ĐỀ THI HS GIỎI TRƯỜNG – TOÁN Bài (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4; Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: P = ( x + x − x + x − x + x( x + 1) − (1 + x) − + )× x2 −1 x +1 x −1 x3 − a Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P c, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,0 điểm) a, Chứng minh tổng ba số nguyên chia hết cho tổng lập phương ba số nguyên chia hết cho 1 + ≥ Với a; b số dương a b a+b áp dụng : Tìm giá trị nhá nhÊt cña M = xy + x + y với x; y dơng x + y =1 Bài 4: (3,0 điểm) b, Chứng minh bất đẳng thức: Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho : ∠ MDN = ∠ ABC Chứng minh : a, Hai tam giác BMD CDN đồng dạng với ; b, MD2 = MN MB Bài 5:(1,5 điểm) Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G trọng tâm tam giác Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: AB AC + =3 AM AN ĐỀ THI HS GIỎI TRƯỜNG – TỐN Bài (1,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – x – 12; b) x2 + 2xy + 4y – 4; Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: x + x − x + x − x + x( x + 1) − (1 + x) − + )× P =( x2 −1 x +1 x −1 x3 − b Tìm x để P xác định ; b, Rút gọn P c, Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên? Bài 3: (2,0 điểm) a, Chứng minh tổng ba số nguyên chia hết cho tổng lập phương ba số nguyên chia hết cho 1 + ≥ Với a; b số dương a b a+b ¸p dơng : Tìm giá trị nhỏ M = xy + x + y víi x; y d¬ng vµ x + y =1 Bài 4: (3,0 điểm) b, Chứng minh bất đẳng thức: Cho tam giác ABC cân A, D trung điểm cạnh BC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho : ∠ MDN = ∠ ABC Chứng minh : a, Hai tam giác BMD CDN đồng dạng với ; b, MD2 = MN MB Bài 5:(1,5 điểm) Cho tam giác ABC trung tuyến AD Gọi G trọng tâm tam giác Một đường thẳng qua G cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: AB AC + =3 AM AN đáp án toán 8: Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) (1®iĨm) b, x2 + 2xy + 4y - = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm) Bài 2: a, Điều kiện: x ≠ ±1 (1®iĨm) b, P = x4 + x2 − x + − x2 + x − + x2 + x + x2 − x2 − x −1 (1®iĨm) x4 + x2 + x2 − = x − x3 − (0,5®iĨm) = x4 + x2 + x3 − (0,5®iĨm) c, P = x + x + x( x − 1) + x + x + 1 = = x+ 3 x −1 x −1 x (1điểm) Với x nguyên P nhận giá trị nguyên x-1 ớc 1: (0,5điểm) TH1: x-1 = => x = (thâa m·n ®k) TH2: x - = -1 => x = (thâa mãn đk) (0,5điểm) Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hÕt cho Ta cã: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) (1điểm) Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) lu«n chia hÕt cho Thùc vËy: NÕu tÝch (a+b)(b+c)(c+a) cã Ýt nhÊt mét thõa sè chia hÕt cho tích chia hết cho Nếu ba thừa số không chia hết cho ta cã: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1 => 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chøng tá a+c chia hÕt cho Khi tích sẻ chia hết cho (1điểm) Vì (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho nên: 3(a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Mà (a+b+c)3 chia hết cho (vì a+b+c chia hÕt cho ) Do ®ã (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) chia hÕt cho Hay: a3 + b3 + c3 chia hÕt cho (1®iĨm) 1 ( a − b) = ≥ v× a > 0; b > b, Ta cã : + − a b a + b ab(a + b) (0,5®iĨm) => 1 + ≥ DÊu = x¶y a – b = a = b a b a+b (0,5điểm) 3 áp dụng: M = xy + x + y + xy (0,25điểm) 3 12 3 Vì: xy + x + y ≥ ( x + y ) = 12 ; xy + x + y = 12 ⇔ x = y (0,25điểm) 1 Và: (x + y) xy ⇔ xy ≥ (x + y)2 ( x>0; y>0) ⇔ ≥ = 2; =2⇔ x= y 2 xy ( x + y ) xy (0,25điểm) Nên: M 14 M có giá trị nhỏ 14 x = y (0,25điểm) Bài 4: A a, Ta có: ABC + ∠ BMD= ∠ MDC ( TÝnh chÊt gãc ngoµi) (0,5 ®iÓm) Hay: ∠ ABC + ∠ BMD = ∠ MDN+ ∠ NDC M Mµ ∠ ABC= ∠ MDN(gt) => ∠ BMD = NDC (1điểm) Xét hai tam giác BMD tam giác CDN có: B B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC => ∆BMD ~ ∆CDN ( g – g ) b, Ta cã ∆BMD ~ ∆CDN ⇒ N C D (0,5 điểm) BM MD BM BD = = (Vì BD = CD) CD DN MD DN (1®iĨm) A XÐt hai tam giác: BMD DMN có: MBD = ∠ MDN (gt) BM BD = ( chøng minh trªn) MD DN ∆BMD ~ ∆DMN (c-g-c) ⇒ MD MB = ⇒ MD = MN MB MN MD (1®iĨm) (1®iĨm) M G Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song víi MN Bc¾t AD ë P N P D Q C Vì BP song song với MG nên ta cã: AB AP = (1) (0,5®iĨm) AM AG - Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD Q Vì CQ song song với NG nên ta cã: Tõ (1) vµ (2) ta cã: AC AQ = (2) AN AG AB AC AP + AQ + = (3) AM AN AG (0,5 điểm) (0,5điểm) Mặt khác: Xét hai tam giác DPB DQC có: BDP = ∠ CDQ (®èi ®Ønh) ∠ DBP = ∠ DCQ ( Vì BP Và CQ song song với MN nên song song với nhau) DB = DC (AD trung tuyÕn) => ∆ DPB = ∆ DQC ( c-g-c) => DP = DQ (0,5®iĨm) => AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4) (0,5®iĨm) Tõ (3) Vµ (4) ta cã: => AB AC AD + = AM AN AG AB AC AD + = ( Vì G trọng tâm nên = ) AM AN AG (0,5®iĨm) Lu ý: - Các cách giải khác có kết cho điểm tối đa - Bài4, 5: Vẽ hình sai hình không chấm