (x  a)2  (y b)2  (z c)2  r  ទម្រង់ទូដៅ x  y2  z2  2ax  2by  2cz  k  ចំណច A  L ដន្ទុះចមាាយពី A ដៅ ន្ទាត់ L េឺ d(A,L)  | MA  u | |u| លែល k  x o2  yo2  zo2  r 2  3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២  នផាម្កឡាម្តីដកាណ SABC ស្កស្រ្ស្កតចារយ ដសង សភាសិត វ៉ិ.សដរដចឪ SABC  ផលេណនេពីរ វច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ ុ  (x, y, z) េិង v  (x ', y', z ') ជាពីរ វ៉ិចទ័រកនង តម្រុយ (O, i, H A C CB D A CB  ផលេណចម្រុុះនេ ីវច ៉ិ ទ័រកនង ុ លំហ D A A 1   n n1  P2 ដ ើ ្ង់ u2 v2 w2 u3 v3 w3 v3 v  u3 w3 w1 v2 w2  D V  SABC  h ្ង់ទំងពីរលកងគ្ននដ ើ  ្ង់ទំងពីរម្ស គ្ននដ ើ n1  kn លែល k  cos   n1  n n1 n  សមាាល់៖ h C A H B 2  n1  n    វ៉ិចទ័រ u  v ជាវ៉ិចទ័រលកងេឹង វ៉ិចទ័រ u ផង េិង v ផង  AB  AC  AD  ដម្ ើម្កឡានផាបាត េិងកំពស់ n2  រំរវាង ្ងទ ់ ំងពីរ  ដម្ ើផលេណចម្រុុះនេ ី វ៉ិចទ័រ V P1 មាេវ៉ិចទ័រណរមា៉ាល់ n1 េិង ្ង់ P2 មាេ វ៉ិចទ័រណរមា៉ាល់  CB  CD  DA  DC  មាឌចតរខ ឬដតម្តាលអត  D ចំណ៖ ំ ម្តូវដម្ ើផលេណពីរ វ៉ិចទ័រដចញពីកំពូលលតរួយ w  (w1 , w , w ) ដៅកនុងតម្រុយ (O, i, j, k) v3 v  u2 w3 w1  C  (u1 , u , u3 ) ; v  (v1 , v2 , v3 ) េិង v  u1 w2 B V  AB  AD  AE  ររំ វាង ង ្ ព ់ រី SABCD  AB  AD  BA  BC  (yz' y'z) i  (xz' x'z) j (xy' x'y) k ដេបាេ C P1 y z x z x y  i j k y' z' x' z' x' y ' u1 u  (v w)  v1 w1 F D ចំណ៖ ំ ម្តូវដម្ ើផលេណពីរ វ៉ិចទ័រដចញពីកំពូលលតរួយ B G E  នផាម្កឡាម្ ដលឡូម្ការ-ចតដកាណលកង-កាដរ j, k) មាេទិសដៅវ៉ិជ្មា ជ េ i j k ដេបាេ u  v  x y z x' y' z' ដ ើu | AB  AC |  | BA  BC |  | CA  CB | A SABC  ផលគ៉ិណនៃពីរវ៉ិចទ័រ ដ ើu  មាឌម្ ដលពីល ត ៉ា B  u  v  ដន្ទុះវ៉ិចទ័រ u កូលីដេលអវរេឹង v  u  kv , k  ដន្ទុះវ៉ិចទ័រ u កូលីដេលអវរេឹង v  u  v  ដន្ទុះវ៉ិចទ័រ u អរតូកូណល់េឹង v  u  v | u || v | sin  k លែល   (u, v) 3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ កោនិច - ប៉ារ៉ា ប ូល  ក្ំណុំ F0 , p  ក្រណីប៉ារ៉ាបូលមានក្ំពល ូ ប្រតង់គល់ មានន័យថា O  : y  p  សមីការសដងដា ់ រង សំគាល់  ក្ំណុំ F  p , 0  គបើ p  គន្ទុះប៉ារ៉ាបូលដបរភាពផតរក្ទិស y   សមីការបន្ទាត់ប្របប់ទិស  គបើ p  គន្ទុះប៉ារ៉ាបូលដបរភាពផតរក្ទិស y   សមីការអ័ក្សឆ្ុះល II ប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្ុះល គែក្ y F V k x h yk hp  សមីការសដងដា ់ រង x  h  ក្ំពូល V  h, k   ក្ំណុំ F h , k  p  4p  y  k  : y  kp xh  ក្រណីប៉ារ៉ាបូលមានក្ំពល ូ ប្រតង់គល់ មានន័យថា O h  និង k  គគបន  សមីការសដងដា ់ រង O  សមីការសដងដា ់ រង  សមីការបន្ទាត់ប្របប់ទិស  សមីការអ័ក្សឆ្ុះល ឈរ y0  គបើ p  គន្ទុះប៉ារ៉ាបូលដបរភាពផតរក្ទិស x 0  គបើ p  គន្ទុះប៉ារ៉ាបូលដបរភាពផតរក្ទិស x 0 III សមីការទូគៅននប៉ារ៉ាបូល y  kp V O O x  h p y F  : x  p សំគាល់  ក្រណីប៉ារ៉ាបូលមានក្ំពល ូ ខុសពីគល់ kp k y2  4px O  , 0 x0 y  k  ក្ំពូល V  h, k   ក្ំណុំ F  h  p, k   សមីការបន្ទាត់ប្របប់ទឹស  សមីការអ័ក្សឆ្ុះល គែក្ សមីការទូគៅរង Ax  Cx  Dy  E   ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្ុះល គែក្ x h  ប៉ារ៉ាបូលមានអ័ក្សឆ្ុះល ឈរ សមីការទូគៅរង By2  Cy  Dx  E   4p  x  h  :x  hp yk x  4py 1  O h  និង k  គគបន  ក្ំពូល  សមីការអ័ក្សឆ្ុះល ប៉ារ៉ាបូលដែលមានអ័ក្សឆ្ុះល ឈរ  ក្រណីប៉ារ៉ាបូលមានក្ំពល ូ ខុសពីគល់ O  , 0  សមីការបន្ទាត់ប្របប់ទិស សាស្រ្សាាចារយ គសង សុភាសិត ិ.សសគមដឪ I  ក្ំពូល 2  3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ កោនិច - កេលីប សាស្រ្សាាចារយ គសង សុភាសិត ិ.សសគមដឪ I O h a B1 h a  សមីការសដងដា ់ x  h a  hc y  k b ha k V1  h  a , k  និង V2  h  a , k   ក្ំណុំ F1  h  c, k  និង F2  h  c, k  និង ប្របដិងអ័ក្សតូឪគសមើ a  b  និង c2  a  b2  គអលីបមានផចត ិ ប្រតង់គល់ មានន័យថា O h  និង k  គគបន 1  h  និង k  គគបន x y2  1 b2 a O  , 0 V1  ,  a  និង V2  , a   ក្ំណុំ F1  ,  c  និង F2  , c  0);B2 (b, 0) a  b  និង c  a  b2 III សមីការទូគៅននគអលីប b B2 Ax  By2  Cx  Dy  E  AB  និង A0, B0 IV អុឪ ិ សង់ប្រទីសគុី ត k c k a F1 អុិឪសង់ប្រទីសុីគត e ននគអលីប គឺជាផលគធៀបរវាង x V1 O  សមីការសដងដា ់ O  ក្ំពូល ដែល 2b a  b  និង c  a  b2  ឪំសប្របសពវអក្ ័ សតូឪ B1 ( b, c  ឪំសប្របសពវអក្ ័ សតូឪ B1 (h , k  b);B2 (h , k  b)  ដែល I B1 k);B2 (h  b, k)  សមីការសដងដា ់  ដែល 1  ក្ំពូល F2 a I h , k 2a x V2 2b មានន័យថា  ផចិត O ka kc និង ប្របដិងអ័ក្សតូឪគសមើ  គអលីបមានផចត ិ ប្រតង់គល់ b) a  b  , c2  a  b2 y F2 V2  ផចិត  ប្របដិងអ័ក្សធំគសមើ  ដែល F1  c,  និង F2  c ,   គអលីបមានផចត ិ ខុសពីគល់ 2a  ឪំសប្របសពវអក្ ័ សតូឪ B1 (h  b, II គអលីបដែលមានអ័ក្សធំឈរ និងអ័ក្សតូឪគែក្ c V1  a ,  និង V2  a ,   ដែល O B2 b I h c  ក្ំពូល F1  h , k  c  និង F2  h , k  c   ប្របដិងអ័ក្សធំគសមើ  ឪំសប្របសពវអក្ ័ សតូឪ B1 (0,  b);B2 (0, y k V1 F1  ផចិត  ក្ំំណុំ គអលីបដែលមានអ័ក្សធំគែក្ និងអ័ក្សតូឪឈរ  គអលីបមានផចត ិ ខុសពីគល់  ក្ំណុំ x y2  1 a b2 O  , 0  សមីការសដងដា ់ h x  h b2  y  k a2 ក្ំណត់គដាយ ec a ។ 1  ផចិត I h , k  ក្ំពូល V1  h , k  a  និង V2  h , k  a  2  ឪមាាយពីផិត ច គៅក្ំណុំ និងក្ន្ុះអ័ក្សធំននគអលីប 3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ កោនិច - េីពែប ូល សាស្រ្សាាចារយ គសង សុភាសិត ិ.សសគមដឪ I អុដី ពបូលមានអ័ក្សទទឹងគែក្  អុដី ពបូលមានផចត ិ ខុសពីគល់ O y2 F1 k h c V1 I V2 h a F2 ha O hc h c  សមីការសដងដា ់ a x  h a 2  មានន័យថា O y1 y  k b 2 1  ផចិត I h , k  ក្ំពូល V1  h  a, k  និង V2  h  a, k   ក្ំណុំ F1  h  c, k  និង F2  h  c, k   សមីការអាសុីមតូតទំងពីរ h  និង k  គគបន x y2  1 a b2 O  0,   សមីការសដងដា ់  មានផចិត  ក្ំពូល V1  a ,  និង V2  a ,   ក្ំណុំ F1  c ,  និង F2  c ,  b b  x  h  និង y2  k   x  h  a a 2  ដែល a  , b  និង c  a  b kc ka V1 O b2  ក្ំពូល V1  h , k  a  និង V2  h , k  a   ក្ំណុំ F1  h , k  c  និង F2  h , k  c  h  និង k  គគបន y2 x  1 a b2  សមីការសដងដា ់ y2  ផចិត O  0,   ក្ំពូល V1  ,  a  និង V2  , a  F1  ,  c  និង F2  , c   សមីការអាសុីមតូតទំងពីរ a a y1   x និង y  x b b 2  ដែល a  , b  និង c  a  b a I F1 សមីការទូគៅននអុដី ពបូល Ax  By2  Cx  Dy  E  h 2  1 I h , k មានន័យថា b k a k c  អុដី ពបូលដែលមានផចត ិ ប្រតង់គល់ O c I x  h  ផចិត  ក្ំណុំ k a2  a a  x  h  និង y2  k   x  h  b b 2  ដែល a  , b  និង c  a  b F2 V2 y1  k  II អុដី ពបូលដែលមានអ័ក្សទទឹងឈរ x  អុដី ពបូលដែលមានផចតិ ខុសពីគល់ O y y y  k  សមីការអាសុីមតូតទំងពីរ b b y1   x និង y  x a a 2  ដែល a  , b  និង c  a  b y1  k  1   សមីការសដងដា ់  សមីការអាសុីមតូតទំងពីរ y b  អុដី ពបូលមានផចត ិ ប្រតង់គល់ x ដែល AB  II អុឪ ិ សង់ប្រទីសគុី ត និង A0, B0 ec a 3  រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ ត្រីកោណមាត្ររ សាស្រ្សាតចារយ ពសង សភាសិត វិ.សពមដចឪ  រូបមន្តគ្រឹះ  sin   cos    tan   cot   sin   tan    cos  cot  cos   cot    sin  tan    tan   cos    cot   sin   រូបមន្តមផ្ ុំ យ ទុ  sin( )   sin   cos( )  cos   tan( )   tan   cot( )   cot   រូបមន្ដមប ុំ ន្ន្ែម  sin(  )  sin   cos(  )   cos   tan(  )   tan   cos  2k     cos   cot(  )   cot   tan  2k     tan   រូបមន្ដមប ុំ ពុំ េញ  cot  2k     cot     sin      cos  2     cos      sin  2     tan      co t  2     cot      tan  2    រូបមន្ដមមា ុំ ន្ផ្លសងពសមើ    sin      cos  2     cos       sin  2     tan      co t  2     cot       tan  2   លក្ខណៈខួប , k   sin  2k     sin   ក្រណីេពិ សស , k   sin   cos   sin    cos   1  sin 2   cos 2   sin  1  cos  0  ក្រណីេពិ សស , k   sin k   x  k   k  tan k   x  k  cos k   x   cot k   x    k  សមីការទូពៅ , k    2k  sin x  sin   x        2k   2k  cos x  cos   x      2k  tan x  tan   x    k  cot x  co t   x    k រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ IV ចមាាស់ VI ព្បូបាប វិភាគបន្សំ ន្ិងប្រូបាប និយមន័យ ៖ ចមាាស់ សាស្រ្សាតចាររែ ៖ គសង សភាសិត្ វិ.សគមដចឪ មួយគទ្ៀត្គៅលំដាប់ទ្ី២ និងបនតរប ា ប់ ។ លំដាប់នន n ធាត្ដែលធាត្មួយគៅលំដាប់ទ្ី១, ធាត្  ចមាាស់នន I គោលការណ៍ផលបូក  គបើ យ ើ n(A) និង n(B) A និង B ។ A និង B មិនចុះសព្មុងោា n(A  B)  n(A)  n(B)  គបើ A និង B ចុះសព្មុងោា n(A  B)  n(A)  n(B)  n(A  B) II គោលការណ៍ផលគណ ព្រឹត្ិ.ត n ធាត្ខសោា A គកើត្គ ើង m រគបៀប គ យ ើ មានព្រឹត្ិ.ត B គកើត្ គ ើង n រគបៀបបនដគទ្ៀត្ គ ុះចំនួនលទ្ធផលដែលព្រឹត្ិ.ត A និង B គកើត្គ ើង គឺ m  n ។ III ហ្វាក់ត្ដូ រែល  ចមាាស់នន P(n, r)  r ធាត្ យករី n ធាត្ខសោា n! P  (n  1)! n n(A) n(S) ។ VII ព្បូបាបននព្រឹត្កា តិ រណ៍សមាស A និង B មិនទាក់ទ្ងោា P(A  B)  P(A)  P(B) A និង B ទាក់ទ្ងោា  គបើព្រឹត្ិ.ត A និង B មិនចុះសព្មុងោា  គបើព្រឹត្ិ.ត A និង B មិនចុះសព្មុងោា P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)  ព្រឹត្ិ.ត  ចមាាស់ដបងដចកបាន n! ; k n1 ! n !  n k ! V បនស ំ ុ រីព្រឹត្ិ.ត A ៖ P(A)   P(A) A ផាយ  សមាាល់ ៖ P()  0, P(S)  1,  P(A)  VIII ព្បូបាបមានលកខខណ ័ ឌ P(A / B)  1!  2!  1  ការយកព្រមោាមដង n!  n  (n  1)!  n  (n  1)  (n  2)! ករណីអាច  P(A  B)  P(A)  P(B)  ចមាាស់វង់នន n ធាត្ខសោា និយមន័យ ៖ បនស ំនន n!  n  (n  1)  (n  2)   ករណីព្សប សំណាក S កំណត្់គដាយ៖ P(A  B)  P(A)  P(B / A) P  nr 0!  3!   1  P(A)   គបើព្រឹត្ិ.ត n! (n  r)!  ចមាាស់ព្ចំដែលនន r ធាត្យកគចញរី n ធាត្ P ព្បូបាបននព្រឹត្ិ.ត A កាុងលំ  គបើព្រឹត្ិ.ត P(n, n)  n! ត រណ៍ររី គ A និង B ជាព្រឹត្ិកា ជាចំនួនលទ្ធផលននព្រឹត្ិ.ដ n ធាត្ខសោា គឺជាត្គព្មៀបមាន r ធាត្យកគចញរី n ធាត្ គឺជា P(A  B) P(A  B) ; P(B / A)  P(B) P(A) n r ធាត្គចញរី n ធាត្ខសៗោា IX ព្បូបាបសរប ៖ P(B)    P(B / A i )  P(A i )  i 1 គដាយមិនគិត្លំដាប់ននធាត្ ។ ចំនួនបនស ំនន r ធាត្យកគចញរី n ធាត្ខសោា គឺ C(n, r)  P(n, r) n! ។  r! (n  r)! r! X ព្ទ្ឹសប ីដ ទ្នបគយស ៖ P(A k / B)  P(B / A k )  P(A k ) n   P(B / A )  P(A ) i 1 i i រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២ I IV សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលលាំដាប់១ មិៃអូមស្ូ សៃ (E) : y ' ay  P(x) សមីការឌីផេរង់ ៉ ស្សែល សមីការរាង ាស្រ្ាាចារែ ផសង សុភាសិេ វិ.សផមដចឪ  រកចផមលយ ើ ពិផសស សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលរាង  សរផសរសមីការជារាង dy  f (x) dx dy  f (x)dx  គណនាអាំ ងផេក្រកាលផលើអងគទាំងពីរ  dy   f (x)dx ជាចផមលយ ើ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្សែល ។ II សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលរាង g(y) dy  f (x) dx ( ស្ែលអចស្ែកអផេរបាៃ )  សរផសរសមីការជារាង g(y)dy  f (x)dx  គណនាអាំ ងផេក្រកាលផលើអងគទាំងពីរ  g(y)dy   f (x)dx  G(y)  F(x)  c , c  IR ជាសផមលយ ើ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្សែល ។ III សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលលាំដាប់១ អូមស្ូ សៃ សមីការរាង (E) : y ' ay  សមីការមាៃចផមលយ ើ ទូផៅ  រកចផមលយ ើ ទូផៅ yc នៃសមីការ y  Ae  ax , A  IR សមីការរាង y ' ay  yp  ចផមលើយទូផៅនៃសមីការគឺ y  yc  y p ។ ផដាោះក្រាយតាមវិធីបស្ក្រមបក្រមួលចាំៃួៃផេរ សមីការរាង (E) : y ' ay  P(x) សមីការមាៃចផមលយ ើ ទូផៅ  បដូរ y ' ay  y  Ae  ax A ផៅជា A(x) ផគបាៃ y  A(x)  e  ax  y '  A '(x)  e  ax  aA(x)  e  ax ផគបាៃ (E) : A '(x)e  ax  aA(x)e  ax aA(x)e  ax  P(x)  A '(x)  e  ax  P(x) P(x)  A '(x)   ax  P(x)  e ax e  A(x)   P(x)  eax dx  c y    P(x)  eax dx  c   e ax   ជាចផមលយ ើ នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្សែល (E) ។ ផគបាៃ (E) : ay" by ' cy  សមីការសមាគល់ ឌីសក្រគីមណ ី ង់ V សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលលាំដាប់១ មិៃអូមស្ូ សៃ  រកចផមលយ ើ ទូផៅនៃសមីការ  y  F(x)  c , c  IR VI សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលលាំដាប់២ អូមស្ូ សៃ  ផបើ 0 ar  b r  c    b  4ac សមីការមាៃឫសពីរផេេងគ្នា r1   , r2   y  Ae  ផបើ x 0 សមីការមាៃចផមលយ ើ ទូផៅ  Bex ; A, B  IR សមីការមាៃឫសឌុប r1  r2   សមីការមាៃចផមលយ ើ ទូផៅ y  (Ax  B)ex ; A, B  IR  ផបើ 0 សមីការមាៃឫសជាចាំៃួៃកុាំេិច ល ឆ្លលស់គ្នា r1,    i សមីការមាៃចផមលយ ើ ទូផៅ y  (A cos x  Bsin x)  e x ;A,B  IR VII សមីការឌីផេរ៉ងស្់ សែលលាំដាប់២ មិៃអូមស្ូ សៃ សមីការរាង (E) : ay" by ' cy  P(x)  រកចផមលយ ើ ទូផៅ yc នៃសមីការ ay" by ' cy   រកចផមលយ ើ ពិផសស yp  ចផមលើយទូផៅនៃសមីការ (E) គឺ y  yc  y p ។ រ ូបមន្ដគណិតវិទ្យា ថ្នាក់ទ្យី ១២  sin  cos  tan  cot   || 3 3 45o  2 60o  3 2 2 ត្រីកោណមាត្ររ 0o សាស្រ្សាាចារយ កេង្ េុភាេិរ វិ.េកដេចឪ 30o  រង្វង្ត្់ រីកោណមាត្រ sin cot  5 3 2  2    2     2 1 5  4 3  1 11 5 90o 120o cos 2 2  7   7 2   tan  2 3 3 ||   2 1    3 135o 3 150o 5 2 180o  1 360o 2 ោត្រង្់ទី I + + + + ោត្រង្់ទី II + _ _ _ ោត្រង្់ទី III _ _ + + ោត្រង្់ទី IV _ + _ _  3 1  || ...  រង្វង្ត្់ រីកោណមាត្រ sin cot  5 3 2  2    2     2 1 5  4 3  1 11 5 90o 120 o cos 2 2  7   7 2   tan  2 3 3 ||   2 1    3 135o 3 150o 5 2 180o  1